新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識清單+鞏固練習(xí)專題15 直線與圓（原卷版）

第第頁專題15直線與圓一、知識速覽二、考點速覽知識點1直線的方程1、直線的傾斜角（1）定義：當(dāng)直線l與x軸相交時，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0.（2）范圍：直線l傾斜角的取值范圍是[0，π)．2、直線的斜率（1）定義：一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan_α，傾斜角是eq\f(π,2)的直線沒有斜率．（2）過兩點的直線的斜率公式：經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).3、直線方程的五種形式形式幾何條件方程適用范圍點斜式過一點(x0，y0)，斜率ky－y0＝k(x－x0)與x軸不垂直的直線斜截式縱截距b，斜率ky＝kx＋b與x軸不垂直的直線兩點式過兩點(x1，y1)，(x2，y2)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與x軸、y軸均不垂直的直線截距式橫截距a，縱截距beq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點的直線一般式Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有直線【注意】“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo)值，它可正、可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個非負(fù)數(shù)．知識點2兩條直線的位置關(guān)系1、兩條直線平行與垂直的判定（1）兩條直線平行①對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.②當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2.（2）兩條直線垂直①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，l1⊥l2.2、兩條直線的交點的求法直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，則l1與l2的交點坐標(biāo)就是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．3、三種距離公式（1）平面上的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).特別地，原點O(0,0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).（2）點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).（3）兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).4、直線系方程的常見類型（1）過定點P(x0，y0)的直線系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是參數(shù)，直線系中未包括直線x＝x0)，也就是平常所提到的直線的點斜式方程；（2）平行于已知直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是參數(shù)且λ≠C)；（3）垂直于已知直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是參數(shù))；（4）過兩條已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．知識點3圓的方程1、圓的定義及方程定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心：(a，b)半徑：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圓心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑：r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)2、點與圓的位置關(guān)系點M(x0，y0)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.理論依據(jù)點到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系三種情況(x0－a)2＋(y0－b)2eq\a\vs4\al(＝)r2?點在圓上(x0－a)2＋(y0－b)2eq\a\vs4\al(>)r2?點在圓外(x0－a)2＋(y0－b)2eq\a\vs4\al(<)r2?點在圓內(nèi)3、二元二次方程與圓的關(guān)系不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的結(jié)構(gòu)都認(rèn)為是圓，一定要先判斷D2＋E2－4F的符號，只有大于0時才表示圓．若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，則有：（1）當(dāng)F＝0時，圓過原點．（2）當(dāng)D＝0，E≠0時，圓心在y軸上；當(dāng)D≠0，E＝0時，圓心在x軸上．（3）當(dāng)D＝F＝0，E≠0時，圓與x軸相切于原點；E＝F＝0，D≠0時，圓與y軸相切于原點．（4）當(dāng)D2＝E2＝4F時，圓與兩坐標(biāo)軸相切．知識點4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1、直線與圓的位置關(guān)系及判斷（1）三種位置關(guān)系：相交、相切、相離．（2）兩種判斷方法：①eq\x(代數(shù)法)eq\o(→,\s\up9(聯(lián)立方程得方程組消去x或y),\s\do7(得一元二次方程，Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0?相交,Δ＝0?相切,Δ＜0?相離))②eq\x(幾何法)eq\o(→,\s\up9(圓心到直線的距離為d),\s\do7(半徑為r))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＜r?相交,d＝r?相切,d＞r?相離))2、圓的切線與切線長（1）過圓上一點的圓的切線①過圓x2＋y2＝r2上一點M(x0，y0)的切線方程是x0x＋y0y＝r2.②過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點M(x0，y0)的切線方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.（2）過圓外一點的圓的切線過圓外一點M(x0，y0)的圓的切線求法：可用點斜式設(shè)出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率k，從而得切線方程；若求出的k值只有一個，則說明另一條直線的斜率不存在，其方程為x＝x0.（3）切線長①從圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一點M(x0，y0)引圓的兩條切線，切線長為eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).②兩切點弦長：利用等面積法，切線長a與半徑r的積的2倍等于點M與圓心的距離d與兩切點弦長b的積，即b＝eq\f(2ar,d).【注意】過一點求圓的切線方程時，要先判斷點與圓的位置關(guān)系，以便確定切線的條數(shù)．3、圓的弦長直線和圓相交，求被圓截得的弦長通常有兩種方法：（1）幾何法：因為半弦長eq\f(L,2)、弦心距d、半徑r構(gòu)成直角三角形，所以由勾股定理得L＝2eq\r(r2－d2).（2）代數(shù)法：若直線y＝kx＋b與圓有兩交點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.4、圓與圓的位置關(guān)系(兩圓半徑為r1，r2，d＝|O1O2|)相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形量的關(guān)系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|【注意】涉及兩圓相切時，沒特別說明，務(wù)必要分內(nèi)切和外切兩種情況進行討論．一、直線的傾斜角與斜率范圍的求法1、求傾斜角的取值范圍的一般步驟（1）求出斜率k＝tanα的取值范圍．（2）利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象，確定傾斜角α的取值范圍．求傾斜角時要注意斜率是否存在．2、斜率取值范圍的2種求法（1）數(shù)形結(jié)合法：作出直線在平面直角坐標(biāo)系中可能的位置，借助圖形，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性確定；（2）函數(shù)圖象法：根據(jù)正切函數(shù)圖象，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可【典例1】直線SKIPIF1<0的傾斜角的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】已知過點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0的傾斜角為鈍角，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是.【典例3】設(shè)點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0且與線段SKIPIF1<0相交，則直線SKIPIF1<0的斜率k的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0二、求解直線方程的兩種方法（1）直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線方程；（2）待定系數(shù)法：①設(shè)所求直線方程的某種形式；②由條件建立所求參數(shù)的方程(組)；③解這個方程(組)求出參數(shù)；④把參數(shù)的值代入所設(shè)直線方程【典例1】過點SKIPIF1<0且在SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸上截距相等的直線方程為【典例2】已知一條直線經(jīng)過點A（2,－SKIPIF1<0），且它的傾斜角等于直線x－SKIPIF1<0y＝0傾斜角的2倍，則這條直線的方程為；【典例3】寫出滿足下列條件的直線的方程，并把它化成一般式：（1）經(jīng)過點SKIPIF1<0，傾斜角是直線SKIPIF1<0的傾斜角的2倍；（2）經(jīng)過兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）經(jīng)過點SKIPIF1<0，平行于x軸；（4）在x軸，y軸上的截距分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．三、由一般式方程確定兩直線位置關(guān)系的方法直線方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)l1與l2垂直的充要條件A1A2＋B1B2＝0l1與l2平行的充分條件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)l1與l2相交的充分條件eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2B2≠0)l1與l2重合的充分條件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)【典例1】“SKIPIF1<0”是“直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0：SKIPIF1<0平行”的（）A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【典例2】（多選）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例3】已知直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0可能重合B．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0不可能垂直C．存在直線SKIPIF1<0上一點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為中心旋轉(zhuǎn)后與SKIPIF1<0重合D．以上都不對四、兩條直線的交點與距離問題1、求過兩直線交點的直線方程的方法求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程，也可借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程，這樣能簡化解題過程．2、點到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件（1）求點到直線的距離時，應(yīng)先化直線方程為一般式．（2）求兩平行線之間的距離時，應(yīng)先將方程化為一般式且x，y的系數(shù)對應(yīng)相等．【典例1】點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離是．【典例2】已知兩條平行直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0間的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【典例3】若三條直線SKIPIF1<0相交于同一點，則點SKIPIF1<0到原點的距離的最小值為．

.五、對稱問題的求解方法1、點關(guān)于點：點P(x，y)關(guān)于點Q(a，b)的對稱點P′(x′，y′)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))2、線關(guān)于點：直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決．3、點關(guān)于線：點A(a，b)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0(B≠0)的對稱點A′(m，n)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))4、線關(guān)于線：直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決．【典例1】點SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0的對稱點的坐標(biāo)為．【典例2】與直線SKIPIF1<0關(guān)于點SKIPIF1<0對稱的直線的方程為.【典例3】已知直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0的對稱直線為SKIPIF1<0軸，則SKIPIF1<0的方程為.六、求圓的方程的兩種方法1、幾何法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進而寫出方程．2、待定系數(shù)法：（1）若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；（2）若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇設(shè)圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值．【典例1】圓心在射線SKIPIF1<0上，半徑為5，且經(jīng)過坐標(biāo)原點的圓的方程為（）.A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】經(jīng)過點SKIPIF1<0的圓的方程為.七、解決有關(guān)弦長問題的常用方法及結(jié)論1、幾何法：如圖所示，設(shè)直線l被圓C截得的弦為AB，圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則有關(guān)系式：|AB|＝2eq\r(r2－d2)2、代數(shù)法：若斜率為k的直線與圓相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)兩點，則|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xA＋xB2－4xAxB)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特別地，當(dāng)k＝0時，|AB|＝|xA－xB|；當(dāng)斜率不存在時，|AB|＝|yA－yB|，【典例1】“SKIPIF1<0”是“直線SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0所截得的弦長等于SKIPIF1<0”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【典例2】若直線過點SKIPIF1<0且被圓SKIPIF1<0截得的弦長是6，則該直線的方程為.【典例3】若直線l：SKIPIF1<0與圓C：SKIPIF1<0相交于A，B兩點，SKIPIF1<0，則直線l的斜率的取值范圍為.八、求過一點(x0，y0)的圓的切線方程的方法1、幾何法：當(dāng)斜率存在時，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出k的值，進而寫出切線方程，當(dāng)斜率不存在時，要進行驗證；2、代數(shù)法：當(dāng)斜率存在時，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓的方程，得到一個關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出，當(dāng)斜率不存在時，要進行驗證【典例1】過圓SKIPIF1<0上點SKIPIF1<0的切線方程為．【典例2】過點SKIPIF1<0且與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相切的直線方程為九、求與圓有關(guān)的軌跡問題的方法1、直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；2、定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程；3、幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程；4、代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式【典例1】已知橢圓SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，過平面內(nèi)的點SKIPIF1<0作橢圓SKIPIF1<0的兩條互相垂直的切線，則點SKIPIF1<0的軌跡方程為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】動點SKIPIF1<0與定點SKIPIF1<0的連線的斜率之積為SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0的軌跡方程是.【典例3】已知圓SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0點的軌跡方程為．易錯點1誤解“截距”和“距離”的關(guān)系點撥：截距是指曲線與坐標(biāo)軸交點的橫（縱）坐標(biāo)，它是一個實數(shù)，可為正數(shù)、負(fù)數(shù)、零，而距離一定是非負(fù)數(shù)，對此考生應(yīng)高度重視。【典例1】過點SKIPIF1<0的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【典例2】經(jīng)過點SKIPIF1<0，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程是