2023初中新定義與閱讀理解創(chuàng)新型題解析(共31題)

2023初中新定義與閱讀理解創(chuàng)新型題解析(共31題)

一、單選題

1.(2023?湖北武漢?統(tǒng)考中考真題)皮克定理是格點幾何學中的一個重要定理，它揭示了以格點為頂點的多

邊形的面積S=N+；A-1,其中N,L分別表示這個多邊形內(nèi)部與邊界上的格點個數(shù).在平面直角坐標系中，

橫、縱坐標都是整數(shù)的點為格點.已知4(0,30),5(20,10),0(0,0),則./WO內(nèi)部的格點個數(shù)是()

A.266B.270C.271D.285

【答案】C

【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后求出_A3O的面積和邊界上的格點個數(shù)，然后代入求解即可.

【詳解】如圖所示，

V4(0,30),8(20,10),0(0,0),

SVAB0=；x30x20=300,

上有31個格點，

。8上的格點有(2,1),(4,2),(6,3),(8,4),(10,5),(12,6),(14,7),(16,8),(18,9),(20,10),共10

個格點，

AB上的格點有(1,29),(2,28),(3,27),(4,26),(5,25),(6,24),(7,23),(8,22),(9,21),(10,20),(11,19),

(12,18),(13,17),(16,14),(15,15),(16,14),(17,13),(18,12),(19,11),共19個格點，

.??邊界上的格點個數(shù)L=31+10+19=60,

'：S=N+-L-i,

2

/.300=/V+-x60-l,

2

解得N=271.

二.ABO內(nèi)部的格點個數(shù)是271.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了坐標與圖形的性質(zhì)，解決問題的關鍵是掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.

2.（2023?湖南張家界?統(tǒng)考中考真題）“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業(yè)生產(chǎn)中廣泛使用的一種圖

形.如圖，分別以等邊ABC的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三

角形若等邊ABC的邊長為3,則該“萊洛三角形”的周長等于（）

【答案】B

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及弧長公式/=黑求解即可.

180

【詳解】解：；等邊二:角形ABC的邊長為3,ZABC=ZACB=ABAC=60°,

,該“萊洛三.角形”的周長=3x%=3萬，

故選：B.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，弧長公式，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和弧長公式是解題的關鍵.

3.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）在多項式x-y-z-〃L"（其中中，對相鄰的兩個字母間任

意添加絕對值符號，添加絕對值符號后仍只有減法運算，然后進行去絕對值運算，稱此為“絕對操作”.例如：

x-y-\z-m\-n=x-y-z+m-n,\x-y\-z-\m-t^-x-y-z-m+n,….下歹!］說法:

①存在“絕對操作”，使其運算結(jié)果與原多項式相等；

②不存在“絕對操作”，使其運算結(jié)果與原多項式之和為0；

③所有的“絕對操作”共有7種不同運算結(jié)果.

其中正確的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)給定的定義，舉出符合條件的說法①和②.說法③需要對絕對操作分析添加一個和兩個絕對

值的情況，并將結(jié)果進行比較排除相等的結(jié)果，匯總得出答案.

［詳解］解：\x-y\-z-m-n=x-y-z-m-n,故說法①正確.

若使其運算結(jié)果與原多項式之和為0,必須出現(xiàn)-%顯然無論怎么添加絕對值，都無法使x的符號為負，

故說法②正確.

當添力口一個絕對值時，共有4種情況，分別是=

x-\y-z\-m-n=x-y+z-m-n；x-y-\z-m\-n=x-y-z+m-n-x-y-z-\m-r^=x-y-z-m+n.當

添加兩個絕對值時，共有3種情況，分別是上一)|-2-〃?卜”=》-)，-2+m-”；

\x-^-z-\m-n\=x-y-z—m+n；x-\y-z\—\m-r^=x-y+z-m+n.共有7種情況；

有兩對運算結(jié)果相同，故共有5種不同運算結(jié)果，故說法③不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題考查新定義題型，根據(jù)多給的定義，舉出符合條件的代數(shù)式進行情況討論；

需要注意去絕對值時的符號，和所有結(jié)果可能的比較.主要考查絕對值計算和分類討論思想的應用.

4.(2023?湖南岳陽?統(tǒng)考中考真題)若一個點的坐標滿足化2k),我們將這樣的點定義為“倍值點”.若關于工

的二次函數(shù)y=(f+i)Y+(r+2)x+s(s,，為常數(shù)，/力-1)總有兩個不同的倍值點，貝心的取值范圍是()

A.sv-1B.5<0C.0<5<1D.-1<.?<()

【答案】D

【分析】利用“倍值點”的定義得到方程(，+1n+比+s=O,則方程的A>0,可得產(chǎn)-4rs-4s>0,利用對于

任意的實數(shù)s總成立，可得不等式的判別式小于0,解不等式可得出$的取值范圍.

【詳解】解：由“倍值點”的定義可得：2x=(Z+l)x2+(f+2)x+5,

整理得，(/+1)X2+/X+5=0

???關于x的二次函數(shù)y=(r+l)x2+(/+2)x+s(s,f為常數(shù)，，工一1)總有兩個不同的倍值點，

/.A=*-4(f+l)s=f2-4fs—4s>0,

???對于任意實數(shù)S總成立,

??.(-4S)2—4X(-4S)V0,

整理得，16/+16S<0,

52+5<0,

5(5+1)<0,

.卜<0.Js>°

,，[5+1>0，或js+l<0'

(s<0

當《,八時，解得一IvsvO,

[5+1>0

(s>0

當I八時，此不等式組無解，

[5+1<0

-1<5<0,

故選：D.

【點睛】本題主要考查/二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，一元二次方程根的判別式以及二次函數(shù)與不等式

的關系，理解新定義并能熟練運用是解答本題的關鍵.

5.(2023?山東?統(tǒng)考中考真題)若一個點的縱坐標是橫坐標的3倍，則稱這個點為“三倍點”，如：

6),C(0,0)等都是三倍點”，在一3<工<1的范圍內(nèi)，若二次函數(shù)y=-——x+c的圖象上至少存

在一個“三倍點”，則c的取值范圍是()

A.--<c<lB.-4<c<-3C.--<c<5D.-4<c<5

44

【答案】D

【分析】由題意可得：三倍點所在的直線為y=3x,根據(jù)二次函數(shù)>=-產(chǎn)-x+c的圖象上至少存在?個“三

倍點“轉(zhuǎn)化為y=-f—X+C和產(chǎn)3x至少有一個交點，^A>0,再根據(jù)x=-3和x=l時兩個函數(shù)值大小即可

求出.

【詳解】解：由題意可得：三倍點所在的直線為y=3x,

在-3<x<l的范圍內(nèi)，二次函數(shù)y=一1+。的圖象上至少存在一個“三倍點，，，

即在-3<%<1的范圍內(nèi)，y=-/-x+c和y=3x至少有一個交點，

令3X=-%2-X+C,整理得：-x2-4x+c=0,

則A=Z?2-4ac=(-4)2-4x(-l)xc=16+4c>0,解得c2-4,

_-(-4)±Ji)?-4x(-l)c_4±J16+4c

%~2x(-1)-2，

??用=-2+j4+c，X2-—2—5/4+c

-3<-2+j4+c<1或-3<-2-j4+c<1

當-3<-2+j4+c<l時,-1<j4+c<3,即解得T?C<5,

當-3<-2-^/^77<l時，-3<^/4+7<1,即解得-44c<-3,

綜上，c的取值范圍是-44c<5,

故選:D.

【點睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，熟練掌握相關性質(zhì)是關鍵.

6.（2023?福建?統(tǒng)考中考真題）我國魏晉時期數(shù)學家劉徽在《九章算術注》中提到了著名的“割圓術”，即利

用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則

與圓周合體,而無所失矣”.“割圓術”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率萬的近似值為3.1416.如

圖，。的半徑為1,運用“割圓術”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計。的面積，可得萬的估計值為也，

2

若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計，可得萬的估計值為（）

A.上B.2夜C.3D.2百

【答案】C

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可得ZAO8=30。，根據(jù)30度的作對的直角邊是斜邊的一半可得8C=；,

根據(jù)三角形的面積公式即可求得正十二邊形的面積，即可求解.

【詳解】解：圓的內(nèi)接正十二邊形的面積可以看成12個全等的等腰三角形組成，故等腰三角形的頂角為30。,

設圓的半徑為1,如圖為其中一個等腰三角形。鉆，過點5作8CLQ4交04于點于點C,

ZAOB=30°,

BC=-OB=-,

22

則SOA3=；X1X；=；,

故正十二邊形的面積為125加=12＞＜（=3,

圓的面積為乃xlxl=3,

用圓內(nèi)接正十二邊形面積近似估計＜，。的面積可得萬=3,

故選：C.

【點睛】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，30度的作對的直角邊是斜邊的一半，三角形的面積公式，圓

的面積公式等，正確求出正十二邊形的面積是解題的關鍵.

二、填空題

7.（2023?甘肅武城?統(tǒng)考中考真題）如圖1,我國是世界上最早制造使用水車的國家.1556年蘭州人段續(xù)的

第一架水車創(chuàng)制成功后，黃河兩岸人民紛紛仿制，車水灌田，水渠縱橫，沃土繁豐.而今，蘭州水車博覽

園是百里黃河風情線上的標志性景觀，是蘭州“水車之都''的象征.如圖2是水車舀水灌溉示意圖，水車輪的

輻條（圓的半徑）OA長約為6米，輻條盡頭裝有刮板，刮板間安裝有等距斜掛的長方體形狀的水斗，當水

流沖動水車輪刮板時，驅(qū)使水車徐徐轉(zhuǎn)動，水斗依次舀滿河水在點A處離開水面，逆時針旋轉(zhuǎn)150。上升至

輪子上方8處，斗口開始翻轉(zhuǎn)向下，將水傾入木槽，由木槽導入水渠，進而灌溉，那么水斗從A處（舀水）

轉(zhuǎn)動到B處（倒水）所經(jīng)過的路程是米.（結(jié)果保留"）

【答案】5T

【分析】把半徑和圓心角代入弧長公式即可;

150x%x6

【詳解】/=饋==54

180

故填：57t.

【點睛】本題考查弧長公式的應用，準確記憶公式，并正確代入公式是解題的關鍵.

8.（2023?湖北隨州?統(tǒng)考中考真題）某天老師給同學們出了一道趣味數(shù)學題：

設有編號為1-100的100盞燈，分別對應著編號為1-100的100個開關，燈分為“亮”和“不亮”兩種狀態(tài)，每

按一次開關改變一次相對應編號的燈的狀態(tài)，所有燈的初始狀態(tài)為“不亮”.現(xiàn)有100個人，第1個人把所有

編號是1的整數(shù)倍的開關按一次，第2個人把所有編號是2的整數(shù)倍的開關按一次，第3個人把所有編號

是3的整數(shù)倍的開關按一次.....第100個人把所有編號是100的整數(shù)倍的開關按一次.問最終狀態(tài)為“亮”

的燈共有多少盞？

幾位同學對該問題展開了討論：

甲：應分析每個開關被按的次數(shù)找出規(guī)律：

乙：1號開關只被第1個人按了1次，2號開關被第1個人和第2個人共按了2次，3號開關被第1個人和

第3個人共按了2次.....

丙：只有按了奇數(shù)次的開關所對應的燈最終是"亮''的狀態(tài).

根據(jù)以上同學的思維過程，可以得出最終狀態(tài)為“亮”的燈共有___________盞.

【答案】10

【分析】燈的初始狀態(tài)為“不亮”，按奇數(shù)次，則狀態(tài)為“亮”，按偶數(shù)次，則狀態(tài)為“不亮”，確定1-100中，

各個數(shù)因數(shù)的個數(shù)，完全平方數(shù)的因數(shù)為奇數(shù)個，從而求解.

【詳解】所有燈的初始狀態(tài)為“不亮”，按奇數(shù)次，則狀態(tài)為“亮”，按偶數(shù)次，則狀態(tài)為“不亮”；

因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)只有完全平方數(shù)，1-100中，完全平方數(shù)為1,4,9,16,25,36,49,64,81,

100；有10個數(shù)，故有10盞燈被按奇數(shù)次，為“亮”的狀態(tài)；

故答案為：10.

【點睛】本題考查因數(shù)分解，完全平方數(shù)，理解因數(shù)的意義，完全平方數(shù)的概念是解題的關鍵.

9.（2023?湖南常德?統(tǒng)考中考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧

長度的“會圓術”，如圖.AB是以。為圓心，為半徑的圓弧，C是弦48的中點，。在4B上，SLAB.”會

圓術”給出AB長/的近似值s計算公式：s=AB+—,當。4=2,4408=90。時，|/-s|=.（結(jié)

果保留一位小數(shù)）

B

【答案】0.1

【分析】由已知求得43與8的值，代入s=AB+魚得弧長的近似值，利用弧長公式可求弧長的值，進

OA

而即可得解.

【詳解】?/OA=OB=2,ZAOB=90°,

二AB=2及，

是弦AB的中點，。在A8上，CDVAB,

延長OC可得。在。C上，OC=-AB=y/2

2

二CD=OD-OC=2-42,

?CD2r僅一右）

-s=AB+-—=2&+^-----^=3，

OA2

.90x2x2]

I=---------=7C,

360

|/—.v|=|TT-3|?（）.1.

故答案為：0.1.

【點睛】本題考查扇形的弧長，掌握垂徑定理?；￠L公式是關鍵.

10.（2023?北京?統(tǒng)考中考真題）學校組織學生參加木藝藝術品加工勞動實踐活動.已知某木藝藝術品加工

完成共需A,B,C,D,E,F,G七道工序，加工要求如下：

①工序C,。須在工序A完成后進行，工序E須在工序8,。都完成后進行，工序尸須在工序C,。都完

成后進行；

②一道工序只能由一名學生完成，此工序完成后該學生才能進行其他工序；

③各道工序所需時間如下表所示：

工序ABCDEFG

所需時間/分鐘99797102

在不考慮其他因素的前提下，若由一名學生單獨完成此木藝藝術品的加工，則需要分鐘；若由兩名

學生合作完成此木藝藝術品的加工，則最少需要分鐘.

【答案】53；28

【分析】將所有工序需要的時間相加即可得出由一名學生單獨完成需要的時間；假設這兩名學生為甲、乙，

根據(jù)加工要求可知甲學生做工序A，乙學生同時做工序&然后甲學生做工序。，乙學生同時做工序C,乙

學生工序C完成后接著做工序G；最后甲學生做工序E,乙學生同時做工序凡然后可得答案.

【詳解】解：由題意得：9+9+7+9+7+10+2=53（分鐘），

即由一名學生單獨完成此木藝藝術品的加工，需要53分鐘；

假設這兩名學生為甲、乙，

???工序C,。須在工序A完成后進行，工序E須在工序8,。都完成后進行，且工序A,8都需要9分鐘完

成，

.?.甲學生做工序A,乙學生同時做工序B,需要9分鐘，

然后甲學生做工序Q,乙學生同時做工序C,乙學生工序C完成后接著做工序G,需要9分鐘，

最后甲學生做工序E,乙學生同時做工序品需要10分鐘，

若由兩名學生合作完成此木藝藝術品的加工，最少需要9+9+10=28（分鐘），

故答案為：53,28；

【點睛】本題考查了邏輯推理與時間統(tǒng)籌，根據(jù)加工要求得出加工順序是解題的關鍵.

11.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）對于一個四位自然數(shù)M,若它的千位數(shù)字比個位數(shù)字多6,百位數(shù)字比十位

數(shù)字多2,則稱M為“天真數(shù)”.如：四位數(shù)7311,???7—1=6,3-1=2,7311是“天真數(shù)”；四位數(shù)8421,

：8-1片6,；.8421不是“天真數(shù)”，則最小的"天真數(shù)''為；一個“天真數(shù)”M的千位數(shù)字為小百位

數(shù)字為6,十位數(shù)字為c,個位數(shù)字為“，記尸（M）=3（a+6）+c+d,Q（M）=a-5,若血j能被10整除，

則滿足條件的M的最大值為.

【答案】6200；9313

【分析】根據(jù)題中“天真數(shù)”可求得最小的“天真數(shù)”；先根據(jù)題中新定義得到c+d=（a+A）-8,進而

P（M）4（a+b）-SP（M}

7^=-一J若M最大，只需千位數(shù)字”取最大，即a=9,再根據(jù)工昌能被10整除求得6=3,

Q\M）a-5Q\M）

進而可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意，只需千位數(shù)字和百位數(shù)字盡可能的小，所以最小的"天真數(shù)''為6200；

根據(jù)題意，a—d—6,b—c=2,64a49,2<Z><9,則c+d=g+6）—8,

:.P（M）=3（a+b）+c+d=4（a+b）-8,

P（M）_4（a+/7）-8

e（M）--a-5

若M最大，只需千位數(shù)字〃取最大，即a=9,

P（Af）_4（9+b）-8

=7+6,

e（M）--9-5

P(M)

試能被10整除，

：.h=3,

.?.滿足條件的M的最大值為9313,

故答案為：6200,9313.

【點睛】本題是一道新定義題，涉及有理數(shù)的運算、整式的加減、數(shù)的整除等知識，理解新定義是解答的

關鍵.

12.(2023?四川樂山?統(tǒng)考中考真題)定義：若x,y滿足/=4y+”2=4x+f且xRy(f為常數(shù))，則稱點M(x,y)

為“和諧點”.

(1)若尸(3,㈤是“和諧點”，貝~〃=.

k

(2)若雙曲線^=人(―3<x<—l)存在“和諧點”，則k的取值范圍為.

x

【答案】-7；3Vz<4

【分析】(1)根據(jù)“和諧點”的定義得到3?=4.+f,病=4x3+f,整理得到W+癡一21=0,解得皿=-7,私=3

(不合題意，舍去)，即可得到答案；

(2)設點(a,3為雙曲線y=§-3<x<-l)上的“和諧點”，根據(jù)“和諧點”的定義整理得到(a-6)(a+b+4)=0,

山a1。得至!]a+b+4=0,貝l]6=-a-4,由6=工(一3<“<-1)進一?步得至I」氏=-(a+2)2+4,且一

根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到k的取值范圍.

【詳解】解：(1)若[(3,㈤是“和諧點”,則3?=4m+/,川=4x3+/,

22

則3—4m=t9m—12=/,

32-4W=W2-12,

即加+4機-21=0,解得機=-7,"%=3(不合題意，舍去)，

m=—7,

故答案為：-7

(2)設點(。⑼為雙曲線y=?-3<x<-1)上的“和諧點”，

/.a2=4/?+r,/?2=4tz+f,h=-(-3<a<-\),

a

BPa2-4b=b2-4a,

/.(a+6)(〃一人)+4(々-6)=0,

則(Q-A)(Q+Z?+4)=0,

Vaxb,

??a+b+4=0,

即力=一。一4,

V/7=-(-3<?<-l),

a

二k=ab=a^-a-4')=-a2-4a=-^a+2y+4,且一3<"-1,

對拋物線％=—(a+2)2+4來說，

*.?-l<0,

開口向下，

當。=一1時，k=-(-1+2『+4=3,

當。=-3時，A:=-(-3+2)2+4=3,

:對稱軸為a=—2,

...當a=-2時，上取最大值為4,

.?/的取值范圍為3<&<4,

故答案為：3<k<4

【點睛】此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識，讀懂題意，熟練掌握反比例函數(shù)

和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵.

13.(2023?浙江紹興?統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標系xOy中，一個圖形上的點都在一邊平行于x軸的矩形

內(nèi)部(包括邊界)，這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關聯(lián)矩形.例如:如圖，函數(shù)2>(O4XM3)

的圖象（拋物線中的實線部分），它的關聯(lián)矩形為矩形0WC.若二次函數(shù)y=+灰+c（O4x43）圖象的

關聯(lián)矩形恰好也是矩形。4BC,則〃=.

【分析】根據(jù)題意求得點A（3,0）,8（3,4）,C（0,4）,根據(jù)題意分兩種情況，待定系數(shù)法求解析式即可求解.

【詳解】由y=(x-2)2(O4x43),當x=0時，y=4,

C(0,4),

：A（3,0）,四邊形A8CO是矩形,

二8（3,4）,

①當拋物線經(jīng)過QBO寸，將點（0,0）,8（3,4）代入曠=；工2+治+。（04左*3）,

c=0

，，1

—x9+3Z?+c=4

14

解得：b=j7

12

②當拋物線經(jīng)過點AC時，將點A（3,o）,C（0,4）代入y=卜2+bx+c（O4x43）,

c=4

/.\1

—x9+3Z?+c=0

14

25

解得：b=-

綜上所述，〃=看7或匕=一25,，

725

故答案為：五'或一元.

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，理解新定義，最小矩形的限制條件是解題的關鍵.

14.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）如果一個四位自然數(shù)兩的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0,滿足

ab-bc^,那么稱這個四位數(shù)為“遞減數(shù)例如：四位數(shù)4129,；41-12=29,；.4129是“遞減數(shù)”；又

如：四位數(shù)5324,???53-32=21/24,，5324不是“遞減數(shù)”.若一個“遞減數(shù)”為a312，則這個數(shù)為

若一個“遞減數(shù)”的前三個數(shù)字組成的三位數(shù)而與后三個數(shù)字組成的三位數(shù)兩的和能被9整除，則滿足條

件的數(shù)的最大值是.

【答案】4312；8165

【分析】根據(jù)遞減數(shù)的定義進行求解即可.

【詳解】解：：百次是遞減數(shù)，

.?.104+3—31=12,

/?4=4,

工這個數(shù)為4312；

故答案為：4312

???一個“遞減數(shù)''的前三個數(shù)字組成的三位數(shù)正與后三個數(shù)字組成的三位數(shù)無2的和能被9整除，

/.\0a+b-10b-c=10c+d,

,?*abc+bcd=100。+10〃+。+1008+10。+4，

??abc+bcd=1OOrz+10/?+c+1QOb+\0a+b-\0b-c=110。+101b，

'；］\0a+l01b=99（a+b）+\\a+2b,能被9整除，

.?.lla+2能被9整除,

?.?各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0,

.=1=2J“=3=4fa=5fa=6fa=7Ja=8

"'［b=8，\b=l，［b=6，［b=5，［b=4，［b=3，［b=2，［b=i'

???最大的遞減數(shù)，

a=S,b=\,

/.10x8-9xl-c=10c+rf,即：llc+d=71,

，c最大取6,此時4=5,

，這個最大的遞減數(shù)為8165.

故答案為：8165.

【點睛】本題考查一元一次方程和二元一次方程的應用.理解并掌握遞減數(shù)的定義，是解題的關鍵.

三、解答題

15.（2023?內(nèi)蒙古通遼?統(tǒng)考中考真題）閱讀材料:

材料1：關于X的一元二次方程加+6x+c=0(〃/0)的兩個實數(shù)根與々和系數(shù)”，h,C有如下關系：

bc

%+4=—，&X)=一.

aa

材料2：已知一元二次方程V-x-l=O的兩個實數(shù)根分別為處小求加〃+"療的值.

解：；機，〃是一元二次方程x2-x_i=o的兩個實數(shù)根，

m+n=\,mn=-\.

貝！］nrn+nur1x1=—1.

根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學的知識，完成下列問題：

⑴應用：一元二次方程2f+3x-1=0的兩個實數(shù)根為與%,則%+馬=，尤也=；

(2)類比：已知一元二次方程2/+3x7=0的兩個實數(shù)根為"?，n,求加+/的值；

(3)提升：已知實數(shù)s,f滿足2s2+3s-l=0,2/+3-1=0且$片，，求的值.

st

31

【答案】(1)一5,--

若

(3)』-』的值為我或-布

st

【分析】(1)直接利用一元二次方程根與系數(shù)的關系求解即可；

(2)利用一元二次方程根與系數(shù)的關系可求出加+〃=-1,m〃=-萬，再根據(jù)病+”2=(祖+〃)-_2加7,最

后代入求值即可；

(3)由題意可將s、f可以看作方程+3x7=0的兩個根，即得出s+f=-93，sf=)1,從而由

22

(r-s)2=(r+s)2-4sf,求得-s=乎或…s=-半，最后分類討論分別代入求值即可.

【詳解】(1)解：?.?一元二次方程2/+3X—1=0的兩個根為王，X2,

.b3c1

??%+W=——=Xj-X=-=.

a22a2

31

故答案為：一,，-Q;

(2)解：一元二次方程2k+3x7=0的兩根分別為%

?工b3c1

a2a2

nV4-n2=(/??+n)2-2tnn

=-4-1

4

——13.

4，

(3)解：：實數(shù)s、f滿足2/+3s-l=0,2產(chǎn)+3f-l=0,

；.s、/可以看作方程2d+3x-1=0的兩個根，

V(/-J)2=(f+s)--4st

17

——,

4

.JF7瞪Vn

??t-S=---或，-5=-----，

22

當f-s=典時，

2

姮

1」=勺='_如，

5tSt

一/

2

后

2

綜上分析可知，的值為J萬或_J萬.

st

【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關系，完全平方公式的變形計算，分式的混合運算.理解題意，

掌握一元二次方程/+fer+c=0("0)根與系數(shù)的關系：石+W=——b和中巧=c￡是解題關鍵.

a。

16.(2023?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題)兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時了解到；玉

壁，玉環(huán)為我國的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據(jù)《爾雅?釋器》記載：“肉倍好，謂之璧;

肉好若一,調(diào)之環(huán).”如圖1,“肉”指邊(陰影部分)，“好”指孔,其比例關系見圖示，以考古發(fā)現(xiàn)看，這兩

種玉器的“肉''與"好"未必符合該比例關系.

⑴若圖1中兩個大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的‘‘肉''的面積之比為」

（2）利用圓規(guī)與無刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）.

①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關系是否符合“肉好若

一”？

②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關系符合“肉倍好”，請畫出內(nèi)孔.

【答案】（1）32:27

（2）①符合，圖見詳解；②圖見詳解

【分析】（1）根據(jù)圓環(huán)面積可進行求解；

（2）①先確定該圓環(huán)的圓心，然后利用圓規(guī)確定其比例關系即可；②先確定好圓的圓心，然后根據(jù)平行線

所截線段成比例可進行作圖.

【詳解】⑴解：山圖1可知：璧的“肉”的面積為%x（32-『）=8萬；環(huán)的，，肉,，的面積為萬x（32-1.52）=6.75萬，

，它們的面積之比為8乃:6.75乃=32:27；

故答案為32:27；

（2）解：①在該圓環(huán)任意畫兩條相交的線，且交點在外圓的圓上，且與外圓的交點分別為A、8、C,則分

別以A、B為圓心，大于［AB長為半徑畫弧，交于兩點，連接這兩點，同理可畫出線段AC的垂直平分線，

線段A8,AC的垂直平分線的交點即為圓心。，過圓心。畫一條直徑，以。為圓心，內(nèi)圓半徑為半徑畫弧,

看是否滿足“肉好若一”的比例關系即可

主視圖

由作圖可知滿足比例關系為1:2:1的關系；

②按照①中作出圓的圓心0,過圓心畫一條直徑A8,過點A作一條射線，然后以4為圓心，適當長為半徑

畫弧，把射線三等分，交點分別為C、D、E,連接跖，然后分別過點C、。作BE的平行線，交A8于點尸、

G,進而以FG為直徑畫圓，則問題得解；如圖所示：

【點睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)及平行線所截線段成比例，熟練掌握圓的基本性質(zhì)及平行線所截線段

成比例是解題的關鍵.

17.（2023?浙江寧波?統(tǒng)考中考真題）定義：有兩個相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為

鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角.

（1汝口圖1,在四邊形A3CO中，AD//BC,^A=90°,對角線BD平分NADC.求證：四邊形ABC。為鄰等

四邊形.

（2）如圖2,在6x5的方格紙中，A,B,C三點均在格點上，若四邊形488是鄰等四邊形，請畫出所有符

合條件的格點D.

⑶如圖3,四邊形ABCO是鄰等四邊形，ZDAB=ZABC=90°,NBCD為鄰等角，連接AC,過8作的〃AC

交八4的延長線于點￡若AC=8,DE=10,求四邊形E8CZ）的周長.

【答案】（1）證明見解析

（2）畫圖見解析

（3）38-6夜

【分析】（1）先證明NA8C=18（）o—NA=90。，ZADB=NCBD,再證明C0=C3,即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)新定義分兩種情況進行討論即可；①NB=NC=90,結(jié)合圖形再確定滿足CB=C￡）或AD=C￡）的

格點。；②N8=NA=9(),結(jié)合圖形再確定滿足43=A￡＞的格點。；

(3)如圖，過C作CQLAO于。，可得四邊形ABC。是矩形，AQ=BC,AD//BC,證明四邊形ACBE為

平行四邊形，可得8E=AC=8,AE=BC,設BC=AE=x,而?！?10,AD^lO-x,DQ=x-（10-x）=2x-10,

由新定義可得CD=CB=x,由勾股定理可得：X2-(2X-10)2=82-X2,再解方程可得答案.

【詳解】（1）解：；AD〃BC,NA=90。,

AZABC=180°-ZA=90°,ZADB=NCBD,

;對角線8。平分ZADC,

/.ZADB=ZCDB,

：.NCBD=NCDB,

CD=CB,

.??四邊形ABC。為鄰等四邊形.

（2）解：A，D2,2即為所求；

圖2

*/ZDAB=ZABC=90°,

二四邊形ABCQ是矩形，

AAQ=BC,AB=CQ,AD//BC,

:BE//AC,

，四邊形AC8E為平行四邊形，

BE=AC=8,AE=BC,

設BC=A￡=x,而Z)E=10,

AAD=\Q-x,￡>0=x-（lO-x）=2x-lO,

由新定義可得CD=CB=x,

由勾股定理可得:X2-（2X-10）2=82-X2,

整理得：X2-20X+82=0.

解得：玉=10-30,%=10+3應>8（不符合題意舍去），

CB=C￡>=10-3>/2,

...四邊形E38的周長為10+8+2（10-3應）=38-6夜.

【點睛】本題考查的是新定義的含義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩

形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應用，一元二次方程的解法，理解題意，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.

18.（2023?山西?統(tǒng)考中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學的數(shù)學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應任

務.

瓦里尼翁平行四邊形

我們知道,如圖1,在四邊形ABCD中，點E,F,G,H分別是邊AB,BC,8,D4的中點，順次連接E,F,G,H,

得到的四邊形EFGH是平行四邊形.

圖1

我查閱了許多資料?，得知這個平行四邊形￡FGH被稱為瓦里尼翁平行四邊形.瓦里尼翁

（Vhri"g〃s,Pie/rel654—1722）是法國數(shù)學家、力學家.瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關系密切.

①當原四邊形的對角線滿足一定關系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形.

②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關系.

③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.此結(jié)論可借助圖1證明如下：

證明：如圖2,連接AC,分別交于點P,Q,過點。作。0上AC于點交加于點N.

?.?”,6分別為45,0的中點，；.，6〃4(7,"6=14(7.(依據(jù)1)

2

圖2

.VDG=GC,：.DN=NM=-DM.

NMGC2

?.?四邊形EFG”是瓦里尼翁平行四邊形，狼〃G尸，即HP〃GQ.

'：HG//AC,即HG〃PQ,

二四邊形"P0G是平行四邊形.（依據(jù)2）.?.SHpg=HG-MN=g"G-DM.

S^^ACDM=HGDM,：.SHPQG=hAADC.同理，…

任務：

（1）填空：材料中的依據(jù)1是指：.

依據(jù)2是指：.

（2）請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形ABCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFG"，使得四邊形EFG”

為矩形；（要求同時畫出四邊形ABCD的對角線）

（3）在圖1中，分別連接AC8。得到圖3,請猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長與對角線4c,8。長度

的關系，并證明你的結(jié)論.

圖3

【答案】（1）三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）：平行四邊形的定

義（或兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）

（2）答案不唯一，見解析

(3)平行四邊形EFGH的周長等于對角線4c與8。長度的和，見解析

【分析】(1)根據(jù)三角形中位線定理和平行四邊形的定義解答即可；

(2)作對角線互相垂直的四邊形，再順次連接這個四邊形各邊中點即可；

(3)根據(jù)三角形中位線定理得瓦里尼翁平行四邊形一組對邊和等于四邊形的一條對角線，即可得她結(jié)論.

【詳解】(1)解：三角形中位線定理(或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半)

平行四邊形的定義(或兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形)

(2)解：答案不唯一，只要是對角線互相垂直的四邊形，它的瓦里尼翁平行四邊形即為矩形均可.例如:

如圖即為所求

B

(3)瓦里尼翁平行四邊形EFG”的周長等于四邊形ABC。的兩條對角線AC與8。長度的和,

證明如下：：點E,F,G,〃分別是邊股BC,CD,D4的中點,

：.EF=-AC,GH=^AC.

EF+GH=AC.

同理+=

.,?四邊形EFGH的周長=EF+G”+E”+FG=AC+.

即瓦里尼翁平行四邊形EFG”的周長等于對角線AC與8。長度的和.

【點睛】本題考查平行四邊形的判定，矩形的判定，三角形中位線.熟練掌握三角形中位線定理是解題的

關鍵.

19.(2023?河北?統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標系中，設計了點的兩種移動方式：從點(x,y)移動到點

(%+2,y+1)稱為一"次甲方式：從點(x,y)移動到點(x+l,y+2)稱為一次乙方式.

例、點尸從原點。出發(fā)連續(xù)移動2次；若都按甲方式，最終移動到點M(4,2)；若都按乙方式，最終移動到

點N(2,4)；若按1次甲方式和1次乙方式，最終移動到點E(3,3).

⑴設直線4經(jīng)過上例中的點〃,N,求4的解析式；并篁毯寫出將4向上平移9個單位長度得到的直線4的解

析式；

（2）點P從原點。出發(fā)連續(xù)移動10次，每次移動按甲方式或乙方式，最終移動到點。（x,y）.其中，按甲方式

移動了m次.

①用含〃?的式子分別表示x,y；

②請說明：無論〃?怎樣變化，點Q都在一條確定的直線上.設這條直線為4,在圖中直接畫出A的圖象；

（3）在（1）和（2）中的直線4,J%上分別有一個動點A8,C,橫坐標依次為。，ac,若A,B,C三點始終在

一條直線上，直接寫出此時“，b,c之間的關系式.

【答案】（1）4的解析式為y=T+6；4的解析式為y=-x+15；

（2）①x=m+10,y=20-機；②4的解析式為y=-x+30,圖象見解析；

⑶5a+3c，=8。

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求出4的解析式，然后根據(jù)直線平移的規(guī)律：上加下減即可求出直線&的

解析式；

（2）①根據(jù)題意可得：點P按照甲方式移動，〃次后得到的點的坐標為⑵”,加），再得出點（2%間按照乙方

式移動次后得到的點的橫坐標和縱坐標，即得結(jié)果；

②由①的結(jié)果可得直線%的解析式，進而可畫出函數(shù)圖象;

（3）先根據(jù)題意得出點A,B,C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出直線A8的解析式，再把點C的坐標代

入整理即可得出結(jié)果.

【詳解】（1）設4的解析式為廣取+b,把M（4⑵、N（2,4）代入，得

4k+b=2k——\

，解得:

2k+b=4b=6

4的解析式為y=-x+6；

將/,向上平移9個單位長度得到的直線12的解析式為y=-X+15；

（2）①：點P按照甲方式移動了，〃次，點P從原點。出發(fā)連續(xù)移動10次,

...點P按照乙方式移動了（10-相）次，

.??點P按照甲方式移動m次后得到的點的坐標為（2〃?,〃z）；

.?.點（2”,加）按照乙方式移動（10-加）次后得到的點的橫坐標為2，"+10-機=機+10,縱坐標為

加+2（10-帆）=20-m,

x=m+10,y=20-m；

②由于x+y=，〃+l°+2°—相=3°,

直線4的解析式為產(chǎn)r+30;

c,且分別在直線4,44上,

A（a,-a+6）,-b+15）,C（c;—c+30）,

設直線AB的解析式為y=mx+n,

把A、B兩點坐標代入，得

(,m=-i+----

ma人+n=-a人+b達，解得：；h-a，

mb+n=-b+15/9a

〃=6-----

b-a

二直線A3的解析式為產(chǎn)(-1+3)工+6-獸，

Ib-a)b-a

VA,B,C三點始終在一條直線上，

二J-1+—^-)+6--—=-c+30,

(b-a)b-a

整理得：5a+3c、=86：

即a,b,c之間的關系式為：5a+3c=助.

【點睛】本題是一次函數(shù)和平移綜合題，主要考查了平移的性質(zhì)和一次函數(shù)的相關知識，正確理解題意、

熟練掌握平移的性質(zhì)和待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式是解題關鍵.

20.(2023?湖南張家界?統(tǒng)考中考真題)閱讀下面材料：

將邊長分別為a,a+4b>a+2x/b,a+3>/^的正方形面積分別記為S1,S?,,S4.

則$2-S[=(a+y/h)2-a2

=[(a+>/^)+a]{(a+\/^)-a]

=(2a+揚).揚

=b+2a\[b

例如：當a=l,6=3時，52-5,=3+273

根據(jù)以上材料解答下列問題：

(1)當a=l,匕=3時，S,—52=,S4—S3=；

(2)當a=l,6=3時，把邊長為〃+〃振的正方形面積記作S角，其中〃是正整數(shù)，從(1)中的計算結(jié)果，

你能猜出5向-S”等于多少嗎？并證明你的猜想；

(3)當4=1,(=3時,令，1=S?-S],。=邑-$2，=Sd—53，…，乙=S"+1—S”，且7=4+右+，3++40,

求T的值.

【答案】⑴9+2百，15+2百

(2)猜想結(jié)論：S向一5“=6〃-3+2百，證明見解析

(3)7500+1006

【分析】(1)根據(jù)題意，直接代入然后利用完全平方公式展開合并求解即可；

(2)根據(jù)題意得出猜想，然后由完全平方公式展開證明即可；

(3)結(jié)合題意利用(2)中結(jié)論求解即可.

22

【詳解】(1)解：S3-S2=(a+24b)-(a+4b)

=a2+4a&+4b-(a2+2a>Jb+b)

=a2+4a\fb+4b-a2-2ay/b-b

=la4b+3b

當a=l,b=3時，

原式=2出+9：

5-3=3+3而2_(q+2而2

=a2+6a^fb+9b-(a2+4a\[h+4b)

=a2+6a>]b+9b-a2-4a\[b-4b

=2aR+5b

當。=1,6=3時，

原式=26+15;

(2)猜想結(jié)論：Sn+l-S?=6n-3+2y/3

證明：5e-5,,=(1+〃6)2—[1+(〃-1)61

=[2+(2〃_1)如卜6

=3(2〃-1)+2省

=6"-3+25/3:

(3)T=tt+t2+t3++f5n

=S2-5]+S3-S2+邑—邑++S51-S50

=S51-E

=(I+50揚2-1

=7500+1006.

【點睛】題目主要考查利用完全平方公式進行計算，理解題意，得出相應規(guī)律是解題關鍵.

21.（2023?湖北荊州?統(tǒng)考中考真題）如圖1,點尸是線段A8上與點A,點B不重合的任意一點，在A3的同

側(cè)分別以A,P,8為頂點作4=N2=N3,其中N1與23的一邊分別是射線A3和射線54,N2的兩邊不

在直線A8上，我們規(guī)定這三個角互為等聯(lián)角，點戶為等聯(lián)點，線段AB為等聯(lián)線.

圖1圖2圖3

（1）如圖2,在5x3個方格的紙上，小正方形的頂點為格點、邊長均為1,A8為端點在格點的已知線段.請

用三種不同連接格點的方法，作出以線段A3為等聯(lián)線、某格點P為等聯(lián)點的等聯(lián)角，并標出等聯(lián)角，保留

作圖痕跡；

（2汝口圖3,在Rt^APC中，/A=90,AC>AP,延長AP至點8,使