2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第15章概率章末綜合測(cè)評(píng)含解析蘇教版必修第二冊(cè)

PAGE章末綜合測(cè)評(píng)(七)概率(時(shí)間：120分鐘，滿分：150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為()A．134石B．169石C．338石D．1365石B[因?yàn)闃悠分忻變?nèi)夾谷的比例為eq\f(28,254)，所以這批米內(nèi)夾谷為1534×eq\f(28,254)≈169(石)．]2．若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為()A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7B[某群體中的成員分為只用現(xiàn)金支付、既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付、不用現(xiàn)金支付，它們彼此是互斥事務(wù)，所以不用現(xiàn)金支付的概率為1－(0.15＋0.45)＝0.4.]3．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參與演講競(jìng)賽，事務(wù)“至少有一名女生”與事務(wù)“全是男生”()A．是互斥事務(wù)，不是對(duì)立事務(wù)B．是對(duì)立事務(wù)，不是互斥事務(wù)C．既是互斥事務(wù)，也是對(duì)立事務(wù)D．既不是互斥事務(wù)也不是對(duì)立事務(wù)C[“至少有一名女生”包括“一男一女”和“兩名女生”兩種狀況，這兩種狀況再加上“全是男生”構(gòu)成全集，且不能同時(shí)發(fā)生，故“至少有一名女生”與“全是男生”既是互斥事務(wù)，也是對(duì)立事務(wù)．]4．拋擲一顆質(zhì)地勻稱的骰子，視察擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事務(wù)A為“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事務(wù)B為“出現(xiàn)2點(diǎn)”，已知P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，則“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)”的概率為()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)D[∵“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)2點(diǎn)”兩事務(wù)互斥，∴P＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).]5．2024年暑假里，甲乙兩人一起去游泰山，他們約定，各自獨(dú)立地從1到6號(hào)景點(diǎn)中任選4個(gè)進(jìn)行巡游，每個(gè)景點(diǎn)參觀1小時(shí)，則最終1小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的概率是()A．eq\f(1,36) B．eq\f(1,9)C．eq\f(5,36) D．eq\f(1,6)D[最終一個(gè)景點(diǎn)甲有6種選法，乙有6種選法，共有36種，他們選擇相同的景點(diǎn)有6種，所以P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，所以選D．]6．容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻率為()A．0.35 B．0.45C．0.55 D．0.65B[由表知[10,40)的頻數(shù)為2＋3＋4＝9，所以樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻率為eq\f(9,20)＝0.45.]7．兩名同學(xué)分3本不同的書，其中一人沒(méi)有分到書，另一人分得3本書的概率為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,6)B[兩名同學(xué)分3本不同的書，試驗(yàn)的樣本空間為Ω＝{(0,3)，(1a,2)，(1b,2)，(1c,2)，(2,1a)，(2,1b)，(2,1c)，(3,0)}，共8個(gè)樣本點(diǎn)，其中一人沒(méi)有分到書，另一人分到3本書的樣本點(diǎn)有2個(gè)，∴一人沒(méi)有分到書，另一人分得3本書的概率P＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4).]8．端午節(jié)放假，甲回老家過(guò)節(jié)的概率為eq\f(1,3)，乙、丙回老家過(guò)節(jié)的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,5).假定三人的行動(dòng)相互之間沒(méi)有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少1人回老家過(guò)節(jié)的概率為()A．eq\f(59,60) B．eq\f(3,5)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,60)B[“甲、乙、丙回老家過(guò)節(jié)”分別記為事務(wù)A，B，C，則P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,4)，P(C)＝eq\f(1,5)，所以P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(3,4)，P(eq\x\to(C))＝eq\f(4,5).由題知A，B，C為相互獨(dú)立事務(wù)，所以三人都不回老家過(guò)節(jié)的概率P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))·P(eq\x\to(C))＝eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(4,5)＝eq\f(2,5)，所以至少有一人回老家過(guò)節(jié)的概率P＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).]二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分)9．甲、乙兩人做嬉戲，下列嬉戲中公允的是()A．拋一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)則甲勝，向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)則乙勝B．同時(shí)拋兩枚相同的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之和大于7則甲勝，否則乙勝C．從一副不含大、小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色則甲勝，是黑色則乙勝D．甲，乙兩人各寫一個(gè)數(shù)字，若是同奇或同偶則甲勝，否則乙勝ACD[對(duì)于A、C、D甲勝，乙勝的概率都是eq\f(1,2)，嬉戲是公允的；對(duì)于B，點(diǎn)數(shù)之和大于7和點(diǎn)數(shù)之和小于7的概率相等，但點(diǎn)數(shù)等于7時(shí)乙勝，所以甲勝的概率小，嬉戲不公允．故選ACD．]10．在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，彼此互斥的事務(wù)A，B，C，D的概率分別是0.2,0.2,0.3,0.3，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．A＋B與C是互斥事務(wù)，也是對(duì)立事務(wù)B．B＋C與D是互斥事務(wù)，也是對(duì)立事務(wù)C．A＋C與B＋D是互斥事務(wù)，但不是對(duì)立事務(wù)D．A與B＋C＋D是互斥事務(wù)，也是對(duì)立事務(wù)ABC[由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一個(gè)必定事務(wù)，故其事務(wù)的關(guān)系可由如圖所示的Venn圖表示，由圖可知，任何一個(gè)事務(wù)與其余3個(gè)事務(wù)的和事務(wù)必定是對(duì)立事務(wù)，任何兩個(gè)事務(wù)的和事務(wù)與其余兩個(gè)事務(wù)的和事務(wù)也是對(duì)立事務(wù)，故選ABC．]11.給出下列四個(gè)命題，其中屬于假命題的是()A．有一大批產(chǎn)品，已知次品率為10%，從中任取100件，必有10件是次品B．做7次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此正面出現(xiàn)的概率是eq\f(3,7)C．某箱內(nèi)有十張標(biāo)有數(shù)字0到9的卡片，任取一張，則取到卡片上的數(shù)字不小于6的概率是eq\f(2,5)D．隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的概率ABD[A錯(cuò)，不肯定是10件次品；B錯(cuò)，eq\f(3,7)是頻率而非概率；對(duì)于C，數(shù)字不小于6有6,7,8,9共4個(gè)樣本點(diǎn)，而試驗(yàn)空間中樣本點(diǎn)的總數(shù)為10，故P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).所以C正確；D錯(cuò)，頻率不等于概率，這是兩個(gè)不同的概念．]12．已知：隨機(jī)事務(wù)A發(fā)生的概率為P(A)＝0.4，則下列說(shuō)法正確的是()A．若P(A＋B)＝0.7，則P(B)＝0.3B．若A，B為互斥事務(wù)，P(A＋B)＝0.7,P(B)＝0.3C．若P(A)＝0.4，P(AB)＝0.24，則P(B)＝0.6D．若A，B為相互獨(dú)立事務(wù)，P(A)＝0.4，P(Aeq\x\to(B))＝0.24，則A、B中最多一個(gè)發(fā)生的概率為0.84BD[∵A，B為互斥事務(wù)，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，∴P(B)＝P(A＋B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.所以A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，只有A，B為相互獨(dú)立事務(wù)，結(jié)論才成立，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，∵A，B為相互獨(dú)立事務(wù)，∴A、eq\x\to(B)為相互獨(dú)立事務(wù)，因?yàn)镻(A)＝0.4，P(Aeq\x\to(B))＝0.24，所以P(Aeq\x\to(B))＝P(A)P(eq\x\to(B))，所以P(eq\x\to(B))＝0.6，由對(duì)立事務(wù)的概率公式得P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－0.6＝0.4，事務(wù)D“A、B中最多一個(gè)發(fā)生”的對(duì)立事務(wù)eq\x\to(D)為“A、B同時(shí)發(fā)生”，所以P(D)＝1－P(eq\x\to(D))＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－0.16＝0.84，所以D正確．故選BD]三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)13．電子鐘一天顯示的時(shí)間是從00：00到23：59，每一時(shí)刻都由四個(gè)數(shù)字組成，則一天中任一時(shí)刻顯示的四個(gè)數(shù)字之和為23的概率為_______．eq\f(1,360)[當(dāng)“時(shí)”的兩位數(shù)字的和小于9時(shí)，則“分”的那兩位數(shù)字和要求超過(guò)14，這是不行能的．所以只有“時(shí)”的和為9(即“09”或“18”)，“分”的和為14(“59”)；或者“時(shí)”的和為10(即“19”)，“分”的和為13(“49”或“58”)．共計(jì)有4種狀況．因一天24小時(shí)共有24×60分鐘，所以概率P＝eq\f(4,24×60)＝eq\f(1,360).]14．設(shè)a是從集合{1,2,3,4}中隨機(jī)取出的一個(gè)數(shù)，b是從集合{1,2,3}中隨機(jī)取出的一個(gè)數(shù)，構(gòu)成一個(gè)基本領(lǐng)件(a，b)．記“這些基本領(lǐng)件中，滿意logba≥1”為事務(wù)E，則E發(fā)生的概率是________．eq\f(5,12)[試驗(yàn)發(fā)生包含的事務(wù)是分別從兩個(gè)集合中取1個(gè)數(shù)字，共有4×3＝12種結(jié)果，滿意條件的事務(wù)是滿意logba≥1，可以列舉出全部的事務(wù)，當(dāng)b＝2時(shí)，a＝2,3,4，當(dāng)b＝3時(shí)，a＝3,4，共有3＋2＝5個(gè)，∴依據(jù)古典概型的概率公式得E發(fā)生的概率是eq\f(5,12).]15．某活動(dòng)小組為了估計(jì)裝有5個(gè)白球和若干個(gè)紅球(每個(gè)球除顏色外都相同)的袋中紅球接近多少個(gè)，在不將袋中球倒出來(lái)的狀況下，分小組進(jìn)行摸球試驗(yàn)，兩人一組，共20組進(jìn)行摸球試驗(yàn)．其中一位學(xué)生摸球，另一位學(xué)生記錄所摸球的顏色，并將球放回袋中搖勻，每一組做400次試驗(yàn)，匯兌起來(lái)后，摸到紅球次數(shù)為6000次．(1)估計(jì)從袋中隨意摸出一個(gè)球，恰好是紅球的概率是________；(2)請(qǐng)你估計(jì)袋中紅球接近________個(gè)．eq\f(3,4)；15[(1)∵20×400＝8000，∴摸到紅球的概率為：eq\f(6000,8000)＝0.75，因?yàn)樵囼?yàn)次數(shù)很大，大量試驗(yàn)時(shí)，頻率接近于理論概率，所以估計(jì)從袋中隨意摸出一個(gè)球，恰好是紅球的概率是eq\f(3,4)；(2)設(shè)袋中紅球有x個(gè)，依據(jù)題意得：eq\f(x,x＋5)＝0.75，解得x＝15，經(jīng)檢驗(yàn)x＝15是原方程的解．∴估計(jì)袋中紅球接近15個(gè)．]16．將號(hào)碼分別為1,2，…，9的九個(gè)小球放入一個(gè)袋中，這些小球僅號(hào)碼不同，其余完全相同，甲從袋中一次摸出兩個(gè)球，其號(hào)碼為x，y，則使不等式x＋y＞14成立的事務(wù)A發(fā)生的概率等于________．乙從今袋中先后摸出兩只球，第一次摸出的球號(hào)碼為a；放回后，再?gòu)慕翊性倜鲆粋€(gè)球，號(hào)碼為b，則使不等式a＋b＞14成立的事務(wù)B發(fā)生的概率等于________．eq\f(1,9)eq\f(10,81)[甲從袋中一次摸出兩個(gè)球，其樣本空間為Ω1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(7,8)，(7,9)，(8,9)}；共有8＋7＋6＋…＋2＋1＝36個(gè)樣本點(diǎn)，使不等式x＋y＞14成立的事務(wù)A＝{(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,9)}，所以該事務(wù)發(fā)生的概率為P(A)＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9)；乙從今袋中先后摸出兩只球，其樣本空間為Ω2＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(9,7)，(9,8)，(9,9)}，共81個(gè)樣本點(diǎn)．使不等式a＋b＞14成立的事務(wù)B＝{(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,7)，(8,8)，(8,9)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,9)}，所以該事務(wù)發(fā)生的概率為P(B)＝eq\f(10,81).]四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)某城市有甲、乙兩種報(bào)紙供居民訂閱，記事務(wù)A為“只訂甲報(bào)紙”，事務(wù)B為“至少訂一種報(bào)紙”，事務(wù)C為“至多訂一種報(bào)紙”，事務(wù)D為“不訂甲報(bào)紙”，事務(wù)E為“一種報(bào)紙也不訂”．推斷下列每對(duì)事務(wù)是不是互斥事務(wù)；假如是，再推斷它們是不是對(duì)立事務(wù)．(1)A與C；(2)B與E；(3)B與C；(4)C與E.[解](1)由于事務(wù)C“至多訂一種報(bào)紙”中有可能“只訂甲報(bào)紙”，即事務(wù)A與事務(wù)C有可能同時(shí)發(fā)生，故A與C不是互斥事務(wù)．(2)事務(wù)B“至少訂一種報(bào)紙”與事務(wù)E“一種報(bào)紙也不訂”是不行能同時(shí)發(fā)生的，故B與E是互斥事務(wù)．由于事務(wù)B不發(fā)生可導(dǎo)致事務(wù)E肯定發(fā)生，且事務(wù)E不發(fā)生會(huì)導(dǎo)致事務(wù)B肯定發(fā)生，故B與E還是對(duì)立事務(wù)．(3)事務(wù)B“至少訂一種報(bào)紙”中有這些可能：“只訂甲報(bào)紙”“只訂乙報(bào)紙”“訂甲、乙兩種報(bào)紙”，事務(wù)C“至多訂一種報(bào)紙”中有這些可能：“一種報(bào)紙也不訂”“只訂甲報(bào)紙”“只訂乙報(bào)紙”，由于這兩個(gè)事務(wù)可能同時(shí)發(fā)生，故B與C不是互斥事務(wù)．(4)由(3)的分析，事務(wù)E“一種報(bào)紙也不訂”是事務(wù)C的一種可能，即事務(wù)C與事務(wù)E有可能同時(shí)發(fā)生，故C與E不是互斥事務(wù)．18．(本小題滿分12分)某同學(xué)參與科普學(xué)問(wèn)競(jìng)賽，需回答3個(gè)問(wèn)題，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：答對(duì)第1,2,3個(gè)問(wèn)題分別得100分，100分，200分，答錯(cuò)得零分．假設(shè)這名同學(xué)答對(duì)第1,2,3個(gè)問(wèn)題的概率分別為0.8,0.7,0.6.且各題答對(duì)與否相互之間沒(méi)有影響．(1)求這名同學(xué)得300分的概率；(2)求這名同學(xué)至少得300分的概率．[解]記“這名同學(xué)答對(duì)第i個(gè)問(wèn)題”為事務(wù)Ai(i＝1,2,3)，則P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.(1)這名同學(xué)得300分的概率為：P1＝P(A1eq\x\to(A)2A3)＋P(eq\x\to(A)1A2A3)＝P(A1)P(eq\x\to(A)2)P(A3)＋P(eq\x\to(A)1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.(2)這名同學(xué)至少得300分的概率為：P2＝P1＋P(A1A2A3)＝P1＋P(A1)P(A2)P(A3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.19．(本小題滿分12分)隨機(jī)抽取一個(gè)年份，對(duì)南京市該年4月份的天氣狀況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：日期123456789101112131415天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴陰晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天氣晴陰雨陰陰晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估計(jì)南京市在該天不下雨的概率；(2)南京市某學(xué)校擬從4月份的一個(gè)晴天起先實(shí)行連續(xù)2天的運(yùn)動(dòng)會(huì)，估計(jì)運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率．[解](1)在容量為30的樣本中，不下雨的天數(shù)是26，以頻率估計(jì)概率，4月份任選一天，南京市不下雨的概率為P＝eq\f(26,30)＝eq\f(13,15).(2)稱相鄰的兩個(gè)日期為“互鄰日期對(duì)”(如，1日與2日，2日與3日等)，這樣，在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對(duì)有16個(gè)，其中后一天不下雨的有14個(gè)，所以晴天的次日不下雨的頻率為eq\f(7,8)，以頻率估計(jì)概率，運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率為eq\f(7,8).20．(本小題滿分12分)有7位歌手(1至7號(hào))參與一場(chǎng)歌頌競(jìng)賽，由500名大眾評(píng)委現(xiàn)場(chǎng)投票確定歌手名次，依據(jù)年齡將大眾評(píng)委分為五組，各組的人數(shù)如下：組別ABCDE人數(shù)5010015015050(1)為了調(diào)查大眾評(píng)委對(duì)7位歌手的支持狀況，現(xiàn)用分層抽樣方法從各組中抽取若干名大眾評(píng)委，其中從B組中抽取了6人．請(qǐng)將其余各組抽取的人數(shù)填入下表．組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)6(2)在(1)中，若A，B兩組被抽到的大眾評(píng)委中各有2人支持1號(hào)歌手，現(xiàn)從這兩組被抽到的大眾評(píng)委中分別任選1人，求這2人都支持1號(hào)歌手的概率．[解](1)由題設(shè)知，分層抽樣的抽取比例為6%，所以各組抽取的人數(shù)如下表：組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)36993(2)記從A組抽到的3個(gè)評(píng)委為a1，a2，a3，其中a1，a2支持1號(hào)歌手；從B組抽到的6個(gè)評(píng)委為b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1號(hào)歌手．從{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的全部結(jié)果為由以上樹狀圖知樣本點(diǎn)共18個(gè)，其中2人都支持1號(hào)歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4個(gè)，故所求概率P＝eq\f(4,18)＝eq\f(2,9).21．(本小題滿分12分)已知某中學(xué)高三理科班學(xué)生的數(shù)學(xué)與物理的水平測(cè)試成果抽樣統(tǒng)計(jì)如下表：若抽取學(xué)生n人，成果分為A(優(yōu)秀)，B(良好)，C(及格)三個(gè)等級(jí)，設(shè)x，y分別表示數(shù)學(xué)成果與物理成果，例如：表中物理成果為A等級(jí)的共有14＋40＋10＝64人，數(shù)學(xué)成果為B等級(jí)且物理成果為C等級(jí)的共有8人．已知x與y均為A等級(jí)的概率是0.07.(1)設(shè)在該樣本中，數(shù)學(xué)成果的優(yōu)秀率是30%，求a，b的值；(2)已知a≥7，b≥6，求數(shù)學(xué)成果為A等級(jí)的人數(shù)比C等級(jí)的人數(shù)多的概率．[解](1)由題意知eq\f(14,n)＝0.07，解得n＝200，∴eq\f(14＋a＋28,200)×100%＝30%，解得a＝18，易知a＋b＝30，所以b＝12.(2)由14＋a＋28>10＋b＋34得a>b＋2，又a＋b＝30且a≥7，b≥6，試驗(yàn)的樣本空間為Ω＝{(7,23)，(8,22)，(9,21)，…，(24,6)}，共18個(gè)樣本點(diǎn)，而a>b＋2包含