教學(xué)設(shè)計(jì)：正弦定理

正弦定理一、教學(xué)內(nèi)容分析：《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書·數(shù)學(xué)(必修5)》(人教A版)第一章《解三角形》：“正弦定理和余弦定理”的第1課。“解三角形”既是高中數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，又有較強(qiáng)的應(yīng)用性，在這次課程改革中，被保留下來(lái)，并獨(dú)立成為一章。解三角形作為幾何度量問題，應(yīng)突出幾何的作用和數(shù)量化的思想，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)。本課“正弦定理”，作為單元的起始課，為后續(xù)內(nèi)容作知識(shí)與方法的準(zhǔn)備，是在學(xué)生已有的三角函數(shù)及向量知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系作量化探究，發(fā)現(xiàn)并掌握正弦定理（重要的解三角形工具），解決簡(jiǎn)單的三角形度量問題。教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，通過(guò)探索發(fā)現(xiàn)、合情推理與演繹證明的過(guò)程，提高學(xué)生的思辨能力。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析：由于本課內(nèi)容和一些與測(cè)量、幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題相關(guān)，教學(xué)中若能注意課程與生活實(shí)際的聯(lián)系，注重知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，定能激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。當(dāng)然本課涉及代數(shù)推理，定理證明中可能涉及多方面的知識(shí)方法，綜合性強(qiáng)，學(xué)生學(xué)習(xí)方面有一定困難。三、設(shè)計(jì)思想：定理教學(xué)中有一種簡(jiǎn)陋的處理方式：簡(jiǎn)單直接的定理呈現(xiàn)、照本宣科的定理證明，然后是大劑量的“復(fù)制例題”式的應(yīng)用練習(xí)。本課采用實(shí)驗(yàn)探究、自主學(xué)習(xí)、合作交流的研究性學(xué)習(xí)方式，重點(diǎn)放在定理的形成、證明的探究及定理基本應(yīng)用上，努力挖掘定理教學(xué)中蘊(yùn)涵的思維價(jià)值。從實(shí)際問題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題，最后把所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題。四、教學(xué)目標(biāo)：讓學(xué)生從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā),通過(guò)對(duì)特殊三角形邊角間數(shù)量關(guān)系的探求，發(fā)現(xiàn)正弦定理；再由特殊到一般，從定性到定量，探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，猜想，比較，推導(dǎo)正弦定理，由此培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思考能力；培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想與引申的能力，探索的精神與創(chuàng)新的意識(shí)，同時(shí)通過(guò)三角函數(shù)、向量與正弦定理等知識(shí)間的聯(lián)系來(lái)幫助學(xué)生初步樹立事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一的唯物主義觀點(diǎn)。五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：本節(jié)課的重點(diǎn)是正弦定理的探索、證明及其基本應(yīng)用；難點(diǎn)是正弦定理應(yīng)用中“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形，判斷解的個(gè)數(shù)”，以及邏輯思維能力的培養(yǎng)。435mC435mCBA（一）創(chuàng)設(shè)情境:問題1、在建設(shè)水口電站閩江橋時(shí),需預(yù)先測(cè)量橋長(zhǎng)AB,于是在江邊選取一個(gè)測(cè)量點(diǎn)C,測(cè)得CB=435m,∠CBA=,∠BCA=。由以上數(shù)據(jù)，能測(cè)算出橋長(zhǎng)AB嗎？這是一個(gè)什么數(shù)學(xué)問題?引出：解三角形——已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程。[設(shè)計(jì)意圖：從實(shí)際問題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題。]師：解三角形，需要用到許多三角形的知識(shí)，你對(duì)三角形中的邊角知識(shí)知多少？生：······，“大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角”師：“a＞b＞c←→A＞B＞C”，這是定性地研究三角形中的邊角關(guān)系，我們能否更深刻地、從定量的角度研究三角形中的邊角關(guān)系？引出課題：“正弦定理[設(shè)計(jì)意圖：從聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過(guò)去的問題，使學(xué)生對(duì)于過(guò)去的知識(shí)有了新的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使新知識(shí)建立在已有知識(shí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)。]（二）猜想、實(shí)驗(yàn)：1、發(fā)散思維，提出猜想：從定量的角度考察三角形中的邊角關(guān)系，猜想可能存在哪些關(guān)系？[學(xué)情預(yù)設(shè)：此處，學(xué)生根據(jù)已有知識(shí)“a＞b＞c←→A＞B＞C”，可能出現(xiàn)以下答案情形。如a/A=b/B=c/C,a/sinA=b/sinB=c/sinC,a/cosA=b/cosB=c/cosC,a/tanA=b/tanB=c/tanC，······等等。][設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，猜想也是一種數(shù)學(xué)能力]2、研究特例，提煉猜想：考察等邊三角形、特殊直角三角形的邊角關(guān)系，提煉出a\sinA=b\sinB=c\sinC。3、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，完善猜想：這一關(guān)系式在任一三角形中是否成立呢？請(qǐng)學(xué)生以量角器、刻度尺、計(jì)算器為工具，對(duì)一般三角形的上述關(guān)系式進(jìn)行驗(yàn)證，教師用幾何畫板演示。在此基礎(chǔ)上，師生一起得出猜想，即在任意三角形中，有a\sinA=b\sinB=c\sinC。[設(shè)計(jì)意圖：著重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問題的探究意識(shí)和動(dòng)手實(shí)踐能力]（三）證明探究：對(duì)此猜想，據(jù)以上直觀考察，我們感情上是完全可以接受的，但數(shù)學(xué)需要理性思維。如何通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理，證明正弦定理呢？1、特殊入手，探究證明：在初中，我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形，下面就首先來(lái)探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,，根據(jù)銳角的正弦函數(shù)的定義，有，，又,則，從而在直角三角形ABC中，。2、推廣拓展，探究證明：?jiǎn)栴}2：在銳角三角形ABC中，如何構(gòu)造、表示“a與、b與sinB”的關(guān)系呢？探究1：能否構(gòu)造直角三角形，將問題化歸為已知問題？。2、例題分析例1．在中，已知，，cm，解三角形。評(píng)述：定理的直接應(yīng)用，對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。例2．在中，已知，解三角形（角度精確到，邊長(zhǎng)精確到1cm）。評(píng)述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。課后思考：已知三角形的兩邊一角，這個(gè)三角形能唯一確定嗎？為什么？3、課堂練習(xí)：（1）、引題（問題1）（2）、在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件[設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)二個(gè)課堂練習(xí)，練習(xí)（1）目的是首尾呼應(yīng)、學(xué)以致用；練習(xí)（2）則是將正弦定理、簡(jiǎn)易邏輯與平面幾何知識(shí)整合，及時(shí)鞏固定理，運(yùn)用定理。]（五）課堂小結(jié)：?jiǎn)栴}5：請(qǐng)同學(xué)們用一句話表述學(xué)習(xí)本課的收獲和感受。生1：原來(lái)我只會(huì)解直角三角形，現(xiàn)在我會(huì)解一般三角形了師：通過(guò)本課學(xué)習(xí)，你發(fā)現(xiàn)自己更強(qiáng)大了。生2：原來(lái)我以為正弦定理的證明，只有書上一種方法，今天我們學(xué)到了課本以外的眾多方法。師：我們學(xué)習(xí)過(guò)兩個(gè)重要數(shù)學(xué)工具，即三角函數(shù)與平面向量，正弦定理的證明充分展示了它們的妙用。生3：公式很美。師：美在哪里？生3：體現(xiàn)了公式的對(duì)稱美，和諧美······在同學(xué)們的熱烈討論的基礎(chǔ)上，用課件展示小結(jié)：1、在正弦定理的發(fā)現(xiàn)及其證明中，蘊(yùn)涵了豐富的思想方法，既有由特殊到一般的歸納思想，又有嚴(yán)格的演繹推理。在定理證明中我們從直觀幾何角度、向量運(yùn)算角度探求了數(shù)學(xué)工具的多樣性。2、正弦定理反映了邊與其對(duì)角正弦成正比的規(guī)律,據(jù)此，可以用角的正弦替代對(duì)邊，具有美學(xué)價(jià)值3、利用正弦定理解決三類三角形問題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角。（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角。（3）實(shí)現(xiàn)邊與角的正弦的互化。[設(shè)計(jì)意圖：通常，課堂小結(jié)均由老師和盤托出，學(xué)生接受現(xiàn)成的結(jié)論。本設(shè)計(jì)充分發(fā)揮學(xué)生思維參與的主動(dòng)性和創(chuàng)造性，師生合作，讓課堂小結(jié)成為點(diǎn)睛之筆。]（六）作業(yè)布置：1、書面作業(yè)：P10習(xí)題1.11、22、研究類作業(yè)：1）在鈍角三角形中探求證明定理的不同方法。2）在△ABC中，，研究k的幾何意義3）已知三角形的兩邊一角，這個(gè)三角形能唯一確定嗎？[設(shè)計(jì)意圖：對(duì)問題3），根據(jù)分散難點(diǎn)，循序漸進(jìn)原則，在例2中初步涉及，在課后讓學(xué)生先行思考，在“正、余弦定理”第三課時(shí)中予以下圖的剖析闡述。]bbabababaa已知邊阿aa,b和A僅有一個(gè)解有兩個(gè)解僅有一個(gè)解無(wú)解解abCH=bsinA<a<ba=CH=bsinAAa<CH=bsinAAACHACB1ABACB2CHHH七、教學(xué)反思：1、本課就新課程理念下定理教學(xué)課的課堂模式，做了一些探索。以問題解決為中心，通過(guò)提出問題，完善問題，解決問題，拓展問題，采用實(shí)驗(yàn)探究、自主學(xué)習(xí)的研究性學(xué)習(xí)方式，重點(diǎn)放在定理的形成與證明的探究上，努力挖掘定理教學(xué)中蘊(yùn)涵的思維價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力。改變了定理教學(xué)中簡(jiǎn)陋的處理方式（簡(jiǎn)單直接呈現(xiàn)、照本宣科證明，大劑量的“復(fù)制例題”式的應(yīng)用練習(xí)）。2、“用教材教，而不是教教材”，盡管教材中對(duì)本課知識(shí)方法的要求并不高，只介紹了通過(guò)作高將一般三角形變換為直角三角形，再將三角比變換得到等式的化歸方法，但教學(xué)不僅是忠實(shí)執(zhí)行課程標(biāo)準(zhǔn)，而且是師生共同開發(fā)課程，將教材有機(jī)裁剪，并融入個(gè)性見解的過(guò)程。如在正弦定理的證明探究中，學(xué)生完全可能圍繞“如何構(gòu)造直角三角形？”，八方聯(lián)系，廣泛聯(lián)想，分別應(yīng)用平面幾何四點(diǎn)共圓、向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量的坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)方法。本課設(shè)計(jì)充分預(yù)設(shè)各種課堂生