2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.1.2空間幾何體的截面、球的切接問題-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

7.1.2空間幾何體的截面、球的切接問題-專項(xiàng)訓(xùn)練【原卷版】1．體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A．12π B．eq\f(32,3)πC．8π D．4π2．一個(gè)圓柱的內(nèi)切球的表面積為36π，則這個(gè)圓柱的表面積為()A．45π B．27πC．54π D．36π3．魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，6根等長的正四棱柱體分成3組，經(jīng)90°榫卯起來．若正四棱柱的高為8，底面正方形的邊長為2，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為(容器壁的厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留π)()A．96π B．84πC．42π D．16π4．如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝eq\r(3)，點(diǎn)E為AB上的動(dòng)點(diǎn)，則D1E＋CE的最小值為()A．2eq\r(2) B．eq\r(10)C．eq\r(5)＋1 D．2＋eq\r(2)5．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的邊長為2，邊AB的中點(diǎn)為M，過點(diǎn)M且垂直BD1的平面被正方體所截的截面面積為()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\r(3)C．2eq\r(3) D．3eq\r(3)6．(多選)用一個(gè)平面截一個(gè)正方體，截面圖形可以是()A．三角形 B．等腰梯形C．五邊形 D．正六邊形7．(多選)已知球O的半徑為eq\f(\r(6),2)，則下列結(jié)論正確的是()A．球O的表面積為6πB．球O的內(nèi)接正方體的棱長為1C．球O的外切正方體的棱長為eq\f(4,3)D．球O的內(nèi)接正四面體的棱長為28．在一個(gè)棱長為3＋2eq\r(2)的正方體內(nèi)部有一個(gè)大球和小球，大球與正方體的六個(gè)面都相切，小球可以在正方體和大球之間的空隙自由滑動(dòng)，則小球的表面積最大值是________．9．已知正三棱錐S-ABC的側(cè)棱長為4eq\r(3)，底面邊長為6，則該正三棱錐外接球的表面積是________．10．如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O．D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長變化時(shí)，求所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值．11．已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為()A．64π B．48πC．36π D．32π解析：A如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，⊙O1的半徑為r，因?yàn)椤袿1的面積為4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以eq\f(AB,sin60°)＝2r，解得AB＝2eq\r(3)，故OO1＝2eq\r(3)，所以R2＝OOeq\o\al(2,1)＋r2＝(2eq\r(3))2＋22＝16，所以球O的表面積S＝4πR2＝64π．故選A．12．在四面體ABCD中，若AB＝CD＝eq\r(3)，AC＝BD＝2，AD＝BC＝eq\r(5)，則四面體ABCD的外接球的表面積為()A．2π B．4πC．6π D．8π13．在半徑是13cm的球面上有A，B，C三點(diǎn)，且AB＝BC＝CA＝12cm，則球心到經(jīng)過這三點(diǎn)的截面的距離為________．14．已知正四棱錐P-ABCD的底面正方形的邊長是3，O是P在底面上的射影，PO＝6，Q是AC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)Q且與PA,BD都平行的截面為五邊形EFGHL，求該截面面積的最大值．15．(多選)在南方不少地區(qū)，經(jīng)?？吹揭环N用木片、竹篾或葦蒿等材料制作的斗笠，用來遮陽或避雨，其中有一種外形為圓錐形的斗笠，稱為“燈罩斗笠”，不同型號(hào)的斗笠大小經(jīng)常用帽坡長(母線長)和帽底寬(底面圓直徑長)兩個(gè)指標(biāo)進(jìn)行衡量，現(xiàn)有一個(gè)“燈罩斗笠”，帽坡長20厘米，帽底寬20eq\r(3)厘米，關(guān)于此斗笠，下列說法正確的是()A．斗笠軸截面(過頂點(diǎn)和底面中心的截面圖形)的頂角為120°B．過斗笠頂點(diǎn)和斗笠側(cè)面上任意兩母線的截面三角形的最大面積為100eq\r(3)平方厘米C．若此斗笠頂點(diǎn)和底面圓上所有點(diǎn)都在同一個(gè)球上，則該球的表面積為1600π平方厘米D．此斗笠放在平面上，可以蓋住的球(保持斗笠不變形)的最大半徑為20eq\r(3)－30厘米16．多面體歐拉定理是指對于簡單多面體，其各維對象數(shù)總滿足一定的數(shù)量關(guān)系，在三維空間中，多面體歐拉定理可表示為：V(頂點(diǎn)數(shù))＋F(表面數(shù))－E(棱長數(shù))＝2．在數(shù)學(xué)上，富勒烯的結(jié)構(gòu)都是以正五邊形和正六邊形面組成的凸多面體，例如富勒烯C60(結(jié)構(gòu)圖如圖)是單純用碳原子組成的穩(wěn)定分子，具有60個(gè)頂點(diǎn)和32個(gè)面，其中12個(gè)面為正五邊形，20個(gè)面為正六邊形．除C60外具有封閉籠狀結(jié)構(gòu)的富勒烯還可能有C28，C32，C50，C70，C84，C240，C540等，則C84結(jié)構(gòu)含有正六邊形的個(gè)數(shù)為()A．12 B．24C．30 D．327.1.2空間幾何體的截面、球的切接問題-專項(xiàng)訓(xùn)練【解析版】1．體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A．12π B．eq\f(32,3)πC．8π D．4π解析：A設(shè)正方體的棱長為a，則a3＝8，解得a＝2．設(shè)球的半徑為R，則2R＝2eq\r(3)，即R＝eq\r(3)．所以球的表面積S＝4πR2＝12π．2．一個(gè)圓柱的內(nèi)切球的表面積為36π，則這個(gè)圓柱的表面積為()A．45π B．27πC．54π D．36π解析：C設(shè)圓柱的內(nèi)切球的半徑為r，則4πr2＝36π，可得r＝3，所以該圓柱的底面圓半徑為R＝3，圓柱的高為h＝2r＝6，因此該圓柱的表面積為S＝2πRh＋2πR2＝2π×3×6＋2π×32＝54π．故選C．3．魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，6根等長的正四棱柱體分成3組，經(jīng)90°榫卯起來．若正四棱柱的高為8，底面正方形的邊長為2，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為(容器壁的厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留π)()A．96π B．84πC．42π D．16π解析：B若球形容器表面積最小，則正四棱柱與球內(nèi)接，此時(shí)球體的直徑等于一組正四棱柱的體對角線長，即2R＝eq\r(82＋2＋22＋22)＝2eq\r(21)，所以R＝eq\r(21)，球形容器的表面積S＝4πR2＝84π．故選B．4．如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝eq\r(3)，點(diǎn)E為AB上的動(dòng)點(diǎn)，則D1E＋CE的最小值為()A．2eq\r(2) B．eq\r(10)C．eq\r(5)＋1 D．2＋eq\r(2)解析：B如圖，連接D1A，C1B并分別延長至F，G，使得AF＝AD，BG＝BC，連接EG，F(xiàn)G，∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1為正四棱柱，∴AB⊥平面ADD1A1，AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥AF，AB⊥BG，又AB＝AD＝AF，∴四邊形ABGF為正方形，∴EG＝eq\r(BE2＋BG2)＝eq\r(BE2＋BC2)＝CE，∴D1E＋CE的最小值為D1G，又D1G＝eq\r(D1F2＋FG2)＝eq\r(9＋1)＝eq\r(10)，∴D1E＋CE的最小值為eq\r(10)．5．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的邊長為2，邊AB的中點(diǎn)為M，過點(diǎn)M且垂直BD1的平面被正方體所截的截面面積為()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\r(3)C．2eq\r(3) D．3eq\r(3)解析：A如圖，連接AC，CB1，AB1，BC1，易知CB1⊥BC1，CB1⊥D1C1，又BC1∩D1C1＝C1，BC1，D1C1?平面BD1C1，所以CB1⊥平面BC1D1．因?yàn)锽D1?平面BD1C1，故CB1⊥BD1，同理可證CA⊥平面BDD1，則BD1?平面BDD1，則CA⊥BD1，又CA∩CB1＝C，CA，CB1?平面CAB1，故BD1⊥平面ACB1．取BC的中點(diǎn)E，BB1的中點(diǎn)F，連接ME，EF，MF，易知平面MEF∥平面ACB1，所以BD1⊥平面MEF，即△MEF為所求的截面．易知△MEF為正三角形，邊長ME＝eq\r(BM2＋BE2)＝eq\r(2)，故S△MEF＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)．故選A．6．(多選)用一個(gè)平面截一個(gè)正方體，截面圖形可以是()A．三角形 B．等腰梯形C．五邊形 D．正六邊形解析：ABCD如圖所示．用一個(gè)平面去截正方體，截面可能是三角形、等腰梯形、五邊形、正六邊形，故選A、B、C、D．7．(多選)已知球O的半徑為eq\f(\r(6),2)，則下列結(jié)論正確的是()A．球O的表面積為6πB．球O的內(nèi)接正方體的棱長為1C．球O的外切正方體的棱長為eq\f(4,3)D．球O的內(nèi)接正四面體的棱長為2解析：AD球的表面積為4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2＝4π×eq\f(6,4)＝6π，A正確．正方體的體對角線長為2×eq\f(\r(6),2)＝eq\r(6)，棱長為eq\f(\r(6),\r(3))＝eq\r(2)，B錯(cuò)誤．球的外切正方體的棱長為2×eq\f(\r(6),2)＝eq\r(6)，C錯(cuò)誤．將正四面體補(bǔ)形為正方體如圖所示A-B1CD1，正方體的體對角線長為2×eq\f(\r(6),2)＝eq\r(6)，棱長為eq\f(\r(6),\r(3))＝eq\r(2)，所以正四面體的棱長為eq\r(2)×eq\r(2)＝2，D正確．故選A、D．8．在一個(gè)棱長為3＋2eq\r(2)的正方體內(nèi)部有一個(gè)大球和小球，大球與正方體的六個(gè)面都相切，小球可以在正方體和大球之間的空隙自由滑動(dòng)，則小球的表面積最大值是________．解析：如圖所示，為組合體的中截面，易知當(dāng)小球的表面積最大時(shí)大球半徑R和小球半徑r滿足eq\r(2)R＝R＋r＋eq\r(2)r，2R＝3＋2eq\r(2)，解得r＝eq\f(1,2)，故小球表面積的最大值為π．答案：π9．已知正三棱錐S-ABC的側(cè)棱長為4eq\r(3)，底面邊長為6，則該正三棱錐外接球的表面積是________．解析：如圖，過點(diǎn)S作SE⊥平面ABC于點(diǎn)E，記球心為O．∵在正三棱錐S-ABC中，底面邊長為6，側(cè)棱長為4eq\r(3)，∴BE＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×6＝2eq\r(3)，∴SE＝eq\r(SB2－BE2)＝6．∵球心O到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，均等于該正三棱錐外接球的半徑R，∴OB＝R，OE＝6－R．在Rt△BOE中，OB2＝BE2＋OE2，即R2＝12＋(6－R)2，解得R＝4，∴外接球的表面積為S＝4πR2＝64π．答案：64π10．如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O．D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長變化時(shí)，求所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值．解：如圖，連接OD，交BC于點(diǎn)G，由題意，知OD⊥BC，OG＝eq\f(\r(3),6)BC．設(shè)OG＝x，則BC＝2eq\r(3)x，DG＝5－x，三棱錐的高h(yuǎn)＝eq\r(DG2－OG2)＝eq\r(25－10x＋x2－x2)＝eq\r(25－10x)，S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)x×3x＝3eq\r(3)x2，則三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\r(3)x2·eq\r(25－10x)＝eq\r(3)·eq\r(25x4－10x5)．令f(x)＝25x4－10x5，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，則f′(x)＝100x3－50x4．令f′(x)＝0得x＝2．當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2)))時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，故當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取得最大值80，則V≤eq\r(3)×eq\r(80)＝4eq\r(15)．所以三棱錐體積的最大值為4eq\r(15)cm3．11．已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為()A．64π B．48πC．36π D．32π解析：A如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，⊙O1的半徑為r，因?yàn)椤袿1的面積為4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以eq\f(AB,sin60°)＝2r，解得AB＝2eq\r(3)，故OO1＝2eq\r(3)，所以R2＝OOeq\o\al(2,1)＋r2＝(2eq\r(3))2＋22＝16，所以球O的表面積S＝4πR2＝64π．故選A．12．在四面體ABCD中，若AB＝CD＝eq\r(3)，AC＝BD＝2，AD＝BC＝eq\r(5)，則四面體ABCD的外接球的表面積為()A．2π B．4πC．6π D．8π解析：C由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體ABCD的四個(gè)面為全等的三角形，所以可在其每個(gè)面補(bǔ)上一個(gè)以eq\r(3)，2，eq\r(5)為三邊的三角形作為底面，分別以x，y，z為側(cè)棱長的三棱錐，如圖所示，從而可得到一個(gè)長、寬、高分別為x，y，z的長方體，并且x2＋y2＝3，x2＋z2＝5，y2＋z2＝4，則有(2R)2＝x2＋y2＋z2＝6(R為球的半徑)，得2R2＝3，所以球的表面積為S＝4πR2＝6π．13．在半徑是13cm的球面上有A，B，C三點(diǎn)，且AB＝BC＝CA＝12cm，則球心到經(jīng)過這三點(diǎn)的截面的距離為________．解析：由題意知問題實(shí)際上是在一個(gè)底面是邊長為12的正三角形，三條側(cè)棱長度都是13的正三棱錐S-ABC中，求頂點(diǎn)S到底面ABC的距離，如圖，過頂點(diǎn)向底面作垂線，垂足是O，連接AO，根據(jù)三角形的重心性質(zhì)，AO＝eq\f(2,3)×12sin60°＝4eq\r(3)，根據(jù)在直角三角形中已知的斜邊長是SA＝13，一條直角邊長是AO＝4eq\r(3)，則要求的直角邊長是SO＝eq\r(SA2－AO2)＝eq\r(132－4\r(3)2)＝11，即球心到經(jīng)過這三個(gè)點(diǎn)的截面的距離是11cm．答案：11cm14．已知正四棱錐P-ABCD的底面正方形的邊長是3，O是P在底面上的射影，PO＝6，Q是AC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)Q且與PA,BD都平行的截面為五邊形EFGHL，求該截面面積的最大值．解：如圖，連接AC，BD，設(shè)截面與正四棱錐P-ABCD的底面相交于EL，AC與EL相交于點(diǎn)Q，由BD∥截面EFGHL，得LE∥BD，由AP∥截面EFGHL，得AP∥QG，則EL必定分別與AB,AD相交于E，L，否則，截面將是三角形，則AP∥EF，AP∥LH．在正四棱錐P-ABCD中，BD⊥AP，由LE∥BD,AP∥QG，知∠GQE是異面直線BD與PA所成的角，則QG⊥EL，所以平面GFEQ和平面GHLQ是兩個(gè)全等的直角梯形．設(shè)AE＝x(0<x<3)，則AP＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×\f(\r(2),2)))2＋62)＝eq\f(9,\r(2))．由AP∥EF，得eq\f(EF,\f(9,\r(2)))＝eq\f(3－x,3)，故EF＝eq\f(3,\r(2))(3－x)，且AQ＝eq\f(x,\r(2))，由AP∥QG，得eq\f(QG,\f(9,\r(2)))＝eq\f(3\r(2)－\f(x,\r(2)),3\r(2))，故QG＝eq\f(9,\r(2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,6)))，從而S五邊形EFGHL＝2×eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,\r(2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,6)))＋\f(3,\r(2))3－x))eq\f(x,\r(2))＝－eq\f(9,4)x2＋9x＝－eq\f(9,4)(x－2)2＋9，所以當(dāng)x＝2時(shí)，截面EFGHL的面積取得最大值9．15．(多選)在南方不少地區(qū)，經(jīng)常看到一種用木片、竹篾或葦蒿等材料制作的斗笠，用來遮陽或避雨，其中有一種外形為圓錐形的斗笠，稱為“燈罩斗笠”，不同型號(hào)的斗笠大小經(jīng)常用帽坡長(母線長)和帽底寬(底面圓直徑長)兩個(gè)指標(biāo)進(jìn)行衡量，現(xiàn)有一個(gè)“燈罩斗笠”，帽坡長20厘米，帽底寬20eq\r(3)厘米，關(guān)于此斗笠，下列說法正確的是()A．斗笠軸截面(過頂點(diǎn)和底面中心的截面圖形)的頂角為120°B．過斗笠頂點(diǎn)和斗笠側(cè)面上任意兩母線的截面三角形的最大面積為100eq\r(3)平方厘米C．若此斗笠頂點(diǎn)和底面圓上所有點(diǎn)都在同一個(gè)球上，則該球的表面積為1600π平方厘米D．此斗笠放在平面上，可以蓋住的球(保持斗笠不變形)的最大半徑為20eq\r(3)－30厘米解析：ACD對A選項(xiàng)，設(shè)頂角為θ，則sineq\f(θ,2)＝eq\f(10\r(3),20)＝eq\f(\r(3),2)，得eq\f(θ,2)＝60°，所以頂角為θ＝120°，A正確；對B選項(xiàng)，因?yàn)轫斀菫棣龋?