2021年1月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷（附詳解）

2021年1月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共30小題，共114.0分)

2

1.己知集合4={%6R\x4-x-6<0},B={xEZ\—2<x<1]9則4n8=()

A.[-2,1)B.[-3,2]C.{-2,-1,0}D.{-2,-1,0,1}

2,下列函數(shù)表示同一函數(shù)的是()

A.y=%+1與y=y4-1B.y=/與y=(%—l)3

C.y=|%|與y=(V%)2D.y=%。與y=3

3.已知角。的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為工軸的非負(fù)半軸，若P(2,y)是角6終邊上的一點(diǎn),

且點(diǎn)九8=—?，則y的值為()

A.±1B.-1C.±2D.-2

(2%T+1%<1

4.設(shè)函數(shù)/⑶=；|)(；>1，則/(/(。))的值為()

A.1B.2C.3D.4

5.已知某扇形的圓心角為會(huì)面積為6兀，則該扇形的弧長為()

A.7rB.2nC.3兀D.4兀

6.函數(shù)f(x)=2*—M+3的零點(diǎn)所在的區(qū)間可以是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

7.已知函數(shù)f(x)=2cosC-2x)+l,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.[kn+*E+y](/ceZ)B.[一而-^,-kn+^keZ)

C.阿一色做+凈(keZ)D.即+能面+詈](kez)

8.函數(shù)y=餐券，[-2乃,2捫的圖象大致是()

9.針對“臺獨(dú)”分裂勢力和外部勢力勾結(jié)的情況，為捍衛(wèi)國家主權(quán)和領(lǐng)土完整，維護(hù)

中華民族整體利益和兩岸同胞切身利益，解放軍組織多種戰(zhàn)機(jī)巡航臺灣.已知海面

上的大氣壓強(qiáng)是760mmHg,大氣壓強(qiáng)P(單位：mmHg)和高度九(單位：m)之間的

關(guān)系為P=760e-u(e為自然對數(shù)的底數(shù)，k是常數(shù)),根據(jù)實(shí)驗(yàn)知500巾高空處的大

氣壓強(qiáng)是700?nmHg,則當(dāng)殲20戰(zhàn)機(jī)巡航高度為1000m,殲16。戰(zhàn)機(jī)的巡航高度為

1500m時(shí)，殲20戰(zhàn)機(jī)所受的大氣壓強(qiáng)是殲16。戰(zhàn)機(jī)所受的大氣壓強(qiáng)的()倍.

A.0.67B.0.92C.1.09D.1.5

10.設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞增，則()

A.f(-log23)>/碗〉/審］B.f(-log23)>升(|向>開(|)向

C.八(|向>f(-log23)>H(|角D.f[(萌>H(|角>f(-log23)

11.已知函數(shù)/'(X)=4sin(x-$,且/'(Xi)f(X2)=16,貝ij%+?I的最小值為()

12.若2Ea+5-mbZ2mb+5Tna,貝lj()

A.a<bB.a>bC.ab>1D.ab<1

13.已知集合4={4,5,6},B={3,5,7},則ACB=()

第2頁，共34頁

A.0B.{5}C.{4,6}D.{3,4,567}

14.函數(shù)/Q)=V7不+力的定義域?yàn)?)

A.(—3,—2)U(-2,+8)B.[—3,—2)U(—2,+8)

C.(-3,+8)D.(-8,-2)U(—2,+8)

15.log318-log32=()

A.1B.2C.3D.4

16.以4(2,0),B(0,4)為直徑端點(diǎn)的圓方程是()

A.(x+I)2+(y+2)2=20B.(x-1)2+(y-2)2=20

C.(x+1)2+(y+2)2=5D.(x—1)2+(y—2)2=5

17.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是

()2-*

正視圖側(cè)視圖

A.2

3

B.4

俯視圖

18.不等式2門-“<4的解集是()

A.(-1,3)B.(-00,-1)u(3,4-00)

C.(-3,1)D.(-co,-3)U

'%+yV3,

19.若實(shí)數(shù)幻y滿足不等式組卜一y￡1：則2x+y的最大值是()

>1,

A.2B.4C.5D.6

20.若直線入：3x-4y-1=0與。：3x-ay+2=0（aeR）平行，則。與。間的距離

是（）

A.1B.|C.|D.I

21.在△ABC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,若2bsim4=V^a，則B=（）

A.IB.捷朗C.?D.割冷

22.已知平面a,口和直線，，（）

A.若”/a,〃/S，則a〃￡B.若l〃a,lu0,則a〃夕

C.若，la,，u0,則a10D.若，_La,，1氏則a1口

23.若a,bER,則“abN；”是“。2+抉之3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

24.函數(shù)八乃=溪》的圖象大致是（）

A.

1

1---

25.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為工,且滿足%=2,an+1,nEN*,則（）

A.。40<。100B.。40>a100C.S40<S100D.S40>Si。。

26.如圖,正方體/BCO—ABIGDI中，E，F(xiàn)分別為棱GD「

的中點(diǎn)，則異面直線DE與4F所成角的余弦值是（

A-I

B1

Q

,10

D噌

27.某簡諧運(yùn)動(dòng)的圖象如圖所示,若48兩點(diǎn)經(jīng)過X秒后分別運(yùn)動(dòng)到圖象上E,尸兩點(diǎn),

則下列結(jié)論不一定成立的是（)

A.AB=

C.AE-GB=BF-GBD.AB-EF>BFAG

第4頁，共34頁

28.已知函數(shù)/0)=[‘心—7">°,則函數(shù)y=/[/(x)+l]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

lx2+2%,%<0

A.2B.3C.4D.5

29.如圖，橢圓提+，=1(<1>/7>0)的右焦點(diǎn)為尸，A,

B分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，4P〃BF,

\AF\=\PB\,記橢圓的離心率為e,則e2=()

A.五

2

B.昆

8

ci

D.D

8

30.如圖，在三棱錐D-4BC中，ABBC=CD=DA,乙4BC=90。，E,F,0分別

為棱8C,D4,4c的中點(diǎn)，記直線EF與平面BOD所成角為。，則。的取值范圍是()

二、單空題(本大題共7小題，共29.0分)

31.已知tcma=2,則tana?cos2a-siMa=.

32.已知幕函數(shù)/'(x)=(k-1)?X。的圖象過點(diǎn)(2,},則k+a=.

33.定義在R上的函數(shù)/(x)滿足：對于任意的孫,X2ER,都有[7(%1)—/。2)]，01一

%2)>。恒成立，且對于任意x，y6R都有+y)=f(x)同時(shí)/'(1)=3,

則不等式/(/一為<9的解集為.

34.已知函數(shù)/■(無)=log2(三)，xe9(幻=3m-m2sin(x+^),xe

對任意Xi6[-弟弟，總存在%2e6同，使得g(%2)=/QI)成立，則實(shí)數(shù)m的取

值范圍為.

35.已知平面向量蒼，石滿足|⑹=2,|K|=1，a-fa=-1>貝U|N+1|=.

36.如圖，正方形內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.勤勞而充滿

智慧的我國古代勞動(dòng)人民曾用太極圖解釋宇宙現(xiàn)象.太極圖

由正方形的內(nèi)切圓（簡稱大圓）和兩個(gè)互相外切且半徑相等

的圓（簡稱小圓）的半圓弧組成，兩個(gè)小圓與大圓均內(nèi)切若正

方形的邊長為8,則以兩個(gè)小圓的圓心（圖中兩個(gè)黑白點(diǎn)視為

小圓的圓心）為焦點(diǎn)，正方形對角線所在直線為漸近線的雙曲線實(shí)軸長是.

37.已知aeR,b>0,若存在實(shí)數(shù)無€[0,1）,使得—a|Sb-a/成立，則藍(lán)的取

值范圍是.

三、多空題（本大題共1小題，共6.0分）

38.設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,前n項(xiàng)和為%,若為=1,a4=64,則勺=

53=-------------

四、解答題（本大題共9小題，共101.0分）

39.計(jì)算求值:

（1）（2021）。+J（兀-4乃+（3|京

（2）62+2即+l0g227-log34-lg1.

40.已知f(%)=loga(x+3)—loga(3—%),其中Q>0且QH1.

(1)判斷/(%)的奇偶性并證明；

(2)解不等式：/(x)>0.

第6頁，共34頁

41.集合4={%比2+2x—3<0},B={x|*>l},C={x\2a<x<a+3,aER].

(1)求(CRA)CB；

(2)請從①Bnt=C,②BCC=0,③C曝B這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條

件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

sin(^+a)cos2(^+a)tan(-7T+a)

42.已知f(a)=

sin(7r+a)tan(-a+37r)

(1)化簡f(a);

(2)若/(Q)=$且0VaV%求s出a-cosa的值;

(3)若a=-I860。，求/"(a)的值.

43.己知二次函數(shù)〃%)同時(shí)滿足以下條件：①f(2+x)=/(2-工)，②f(0)=1，

③"2)=-3.

(1)求函數(shù)/(%)的解析式；

(2)若九(%)=f(%)+(m+4)%,x6[—1,2],求：

①九(x)的最小值0O)；

②討論關(guān)于m的方程|乎(6)|=攵的解的個(gè)數(shù).

44.已知函數(shù)/(%)=2*,h(x)=%2-4%4-5m,中(%)與f(%)互為反函數(shù).

(1)求8(%)的解析式；

(2)若函數(shù)y=0(/i(x))在區(qū)間(3m-2,m4-2)內(nèi)有最小值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(3)若函數(shù)g(%)=W(券)(％>0),關(guān)于方程[g(x)F+a|g(x)|+a+3=0有三個(gè)不

同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

45.已知函數(shù)/Q)=?sin(x+看)+]cos(x+凱xER.

(I)求/《)的值；

(n)求函數(shù)f(x)的最小正周期；

(川)當(dāng)％6[0,爭時(shí)，求函數(shù)/⑴的值域.

第8頁，共34頁

46.如圖，直線1與圓E：/+日+1)2=1相切于點(diǎn)「，與拋物線c：/=4y相交于不

同的兩點(diǎn)A,B,與y軸相交于點(diǎn)7(0,t)(t>0).

(I)若7是拋物線C的焦點(diǎn)，求直線/的方程；

(II)若|TE|2=伊川.|PB|,求t的值.

47.設(shè)a€[0,4],已知函數(shù)/。)=署，xER.

(I)若/(x)是奇函數(shù)，求a的值；

(II)當(dāng)x>0時(shí)，證明：/(x)<^x-a+2；

(HI)設(shè)與，彳26R,若實(shí)數(shù)m滿足/Qi)?/(不)=-Hi?,證明：/(m-a)-/(I)<"

o

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解:集合4=[xG.R\x2+x-6<0}={x|-3<x<2},B={xGZ|-2<x<

1]={-2,-1,0),

則力CB={-2,-1,0}.

故選：C.

求出集合A,B,由此能求出AnB.

本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：選項(xiàng)4因?yàn)楹瘮?shù)y=x+l的定義域?yàn)镽,而函數(shù)y=?+1=x+l,定

義域?yàn)閧x|x40}，故A錯(cuò)誤，

選項(xiàng)B：兩個(gè)函數(shù)的解析式不同，故8錯(cuò)誤，

選項(xiàng)C：因?yàn)楹瘮?shù)y=|處的定義域?yàn)镽,而函數(shù)y=(正產(chǎn)的定義域?yàn)閇0,+8),故C錯(cuò)

誤，

選項(xiàng)D：因?yàn)閥=x0=1,函數(shù)定義域?yàn)閧x|x力0},函數(shù)y=9=1,函數(shù)定義域?yàn)閧x|x豐

0},故。正確，

故選：D.

根據(jù)同一函數(shù)的兩個(gè)條件即定義域與解析式完全相同對應(yīng)各個(gè)選項(xiàng)判斷求解即可.

本題考查了判斷函數(shù)是否是同一函數(shù)的問題，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：因?yàn)镻(2,y)是角。終邊上一點(diǎn)，

所以sin。=-^==-y(y<0),

解得y=-1,

故選：B.

利用任意角的三角函數(shù)的定義，計(jì)算求得結(jié)果.

第10頁，共34頁

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

+1%<1

???/(0)=2-1+1=|,

/(/(0))=居)=log2G+}=10g22=1,

故選：A.

根據(jù)分段函數(shù)f(x)的解析式結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.

本題主要考查了分段函數(shù)的性質(zhì)，考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：設(shè)扇形的半徑為r,因?yàn)閳A心角為a=梟面積為S=6TT,

所以1a?產(chǎn)=：xgx戶=6兀，解得r=6,

所以扇形的弧長為，=ar=gx6=2兀.

故選：B.

根據(jù)扇形的圓心角和面積求出半徑，再求扇形的弧長.

本題考查了扇形的弧長與面積公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：設(shè)立(乃=2/也(*)=/一3,則/(%)=萬(x)-力(尤),

在區(qū)間(一8,0］上，/i(x)單調(diào)遞增，為(x)單調(diào)遞減，則f(x)單調(diào)遞增，

由于/'(-2)=2-2_4+3<0,/(-I)=2-1-1+3>0,,

所以有唯一零點(diǎn)且零點(diǎn)在區(qū)間(一2,—1)內(nèi)；

在區(qū)間(0,2］上，僅為=2X>20==%2-3<22—3=1,故在區(qū)間(0,2］函數(shù)

A(x)與/2(x)的圖象沒有交點(diǎn)，從而函數(shù)/(x)沒有零點(diǎn)，

故選：A.

設(shè)立(x)=2*,/(%)=/-3,則/'(x)=R(x)-。=)，分析可得在區(qū)間(-8,0］上函數(shù)

/■(%)單調(diào)遞增，利用零點(diǎn)存在定理可以判定零點(diǎn)所在區(qū)間；

在(0,2]上，函數(shù)f(x)的單調(diào)性不確定，分別考察fi(x)和/2(x)的取值范圍，可知人。)>

1和%O)W1,從而可知/(x)>0恒成立，即得在區(qū)間(0,2]上沒有零點(diǎn)，從而可判斷

零點(diǎn)所在區(qū)間.

本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)判斷定理，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：/(無)=2cosc-2x)+1=2cos(2x-$+1,

令€[2上兀，2/OT+TT],keZ,則xe[/ot+，k兀+§],kEZ,

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為即+也時(shí)+爭，k&Z.

故選：A.

先利用誘導(dǎo)公式可得/(x)=2cos(2x-今+1,再由余弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得解.

本題考查余弦函數(shù)的圖象與單調(diào)性，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

【解析】解：設(shè)y=/(x),

則/(-%)=言翳=一〃>)，則f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱?排除C,D,

當(dāng)0<x<〃時(shí)，/(x)>0,排除B,

故選：A.

判斷函數(shù)的奇偶性和對稱性，利用0<%<兀時(shí)，/(%)>0,進(jìn)行排除即可.

本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)的奇偶性和對稱性，利用排除法是解決

本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

9.【答案】C

【解析】解：由題意，可設(shè)Pi=760eT°0°k,p?=760eT5°°k,

500k

則以=e,

又,:700=760e-5OOk,

第12頁，共34頁

...e500k—3a1.09.

700

故選：C.

根據(jù)已知條件，結(jié)合指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，掌握指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】A

【解析】解：由f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)得f(-log23)=/(log23),

?.?log23>log22=l,(|)i<(|)°=1,(|)t<(|)0=1,

o2Q1-y3Q1o2

(薩=&>鼾=(即，?,,1唯3>(軟>(滔

又???/(%)在(0,+8)單調(diào)遞增.

???/(log23)>〃(旃>"(|角，BP/(-log23)>嗣>f碗.

故選：A.

由/'(X)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)得/(—1密3)=/(1唯3),然后比較Iog23,(|)L(|及三者

大小關(guān)系，再結(jié)合f(x)在(0,+8)單調(diào)遞增可判斷選項(xiàng).

本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】B

【解析】解：,函數(shù)/(x)=4sin(x-G[-4,4],且f(Xi)f(X2)=16.

-sin(%i-%)=sin(x-^)=1,sin%一5=sin%-￡)=T,

oo2oo

當(dāng)sin(xi-9=sin(x2_%)=1時(shí),/一.=2k、n+px2~^=2k27r++x2\=

I2M+y+2k2n+y|>y,其中2自兀+2k2n=-2兀時(shí)取等號.

當(dāng)sin(XI—g)=sin(x—7)=—1時(shí)，/—g=2kln—\x—7=2k2Tl—\x+

O2OOZ2OZr

-

x2l=|2/cx7r-W+2k2兀I-T,其中2的兀+2k2n=。時(shí)取等號.

因此出+打|的最小值為拳

故選：B.

由題意可得sinQi-勺=sin?一曰)=1，sin(Xi-7)=sin(x-^)=-1,利用三角函

OOD2D

數(shù)的單調(diào)性最值即可判斷出結(jié)論.

本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

12.【答案】B

【解析】解：???2lna+5~lnb>2lnb+5-lna,

...2^na—5一，九a>21nb—,

設(shè)/(X)=2X-5~x,則原式等價(jià)于f(Ina)>f(lnb),

函數(shù)/(x)=2丫一5r顯然單調(diào)遞增，

則Ina>Inb,

■■a>b>0,

故選：B.

構(gòu)造函數(shù)f(x)=2、-5-x,利用其單調(diào)性比較f(Ina),f(lnb)的大小,即可得出結(jié)果.

本題主要考查了利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，其中構(gòu)造函數(shù)f。)=2、-5T是本題解題

關(guān)鍵，屬于中檔題.

13.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

由交集的定義，可求得4nB.

【解答】

解：???力={4,5,6},8={3,5,7},

二AnB={5}.

故選8.

14.【答案】B

【解析】解：由仔［洽］，得八一3,且x于一2.

1%+2。0

二函數(shù)/(無)=VF0+白的定義域?yàn)椋?3,-2)U(-2,+8).

故選：B.

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由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0,分式的分母不等于0聯(lián)立不等式組求解x的取值集合.

本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.

15.【答案】B

【解析】解：log318-log32

=log3(2x9)-log32

=log32+2-log32

=2,

故選：B.

根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.

本題考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

16.【答案】D

【解析】解：?；4(2,0),B(0,4),.??AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),

由|28|=V22+42=2V5，

???以4(2,0),B(0,4)為直徑端點(diǎn)的圓方程是(x-1)2+(y-2)2=5.

故選：D.

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間的距離公式求得|48],則以4(2,0),

8(0,4)為直徑端點(diǎn)的圓方程可求.

本題考查圓的方程的求法，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式及兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

17.【答案】A

【解析】解：由三視圖還原原幾何體如圖,

該幾何體為直三棱柱，底面三角形4BC為等腰直角三角形，AC1BC=V2,

側(cè)棱長為2,

則該幾何體的體積為V=1xV2xV2x2=2.

故選：A.

由三視圖還原原幾何體，可知原幾何體為直三棱柱，再由棱柱體積公式求解.

本題考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題.

18.【答案】A

【解析】解：不等式2憂-11<4,即為<22,

即有|x—1|<2,

即—2<x—1<2,

解得—1<x<3,

則原不等式的解集為(-1,3).

故選：力.

由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和絕對值不等式的解法，可得所求解集.

本題考查含絕對值的不等式的解法，同時(shí)考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】C

【解析】解：作出不等式組所表示的可行域如下圖陰影部分所示，

由圖可知I,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2x+y過點(diǎn)2(2,1)時(shí)取得最大值，且為2x2+1=5,

故選：C.

作出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義結(jié)合圖象即可得解.

第16頁，共34頁

本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想及運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】C

【解析】解：兩條直線，J3x-4y—1=0與，2：3x—ay+2=0平行，

則一3a+12=0,解得a=4.

所以直線3x-4y+2=0,

所以兩直線間的距離d=|.

故選：C.

首先利用直線的平行的應(yīng)用求出a的值，進(jìn)一步利用兩平行線間的距離公式的應(yīng)用求出

結(jié)果.

本題考查的知識要點(diǎn)：直線平行的充要條件的應(yīng)用，兩平行線間的距離的應(yīng)用，主要考

查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.

21.【答案】D

【解析】解：由正弦定理及2bsin力=V5a得，2sinBsinA->/3sinA，

因?yàn)閟譏力豐0,

所以sinB=—,

2

故8=弓或拳

故選：D.

由已知結(jié)合正弦定理進(jìn)行化簡即可求解.

本題主要考查了正弦定理，屬于基礎(chǔ)題.

22.【答案】C

【解析】解：對于4當(dāng)l//a,2〃夕時(shí)，則a與/?相交，或a//B，所以A錯(cuò)誤；

對于B,當(dāng)4/a,時(shí)，貝ija與0相交，或&〃0,所以8錯(cuò)誤；

對于C,根據(jù)平面垂直的判定定理知，Ila,時(shí)，則所以C正確；

對于D,當(dāng)21a,時(shí)，貝！］a〃夕，所以。錯(cuò)誤.

故選：C.

力中，///a,，〃0時(shí)，a與￡相交，或(山小

B中，l//a,時(shí)，a與￡相交，或a〃八

C中，I1a,/u?時(shí)，a±S；

。中，I1a,時(shí)，a///?.

本題考查了空間中的直線與平面的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

23.【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用基本不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵,

是基礎(chǔ)題.

根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【解答】

解：當(dāng)abN；時(shí)，a?222ab22x；=：,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立，即充分性成

立，

反之當(dāng)時(shí)，a=-1,b=l時(shí)，滿足彥+川之5但abN：不成立，即必要

性不成立，

即“ab>是“a?+加2的充分不必要條件，

42

故選:A.

24.【答案】A

【解析】解：函數(shù)的定義域?yàn)镽,f(r)=E江嘉=翳=

即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故可排除選項(xiàng)8,C；

當(dāng)X-0+時(shí)，sinx>0,ln(x2+2)>>0,故可排除選項(xiàng)D

故選：A.

由函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)BC,由函數(shù)值的正負(fù)排除選項(xiàng)。，進(jìn)而得解.

本題考查根據(jù)函數(shù)解析式確定函數(shù)圖象，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

第18頁，共34頁

25.【答案】C

【解析】解：因?yàn)榈?2,。九+1=1—nWN*,

an

所以a2=1-^-=1-7=7

a3=1—-=1—2=-1

02

Q4=1-;1-(-1)=2,

.11

a5=1----=-

,a42

所以數(shù)列｛aj的周期為3,

所以CI40=03x13+1=al2,

0100=a3x33+l=al=2,

所以&40=。100，故A，8錯(cuò)誤;

i43

S40=13(%+。2+a3)+a40=13X(2+--1)4-2=y,

S100=33(@i+。2+a3)+aioo=33x(2+：—1)+2=手

所以S40<Si00，故C正確，。錯(cuò)誤.

故選：C.

求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，可得數(shù)列｛a.｝的周期，從而可求得。的，SM，Si。。，比較即

可的結(jié)論.

本題主要考查數(shù)列遞推式，求出數(shù)列的周期是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

26.【答案】A

【解析】解:取4當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)M,連接則EM〃/1IDI〃4D,EM=4也=AD,

二四邊形ADEM為平行四邊形,

DE//AM,

???或其補(bǔ)角為異面直線DE與4F所成角,

設(shè)正方體的樓長為2,

在AAFM中，AF=AM=V5,FM=V2,

AF2+AM2-FM25+5-2_4

由余弦定理知，COSN凡4M=

2AFAM2xV5xV5-5

取的中點(diǎn)M,連接AM,EM,FM,先證四邊形ADEM為平行四邊形，從而有0E〃/IM,

故NB4M或其補(bǔ)角即為所求，設(shè)正方體的棱長為2,再在中，結(jié)合勾股定理和余

弦定理，求得COSNB4M的值，即可.

本題考查異面直線夾角的求法，利用平移法找到異面直線所成角是解題的關(guān)鍵，考查空

間立體感、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

27.【答案】B

【解析】解：設(shè)E(xi，yj,則尸01+1,、2)，

對于4ABGB=(1,1)?(1,0)=1>EF-GB=(l,y2-71)?(1<0)=1>

所以宿?旗=司?福，故A一定成立；

對于B,AB-AG=(1,1)-(0,1)=1>EF-AG=(l,y2-yj-(0,1)=y2-yi,

若光=0,=-1,此時(shí)南?布=即?布，故B不一定成立；

對于C，AEGB=(x^yj-(1,0)=BF-GB=(x1,y2-1)-(1,0)=xx.

所以屈?布=麗?而，故C一定成立；

對于。，ABIF=(1,1)?(l,y2-yj=1+y2-~BF-AG=(x1,y2-1)-(0,1)=

曠2-1，

所以而?胡一前?同=2一%，又因?yàn)閥ie

所以2-丫］>0,所以四?前>前?刀，故。一定成立.

故選：B.

設(shè)E(xi，%),則代與+l,y2),利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

本題主要考查平面向量的數(shù)量積，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

28.【答案】D

【解析】

第20頁，共34頁

【分析】

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于拔高題.

令t=/(x)+l,結(jié)合零點(diǎn)存在定理得出函數(shù)f(t)的零點(diǎn)t]e(1,2),12=-2,±3=3

然后作出函數(shù)t=/(%)+1,直線t=t]、t=-2、t=0的圖象，觀察三條直線與函數(shù)

t=f(x)+l的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由此得出結(jié)論.

【解答】

解：令t=/(X)+l={x,

l(x+l)2,x<0

①當(dāng)t〉0時(shí)，=則函數(shù)/(t)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

由于f(1)=-1<0,/(2)="2-3>0，

由零點(diǎn)存在定理可知，存在口6(1,2),使得f(ti)=0；

2

②當(dāng)tWO時(shí)，/(t)=t+2t,由/(t)=t2+2t=0,解得t2=-2,t3=0,

作出函數(shù)t=f(x)+l,直線t=G、t=-2,t=0的圖象如下圖所示：

由圖象可知，直線t=q與函數(shù)t=f(x)+1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

直線t=0與函數(shù)t=f(x)+1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

直線t=-2與函數(shù)t=/(x)+1的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

綜上所述，函數(shù)y=/[/0)+1]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.

故選：D.

29.【答案】B

【解析】解：B(0,i),F(c,0),則kBF=g：?直線AP：y=^x+b,

與橢圓方程聯(lián)立，可得(必+c2)%2+2a2cx=0,

可得P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=-弊，則y=即P(一警,_g),

a2+c2Ja2+c2'a2+c2a2+c27

由|4F|=|PB|,得附『2,即儡＞+（一急+外2=。2,

6

整理為：4c6—3Q2c4—2a4c24-a=0,

則4〃-3e4-2e2+1=0,即（/一l）（4e44-e2-1）=0,

■.■e2-1^0,.-.4e4+e2-l=0,解得e2=g或e?=zylZzl（舍去）.

88K

故選：B.

先求直線AP的方程，并求點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)|PB『=|4用2=。2,整理為關(guān)于a,c的齊

次方程，再求e2.

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓離心率的求法，關(guān)鍵是建立關(guān)于a與c的齊次方程,

考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

30.【答案】C

【解析】解：因?yàn)?8=BC=CD=DA,

^ABC=90°,又因?yàn)閆B為公共邊，所

以△ABC三△4DC,

所以乙4DC=乙ABC=90°,

又因?yàn)?4C的中點(diǎn)，所以4B1。。，

481。8,設(shè)48。0=a,則a￡(0,兀)，

設(shè)如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)

AB=BC=CD=DA=V2，則。4=OB=OC=OD=1,

由己知得各點(diǎn)坐標(biāo)如下：

>4(0,—1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),Docosa,O.sina'),

*Gt⑼，^(1cosa*_2,1

所以前=(|(cosa—1),—l,|sina),

平面的法向量為記=(0,1,0),

因?yàn)橹本€EF與平面BOC所成角為。，

—畫,箱____________1____________2_0

|EF|-|n|-y](cosa-1')2+{-2)2+(sinayil<j6-2cosaV3-cosaT

因?yàn)閍e(0,?r),于是cosa6(-1,1),所以sin。e(今1)，

所以。e0().

故選：c.

第22頁，共34頁

引入輔助角變量，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量數(shù)量積求出直線與平面所成角的正弦值,

再判斷角的取值范圍.

本題考查了三棱錐的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，考查了直線與平面成角的計(jì)算問題，屬于中檔題.

31.【答案】—|

【解析】解：因?yàn)閠ana=2,

所以tcma?cos2a—sin2a=?cos2a—sin2a=sina?cosa-sin2a=

cosa

sinacosa-sin2a_tana-tan2a_2-22_2

sin2a+cos2atan2a+l22+l5

故答案為：—|.

由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化筒所求即可求解.

本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和

轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

32.【答案】1

【解析】解：?.?暴函數(shù)/(切=(女—1)?”的圖象過點(diǎn)(2弓)，

住一1=1、

???_1，求得k=2,a=-1,

則k+a=1,

故答案為：1.

由題意利用基函數(shù)的定義和性質(zhì)，求得k和a的值，可得結(jié)論.

本題主要考查基函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

33.【答案】(-1,2)

【解析】解：因?yàn)閷τ谌我獾挠?X2ER,都有[/(xj-/(&)]-(xi-x2)>0恒成立,

所以"X)在R上單調(diào)遞增，

因?yàn)閷τ谌我鈞,y6R都有f(x+y)=f(x)"(y),同時(shí)/(l)=3,

所以f(2)=/(I+1)=/⑴〃1)=9,

所以不等式/(/-%)<9等價(jià)于/(/一x)<f⑵,

所以％2—x<2,解得—l<x<2,

即不等式的解集為(-1,2).

故答案為：(-1,2).

由已知判斷/(x)在R上單調(diào)遞增，求得/(2)=9,從而將不等式f(/-x)<9轉(zhuǎn)化為M一

x<2,即可求得結(jié)論.

本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算

求解能力，屬于中檔題.

34.【答案】(-8,—4]U[3+V17,+oo)

【解析】解：額

???/'(X)+/(-X)=10g2(M)+，。比(若)=0，

???/(-%)=—/(X),即/(X)為奇函數(shù)；又3=-1+E為[一"，工]上的減函數(shù)，y=10g2%

為增函數(shù)，

f(x)=10g2(M)為定義域[-工,勺上的減函數(shù)，設(shè)其值域?yàn)榧?，

/(H)=1。。2(超)=-4,

則4=[-4,4].

22

vg(x)=3m—msin(x+^)=3m—mcosx9xe[pTT],

令t=cosx,貝Ijt6

依題意，mHO,則h(t)=3m—M2t在上單調(diào)遞減，設(shè)其值域?yàn)?(即為g(x)的值

域)，則B=[―+3m,m2+3m].

???對任意與G[一金勺，總存在右W覃用，使得。(外)=/。1)成立，

???AGB,

f—+3m<-4(T)

(m2+3m>4②

解①得TH>3+VI7或m<3—V17;③

解②得m>1或？n<-4；④

聯(lián)立③④得：小三一4或根23+g，

故答案為：(一8,-4]U[3+m,+8).

第24頁，共34頁

當(dāng)時(shí)，可求得/(x)=log2(W)的值域4=[-4,4]；當(dāng)網(wǎng)時(shí)，可求得

g(x)=3m-ni2sin(x+今的值域B=[-扣2+3m,ni2+3加|,依題意4uB,列式求

解即可.

本題主要考查函數(shù)恒成立問題，考查對數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，突出考查等價(jià)

轉(zhuǎn)化思想與邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

35.【答案】V3

【解析】解：|a|=2,|K|=1，a-b=-1>

???(a+b)2=a2+2a-b+b=4—2+1=3，

|a+b|=V3-

故答案為：V3.

根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算即可求出0+9產(chǎn)的值，進(jìn)而得出|五+石|的值.

本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量長度的求法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

36.【答案】2/

【解析】解：以兩焦點(diǎn)所在直線為y軸，兩焦點(diǎn)的中垂線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)雙曲線的焦距為2c,則4c=8,再由題意可得，雙曲線的漸近線方程為y=±x,

:a=b,則c=2,a=b=V2?故雙曲線實(shí)軸長是2a=2a.

故答案為：2五.

由題意，雙曲線的漸近線方程為丫=±，4c=8,a=b,結(jié)合隱含條件求解a,則答案

可求.

本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，考查數(shù)學(xué)建模能力與

運(yùn)算求解能力，是中檔題.

37.【答案】[一1,”]

【解析】解：由于b>0,故不等式兩邊同除以b,得——"2,令戶teR,

即不等式1%-t|<1-在％6[0,1)上有解，

亡<#+1

一1在久G

t>一二=———

(-l-x2X+1

[0,1)上有解，

設(shè)/1(4)=一擊，9(%)=妥，刀6[0,1),即加且tWg(X)M即可，

由/'(%)=一a在xeo,1)上，x+161,2),^e(pl].即/"(久)e[-1,一》，故t之

，(X)min=T；

由9。)=瑞=(*+1晨鼠+1)=x+l+X-2,利用基本不等式(％+1)+京22企，

當(dāng)且僅當(dāng)％+1=系即X=V2-le[0,1)時(shí)等號成立，故g(x)<力=第，即

0(x)max-故t<

綜上，t的取值范圍為—iwtw空，即;的取值范圍為一1號三號土

故答案為：[-1,與i].

不等式兩邊同除以b,先將題意轉(zhuǎn)化為|久-1|w1-52在久e[0,1)上有解，設(shè)/(X)=

-^.5(X)=^,xe[0,l),即tN〃X)min且t<9(X)max，再求出函數(shù)對應(yīng)最值即可

得出結(jié)果.

本題考查不等式的恒成立問題，涉及了函數(shù)最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)思想以及

運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

38.【答案】4

21

【解析】

【分析】

第26頁，共34頁

本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

由已知利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求q的值，利用等比數(shù)列的求和公式即可求解S3的值.

【解答】

解：因?yàn)榈?1,=64,

根據(jù)a4=%q3，可得64=q3,解得q=4,

可得53=吟項(xiàng)=毛力=21.

故答案為：4；21.

39.【答案】解：(1)原式=1+4—7T+(|)3XS=5—7T+|=Y—

(2)原式=lg2+2'°&3+320g23-2log32+lg5=(lg2+2g5)+3+6=14-3+6=

10.

【解析】(1)利用有理數(shù)指數(shù)第的運(yùn)算性質(zhì)求解.

(2)利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.

本題主要考查了有理數(shù)指數(shù)事的運(yùn)算性質(zhì)和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

40.【答案】解：(1)v/(x)=loga(x+3)-loga(3一x),其中a>0且a彳二j；

求得-3<x<3,

可得函數(shù)的定義域?yàn)?-3,3),顯然此定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.

??"(T)=】oga(T+3)Toga(3+X)=-[loga(x+3)-loga(3-x)]=-/(x),

故函數(shù)f(x)為奇函數(shù).

(2)/(x)>0,即loga(x+3)>loga(3-x),

當(dāng)a>l時(shí)，x+3>3-x>0,求得0<x<3,故不等式的解集為[0,3).

當(dāng)0<a<l時(shí)，0<久+3<3-%,求得一3cxW0,故不等式的解集為(一3,0].

綜上可得，當(dāng)a>l時(shí)，不等式的解集為[0,3)；

當(dāng)0<a<l時(shí)，不等式的解集為(一3刈.

【解析】(1)由題意利用函數(shù)的奇偶性的定義，得出結(jié)論.

(2)分類討論，利用對數(shù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性，求得x的范圍.

本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷和證明，對數(shù)不等式的解法，對數(shù)函數(shù)的定義域和單

調(diào)性，屬于中檔題.

41.【答案】解：(1);％2+2%-3<0,.??(X-l)(x+3)<0,

解得，-3<x<l,故4=(-3,1)；

???—>1,>0.

X+lX+1

解得，故8=(-1,5)；

故品4=(-00,-3]U[l,+oo),

故(CR4)AB=[1,5)；

(2)選①：???BCC=C,,,?C7B,

當(dāng)C=。，即2Q>Q+3,Q>3時(shí)，滿足題意；

當(dāng)CH。，即2QWQ+3,QW3時(shí)，

(2a>-1

la+3V5，

解得，一[VQV2;

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(后，2)U(3,+8).

選②：當(dāng)C=0,即2Q>Q+3,a>3時(shí)，滿足題意；

當(dāng)CH。，BP2a<a+3,a<3時(shí)，

a+3工—1或2Q25,

解得，a<一4或a>|；

故Q<-4或:<a<3；

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,-4]U[|,+8).

選③：由題意知，C麋B,

當(dāng)C=0,即2Q>Q+3,a>3時(shí)，滿足題意；

當(dāng)CH0,即2Q4Q+3,a￡3時(shí)，

C2.cc>-1

ta+3V5，

解得,—[<a<2；

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(一Q)U(3,+8).

【解析】(1)解不等式化簡集合4=(—3,1),B=(-1,5),再求CRA,最后求(CRA)CB；

(2)選①時(shí)，可得CUB,從而按C是否為空集分類討論即可；

第28頁，共34頁

選②時(shí)，按C是否為空集分類討論即可；

選③時(shí)，由題意知C曙B,從而按C是否為空集分類討論即可.

本題考查了集合的化簡與集合間關(guān)系的應(yīng)用，同時(shí)考查了不等式的解法，屬于中檔題.