八年級(jí)寒假班-04-函數(shù)的復(fù)習(xí)-教師版

八年級(jí)寒假班

初二數(shù)學(xué)寒假班（學(xué)生版）

教師日期

學(xué)生

課程編號(hào)課型新課

課題函數(shù)的復(fù)習(xí)

教學(xué)目標(biāo)

1.熟悉正反比例及一次函數(shù)的概念和性質(zhì)

2.能利用函數(shù)的性質(zhì)解決相應(yīng)的問題即求角或者邊之間的關(guān)系

3.能夠運(yùn)動(dòng)數(shù)形結(jié)合的思想解決幾何背景下的函數(shù)問題.

教學(xué)重點(diǎn)

1.熟練的運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)

2.運(yùn)用一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題.

3.運(yùn)用一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)求解初步幾何問題.

教學(xué)安排

版塊時(shí)長(zhǎng)

1正反比例函數(shù)20min

2一次函數(shù)30min

3函數(shù)的綜合50min

4作業(yè)20min

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函數(shù)的復(fù)習(xí)

知識(shí)結(jié)構(gòu)

模塊一：正反比例函數(shù)

知識(shí)精講

1、正比例函數(shù)：y=kx（存0）；圖像是一條直線，與坐標(biāo)軸僅有一個(gè)交點(diǎn)；人＞0時(shí)，隨著x

的逐漸增大，函數(shù)值y的值越來越大；M0時(shí)，隨著x的逐漸增大，函數(shù)值y的值越來

越小.

2、反比例函數(shù)：-（際0）,圖像是雙曲線，與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)；A0時(shí)，在每一象限內(nèi),

X

隨著x的逐漸增大，函數(shù)值y的值越來越??；％V0時(shí)，在每一象限內(nèi)，隨著x的逐漸增

大，函數(shù)值y的值越來越大.

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例題解析

【例1】（1）正方形的周長(zhǎng)C與正方形的對(duì)角線長(zhǎng)a正比例（填“成”或“不成”）；

（2）已知正比例函數(shù)的自變量x減少2時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)的值增加3,則這個(gè)函數(shù)的解析式

為.

【難度】★

3

【答案】⑴成；（2）=

2

/y「4x—ci

【解析】（1）正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為a,則正方形的邊長(zhǎng)為衛(wèi)，則'=—==2痣，

2aa

為一定值，所以成正比例.

3

（2）設(shè).二履,則由題意，口J得：y+3=k（x—2）,解得:k=—,

從而可得這個(gè)函數(shù)的解析式為夕=-,》.

【總結(jié)】考察正比例的定義和正比例函數(shù)解析式的求法.

【例2】（1）如果產(chǎn)6+2上+x是正比例函數(shù)，求上的值；

（2）如果y=（，"-l）x"jm+3是反比例函數(shù)，求加的值.

【難度】★

【答案】（1）0；（2）4.

【解析】（1）因?yàn)槭钦壤瘮?shù)，所以2A=0,解得：k=0；

（2）因?yàn)楹瘮?shù)是反比例函數(shù)，

所以可得，，，..機(jī)=4.

|加一1二0

【總結(jié)】考察正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的定義，注意比例系數(shù)要不為零.

【例3】（1）正比例函數(shù)>>=（"/-吟經(jīng)過第象限，y隨X增大而

（2）反比例函數(shù)y=（小一⑼X"、"川經(jīng)過第象限，在同一象限內(nèi)，丁隨

X增大而.

【難度】★

【答案】（1）一、三，增大：（2）一、三，減小.

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【解析】⑴因?yàn)槭钦壤瘮?shù)，所以可得收一.+1=1,解得：機(jī)=3,

函數(shù)解析式為y=6x,圖像過一、三象限，夕隨x的增大而增大；

(2)因?yàn)槭欠幢壤瘮?shù)，所以可得[1一.+1=-1,解得：m=2,

[m~一加w0

2

???函數(shù)解析式為y=圖像過一、三象限，V隨X的增大而減小.

x

【總結(jié)】考察正、反比例函數(shù)的概念和性質(zhì)，注意比例系數(shù)不為零.

【例4】已知正比例函數(shù)尸hx,函數(shù)值y隨著x的增大而減小，反比例函數(shù)尸4的＜0),

X

它們?cè)谕恢苯亲鴺?biāo)系中的圖象大致是().

【難度】★

【答案】A

【解析】由題意可知：正比例函數(shù)在二、四象限；反比例函數(shù)在二、四象限，故選A.

【總結(jié)】考察正、反比例函數(shù)的圖像及性質(zhì).

【例5】(1)已知歹=%+8，且必與x成正比例，%與x+3成正比例，當(dāng)k1時(shí)，y=-l,

當(dāng)x=3時(shí)，y=9,求x=5時(shí)，y的值；

(2)已知了與x成反比例關(guān)系，且x=2時(shí)，y=-3a；當(dāng)x=a+l時(shí)，y=6.求y與x之間

的函數(shù)解析式.

【難度】★★

T.

【答案】⑴19；(2)y=士.

x

【解析】(1)設(shè)外=〃a，y2=n(x+3),則y=(/W+N)X+3〃，

Jm+n+3n=-1解得：＜7,；.y=5x-6

由題意可得:

[3（w+〃）+3〃=9n=-2

二當(dāng)x=5時(shí)，y=19；

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k

t-=-3Q1

⑵設(shè)y=。,則可得:2,，；?"=一5

XK_r1,

【總結(jié)】本題一反面考察了復(fù)合函數(shù)解析式的確定，另一方面考查了反比例函數(shù)的概念.

【例6】已知正比例函數(shù)的圖像上一點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)是2,作PDL軸(0是坐標(biāo)原點(diǎn)，。是

垂足)，A0P。的面積是6,求這個(gè)正比例函數(shù)的解析式.

【難度】★★

【答案】夕=3X或了=-3》.

【解析】由題意可得：；0PPD=6,0P=2,則尸。=6,P(2,6)或P(2,-6)

則正比例函數(shù)的解析式為y=3x或y=-3x

【總結(jié)】考察正比例函數(shù)解析式的求法，注意長(zhǎng)度轉(zhuǎn)成點(diǎn)坐標(biāo)需要注意正負(fù).

【例7】已知如圖，點(diǎn)48是反比例函數(shù)y=3圖像上的點(diǎn)，分別經(jīng)過小8兩點(diǎn)向x軸、y

X

軸做垂線段，若胸影=1,則[+S2=(s-S?指的是空白矩形的面積).

【難度】★★

【答案】4

【解析】TS]+S陰影=3,S2+S陰影=3，S陰影=1，

,5\=2,52=2,；?$+S2=4.

【總結(jié)】考察反比例函數(shù)的面積問題.過反比例函數(shù)y=?

X

上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，構(gòu)成的矩形的面積為悶.

【例8】已知”(0,4)、8(6,4)、C(6,0)三點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線把矩形O48C

的面積分成1:2兩部分，求這條直線的函數(shù)解析式.

【難度】★★

【答案】y=x或y=gx.

【解析】矩形ON8C的面積為24,因?yàn)橹本€將矩形分成1:2兩部分，則其中較小部分的面

積為8.當(dāng)經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線與AB相交時(shí)，其交點(diǎn)為。，則、4x=8,則/￡>=4,

2

/.￡)(4,4),此時(shí)正比例函數(shù)解析式為夕=x；

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當(dāng)經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線與C8相交時(shí)，其交點(diǎn)為E,則2x6xCE=8,則CE=g,

23

此時(shí)正比例函數(shù)解析式為y

【總結(jié)】考察面積的處理方法和正比例函數(shù)解析式的求法，注意分類討論.

【例9】在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（1,0）,在直線y=上

取一點(diǎn)P，使得AO/尸是等腰三角形，求所有滿足條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【難度】★★★

【答案】當(dāng)或尸「叵」］或尸（-也」］或尸艮遮.

126）（22）［22）（22）

【解析】當(dāng)OP=ZP時(shí)，尸點(diǎn)在。1的線段垂直平分線上，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,，

2

代入函數(shù)解析式可得縱坐標(biāo)為——?,pj-,——

當(dāng)。f=。力時(shí)，

6\26,3

22J122J

當(dāng)NP=OZ時(shí)，設(shè)尸n,—n

3

尸（0,0）或哈用

,其中與原點(diǎn)重合舍去.

或卑）

綜上所述,滿足題意的點(diǎn)坐標(biāo)為P

【例10］已知如圖，矩形。18c的頂點(diǎn)5（加，2）在正比例函數(shù)y=的圖像上，點(diǎn)/在

X軸上，點(diǎn)。在y軸上，反比例函數(shù)的圖像過邊上點(diǎn)M,與力5邊交于點(diǎn)N,且

BM=3CM,求此反比例函數(shù)的解析式及點(diǎn)N的坐標(biāo).

【難度】★★★

【答案】y=~~1

【解析】YB（機(jī)，2）在正比例函數(shù)夕=；x的圖像上，...加=4.

,;BM=3CM,:.BM=3,CM=1,二例（1,2）,

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...反比例函數(shù)的解析式為y=^,：.N（4,g）.

【總結(jié)】考察反比例函數(shù)的解析式的求法和點(diǎn)坐標(biāo)的求法.

【例11】正比例函數(shù)、=%/的圖像與反比例函數(shù)、=%的圖像相交于點(diǎn)/、B（如圖），

X

點(diǎn)/在第一象限，且點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為1,作NOLx軸，垂足為。點(diǎn)，=1.

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；

（3）如果AO/C是以0/為腰的等腰三角形，且點(diǎn)C在x軸上，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

【難度】★★★y1

【答案】見解析.|\/

【解析】（1）由題可知，點(diǎn)/坐標(biāo)為：/（1,2）：

（2）反比例函數(shù)解析式為夕=2；正比例函數(shù)解析式為尸2x；710

（3）當(dāng)。4=0C時(shí)，0力="，則c（VLo）或c（-VLo）,/\|

當(dāng)O/=4C時(shí)，由等腰三角形三線合一性質(zhì)可得：OD=DC=\,AC（2,0）

綜上所述：C（Go）或。卜石，0）或C（2,0）.

【總結(jié)】考察正反比例函數(shù)解析式的求法和等腰三角形的分類討論.

【例12］如圖所示，已知正方形/8C。的邊長(zhǎng)是3厘米，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)，沿BCDA方

向運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)/停止.點(diǎn)夕的運(yùn)動(dòng)的路程為x厘米，A/8尸的面積為y平方厘米.

（1）當(dāng)點(diǎn)尸在8c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求y關(guān)于x的解析式及定義域；

（2）當(dāng)點(diǎn)尸在CL?上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求y關(guān)于x的解析式及其定義域；

（3）當(dāng)x取何值時(shí)，A/8尸的面積為1.5平方厘米？----------------f

【難度】★★★【答案】見解析.

【解析】（1）當(dāng)點(diǎn)尸在8c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PB=x（0<x<3）

y=—xABxBP=—x（0<x<3）；

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在CO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BC+CP=x,

/.y=」xABxBC--(34x46)；

22

(3)—xABxh=\.5,.*./?=1

2

當(dāng)尸在BC邊上時(shí)，x=l；當(dāng)尸在。“邊上時(shí)，x=8.

A

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模塊二：一次函數(shù)

知識(shí)精講

1.函數(shù)的概念和圖像及性質(zhì)

(1)定義：解析式形如y=Ax+b/=0)的函數(shù)叫做一次函數(shù).

(2)一次函數(shù)的圖象滿足：

①形狀是一條直線；②始終經(jīng)過(0,b)和(-2,0)兩點(diǎn)；

k

(3)定義：直線y=+6/片0)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,6),截距是6；

(4)一次函數(shù)卜=h+6口工0),當(dāng)%>0時(shí)、函數(shù)值y隨自變量x的值增大而增大；當(dāng)k<0

時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而減小.

2.函數(shù)的應(yīng)用

(1)實(shí)際問題；

(2)數(shù)形結(jié)合類.

(B例題解析

【例13](1)已知一次函數(shù)y=fcr+6,當(dāng)x=-3時(shí)，尸1；當(dāng)尸2時(shí)，y=-6,求這個(gè)一次函

數(shù)的解析式；

(2)已知一次函數(shù)y=f(x),且/(-I)=-3,/(I)=1,求函數(shù)/(x)的解析式.

【難度】★

【答案】⑴=；(2)f(x)=2x-l.

f_弘+/)=]k=—

【解析】(1)由題意可得：，解得：2，

12%+6=-6b^--

.~~T

則一次函數(shù)解析式為y=

(2)設(shè)f(x)=kx+b,

,口h七?口/一%+6=-3/,力’口\k=2

由題盡可得：\,解得：\，

[k+b=\[6=—1

則一次函數(shù)解析式為/(x)=2x-l.

【總結(jié)】考察利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的求解析式.

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【例14](1)若一次函數(shù)嚴(yán)發(fā)(1-x)+3的圖像在y軸上的截距是-5,求這個(gè)函數(shù)解析式;

(2)若一次函數(shù)y=(2-")x+(4-/)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，求女的值.

【難度】★

【答案】(I)y=-8x—5：(2)k=-2.

【解析】(1)若一次函數(shù)嚴(yán)4(1-x)+3的截距為&+3=-5,則&=-8,

所以這個(gè)函數(shù)的解析式為y=-8x-5

(2)?.?圖像過原點(diǎn)，

4一〃2=。且2-4工0,/.k=-2

【總結(jié)】考察一次函數(shù)的截距等概念.

【例15](1)若直線產(chǎn)丘+6與直線y=-2x+4無交點(diǎn)，且直線受履+6與x軸的交點(diǎn)是

(3,0),求此函數(shù)解析式；

(2)己知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(1,-2)、(-2,I).求這個(gè)一次函數(shù)的解析式.

【難度】★

【答案】(1)y=-2x+6；(2)y=-x-\.

【解析】(I)直線尸Ax+b與直線尸-2x+4無交點(diǎn)，

.■?直線尸fcv+6與直線產(chǎn)-2x+4平行，.％=-2,故解析式為y=-2x+b,

直線廣丘+6與x軸的交點(diǎn)是(3,0),6=6,

函數(shù)解析式為y=-2x+6；

(2)y=kx+b,

由題意可得：了]，解得：則一次函數(shù)解析式為y=-x-l.

【總結(jié)】考察一次函數(shù)解析式的求法，注意兩直線的位置關(guān)系與左和人的關(guān)系.

【例16](1)若把函數(shù)、=-!》的圖像向下平移4個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位，求平移

后的函數(shù)解析式：

(2)若一次函數(shù)的圖像向下平移4個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位得到的函數(shù)解析式是

y=--x,求平移前的函數(shù)解析式.

3

【難度】★★

【答案】(1)y=——x--；(2)y=——x+—.

-3333

【解析】(1)利用平移規(guī)則，可知平移后的函數(shù)解析式為：^=-1(x-2)-4=-1x-y；

(2)利用平移規(guī)則，可知平移后的函數(shù)解析式為：j=--(x+2)+4=--x+—.

333

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【例17】已知直線產(chǎn)履+4經(jīng)過點(diǎn)尸（1,m）,且平行于直線y=-2x+l,它與x軸相交于點(diǎn)

A,求△。力的面積.

【難度】★★

【答案】2.

【解析】：直線尸tr+4平行于直線廠辦+1,k=-2,則y=-2x+4,

則它與x軸相交于點(diǎn)4（2,0）.

?.,直線y=-2x+4經(jīng)過點(diǎn)P（1,tn）,：.m=2,尸（1,2）.

二△尸ON的面積為：-xOAxP=-x2x2=2.

2,v2

【總結(jié)】考察一次函數(shù)的圖像性質(zhì)及與三角形面積的結(jié)合.

【例18]已知一次函數(shù)y=Ax+6的自變量的取值范圍是-24x46,相應(yīng)的函數(shù)值的范圍是

-H<y<9,求這個(gè)函數(shù)的解析式.

【難度】★★

【答案】y=-yX+4Wt=1-x-6.

【解析】當(dāng)左<0時(shí)，則有=9,解得：卜=-g,

W+6=-n[h=i

這個(gè)函數(shù)解析式為y=-gx+4；

當(dāng)A>0時(shí)，貝情（口+6=T1,解得：M=|,

I6k+b=9[6=-6

這個(gè)函數(shù)解析式為y=gx-6.

【總結(jié)】考察一次函數(shù)的性質(zhì)，注意此類題要有兩種情況的分類討論.

【例19】已知直線/過點(diǎn)（-2,4），且與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰三角形，

（1）求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；

（2）所得三角形的周長(zhǎng)及面積.

【難度】★★

【答案】見解析.

【解析】設(shè)一次函數(shù)的解析式為、=履+6,

?.?函數(shù)圖像與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰三角形，A\b\=--,則％=1或-1

k

當(dāng)A=1時(shí)，一次函數(shù)為丁=x+6,直線/過點(diǎn)（-2,4）,:?b=6,：.y=x+6

與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0,6）,（-6,0）,此時(shí)周長(zhǎng)為12+6五，面積為18；

當(dāng)攵二一1時(shí)，一次函數(shù)為y=+直線/過點(diǎn)（?2,4）,:?b=2,y=-x+2,

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與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(0,2),(2,0),此時(shí)周長(zhǎng)為4+2拉，面積為2.

【總結(jié)】考察一次函數(shù)的性質(zhì)，注意線段長(zhǎng)與點(diǎn)坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換.

【例20】某中學(xué)初二年級(jí)準(zhǔn)備購(gòu)買1()只米奇品牌的筆袋，每只筆袋配x(x>3)支水筆作為

獎(jiǎng)品.已知/、8兩家超市都有這個(gè)牌子的筆袋和水筆出售，而且每只筆袋的標(biāo)價(jià)都為

20元，每只水筆的標(biāo)價(jià)都為1元，現(xiàn)兩家超市正在促銷，Z超市所有商品均打九折銷

售，而8超市買1只筆袋送3支水筆，若僅考慮購(gòu)買筆袋和水筆的費(fèi)用，請(qǐng)解答下列

的問題：

(1)如果只在某一家超市購(gòu)買所需筆袋和水筆，那么去哪家超市購(gòu)買更合算？

(2)當(dāng)％=12時(shí)，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)最省錢的購(gòu)買方案.

【難度】★★★

【答案】見解析.

【解析】(1)/家超市共付(10x20+10x)x0.9=180+9x(x>3)；

8家超市共付I0X20+10X-30=10X+170(x>3)；

當(dāng)180+9x=10x+170時(shí)，則x=10：當(dāng)180+9x>10x+190時(shí)，則x<10；

當(dāng)180+9x<10x+190時(shí)，則x>10；

所以每只筆袋配10只筆時(shí)，A.8兩家超市都一樣；

每只筆袋配超過10只筆時(shí)，選/家超市更合算；

每只筆袋配超過10只但是不少于3只筆時(shí)，選8家超市更合算；

(2)當(dāng)％=12時(shí)，即要10支筆袋，配120支筆.

設(shè)總費(fèi)用為從在/超市買a只筆袋，在8超市買只，送了3(10-a)支筆，

則b=0.9x[20a+120-3(10-a)]+20(10-a)

/>=0.7a+281(0<a<10)

故當(dāng)a=0時(shí)，總費(fèi)用最少，為281元，

因此在B超市買10只筆袋，在A超市買90支水筆是最省錢的購(gòu)買方案.

【總結(jié)】考察一次函數(shù)的應(yīng)用.

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【例21］若直線y=+6過^=3》-5與^=-2x+10的交點(diǎn)4,y=fcv+6與y軸于8,

夕=-2》+10交工軸于（7,若%sc=12,求直線尸y=Ax+6的解析式.

【難度】★★★

【答案】y=2x-2.

【解析】??一=3》-5與卜=-2*+10的交點(diǎn)4為（3,4）,y=H+6與y軸交于點(diǎn)8（0,b）,

y=-2x+10交x軸于點(diǎn)C（5,0）

又：直線了=依+6過”為（3,4）,3k+b=4,

...過4作ZELx軸，垂足為E,

當(dāng)0<644時(shí)，

S^ABC=$四邊形“BO￡+S2EC-SMe=］義3x0+4）+—x2x4——x5x/>=12,

解得：b=-2（舍去）

當(dāng)b<0時(shí)，設(shè)直線/E與BC相交于F

S^ABC=S&AFC+S&BFC

V3左+6=4,k=2,b=—29

...直線解析式為y=2x-2.

【總結(jié)】考察面積問題的處理方法，注意分類討論.

模塊三：綜合

例題解析

【例22】已知反比例函數(shù)了=&”#0）和一次函數(shù)y=2x-l,其中一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)

（k,5）.

（1）試求反比例函數(shù)的解析式；

（2）若點(diǎn)N在第一象限，且同時(shí)在上述兩個(gè)函數(shù)的圖像上，求點(diǎn)力的坐標(biāo).

【難度】★★

【答案】（1）V=T；（2）4（3,5）?

【解析】（1）???一次函數(shù)y=2x-l經(jīng)過點(diǎn)（k,5）,...4=3,...點(diǎn)坐標(biāo)為（3,5）,

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又因?yàn)檫@個(gè)點(diǎn)在反比例函數(shù)上，所以反比例函數(shù)的解析式為y="；

X

(2)令”=2x-l,解得：Xj=--,x2=3,代入■可得：m=-6,%=5,

x2x

?點(diǎn)Z在第一象限，.?.1(3,5).

【總結(jié)】考察反比例解析式的求法和交點(diǎn)坐標(biāo)的求法.

【例23］如圖，一次函數(shù)y=fcc+6(%*0)的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)48兩點(diǎn)，且與

反比例函數(shù)y='(wHO)的圖像在第一象限交于C點(diǎn)，C。垂直于x軸，垂足為。.若

x

OA=OB=OD=\.

(1)求點(diǎn)/、B、。的坐標(biāo)；

(2)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.

【難度】★★

【答案】(1)4(-1,0),1(0,1),1(1,0);

，c、,2

(2)_y=x+1,y=--

x

【解析】(1)'：OA=OB=OD=\,：.J(-1,0),5(0,1),2)(1,0)；

(2)：一次函數(shù)〉=履+6(人二0)的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)/、8兩點(diǎn),

/.J7=X+1；

?.?。在丁=1+1上，Ac(l,2).

；C(l,2)在夕=%上，：,y=~.

XX

【總結(jié)】考察反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式求法.

【例24］如圖，一次函數(shù)卜=履+萬伏h0)的圖像與與反比例函數(shù)y=的圖像交于/、B

X

兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)和點(diǎn)B的縱坐標(biāo)都是-2,

求：(1)一次函數(shù)的解析式；(2)A/08的面積.

【難度】★★

【答案】(1)y=-x+2；(2)6.

【解析】(1):點(diǎn)/的橫坐標(biāo)和點(diǎn)8的縱坐標(biāo)都是-2,

且兩點(diǎn)都在反比例函數(shù)＞的圖像上，

X

：.A(-2,4),5(4,-2)

,/兩點(diǎn)都在一次函數(shù)y=h+b(%工0)上，

.1一24+b=4.(k=-l

必+6=-2b=2

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一次函數(shù)解析式為：y=-x+2；

（2）:一次函數(shù)y=-x+l與x軸的交點(diǎn)為（2,0）,

S&AOB=S^OE=—X2x4+yX2x2=6.

【總結(jié)】考察反比例函數(shù)和?次函數(shù)解析式的求法及三角形面積的求法.

【例25】已知點(diǎn)力（加，2m）（其中,心0）在雙曲線夕=?上，直線y=Ax+6過點(diǎn)4并且與

X

坐標(biāo)軸正方向所圍成的三角形的面積是18,求直線的解析式.

【難度】★★

【答案】y=-x+6或y=-4x+12.

【解析】I?點(diǎn)力（加，2加）（其中〃?>0）在雙曲線丁=?上，

x

Q

A2m=—,，"？=2或-2,w>0,：.m=2,，/（2,4）

m

?直線嚴(yán)區(qū)+6過點(diǎn)/,2左+6=4

?.?直線差船+6與坐標(biāo)軸正方向所圍成的三角形的面積是18,

方［一.）=18,解得：4=-1或-4

當(dāng)％=-1時(shí)，6=6,直線的解析式為y=-x+6；

當(dāng)％=-4時(shí)，b=12,直線的解析式為y=-4x+12.

【總結(jié)】考察反比例函數(shù)、一次函數(shù)解析式的求法和面積問題的處理方法.

【例26】已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)P（-3,2）、Q（2,-3）.

(1)求這兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)解析式;

(2)在給定的直角坐標(biāo)系中，畫出這兩個(gè)函數(shù)的大致圖像;

(3)當(dāng)x為何值時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值?當(dāng)x為何值時(shí)，一?次函數(shù)的

值小于反比例函數(shù)的值?

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(2)如右圖;

(3)當(dāng)》<-3或0<x<2時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值；

當(dāng)-3<x<0或x>2時(shí)，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值.

【總結(jié)】考察反比例函數(shù)、一次函數(shù)的解析式的求法和函數(shù)性質(zhì)的分析.

【例27】已知一次函數(shù)y=(w-2)x+2機(jī)-3；

(1)求證：無論m取何實(shí)數(shù)，函數(shù)的圖像恒過一定點(diǎn)；

(2)當(dāng)x在14x42內(nèi)變化時(shí)，y在44y45內(nèi)變化，求"?的值.

【難度】★★★

【答案】(I)見解析；(2)〃?=3.

【解析】(1)y=w(x+2)-2x-3,當(dāng)x+2=0,即x=-2時(shí)，y=\,

無論加取何實(shí)數(shù)，函數(shù)的圖像恒過一定點(diǎn)(-2,1)；

/m—2+2m—3=4

(2)當(dāng)加一2>0時(shí),解得：機(jī)=3；

[2(w-2)+2m-3=5

加一2+2加-3=5

當(dāng)w-2<0時(shí),二解不等式后不存在這樣的m值,

2(/n-2)+2"[-3=4

所以加=3.

【總結(jié)】考察解析式圖像恒過一定點(diǎn)的條件和一次函數(shù)的增減性的運(yùn)用.

【例28］如圖所示，雙曲線y=2在第一象限的一支上有一點(diǎn)C(1,5),過點(diǎn)C的直線

X

y=fcr+b(k>0)與x軸交于點(diǎn)/(〃，0)、與y軸交于點(diǎn)艮

(1)求點(diǎn)/的橫坐標(biāo)。與人之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)當(dāng)該直線與雙曲線在第一象限的另一交點(diǎn)。的橫坐標(biāo)是9時(shí)，求ACO。的面積.

【難度】★★★

【答案】(I)a=匚;(2)—.

k9

【解析】(1),點(diǎn)C(1,5),A(a,0)在歹=履+6上

I.〃+b=5,ka+b=0,

?_k-5

??Q一,

k

的橫坐標(biāo)是9,且雙曲線y=』

(2)x,

分別過點(diǎn)C作CELx軸,過點(diǎn)。作。軸,

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則S2OCD~S四邊形區(qū)7)/一S2FD~S梯形(石2+S0)CE-S&JFD

=-x54—x8H—x5x1x9x-

219)229

200

=---.

9

【總結(jié)】考察反比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式的求法，圖中由于△OCE和△OF。的面積相等,

則△OC。的面積與梯形CEFD的面積相等.

隨堂檢測(cè)

【習(xí)題1](1%與x成正比例,且x=4時(shí),j=-4,那么y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為；

(2)產(chǎn)1與z成正比例，比例系數(shù)為2,z與x-1成正比例，當(dāng)x=-l時(shí)，y=7,那么y

與x的函數(shù)關(guān)系式為

【難度】★

【答案】(1)y=-x；(2)y=-4x+3.

【解析】(1)由題意可知，函數(shù)關(guān)系式為：j=-x；

(2)：尹1與z成正比例，比例系數(shù)為2,

，歹+1=2z；

Vz與x-1成正比例，，設(shè)2=人(工一1)，

?+1=2左(1-1)，

當(dāng)x=-l時(shí),產(chǎn)7,k=-29

/.y=-4x+3.

【總結(jié)】考察正比例的定義.

【習(xí)題2]已知y是x的函數(shù)，八與x-1成正比例，如果這個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(a,a)(a/0),

【難度】★

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【答案】B

【解析】與x-1成正比例，.?.y=Mx-lX%wO),則此函數(shù)為一次函數(shù)，且不經(jīng)過原點(diǎn),

則選B.

【總結(jié)】考察正比例的定義和函數(shù)圖像的畫法.

【習(xí)題3】已知產(chǎn)3與x成正比例，且尸2時(shí)，y=7.

(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)計(jì)算x=4時(shí)y的值；

(3)計(jì)算尸4時(shí)x的值.

【難度】★

【答案】(1)y=2x+3；(2)II；(3)-.

2

【解析】(1)設(shè)y-3=H,,.,尸2時(shí)，y=l,:.k=2,...y=2x+3；

(2)當(dāng)x=4時(shí)，y=ll；

(3)當(dāng)y=4時(shí)，x=；.

【總結(jié)】考察正比例的定義，及根據(jù)其中一個(gè)變量的值求另一個(gè)變量的值.

【習(xí)題4】已知一次函數(shù)的圖像交x軸于月(-6,0),交正比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)8,且點(diǎn)5

在第三象限，它的橫坐標(biāo)為-2,A/1O8的面積為6,求正比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析

式.

【難度】★★

【答案】正比例函數(shù)：y=x-,一次函數(shù)：y=-^x-3.

【解析】：A4O8的面積為6,04=6

：.-x()BD=6,：.BD=2

2

?.?點(diǎn)8在第三象限，它的橫坐標(biāo)為-2,

5(-2,-2)

則正比例函數(shù)的解析式為y=x.

設(shè)一次函數(shù)的解析式為＞=日+6

「6%+6=0一..卜=-；，

l-2k+b=-2『J

一次函數(shù)的解析式為y=-；x-3

【總結(jié)】考察一次函數(shù)的解析式的求法和面積的處理方法.

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A

【習(xí)題5】已知函數(shù)產(chǎn)上的圖象和兩條直線尸、產(chǎn)2x在第一象限內(nèi)分別交于Pi和02兩點(diǎn),

X

過點(diǎn)P］分別作X軸、y軸的垂線P01、PiRi,垂足分別為。、Ri；過點(diǎn)P2分別作X軸、

X

4

?,.一=x,：.x=2,???4（2,2）

**,0矩形。0陰］=2x（2+2）=8,0矩形。02P/2=2*（拉+2拉）=6^2

,8<6后,??。矩形00出曷<C矩形OQ2P述［.

【總結(jié)】考察函數(shù)交點(diǎn)的求法及幾何圖形的周長(zhǎng)及大小比較.

【習(xí)題6】如圖，正方形OZAC的面積為9,點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)8在函數(shù)歹=?(左>0,x>0)

x

的圖象上，點(diǎn)P(，〃，〃)是函數(shù)j，=?(A>0,x>0)的圖象上任意一點(diǎn)，邊點(diǎn)尸分別作

X

X軸、y軸的垂線.垂足分別為E、F,并設(shè)矩形OEPF和正方形0/8C不重合部分的面

積為S.(提示：考慮點(diǎn)尸在點(diǎn)B的左側(cè)或右側(cè)兩種情況)

(1)8點(diǎn)的坐標(biāo)是；k=：)

Q

(2)S=-時(shí)，P的坐標(biāo)是；

2-----------------

C

(3)求出S關(guān)于加的函數(shù)關(guān)系式.

F

【難度】★★

【答案】(1)1(3,3),k=9；(2)(6,3)或(之,6)；

22~0

27

(3)5=9——(加N3)或S=9—3加(0<加<3).

m

【解析】(1)由正方形OZ8C的面積為9,得8(3,3),

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9

...反比例函數(shù)的解析式為：y=2；

x

(2)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)8右側(cè)時(shí)，

V3xOF=-,：.OF=-,，P的縱坐標(biāo)為一.

222

：尸點(diǎn)在函數(shù)、=^|的圖像上，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，同理可得P點(diǎn)的坐標(biāo)為(|,6),

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6，)或(2,6)；

22

(3)\'PCm,n)是函數(shù)y=2上，設(shè)尸(加，？].

x\m)

o2797

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)8的右側(cè)時(shí)，5,=OFOA=3x-=—,A5=9——(m>3)；

r(mmm

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)8的左側(cè)時(shí)，Sl(<=OCOE=3m,5=9-3w(0<w<3).

【總結(jié)】考察反比例函數(shù)的解析式的求法和面積的處理方法，注意分類討論.

【習(xí)題7】為了更好的治理某個(gè)湖水水質(zhì)，保護(hù)環(huán)境，治污公司決定購(gòu)買10臺(tái)污水處理設(shè)

備，現(xiàn)有/、8兩種型號(hào)的設(shè)備，其中每臺(tái)的價(jià)格，月處理污水量如下表：

4型5型

價(jià)格(萬元/臺(tái))ab

處理污水量(噸/月)240200

經(jīng)調(diào)查：購(gòu)買一臺(tái)/型設(shè)備比購(gòu)買一臺(tái)8型設(shè)備多2萬元，購(gòu)買2臺(tái)/型設(shè)備比購(gòu)買

3臺(tái)8型設(shè)備少6萬元.

(1)求a、6的值；

(2)經(jīng)預(yù)算：治污公司購(gòu)買污水處理設(shè)備的資金不超過105萬元，你認(rèn)為該公司有哪幾

種購(gòu)買方案？

(3)在(2)問的條件下，若每月要求處理該湖泊的污水量不低于2040噸，為了節(jié)約資

金，請(qǐng)你為治污公司設(shè)計(jì)一種最省錢的購(gòu)買方案.

【難度】★★

【答案】見解析.

【解析】⑴由題意，可得：!a~b=2,解得：?=12;

[2a+6=3b[b=10

(2)設(shè)購(gòu)買A型設(shè)備x臺(tái)，則購(gòu)買B型設(shè)備(10-x)臺(tái)，

由題意，可得：12x+10(10-x)4105,解得：x<2.5.

取自然數(shù)，x為0,1,2.

.??該公式有三種購(gòu)買方案：①購(gòu)買10臺(tái)B型設(shè)備；②購(gòu)買1臺(tái)A型設(shè)備，9臺(tái)B型設(shè)

備；③購(gòu)買2臺(tái)A型設(shè)備，8臺(tái)B型設(shè)備.

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(3)由題意，可得：240x+200(10-x)22040,解得：x>\,的值為1或2.

當(dāng)x為1時(shí)，共需花費(fèi)1x12+(10-1)x10=102,

當(dāng)x為2時(shí)，共需花費(fèi)2x12+(10-2)x10=104,

最省錢的購(gòu)買方案是購(gòu)買1臺(tái)A型設(shè)備，9臺(tái)B型設(shè)備.

【總結(jié)】考察一次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，此題是有關(guān)最優(yōu)方案的問題，解題時(shí)注意進(jìn)行

討論.

【習(xí)題8】已知在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，直線經(jīng)過原點(diǎn)。和點(diǎn)(1,-26)，點(diǎn)尸是直線48

上一點(diǎn)，若過點(diǎn)P向y軸作垂直，垂足為且AOPM的面積為9百，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【難度】★★★

【答案】43,-66)或尸(-3,66).

【解析】???直線N8經(jīng)過原點(diǎn)。和點(diǎn)(1,-2百)，

二直線為正比例函數(shù)，解析式為y=-2怎.

設(shè)P(m,2出zw)

/XOPM的面積為94，?|w|?|—2>/3w|=9y/i,解得：m=+3

：..(3,-66)或尸卜3,6回.

【總結(jié)】考察面積的處理方法，注意點(diǎn)坐標(biāo)和線段長(zhǎng)的轉(zhuǎn)換中正負(fù)號(hào)或絕對(duì)值的添法.

【習(xí)題9】如圖，在梯形A8CD中，AB=CD=5,AO=7,8c=13,E為A。上一定點(diǎn)，A￡=4,

動(dòng)點(diǎn)尸從。出發(fā)沿著0c向C點(diǎn)移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)尸移動(dòng)的距離為x,AAPE的面積為y,

求y與x的函數(shù)解析式，并畫出圖象.Af__ED

【難度］★★★

【答案】y=-x,圖像略.

5B/-LM------N

【解析】分別過點(diǎn)/、。作DNJLBC,垂足分別為M、N.

可得：BM=CN=3,AM=DN=4.

SADP

,:DP=x,S^ADC=--AD-AM==,：.^=—,即$44砒=上,

22S△皿DC145

?c_HY,?S—EP_4E即S”EP_X丫?_8

??y—x?

??^^ADP*?《一:77，~TA一二7，一丁x，

5S△的AD\±x755

5

【總結(jié)】考察面積中同底等高的處理方法.

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【習(xí)題10］在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)尸2%+12的圖像分別交X軸、y軸于/、8兩點(diǎn).過

點(diǎn)4的直線交y軸正半軸于點(diǎn)且點(diǎn)M為線段。8的中點(diǎn).

（1）求直線的解析式；

（2）試在直線⑷V/上找一點(diǎn)P,使得，求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

【難度】★★★

【答案】（1）y=x+6t（2）尸（6,12）.

【解析】（1）???函數(shù)產(chǎn)2x+12的圖像分別交x軸、y軸于/、B兩點(diǎn),

A（-6,0）,5（0,12）.

:點(diǎn)〃為線段08的中點(diǎn)，

二A/（O,6）.

利用待定系數(shù)法，可得直線4