2021-2021學年高三數(shù)學上學期第一次月考10月試題文

2019-2020學年高三數(shù)學上學期第一次月考10月試題文一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．不需要寫出解答過程，請把答案直接填在答題卡相應位置上．1．已知集合，，則▲．2．命題“，x2≥3”的否定是▲．3．設冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則▲4．計算▲．5．若則的值為▲6.已知滿足約束條件若的最大值為4，則的值為▲.7．公差不為的等差數(shù)列的前項和為，若成等比數(shù)列，，則▲．8．在平面直角坐標系xOy中，P是曲線C：y＝ex上一點，直線l：x＋2y＋c＝0經(jīng)過點P，且與曲線C在P點處的切線垂直，則實數(shù)c的值為▲．9．若正實數(shù)滿足，則的最小值為▲．10.設為銳角，若，則的值為▲.11.如果=▲.12.已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,6))－cosωx(ω＞0)．若函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝2π對稱，且在區(qū)間[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]上是單調函數(shù)，則ω的取值集合為▲.13.已知函數(shù)f(x)是以4為周期的函數(shù)，且當－1＜x≤3時，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\al(1－x2，－1＜x≤1，,1－|x－2|，1＜x≤3．))若函數(shù)y＝f(x)－m|x|恰有10個不同零點，則實數(shù)m的取值范圍為▲.14.已知函數(shù)f(x)＝－xlnx＋ax在(0，e)上是增函數(shù)，函數(shù)g(x)＝|ex－a|＋EQ\F(a2,2)，當x∈[0，ln3]時，函數(shù)g(x)的最大值M與最小值m的差為EQ\F(3,2)，則a的值為▲.解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．（本小題滿分14分）設的內角所對的邊分別為,若,（1）求的值；（2）求的值為.16.（本小題滿分14分）設：實數(shù)滿足，其中；：實數(shù)滿足.（1）若，且為真，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.17.（本小題滿分14分）小張于年初支出萬元購買一輛大貨車，第一年因繳納各種費用需支出萬元，從第二年起，每年都比上一年增加支出萬元，假定該車每年的運輸收入均為萬元.小張在該車運輸累計收入超過總支出后，考慮將大貨車作為二手車出售，若該車在第年年底出售，其銷售收入為萬元（國家規(guī)定大貨車的報廢年限為年）.（1）大貨車運輸?shù)降趲啄昴甑?，該車運輸累計收入超過總支出？（2）在第幾年年底將大貨車出售，能使小張獲得的年平均利潤最大？（利潤=累積收入+銷售收入-總支出）18.（本小題滿分16分）如圖所示，某公路AB一側有一塊空地△OAB，其中OA＝3km，OB＝3EQ\r(,3)km，∠AOB＝90°．當?shù)卣當M在中間開挖一個人工湖△OMN，其中M，N都在邊AB上（M，N不與A，B重合，M在A，N之間），且∠MON＝（1）若M在距離A點2km處，求點M，N之間的距離；（2）為節(jié)省投入資金，人工湖△OMN的面積要盡可能?。嚧_定M的位置，使△OMN的面積最小，并求出最小面積．OAOABMNOABMN19.（本小題滿分16分）設,函數(shù).（1）證明在上僅有一個零點；（2）若曲線在點處的切線與軸平行,且在點處的切線與直線平行,(O是坐標原點),證明:20.（本小題滿分16分）設數(shù)列的前項和為，且滿足，為常數(shù)．（1）（2）當時，求證：．（3）當時，求證：當時，．

答案（文科）1.2.，3.4.5.36.27．8．－4－ln2.9．10．11.12.{EQ\F(1,3)，EQ\F(5,6)，EQ\F(4,3)}．13.(EQ\F(1,6)，8－2EQ\r(,15))14.EQ\F(5,2)15..解:1）在中,,由正弦定理,得由余弦定理=-------7分2）-------10分-------14分16.解：（1）由，得，又，所以，當時，，即為真時實數(shù)的取值范圍是.為真時等價于，得，即為真時實數(shù)的取值范圍是.若為真，則實數(shù)的取值范圍是.（2）是的必要不充分條件，等價于且，設，，則；則，所以實數(shù)的取值范圍是.17.解：（1）設大貨車到第年年底的運輸累計收入與總支出的差為萬元，則，即，由，解得，而，故從第三年開始運輸累計收入超過總支出.（2）因為利潤=累積收入+銷售收入-總支出，所以銷售二手貨車后，小張的年平均利潤為，而，當且僅當時等號成立。答：第5年底出售貨車，年平均利潤最大.18.解：（1）在△OAB中，因為OA＝3，OB＝3EQ\r(,3)，∠AOB＝90°，所以∠OAB＝60°．在△OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cosA＝7，所以OM＝EQ\R(,7)，所以cos∠AOM＝EQ\F(OA2＋OM2－AM2,2OA·OM)＝EQ\F(2EQ\R(,7),7)，在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝sin(∠AOM＋90°)＝cos∠AOM＝EQ\F(2EQ\r(,7),7)．在△OMN中，由EQ\F(MN,sin30°)＝EQ\F(OM,sin∠ONA)，得MN＝EQ\F(EQ\R(,7),EQ\F(2EQ\r(,7),7))×EQ\F(1,2)＝EQ\F(7,4)．（2）解法1：設AM＝x，0＜x＜3．在△OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cosA＝x2－3x＋9，所以OM＝EQ\R(,x2－3x＋9)，所以cos∠AOM＝EQ\F(OA2＋OM2－AM2,2OA·OM)＝EQ\F(6－x,2EQ\R(,x2－3x＋9))，在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝sin(∠AOM＋90°)＝cos∠AOM＝EQ\F(6－x,2EQ\R(,x2－3x＋9))．由EQ\F(ON,sin∠OAB)＝EQ\F(OA,sin∠ONA)，得ON＝EQ\F(3,EQ\F(6－x,2EQ\R(,x2－3x＋9)))·EQ\F(EQ\r(,3),2)＝EQ\F(3EQ\r(,3)EQ\R(,x2－3x＋9),6－x)．所以S△OMN＝EQ\F(1,2)OM·ON·sin∠MON＝EQ\F(1,2)·EQ\R(,x2－3x＋9)·EQ\F(3EQ\r(,3)EQ\R(,x2－3x＋9),6－x)·EQ\F(1,2)＝EQ\F(3EQ\r(,3)(x2－3x＋9),4(6－x))，0＜x＜3．令6－x＝t，則x＝6－t，3＜t＜6，則S△OMN＝EQ\F(3EQ\r(,3)(t2－9t＋27),4t)＝EQ\F(3EQ\r(,3),4)(t－9＋EQ\F(27,t))≥EQ\F(3EQ\r(,3),4)·(2EQ\R(,t·EQ\F(27,t))－9)＝EQ\F(27(2－EQ\r(,3)),4)．當且僅當t＝EQ\F(27,t)，即t＝3EQ\r(,3)，x＝6－3EQ\r(,3)時等號成立，S△OMN的最小值為EQ\F(27(2－EQ\r(,3)),4)．所以M的位置為距離A點6－3EQ\r(,3)km處，可使△EQ\F(27(2－EQ\r(,3)),4)km2．解法2：設∠AOM＝θ，0＜θ＜eq\f(,3)在△OAM中，由EQ\F(OM,sin∠OAB)＝EQ\F(OA,sin∠OMA)，得OM＝EQ\F(3EQ\r(,3),2sin(θ＋eq\f(,3)))．在△OAN中，由EQ\F(ON,sin∠OAB)＝EQ\F(OA,sin∠ONA)，得ON＝EQ\F(3EQ\r(,3),2sin(θ＋eq\f(,2)))＝EQ\F(3EQ\r(,3),2cosθ)．所以S△OMN＝EQ\F(1,2)OM·ON·sin∠MON＝EQ\F(1,2)·EQ\F(3EQ\r(,3),2sin(θ＋eq\f(,3)))·EQ\F(3EQ\r(,3),2cosθ)·EQ\F(1,2)＝EQ\F(27,16sin(θ＋eq\f(,3))cosθ)＝EQ\F(27,8sinθcosθ＋8EQ\r(,3)cos2θ)＝EQ\F(27,4sin2θ＋4EQ\r(,3)cos2θ＋4EQ\r(,3))＝EQ\F(27,4sin2θ＋4EQ\r(,3)cos2θ＋4EQ\r(,3))＝EQ\F(27,8sin(2θ＋eq\f(,3))＋4EQ\r(,3))，0＜θ＜eq\f(,3)．當2θ＋eq\f(,3)＝eq\f(,2)，即θ＝eq\f(,12)時，S△OMN的最小值為EQ\F(27(2－EQ\r(,3)),4)．所以應設計∠AOM＝eq\f(,12)，可使△OMN的面積最小，最小面積是EQ\F(27(2－EQ\r(,3)),4)km2．19.解：（1）f'（x）=ex（x2+2x+1）=ex（x+1）2∴f′（x）≥0，-------2分∴f（x）=（1+x2）ex﹣a在（﹣∞，+∞）上為增函數(shù)．∵a＞1．∴1﹣a＜0又f（0）=1﹣a，∴f（0）＜0．，使得∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一個零點--------------------7分（2）證明：f'（x）=ex（x+1）2，設點P（x0，y0）則）f'（x）=ex0（x0+1）2，∵y=f（x）在點P處的切線與x軸平行，∴f'（x0）=0，即：ex0（x0+1）2=0，∴x0=﹣1-------------9分將x0=﹣1代入y=f（x）得y0=．∴，∴------11分令；g（m）=em﹣（m+1）g（m）=em﹣（m+1），則g'（m）=em﹣1，由g'（m）=0得m=0．當m∈（0，+∞）時，g'（m）＞0當m∈（﹣∞，0）時，g'（m）＜0∴g（m）的最小值為g（0）=0