新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題培優(yōu)練習(xí)專題17 球與幾何體的切接（解析版）

專題17球與幾何體的切接一、單選題1．（2024屆四川省仁壽高三上學(xué)期9月月考）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以圓柱的體積SKIPIF1<0.故選C2．（2024屆廣東省四校高三上學(xué)期聯(lián)考）如圖，在邊長為2的正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點，將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別沿SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0折起，使得SKIPIF1<0三點重合于點SKIPIF1<0，若三棱錐SKIPIF1<0的所有頂點均在球SKIPIF1<0的球面上，則球SKIPIF1<0的表面積為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】根據(jù)題意可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以三棱錐SKIPIF1<0可補成一個長方體，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球即為長方體的外接球，如圖所示，

設(shè)長方體的外接球的半徑為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以外接球的表面積為SKIPIF1<0，故選C3．（2023屆山西省運城市學(xué)業(yè)水平考試）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，當(dāng)三棱錐SKIPIF1<0的體積取最大值時，該三棱錐外接球的體積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故三棱錐SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，從而SKIPIF1<0，即三棱錐SKIPIF1<0體積的最大值是SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，把三棱錐SKIPIF1<0不成一個長方體，則三棱錐SKIPIF1<0與所補成的長方體有相同的外接球，所以外接球的半徑SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的體積為SKIPIF1<0．故選B.

4．（2023屆江西省九江市高三第一次模擬）三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為邊長為SKIPIF1<0的等邊三角形，若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】

如圖，取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的外心SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的外心SKIPIF1<0，分別過SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的垂線交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即為球心，連接SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選B.5．（2023屆河北省秦皇島市高三沖刺卷）如圖，該幾何體為兩個底面半徑為1，高為1的相同的圓錐形成的組合體，設(shè)它的體積為SKIPIF1<0，它的內(nèi)切球的體積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如圖，四邊形SKIPIF1<0為該幾何體的軸截面，則四邊形SKIPIF1<0的內(nèi)切圓的半徑即為該幾何體內(nèi)切球的半徑，設(shè)內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選D.

6．（2023屆海南省高三全真模擬）已知三棱錐SKIPIF1<0的四個頂點都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，在底面SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若球SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】A【解析】由題意，設(shè)球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0外接圓半徑SKIPIF1<0，根據(jù)線面垂直模型知：SKIPIF1<0.

故選A7．（2024屆安徽省皖東名校聯(lián)盟體高三上學(xué)期9月質(zhì)量檢測）直觀想象是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，某位教師為了培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，在課堂上提出了這樣一個問題：現(xiàn)有10個直徑為4的小球，全部放進(jìn)棱長為a的正四面體盒子中，則a的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】我們先來證明如下引理：如下圖所示：

設(shè)正四面體棱長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0為面SKIPIF1<0的重心，所以SKIPIF1<0，由勾股定理可得面SKIPIF1<0,所以正四面體的高等于其棱長的面SKIPIF1<0倍.接下來我們來解決此題：如下圖所示：

10個直徑為4的小球放進(jìn)棱長為a的正四面體SKIPIF1<0中，成三棱錐形狀，有3層，則從上到下每層的小球個數(shù)依次為：1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0個，當(dāng)a取最小值時，從上到下每層放在邊緣的小球都與正四面體的側(cè)面相切，底層的每個球都與正四面體底面相切，任意相鄰的兩個小球都外切，位于每層正三角狀頂點的所有上下相鄰小球的球心連線為一個正四面體SKIPIF1<0，則該正四面體SKIPIF1<0的棱長為SKIPIF1<0，可求得其高為SKIPIF1<0，所以正四面體SKIPIF1<0的高為SKIPIF1<0，進(jìn)而可求得其棱長a的最小值為SKIPIF1<0．故選B.8．（2024屆浙江省名校協(xié)作體高三上學(xué)期聯(lián)考）已知四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，且二面角SKIPIF1<0為銳二面角．當(dāng)四面體SKIPIF1<0的體積最大時，其外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如圖，

因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時等號成立，此時底面△BCD面積最大，SKIPIF1<0，將AD沿SKIPIF1<0平移至SKIPIF1<0，則點A與SKIPIF1<0到底面BCD的距離相同，且SKIPIF1<0，為使四面體ABCD高最大，則直線SKIPIF1<0在底面BCD的射影為直線BC，此時SKIPIF1<0面BCD，設(shè)點A在底面BCD的投影為SKIPIF1<0，可知四邊形BCDB'為菱形，且SKIPIF1<0的外心為SKIPIF1<0，此時滿足二面角SKIPIF1<0為銳二面角，故四面體ABCD的外接球的球心SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此時外接球的表面積為SKIPIF1<0，故選B9．（2024屆江蘇省常州高級中學(xué)高三上學(xué)期期初檢測）將一個半徑為SKIPIF1<0的球削成一個體積最大的圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的半徑為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為SKIPIF1<0，則高為SKIPIF1<0，所以圓錐的體積為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，在SKIPIF1<0上遞減，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值，即SKIPIF1<0時，圓錐的體積最大，此時圓錐的高為SKIPIF1<0，母線長為SKIPIF1<0，設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為SKIPIF1<0，圓錐的軸截面圖如圖所示，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選D

10．（2024屆廣東省高三上學(xué)期新聯(lián)合質(zhì)量測評）已知等腰直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為直角，邊SKIPIF1<0，P，Q分別為AC，AB上的動點（P與C不重合），將SKIPIF1<0沿PQ折起，使點A到達(dá)點SKIPIF1<0的位置，且平面SKIPIF1<0平面BCPQ．若點SKIPIF1<0，B，C，P，Q均在球O的球面上，則球O體積的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】顯然P不與A重合，由點SKIPIF1<0，B，C，P，Q均在球D的球面上，得B，C，P，Q共圓，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為等腰直角三角形，AB為斜邊，即有SKIPIF1<0，

將SKIPIF1<0翻折后，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面BCPQ，于是SKIPIF1<0平面BCPQ，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，BP的中點D，E分別為SKIPIF1<0，四邊形BCPQ外接圓圓心，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取PQ的中點F，連接DF，EF，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四邊形EFDO為矩形，設(shè)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)球O的半徑R，有SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以球O體積的最小值為SKIPIF1<0．故選C．11．（2024屆遼寧省十校聯(lián)合體高三上學(xué)期八月調(diào)研）已知一個棱長為2的正方體，點SKIPIF1<0是其內(nèi)切球上兩點，SKIPIF1<0是其外接球上兩點，連接SKIPIF1<0，且線段SKIPIF1<0均不穿過內(nèi)切球內(nèi)部，當(dāng)四面體SKIPIF1<0的體積取得最大值時，異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角的余弦值為（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由正方體棱長為2，知其內(nèi)切球的半徑為1，外接球的半徑SKIPIF1<0，依題意知，SKIPIF1<0最長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最長為內(nèi)切球的直徑2，由三角形面積公式SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為定值時，SKIPIF1<0時面積最大，畫出圖形如圖所示，其中SKIPIF1<0分別是所在正方形的中心，SKIPIF1<0是內(nèi)切球與外接球的球心，

由正方體性質(zhì)知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故此時四面體SKIPIF1<0的體積取得最大，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由余弦定理得SKIPIF1<0，故選D12．（2023屆重慶市巴蜀中學(xué)校高三下學(xué)期4月月考）已知正四棱錐SKIPIF1<0的底面邊長為SKIPIF1<0，高為3．以點SKIPIF1<0為球心，SKIPIF1<0為半徑的球SKIPIF1<0與過點SKIPIF1<0的球SKIPIF1<0相交，相交圓的面積為SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的半徑為（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】B【解析】當(dāng)公共圓面在四棱錐內(nèi)部時，如下圖所示，設(shè)相交圓的圓心為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為相交圓上的一點，也是兩球的公共點，設(shè)球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，因為相交圓的面積為SKIPIF1<0，所以相交圓的半徑為1，即SKIPIF1<0底面正方形邊長為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由勾股定理有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，聯(lián)立①②解得SKIPIF1<0．當(dāng)公共圓面在四棱錐外部時，如下圖所示，同上可求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0③，SKIPIF1<0④，聯(lián)立③④解得SKIPIF1<0．故選B．二、多選題13．（2023屆遼寧省實驗中學(xué)高三第五次模擬）在棱長為2的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0為側(cè)面SKIPIF1<0的中心，則（

）A．直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0D．三棱錐SKIPIF1<0的外接球表面積SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】由題意，在正方體SKIPIF1<0中，棱長為2，P，E，F(xiàn)分別為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，BC的中點，SKIPIF1<0為側(cè)面SKIPIF1<0的中心，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，

則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,A項，

SKIPIF1<0，設(shè)面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴直線SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0不平行，A錯誤；B項，

SKIPIF1<0，設(shè)面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0平行，B正確；C項，

SKIPIF1<0，C正確；D項，

如圖，三棱錐SKIPIF1<0恰好在長方體SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0為體對角線，

∴SKIPIF1<0為三棱錐SKIPIF1<0外接球的直徑，由幾何知識得SKIPIF1<0，∴三棱錐SKIPIF1<0的外接球表面積為SKIPIF1<0，D正確；故選BCD.14．（2024屆廣東省廣州市培英中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知四面體SKIPIF1<0的所有棱長均為SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0 B．點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0C．四面體SKIPIF1<0的外接球體積為SKIPIF1<0 D．四面體SKIPIF1<0的內(nèi)切球表面積為SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】對于A中，如圖所示，取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，所以A錯誤；對于B中，在四面體SKIPIF1<0中，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0面SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為為底面正三角形SKIPIF1<0的重心，因為所有棱長均為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以B正確；對于C、D中，設(shè)SKIPIF1<0為正四面體的中心，則SKIPIF1<0為內(nèi)切球的半徑，SKIPIF1<0是外接球的半徑，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以四面體SKIPIF1<0的外接球體積SKIPIF1<0，所以C正確；四面體SKIPIF1<0的內(nèi)切球表面積為SKIPIF1<0，所以D正確.故選BCD.

15．（2024屆山東省齊魯名校高三上學(xué)期聯(lián)合檢測）已知正六棱柱SKIPIF1<0的底面邊長為2，側(cè)棱長為SKIPIF1<0，所有頂點均在球SKIPIF1<0的球面上，則（

）A．直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0異面B．若SKIPIF1<0是側(cè)棱SKIPIF1<0上的動點，則SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0D．球SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0【答案】BD【解析】對于A，如圖①，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0共面，故A錯誤；對于B，將平面SKIPIF1<0沿著SKIPIF1<0翻折到與平面SKIPIF1<0共面的位置，得到矩形SKIPIF1<0，如圖②所示．因為底面邊長為2，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，故B正確；對于C，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸，建立如圖①所示的空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0．設(shè)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故C錯誤；對于D，如圖③，設(shè)球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，根據(jù)對稱性可知，正六棱柱的外接球的球心在上下底面的中心SKIPIF1<0的連線的中點處.SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的表面積SKIPIF1<0，故D正確．

故選BD16．（2023屆安徽省合肥市廬陽區(qū)高三12月月考）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長為1的正方形．SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點E是棱PB上一點（不包括端點）．F是平面PCD內(nèi)一點，則（

）

A．一定存在點E，使SKIPIF1<0平面PCDB．一定存在點E，使SKIPIF1<0平面ACEC．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0D．以D為球心，半徑為1的球與四棱錐SKIPIF1<0的四個側(cè)面的交線長為SKIPIF1<0【答案】BD【解析】在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且底面SKIPIF1<0是邊長為1的正方形，以點SKIPIF1<0作原點，射線SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸非負(fù)半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然平面SKIPIF1<0的一個法向量SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不垂直，因此SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0不平行，即不存在點E，使SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，A錯誤；

顯然SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此存在點E，使得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，B正確；由SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0展開置于同一平面內(nèi)，要SKIPIF1<0取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，如圖，

顯然SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，C錯誤；依題意，球面與SKIPIF1<0的交線如圖中圓弧SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，于是弧SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0，由對稱性知球與SKIPIF1<0的交線長也為SKIPIF1<0，

過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，球面與平面SKIPIF1<0的交線是以SKIPIF1<0為圓心，半徑為SKIPIF1<0的圓，

顯然點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，因此球面與SKIPIF1<0的交線是半徑為SKIPIF1<0的半圓，交線長為SKIPIF1<0，由對稱性知球與SKIPIF1<0的交線長也為SKIPIF1<0，所以球與四棱錐SKIPIF1<0的四個側(cè)面的交線長為SKIPIF1<0，D正確.故選BD17．（2024屆山西省山西大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期月考）如圖所示，有一個棱長為4的正四面體SKIPIF1<0容器，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的動點，則下列說法正確的是（

）

A．直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的周長最小值為SKIPIF1<0C．如果在這個容器中放入1個小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為SKIPIF1<0D．如果在這個容器中放入4個完全相同的小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】A選項，連接SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，

所以SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，故A正確；B選項，把SKIPIF1<0沿著SKIPIF1<0展開與平面SKIPIF1<0同一個平面內(nèi)，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值即為SKIPIF1<0的長，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周長最小值為SKIPIF1<0，B錯誤；C選項，要使小球半徑最大，則小球與四個面相切，是正四面體的內(nèi)切球，設(shè)球心為SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中心，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，C正確；

D選項，4個小球分兩層（1個，3個）放進(jìn)去，要使小球半徑要最大，則4個小球外切，且小球與三個平面相切，設(shè)小球半徑為SKIPIF1<0，四個小球球心連線是棱長為SKIPIF1<0的正四面體SKIPIF1<0，由C選項可知，其高為SKIPIF1<0，由C選項可知，SKIPIF1<0是正四面體SKIPIF1<0的高，SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0且與平面SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，與平面SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由C選項可知，正四面體內(nèi)切球的半徑是高的SKIPIF1<0得，如圖正四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，正四面體SKIPIF1<0高為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，D正確.

故選ACD三、填空題18．（2024屆廣西柳州市高三摸底考試）已知圓錐的底面直徑為SKIPIF1<0，軸截面為正三角形，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.【答案】SKIPIF1<0【解析】依題意，圓錐內(nèi)半徑最大的球為圓錐內(nèi)切球，如圖作出軸截面，圓O和AC相切于點D，

因為SKIPIF1<0是正三角形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)內(nèi)切球半徑為R，在SKIPIF1<0中可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，球的體積為SKIPIF1<0.19．（2024屆浙江省紹興市上虞中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考）盧浮宮金字塔位于巴黎盧浮宮的主院，是由美籍華人建筑師貝聿銘設(shè)計的，已成為巴黎的城市地標(biāo).盧浮宮金字塔為正四棱錐造型，該正四棱錐的底面邊長為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，若該四棱錐的五個頂點都在同一個球面上，則球心到該四棱錐側(cè)面的距離為.【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，交于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則球心在SKIPIF1<0上（或延長線上），在正四棱錐中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為原點，以SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以球心SKIPIF1<0到四棱錐側(cè)面的距離為SKIPIF1<0.20．（2023屆寧夏石嘴山市高三一模）已知正六棱錐SKIPIF1<0的各頂點都在球SKIPIF1<0的球面上，球心SKIPIF1<0在該正六棱錐的內(nèi)部，若球SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，則該正六棱錐體積的最大值是.【答案】SKIPIF1<0【解析】若球SKIPIF1<0半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又外接球的球心SKIPIF1<0在正六棱錐的內(nèi)部，如下圖示，

若SKIPIF1<0為底面中心，正六棱錐的側(cè)棱長為SKIPIF1<0，底面邊長為SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，則體高SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由棱錐的體積SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0遞減；所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，僅當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時等號成立，此時SKIPIF1<0滿足題設(shè).21．（2023屆廣東省深圳市實驗中學(xué)、深圳市高級中學(xué)、珠海市第一中學(xué)、北江中學(xué)、湛江市第一中學(xué)等五校高三期中聯(lián)考）已知正四棱臺SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，記側(cè)面與底面的夾角為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，記正四棱臺的側(cè)面積為SKIPIF1<0，底面積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若正四棱臺所有頂點都在同一球面上，則該球的體積為.【答案】SKIPIF1<0【解析】不妨設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則正四棱臺的高為SKIPIF1<0所以正四棱臺的體積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0

①又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0

②聯(lián)立①②解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)正四棱臺上下底面所在圓面的半徑SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0設(shè)球心到上下底面的距離分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，球的半徑為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0符