【高考解碼】2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)(新課標(biāo))-集合中的創(chuàng)新問題

集合中的創(chuàng)新問題創(chuàng)新意識是理性思維的高層次表現(xiàn)，是發(fā)覺問題和解決問題的重要途徑．考查時往往供應(yīng)嶄新的問題背景，這就需要選擇有效的方法和手段來分析新信息，進(jìn)行獨(dú)立的思考、探究和爭辯，同時借助已有學(xué)問搭建的平臺，把新信息機(jī)敏運(yùn)用，最終達(dá)到解決問題的目的．以集合為背景的新定義問題是近幾年高考命題創(chuàng)新型試題的一個熱點(diǎn)，此類題目經(jīng)常以“問題”為核心，以“探究”為途徑，以“發(fā)覺”為目的，常見的命題形式有新定義、新運(yùn)算、新性質(zhì)，這類試題只是以集合為依托，考查考生理解問題、解決創(chuàng)新問題的力量．1．創(chuàng)新集合新定義創(chuàng)新集合新定義問題是通過重新定義相應(yīng)的集合，對集合的學(xué)問加以深化地創(chuàng)新，結(jié)合原有集合的相關(guān)學(xué)問和相應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)問，來解決新定義的集合創(chuàng)新問題．【例1】若x∈A，則eq\f(1,x)∈A，就稱A是伙伴關(guān)系集合，集合M＝{－1,0，eq\f(1,2)，2,3}的全部非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合的個數(shù)是()A．1B．3C．7D．31【解析】具有伙伴關(guān)系的元素組是－1；eq\f(1,2)，2，所以具有伙伴關(guān)系的集合有3個：{－1}，{eq\f(1,2)，2}，{－1，eq\f(1,2)，2}．【答案】B2．創(chuàng)新集合新運(yùn)算創(chuàng)新集合新運(yùn)算問題是依據(jù)肯定的數(shù)學(xué)規(guī)章和要求給出新的集合運(yùn)算規(guī)章，并依據(jù)此集合運(yùn)算規(guī)章和要求結(jié)合相關(guān)學(xué)問進(jìn)行規(guī)律推理和計算等，從而達(dá)到解決問題的目的．【例2】設(shè)P和Q是兩個集合，定義集合P－Q＝{x|x∈P，且x?Q}，假如P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝()A．{x|0<x<1}B．{x|0<x≤1}C．{x|1≤x<2}D．{x|2≤x<3}【解析】由log2x<1，得0<x<2，所以P＝{x|0<x<2}；由|x－2|<1，得1<x<3，所以Q＝{x|1<x<3}．由題意，得P－Q＝{x|0<x≤1}．【答案】B3．創(chuàng)新集合新性質(zhì)創(chuàng)新集合新性質(zhì)問題是利用創(chuàng)新集合中給定的定義與性質(zhì)來處理問題，通過創(chuàng)新性質(zhì)，結(jié)合相應(yīng)的數(shù)學(xué)學(xué)問來解決有關(guān)的集合性質(zhì)的問題．【例3】對于復(fù)數(shù)a，b，c，d，若集合S＝{a，b，c，d}具有性質(zhì)“對任意x，y∈S，必有xy∈S”，則當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b2＝1，,c2＝b))時，b＋c＋d等于()A．1B．－1C．0D．i【解析】∵S＝{a，b，c，d}，由集合中元素的互異性可知當(dāng)a＝1時，b＝－1，c2＝－1，∴c＝±i，由“對任意x，y∈S，必有xy∈S”知±i∈S，∴c＝i，d＝－i或c＝－i，d＝i，∴b＋c＋d＝(－1)＋0＝－1.【答案】B【規(guī)律感悟】求解集合中的創(chuàng)新問題，主要抓兩點(diǎn)：(1)緊扣新定義、新運(yùn)算、新性質(zhì)．首先分析新定義、新運(yùn)算、新性質(zhì)的特點(diǎn)，把新定義、新運(yùn)算、新性質(zhì)所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在．(2)用好集合的性質(zhì)．集合的性質(zhì)(概念、元素的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)等)是破解新定義型集合問題的基礎(chǔ)，也是突破口，在解題時要擅長從試題中發(fā)覺可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì)．建議用時實(shí)際用時錯題檔案45分鐘一、選擇題1．(2022·遼寧高考)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，則集合?U(A∪B)＝()A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0<x<1}【解析】∵A∪B＝{x|x≤0}∪{x|x≥1}＝{x|x≤0，或x≥1}，∴?U(A∪B)＝{x|0<x<1}，故選D.【答案】D2．(2021·江西高考)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一個元素，則a＝()A．4B．2C．0D．0或4【解析】當(dāng)a＝0時，方程化為1＝0，無解，集合A為空集，不符合題意；當(dāng)a≠0時，由Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.【答案】A3．(2021·福建高考)若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，則A∩B的子集個數(shù)為()A．2B．3C．4D．16【解析】A∩B＝{1,3}，其子集有?，{1}，{3}，{1,3}，共4個，故選C.【答案】C4．(2022·武漢市武昌區(qū)調(diào)研)“x>0，y>0”是“xy>0”成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】當(dāng)x>0，y>0時，肯定有xy>0，而當(dāng)xy>0時，有可能x<0，y<0，故“x>0，y>0”是“xy>0”的充分不必要條件．【答案】A5．(2022·濰坊聯(lián)考)下列命題中的假命題是()A．?x∈R，ex>0B．?x∈N，x2>0C．?x0∈R，lnx0<1D．?x0∈N*，sineq\f(πx0,2)＝1【解析】對于B，當(dāng)x＝0時，x2＝0，與x的任意性沖突，故選B.【答案】B6．(2022·武漢調(diào)研)給定兩個命題p，q.若綈p是q的必要不充分條件，則p是綈q的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】依題意，“若綈p，則q”是假命題，“若q，則綈p”是真命題，所以“若綈q，則p”是假命題，“若p，則綈q”是真命題，故p是綈q的充分不必要條件．【答案】A7．下列敘述中正確的是()A．若a，b，c∈R，則“ax2＋bx＋c≥0”的充分條件是“b2－4ac≤0”B．若a，b，c∈R，則“ab2＞cb2”的充要條件是“a＞c”C．命題“對任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D．l是一條直線，α，β是兩個不同的平面，若l⊥α，l⊥β，則α∥β【解析】當(dāng)a＝0時，A錯；當(dāng)b＝0時，B錯，C中結(jié)論應(yīng)為x2＜0，故C錯；故選D.【答案】D8．已知命題p：“在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，則|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|”，則在命題p的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3【解析】由于－π<A－B<π，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|cosA＝|eq\o(BA,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cosB?sinBcosA＝sinAcosB?sin(B－A)＝0?A＝B?|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，由于原命題、逆命題為真命題，逆否命題和否命題也都為真命題，真命題的個數(shù)為3，故選D.【答案】D9．(2022·河南安陽一模)已知命題p：?x0∈R，使sinx0＝eq\f(\r(5),2)；命題q：?x∈R，都有x2＋x＋1>0.給出下列結(jié)論：①命題“p∧q”是真命題；②命題“p∧綈q”是假命題；③命題“綈p∨q”是真命題；④命題“綈p∨綈q”是假命題，其中正確的是()A．②④B．②③C．③④D．①②③【解析】由于對任意實(shí)數(shù)x，|sinx|≤1，而sinx＝eq\f(\r(5),2)>1，所以p為假；由于x2＋x＋1＝0的判別式Δ<0，所以q為真．因而②③正確．【答案】B10．(2021·深圳調(diào)研)設(shè)S是實(shí)數(shù)集R的非空子集，假如?a，b∈S，有a＋b∈S，a－b∈S，則稱S是一個“和諧集”．下面命題中假命題是()A．存在有限集S，S是一個“和諧集”B．對任意無理數(shù)a，集合{x|x＝ka，k∈Z}都是“和諧集”C．若S1≠S2，且S1，S2均是“和諧集”，則S1∩S2≠?D．對任意兩個“和諧集”S1，S2，若S1≠R，S2≠R，則S1∪S2＝R【解析】對于A，如S＝{0}，明顯該集合滿足：0＋0＝0∈S,0－0＝0∈S，因此A正確；對于B，設(shè)任意x1∈{x|x＝ka，k∈Z}，x2∈{x|x＝ka，k∈Z}，則存在k1∈Z，k2∈Z，使得x1＝k1a，x2＝k2a，x1＋x2＝(k1＋k2)a∈{x|x＝ka，k∈Z}，x1－x2＝(k1－k2)a∈{x|x＝ka，k∈Z}，因此對任意無理數(shù)a，集合{x|x＝ka，k∈Z}都是“和諧集”，B正確；對于C，依題意，當(dāng)S1，S2均是“和諧集”時，若a∈S1，則有a－a∈S1，即0∈S1，同理0∈S2，此時S1∩S2≠?，C正確；對于D，如取S1＝{0}≠R，S2＝{x|x＝eq\r(2)k，k∈Z}≠R，易知集合S1，S2均是“和諧集”，此時S1∪S2≠R，D不正確．【答案】D二、填空題11．若M＝{x∈Z|logeq\f(1,3)x≥－1}，則集合M的真子集的個數(shù)為________．【解析】M＝{x∈Z|logeq\f(1,3)x≥－1}＝{x∈Z|0<x≤3}＝{1,2,3}，集合M中有3個元素，它有7個真子集．【答案】712．若命題“?x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命題，則a的取值范圍是________．【解析】由題意得：x為任意的實(shí)數(shù)，都有ax2－ax－2≤0恒成立．當(dāng)a＝0時，不等式明顯成立；當(dāng)a≠0時，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ＝a2＋8a≤0，))得－8≤a<0，∴－8≤a≤0.【答案】[－8,0]13．(創(chuàng)新題)若命題p：曲線eq\f(x2,a－2)－eq\f(y2,6－a)＝1為雙曲線，命題q：函數(shù)f(x)＝(4－a)x在R上是增函數(shù)，且p∨q為真命題，p∧q為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【解析】當(dāng)p為真命題時，(a－2)(6－a)>0，解之得2<a<6.當(dāng)q為真命題時，4－a>1，即a<3.由p∨q為真命題，p∧q為假命題知p、q一真一假．當(dāng)p真q假時，3≤a<6.當(dāng)p假q真時，a≤2.因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，2]∪[3,6)．【答案】(－∞，2]∪[3,6)14．(猜測題)對于任意的兩個正數(shù)m，n，定義運(yùn)算⊙：當(dāng)m，n都為偶數(shù)或都為奇數(shù)時，m⊙n＝eq\f(m＋n,2)；當(dāng)m，n為一奇一偶時，m⊙n＝eq\r(mn)，設(shè)集合A＝{(a，b)|a⊙b＝6，a，b∈N*}，則集合A中的元素個數(shù)為________．【解析】(1)當(dāng)a，b都為偶數(shù)或都為奇數(shù)時，eq\f(a＋b,2)＝6?a＋b＝12，由2＋10＝4＋8＝6＋6＝1＋11＝3＋9＝5＋7＝12，知符合題意的點(diǎn)(a，b)有2×5＋1＝11個；(2)當(dāng)a，b為一奇一偶時，eq\r(ab)＝6?ab＝36，由1×36＝3×12＝4×9＝36，知符合題意的點(diǎn)(a，b)有2×