2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊同步練習(xí)-第三章 空間向量與立體幾何復(fù)習(xí)提升

2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊

本章復(fù)習(xí)提升

易混易錯練

易錯點(diǎn)1對空間向量的相關(guān)概念理解不清致誤

1.（2020海南中學(xué)期中）若四:人而+口而（入，UGR）,則直線AB與平面CDE的

位置關(guān)系為.

2.如圖,在棱長為1的正方體ABCD-ABCD中，向量近在向量病方向上的投影

數(shù)量是，

3.（2020湖南師范大學(xué)附中期末）已知a《5,3,1）,若a與b的夾角為

鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

易錯點(diǎn)2混淆向量夾角與空間角致誤

4.已知向量叫n分別是直線1的方向向量和平面a的法向量，若cos〈m,n>=q,

則1與a所成的角為（）

A.30°B,60°C.120°D,150°

5.（2020陜西商丹高新學(xué)校質(zhì)量檢測）如圖,在直三棱柱ABC-ABG

中,ABLAC,AB=AC=2,AAi=4,D是BC的中點(diǎn).

⑴求異面直線AiB與GD所成角的余弦值；

（2）求平面ADG與平面ABA1所成二面角的平面角的正弦值.

易錯點(diǎn)3不能正確地建立空間直角坐標(biāo)系致誤

6.（2022黑龍江哈爾濱第三中學(xué)月考）如圖,在三棱柱ABC-ABG中，點(diǎn)E,F分別

在棱BBi,CG上（均異于端點(diǎn)），AB=AC,ZA1B1E=ZA1C1F,BB」平面A】EF.

⑴求證：四邊形BiEFG是矩形；

(2)若A1E=EF=2,BiE=j,求平面ABG與平面A】EF所成二面角的平面角的余弦值.

思想方法練

一、數(shù)形結(jié)合思想在立體幾何中的應(yīng)用

1.已知菱形ABCD中，ZABC=60°,將4ABC沿對角線AC折起，使得平面B'AC,平

面DAC,求二面角B'-CD-A的平面角的余弦值.

B'

二、轉(zhuǎn)化與化歸思想在立體幾何中的應(yīng)用

2.（2020湖北黃岡黃梅國際育才高級中學(xué)期中）四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,

它們所在的平面互相垂直,動點(diǎn)M在線段PQ±,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),設(shè)異面

直線EM與AF所成的角為。，則cos。的最大值為（）

A.-B.-C.-D.-

5552

3.（2021山東滕州第一中學(xué)月考）在四棱柱ABCD-ABCD中,底面ABCD是正方形，

側(cè)棱AA」底面ABCD.已知AB=1,AA尸遮,E為線段AB上的一個動點(diǎn),求D1E+CE的

最小值.

三、函數(shù)與方程思想在立體幾何中的應(yīng)用

4.在直三棱柱ABC—AiBC中，ZBAC=pAB=AC=AAF1,已矢口G和E分另U為AB和CG

的中點(diǎn),D與F分別為線段AC和AB上的動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若GDXEF,則線段DF

的長度的取值范圍為（）

A信1）B停近

C.（等,1）。.［等,1）

5.在長方體ABCD-ABCD中,AB=1,AD=2,AAx=5,P是棱DDi上的動點(diǎn)，則APAiC的

面積最小時,DP=(

A.1B.2C.|D.4

6.如圖，在直三棱柱ABC-AEG中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.在線段AB上是否存在

點(diǎn)D,使得AG〃平面CDBi?若存在,試確定點(diǎn)D的位置;若不存在,請說明理由.

4約

答案與分層梯度式解析

易混易錯練

1.答案ABc平面CDE或AB〃平面CDE

解析由同=入而+u源（入，nGR）及共面向量定理可知向量與與向量而，而

共面,則直線AB可能在平面CDE內(nèi)，也可能和平面CDE平行.

易錯警示在解題時易忽略空間向量是自由向量而弄錯向量與線面的位置關(guān)系.

2.答案f

解析向量費(fèi)在向量砧T方向上的投影數(shù)量為

IAB|COS<I7Q,AS>=IAS|cos<71!Q,A^>=1Xcos45°=y.

練后反思1.向量a在向量b方向上的投影數(shù)量為|a|?cos〈a,b>,而向量b在

向量a方向上的投影數(shù)量是|b|cos〈a,b>,二者通常不等.

2.求一個向量在另一個向量方向上的投影數(shù)量時，一般將兩向量的起點(diǎn)平移到同

一點(diǎn)，以便確定向量的夾角，然后利用向量的投影數(shù)量公式求解.

3.解析由已知得a?b=5X（-2）+3t-|=3t-p

因?yàn)閍與b的夾角為鈍角，所以a?b<0,

所以3t-f<0,即t<||.

若a與b的夾角為180°,則存在入<0,使a=、b,即（5,3,1）=入（-2芯

（5=a?（-2）,

所以3=a?t，所以

?㈢,5

故t的取值范圍為（-8廣§J

易錯警示本題易忽略a?b〈0時包含a與b的夾角為180°的情況，所以需排除

該情況下參數(shù)的值.

4.A設(shè)所求角為9,0°W0W90°,則sin。=1cos<m,n>|=，所以。=30°.

5.解析（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

則A(0,0,0),B(2,0,0),D(l,1,0),Ax(0,0,4),G(0,2,4),.*.X1B=(2,0,-

4),Z7D=(1,-1,-4),

貝Ucos〈&B,QD>="^=——=——,

11M1B|U|C1D|V20XV1810

???異面直線AiB與3D所成角的余弦值為察.

10

⑵設(shè)平面ADCi的一個法向量為X(x,y,z),則丁?AD=0,m?AQ=0,

'：AD=(1,l,0),Iq=(0,2,4),

x+y=0且2y+4z=0,

令z=l,則y=-2,x=2,???6=(2,-2,1).

易知平面AAiB的一個法向量為n2=(0,1,0),

易知平面ADG與平面AAiB所成二面角的平面角為銳角，設(shè)為。，則cos

Q_凡?切_2_2

|町|也|V9X13'

??.sin。=y,故平面ADG與平面ABA1所成二面角的平面角的正弦值為當(dāng)

總結(jié)反思1.利用空間向量求線線角、線面角、二面角的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩條直

線的方向向量之間、直線的方向向量與平面的法向量之間、兩個平面的法向量

之間的角；

2.cos<a,垃二整是計算空間各種角的基礎(chǔ)，但應(yīng)注意所求角與兩向量夾角之間的

回網(wǎng)

關(guān)系及所求角的取值范圍.

6.解析(1)證明:在三棱柱ABC-ABG中,BB/CG.

因?yàn)锽B」平面AiEF,所以CC」平面AiEF,

又因?yàn)锳EAFu平面AiEF,

所以BBiJ_AECG_LAF,

所以NAiEB尸NAFCi=90°,

又因?yàn)镹ABE=NAiGF,AB=AC,

所以△AiEBiZ^AiFG,

所以A】E=AiF,BiE=CF,

因?yàn)锽iE〃CF,所以四邊形BiEFG為平行四邊形，

因?yàn)锽B」平面AiEF,EFc平面A【EF,

所以BB」EF,故四邊形BiEFG是矩形.

(2)取EF的中點(diǎn)G,連接A6,因?yàn)锳1E=A1F,所以M1EF.

因?yàn)锽B」平面AiEF,BBC平面BBCC,

所以平面AiEF,平面BBCC.

因?yàn)槠矫鍭JEFP平面BBQC=EF,A"EF,AGu平面AiEF,所以AG，平面BBGC,

取BC的中點(diǎn)H,連接GH,則GH±EF.

以G為坐標(biāo)原點(diǎn),GF,西,而分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)

系,如圖所示，

則4(0,V3,0),今,G(1,O,f),

所以V),41的=(1,一百,V).

設(shè)平面AB。的一個法向量為n=(x,y,z),

7?AR-of-x-V3y+—z=0,

則竺^-仇即廣

<n*AG=0,1%-gy+-yZ=0,

令y=l,則n=(0,1,3),

易知平面AiEF的一個法向量為m=(0,0,1),

所以cos<n,m>=而而=幣或丁才，

故平面ABC1與平面A^F所成二面角的平面角的余弦值為察.

易錯警示運(yùn)用“坐標(biāo)法”解答空間幾何問題時，正確地建立空間直角坐標(biāo)系是

解題的關(guān)鍵.解題時，要依據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，充分利用圖形中的垂直關(guān)系

或構(gòu)造垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系.

思想方法練

1.解析如圖,取AC的中點(diǎn)E,連接EB',ED,由菱形的性質(zhì)及翻折前后的圖形特

征知EC,ED,EB'兩兩垂直，以EC,ED,EB'所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空

間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=2,則A(-1,0,0),C(1,0,0),D(0,g,0),B'(0,0,V3),

設(shè)平面B'CD的一個法向量為n=(x,y,z),

則n-￡C=0,

In?B'D=0.

Fr=(i,o,-V3),加=(o,V3,-V3),

x-V3z=0,

令z=V3,貝(Jy=V3,x=3,

^VSy-VSz=0,

即n=(3,V3,V3),

易知平面ACD的一個法向量為m=(0,0,1),

設(shè)二面角B'-CD-A的大小為。,

則|coso1上匚㈣=力_=￡

|n||m|V15xl5

易知二面角B'-CD-A為銳二面角，所以cos。4,即二面角B'-CD-A的平面角的

余弦值為

思想方法利用數(shù)形結(jié)合思想解決立體幾何中的相關(guān)問題時，通?？山⒖臻g直

角坐標(biāo)系，借助空間向量的相關(guān)計算來完成幾何問題的求解.

2.A以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AQ所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè)正方形的邊長為2,則A(0,0,0),E(1,0,0),F(2,1,0),設(shè)

M(0,m,2)(0WmW2),所以俞=(-l,m,2),XF=(2,1,0),

所以cos9=|cos<EM,AF>\=^1,

Vr5+m2xVr5

將異面直線EM與AF夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的函數(shù).

令t=2-m,tW[0,2],則當(dāng)t=0時，cos。=0,

當(dāng)作（°,見時，as0=7=^

11

通過換元,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求關(guān)于t的函數(shù)以求得最值.

因?yàn)榫揲L,所以當(dāng)分,即m=0時,cos。取得最大值|,因此cos。的最大值為|.

故選A.

3.解析以A為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

貝ljDtCO,1,V3),C(1,1,0).

設(shè)E(t,0,0)(OWtWl),

貝ljDiE="2+i+3=舊"*

2

CE-7(l-t)2+l=V(t-l)+1,

故問題轉(zhuǎn)化為求V"+4+J(t-l)2+1的最小值問題，

即轉(zhuǎn)化為求平面直角坐標(biāo)系tOu中的一個動點(diǎn)P(t,O)到兩定點(diǎn)M(o,-2),N(1,1)

的距離之和的最小值問題,如圖所示.

由此可知，當(dāng)M,P,N三點(diǎn)共線時，(DiE+CE)m『[QH+

+l]min=IMNI=<T9=V10.

思想方法立體幾何中的轉(zhuǎn)化與化歸思想，主要體現(xiàn)為：(1)幾何內(nèi)部知識的轉(zhuǎn)化,

如線面平行與面面平行，平行與垂直之間的轉(zhuǎn)化等；(2)空間問題化歸為平面問題

（如第3題）；（3）幾何中的位置關(guān)系與數(shù)量計算轉(zhuǎn)化為有關(guān)向量的計算，如兩直線

垂直轉(zhuǎn)化為兩直線對應(yīng)的方向向量的數(shù)量積為0,異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩對

應(yīng)向量的夾角等（如第2題）.

4.A以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

則GQ,O,I),E(O,I,0,

設(shè)D(0,y,0),F(x,0,0),

貝IJ詼前二(%廣1，4),

VGDXEF,：.GD?EF=0,

MP-|x-y+|=0,即x+2y=l,

又-2y〈l,.?.0〈丫《.

又|DF|=Jx2+y2=7(l-2y)2+y2=j5y2-4y+1(0<y<0,

構(gòu)建關(guān)于y的二次函數(shù),從而確定范圍.

*"?當(dāng)y=|時,IDF|min=，5x,-?+1=今；

□7Z5□5

當(dāng)y=0時，|DF|=1;

當(dāng)y1時JDF1=1，

故線段DF的長度的取值范圍為憐1).

故選A.

5.A根據(jù)題意，以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建

立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.

設(shè)DP=x(0WxW5),

易得P(0,2,x),Ai(O,0,5),C(1,2,0).

由空間中兩點(diǎn)之間的距離公式可得

AxP=74+(%-5)2=Vx2-10x+29,

2

PC=V1+x,A1C=V30,

故在aPAiC中，由余弦定理可得

71J>2+PC2-71C2

cosZAiPC=11

2A1PXPC

x2-5x

VX2-10X+29XV1+X2>

貝ijsinNAFC=1-cos2"PC

_V5X2-10X+29

7(X2-10X+29)(X2+1)'

故S人4p「二%PXPCXsin/AiPC

2

=jxV%M0x29X<T^XV5X-10X+29

+7(%2-10X+29)(X2+1)

=|V5x2-10x+29=|J5(%-1)2+24,

利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解面積的最值.

當(dāng)且僅當(dāng)