廣東省茂名市信宜市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期高一期中考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號填寫在答題卡指定的位置上.2.選擇題用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單項(xiàng)選擇題：共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的定義得出答案.【詳解】復(fù)數(shù)的虛部是故選：B2.已知向量滿足（2，1），（1，y），且，則＝（）A. B. C.5 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，由此求得，根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示求得正確答案.詳解】根據(jù)題意，（2，1），（1，y），且，則有2+y＝0，解可得y＝﹣2，即（1，﹣2），則（4，﹣3），故5；故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量垂直和模的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.3.已知，是兩個(gè)不共線的單位向量，，，若與共線，則（）A.2 B.4 C.-4 D.-2【答案】C【解析】【分析】利用向量共線定理，即可列出方程組，則可求出答案.【詳解】因?yàn)榕c共線，所以，所以，所以解得故選：C.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用降冪公式，化簡求值.【詳解】，解得：.故選：B5.在中，，則（）A.1 B. C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】利用內(nèi)角和求出，借助正弦定理代入即可求解.【詳解】,由正弦定理得，，所以，，解得，，故選：A.6.函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)的圖象求出函數(shù)的解析式，然后再根據(jù)函數(shù)的解析式求，最后求出的值.【詳解】由圖象可知，，得，所以，所以，，又因?yàn)樵诤瘮?shù)的圖象上，所以，，又因?yàn)?，所以，所以，將函?shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，得，所以，.故選：B7.如圖，是等邊三角形，D在線段BC上，且，E為線段AD上一點(diǎn)，若與的面積相等，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，可得E為AD中點(diǎn)，根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，即可得答案.【詳解】∵D在線段BC上，且，∴，又E為線段AD上一點(diǎn)，若與的面積相等，∴，則E為AD的中點(diǎn)，又，，所以，故選：D8.2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會，會標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的．弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）.如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，那么的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由直角三角形中的三角函數(shù)定義列出關(guān)于的等式結(jié)合平方關(guān)系求得，然后由正弦的二倍角公式計(jì)算．【詳解】由題意大正方形邊長為5，小正方形邊長為1，所以，又，且為銳角，可解得，，所以．故選：A．二、多項(xiàng)選擇題：共3小題，每小題6分，共18分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分.9.下列各式中值為的是（）．A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】選項(xiàng)A利用二倍角的正弦求值；選項(xiàng)B利用二倍角的余弦求值；選項(xiàng)C逆用兩角差的正弦公式求值；選項(xiàng)D利用兩角和的正切公式求值.【詳解】因?yàn)?，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)?，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)?，整理得，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AC.10.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，原點(diǎn)為，為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（）A.若，則或B.C.方程，的根是D.若，則點(diǎn)的集合所構(gòu)成的圖形的面積為π【答案】CD【解析】【分析】模為的復(fù)數(shù)有無數(shù)個(gè)，據(jù)此可以判斷；虛數(shù)不能比較大小，據(jù)此可以判斷；選項(xiàng)用求根公式解方程的虛根即可；根據(jù)復(fù)數(shù)的模表示的幾何意義，即可判斷選項(xiàng).【詳解】對于A，若，則，所以A錯(cuò)誤；對于B，虛數(shù)和向量一樣不能比較大小，所以B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，所以方程有兩個(gè)虛根，因?yàn)?，所以，所以，所以C正確；對于D，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)的集合所構(gòu)成的圖形是半徑分別為所圍成的圓環(huán)，其的面積為，所以D正確.故選：CD11.在中，有如下四個(gè)命題，其中正確的是（）A.若，則為銳角三角形B.內(nèi)一點(diǎn)G滿足，則G是的重心C.若，則的形狀為等腰三角形D.內(nèi)一點(diǎn)P滿足，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算公式和線性運(yùn)算公式化簡向量關(guān)系式判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】由可得，所以，由此僅可得為銳角，但可能為鈍角三角形，A錯(cuò)，設(shè)的中點(diǎn)為，由可得，所以，所以G是的重心,B對，由可得，所以，由此可得的形狀為直角三角形，C錯(cuò)，由可得，即，故，D對，故選：BD.三、填空題：共3小題，每小題5分，共15分.12.已知角的終邊過點(diǎn)，則的值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解，再根據(jù)誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】已知角的終邊過點(diǎn)，則，所以.故答案：.13.設(shè)向量,，若，則___________．【答案】3【解析】【分析】由可得，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)?，由可得，解得；故答案為：3．14.在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C對邊，若，在方向上的投影是的，△ABC的面積為，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理求出角A，結(jié)合向量投影，建立b，c邊長關(guān)系，通過已知三角形面積求出b，c具體值，再用余弦定理求得a.【詳解】解：由正弦定理，將原式，化為，因?yàn)樗栽交啚椋驗(yàn)?，所以，因?yàn)?，所?又因?yàn)樵诜较蛏贤队笆堑模?，即，因?yàn)?，解?由余弦定理可得：，所以.故答案為：.四、解答題：共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知，．（1）求的值；（2）求值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，，得到，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可求出的值；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡，代入，即可得到答案.【小問1詳解】由題意有，，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?【小問2詳解】，又由（1）可得，所以，故的值為.16.已知向量?.（1）當(dāng)?時(shí)，求向量?與?的夾角;（2）求?的最大值.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）求出兩向量的數(shù)量積，再根據(jù)?即可得解；（2）求出坐標(biāo)，再根據(jù)向量的模的坐標(biāo)表示結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【小問1詳解】解：當(dāng)?時(shí)，?，?，設(shè)?與?的夾角為?，則?，而?，，即?與?的夾角為?；【小問2詳解】解：?，?，?當(dāng)時(shí)，取等號，?的最大值為?.17.在銳角三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，向量，，且．（1）求角A（2）若c＝2，且△ABC的面積為，求AC邊上的中線BM的大?。敬鸢浮浚?）（2）【解析】【分析】（1）由向量平行的坐標(biāo)表示可得，再由正弦定理化角即可得解；（2）根據(jù)面積公式可得，在中再由余弦定理求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，，，所以．由正弦定理得．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以；【小?詳解】因?yàn)椤鰽BC的面積為．所以．因?yàn)閏＝2．．所以．在三角形ABM中，∵M(jìn)為AC的中點(diǎn)．∴，由余弦定理得．所以．18.己知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值，并指出取得最值時(shí)的值.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2）時(shí)，有，時(shí)，有.【解析】【分析】（1）利用輔助角公式先化簡函數(shù)式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求單調(diào)區(qū)間即可；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，利用整體代換思想及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計(jì)算最值即可.【小問1詳解】，令，，得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；【小問2詳解】因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有.19.在中，角所對的邊分別是，且滿足（1）求角；（2）如圖，若外接圓半徑為，為的中點(diǎn)，且，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角和兩角和差正弦公式可化簡已知等式求得，由此可得；（2）利用正弦定理可求得，由余弦定理可得；方法一：根據(jù)，利用余弦定理可得，根據(jù)可求得，進(jìn)而得到