2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)同步練習(xí)-第三章 空間向量與立體幾何復(fù)習(xí)提升

2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)

本章復(fù)習(xí)提升

易混易錯(cuò)練

易錯(cuò)點(diǎn)1對(duì)空間向量的相關(guān)概念理解不清致誤

1.（2020海南中學(xué)期中）若四:人而+口而（入，UGR）,則直線AB與平面CDE的

位置關(guān)系為.

2.如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-ABCD中，向量近在向量病方向上的投影

數(shù)量是，

3.（2020湖南師范大學(xué)附中期末）已知a《5,3,1）,若a與b的夾角為

鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

易錯(cuò)點(diǎn)2混淆向量夾角與空間角致誤

4.已知向量叫n分別是直線1的方向向量和平面a的法向量，若cos〈m,n>=q,

則1與a所成的角為（）

A.30°B,60°C.120°D,150°

5.（2020陜西商丹高新學(xué)校質(zhì)量檢測(cè)）如圖,在直三棱柱ABC-ABG

中,ABLAC,AB=AC=2,AAi=4,D是BC的中點(diǎn).

⑴求異面直線AiB與GD所成角的余弦值；

（2）求平面ADG與平面ABA1所成二面角的平面角的正弦值.

易錯(cuò)點(diǎn)3不能正確地建立空間直角坐標(biāo)系致誤

6.（2022黑龍江哈爾濱第三中學(xué)月考）如圖,在三棱柱ABC-ABG中，點(diǎn)E,F分別

在棱BBi,CG上（均異于端點(diǎn)），AB=AC,ZA1B1E=ZA1C1F,BB」平面A】EF.

⑴求證：四邊形BiEFG是矩形；

(2)若A1E=EF=2,BiE=j,求平面ABG與平面A】EF所成二面角的平面角的余弦值.

思想方法練

一、數(shù)形結(jié)合思想在立體幾何中的應(yīng)用

1.已知菱形ABCD中，ZABC=60°,將4ABC沿對(duì)角線AC折起，使得平面B'AC,平

面DAC,求二面角B'-CD-A的平面角的余弦值.

B'

二、轉(zhuǎn)化與化歸思想在立體幾何中的應(yīng)用

2.（2020湖北黃岡黃梅國(guó)際育才高級(jí)中學(xué)期中）四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,

它們所在的平面互相垂直,動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ±,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),設(shè)異面

直線EM與AF所成的角為。，則cos。的最大值為（）

A.-B.-C.-D.-

5552

3.（2021山東滕州第一中學(xué)月考）在四棱柱ABCD-ABCD中,底面ABCD是正方形，

側(cè)棱AA」底面ABCD.已知AB=1,AA尸遮,E為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求D1E+CE的

最小值.

三、函數(shù)與方程思想在立體幾何中的應(yīng)用

4.在直三棱柱ABC—AiBC中，ZBAC=pAB=AC=AAF1,已矢口G和E分另U為AB和CG

的中點(diǎn),D與F分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若GDXEF,則線段DF

的長(zhǎng)度的取值范圍為（）

A信1）B停近

C.（等,1）。.［等,1）

5.在長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中,AB=1,AD=2,AAx=5,P是棱DDi上的動(dòng)點(diǎn)，則APAiC的

面積最小時(shí),DP=(

A.1B.2C.|D.4

6.如圖，在直三棱柱ABC-AEG中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.在線段AB上是否存在

點(diǎn)D,使得AG〃平面CDBi?若存在,試確定點(diǎn)D的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

4約

答案與分層梯度式解析

易混易錯(cuò)練

1.答案ABc平面CDE或AB〃平面CDE

解析由同=入而+u源（入，nGR）及共面向量定理可知向量與與向量而，而

共面,則直線AB可能在平面CDE內(nèi)，也可能和平面CDE平行.

易錯(cuò)警示在解題時(shí)易忽略空間向量是自由向量而弄錯(cuò)向量與線面的位置關(guān)系.

2.答案f

解析向量費(fèi)在向量砧T方向上的投影數(shù)量為

IAB|COS<I7Q,AS>=IAS|cos<71!Q,A^>=1Xcos45°=y.

練后反思1.向量a在向量b方向上的投影數(shù)量為|a|?cos〈a,b>,而向量b在

向量a方向上的投影數(shù)量是|b|cos〈a,b>,二者通常不等.

2.求一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影數(shù)量時(shí)，一般將兩向量的起點(diǎn)平移到同

一點(diǎn)，以便確定向量的夾角，然后利用向量的投影數(shù)量公式求解.

3.解析由已知得a?b=5X（-2）+3t-|=3t-p

因?yàn)閍與b的夾角為鈍角，所以a?b<0,

所以3t-f<0,即t<||.

若a與b的夾角為180°,則存在入<0,使a=、b,即（5,3,1）=入（-2芯

（5=a?（-2）,

所以3=a?t，所以

?㈢,5

故t的取值范圍為（-8廣§J

易錯(cuò)警示本題易忽略a?b〈0時(shí)包含a與b的夾角為180°的情況，所以需排除

該情況下參數(shù)的值.

4.A設(shè)所求角為9,0°W0W90°,則sin。=1cos<m,n>|=，所以。=30°.

5.解析（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

則A(0,0,0),B(2,0,0),D(l,1,0),Ax(0,0,4),G(0,2,4),.*.X1B=(2,0,-

4),Z7D=(1,-1,-4),

貝Ucos〈&B,QD>="^=——=——,

11M1B|U|C1D|V20XV1810

???異面直線AiB與3D所成角的余弦值為察.

10

⑵設(shè)平面ADCi的一個(gè)法向量為X(x,y,z),則丁?AD=0,m?AQ=0,

'：AD=(1,l,0),Iq=(0,2,4),

x+y=0且2y+4z=0,

令z=l,則y=-2,x=2,???6=(2,-2,1).

易知平面AAiB的一個(gè)法向量為n2=(0,1,0),

易知平面ADG與平面AAiB所成二面角的平面角為銳角，設(shè)為。，則cos

Q_凡?切_2_2

|町|也|V9X13'

??.sin。=y,故平面ADG與平面ABA1所成二面角的平面角的正弦值為當(dāng)

總結(jié)反思1.利用空間向量求線線角、線面角、二面角的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩條直

線的方向向量之間、直線的方向向量與平面的法向量之間、兩個(gè)平面的法向量

之間的角；

2.cos<a,垃二整是計(jì)算空間各種角的基礎(chǔ)，但應(yīng)注意所求角與兩向量夾角之間的

回網(wǎng)

關(guān)系及所求角的取值范圍.

6.解析(1)證明:在三棱柱ABC-ABG中,BB/CG.

因?yàn)锽B」平面AiEF,所以CC」平面AiEF,

又因?yàn)锳EAFu平面AiEF,

所以BBiJ_AECG_LAF,

所以NAiEB尸NAFCi=90°,

又因?yàn)镹ABE=NAiGF,AB=AC,

所以△AiEBiZ^AiFG,

所以A】E=AiF,BiE=CF,

因?yàn)锽iE〃CF,所以四邊形BiEFG為平行四邊形，

因?yàn)锽B」平面AiEF,EFc平面A【EF,

所以BB」EF,故四邊形BiEFG是矩形.

(2)取EF的中點(diǎn)G,連接A6,因?yàn)锳1E=A1F,所以M1EF.

因?yàn)锽B」平面AiEF,BBC平面BBCC,

所以平面AiEF,平面BBCC.

因?yàn)槠矫鍭JEFP平面BBQC=EF,A"EF,AGu平面AiEF,所以AG，平面BBGC,

取BC的中點(diǎn)H,連接GH,則GH±EF.

以G為坐標(biāo)原點(diǎn),GF,西,而分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)

系,如圖所示，

則4(0,V3,0),今,G(1,O,f),

所以V),41的=(1,一百,V).

設(shè)平面AB。的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),

7?AR-of-x-V3y+—z=0,

則竺^-仇即廣

<n*AG=0,1%-gy+-yZ=0,

令y=l,則n=(0,1,3),

易知平面AiEF的一個(gè)法向量為m=(0,0,1),

所以cos<n,m>=而而=幣或丁才，

故平面ABC1與平面A^F所成二面角的平面角的余弦值為察.

易錯(cuò)警示運(yùn)用“坐標(biāo)法”解答空間幾何問(wèn)題時(shí)，正確地建立空間直角坐標(biāo)系是

解題的關(guān)鍵.解題時(shí)，要依據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，充分利用圖形中的垂直關(guān)系

或構(gòu)造垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系.

思想方法練

1.解析如圖,取AC的中點(diǎn)E,連接EB',ED,由菱形的性質(zhì)及翻折前后的圖形特

征知EC,ED,EB'兩兩垂直，以EC,ED,EB'所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空

間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=2,則A(-1,0,0),C(1,0,0),D(0,g,0),B'(0,0,V3),

設(shè)平面B'CD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),

則n-￡C=0,

In?B'D=0.

Fr=(i,o,-V3),加=(o,V3,-V3),

x-V3z=0,

令z=V3,貝(Jy=V3,x=3,

^VSy-VSz=0,

即n=(3,V3,V3),

易知平面ACD的一個(gè)法向量為m=(0,0,1),

設(shè)二面角B'-CD-A的大小為。,

則|coso1上匚㈣=力_=￡

|n||m|V15xl5

易知二面角B'-CD-A為銳二面角，所以cos。4,即二面角B'-CD-A的平面角的

余弦值為

思想方法利用數(shù)形結(jié)合思想解決立體幾何中的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，通?？山⒖臻g直

角坐標(biāo)系，借助空間向量的相關(guān)計(jì)算來(lái)完成幾何問(wèn)題的求解.

2.A以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AQ所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,則A(0,0,0),E(1,0,0),F(2,1,0),設(shè)

M(0,m,2)(0WmW2),所以俞=(-l,m,2),XF=(2,1,0),

所以cos9=|cos<EM,AF>\=^1,

Vr5+m2xVr5

將異面直線EM與AF夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的函數(shù).

令t=2-m,tW[0,2],則當(dāng)t=0時(shí)，cos。=0,

當(dāng)作（°,見(jiàn)時(shí)，as0=7=^

11

通過(guò)換元,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求關(guān)于t的函數(shù)以求得最值.

因?yàn)榫揲L(zhǎng),所以當(dāng)分,即m=0時(shí),cos。取得最大值|,因此cos。的最大值為|.

故選A.

3.解析以A為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

貝ljDtCO,1,V3),C(1,1,0).

設(shè)E(t,0,0)(OWtWl),

貝ljDiE="2+i+3=舊"*

2

CE-7(l-t)2+l=V(t-l)+1,

故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求V"+4+J(t-l)2+1的最小值問(wèn)題，

即轉(zhuǎn)化為求平面直角坐標(biāo)系tOu中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P(t,O)到兩定點(diǎn)M(o,-2),N(1,1)

的距離之和的最小值問(wèn)題,如圖所示.

由此可知，當(dāng)M,P,N三點(diǎn)共線時(shí)，(DiE+CE)m『[QH+

+l]min=IMNI=<T9=V10.

思想方法立體幾何中的轉(zhuǎn)化與化歸思想，主要體現(xiàn)為：(1)幾何內(nèi)部知識(shí)的轉(zhuǎn)化,

如線面平行與面面平行，平行與垂直之間的轉(zhuǎn)化等；(2)空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題

（如第3題）；（3）幾何中的位置關(guān)系與數(shù)量計(jì)算轉(zhuǎn)化為有關(guān)向量的計(jì)算，如兩直線

垂直轉(zhuǎn)化為兩直線對(duì)應(yīng)的方向向量的數(shù)量積為0,異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩對(duì)

應(yīng)向量的夾角等（如第2題）.

4.A以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

則GQ,O,I),E(O,I,0,

設(shè)D(0,y,0),F(x,0,0),

貝IJ詼前二(%廣1，4),

VGDXEF,：.GD?EF=0,

MP-|x-y+|=0,即x+2y=l,

又-2y〈l,.?.0〈丫《.

又|DF|=Jx2+y2=7(l-2y)2+y2=j5y2-4y+1(0<y<0,

構(gòu)建關(guān)于y的二次函數(shù),從而確定范圍.

*"?當(dāng)y=|時(shí),IDF|min=，5x,-?+1=今；

□7Z5□5

當(dāng)y=0時(shí)，|DF|=1;

當(dāng)y1時(shí)JDF1=1，

故線段DF的長(zhǎng)度的取值范圍為憐1).

故選A.

5.A根據(jù)題意，以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建

立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.

設(shè)DP=x(0WxW5),

易得P(0,2,x),Ai(O,0,5),C(1,2,0).

由空間中兩點(diǎn)之間的距離公式可得

AxP=74+(%-5)2=Vx2-10x+29,

2

PC=V1+x,A1C=V30,

故在aPAiC中，由余弦定理可得

71J>2+PC2-71C2

cosZAiPC=11

2A1PXPC

x2-5x

VX2-10X+29XV1+X2>

貝ijsinNAFC=1-cos2"PC

_V5X2-10X+29

7(X2-10X+29)(X2+1)'

故S人4p「二%PXPCXsin/AiPC

2

=jxV%M0x29X<T^XV5X-10X+29

+7(%2-10X+29)(X2+1)

=|V5x2-10x+29=|J5(%-1)2+24,

利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解面積的最值.

當(dāng)且僅當(dāng)