2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第七章-第三節(jié)-等比數(shù)列-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

等比數(shù)列一、單項(xiàng)選擇題1．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝－7，S6＝－63，則公比q＝()A．－2 B．2C．－12 D．2．設(shè){an}是等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，則a6＋a7＋a8＝()A．12 B．24C．30 D．323．已知遞增的等比數(shù)列{an}中，前3項(xiàng)的和為7，前3項(xiàng)的積為8，則a4的值為()A．2 B．4C．6 D．84．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，則k＝()A．2 B．3C．4 D．55．已知{an}為等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，an＋1＝2Sn＋2，則a4的值為()A．3 B．18C．54 D．1526．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S4＝－5，S6＝21S2，則S8＝()A．120 B．85C．－85 D．－1207．音分是度量不同樂音頻率比的單位，也可以稱為度量音程的對數(shù)標(biāo)度單位．一個(gè)八度音程為1200音分，它們的頻率值構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列．八度音程的冠音與根音的頻率比為2，因此這1200個(gè)音的頻率值構(gòu)成一個(gè)公比為12002的等比數(shù)列．已知音M的頻率為m，音分值為k，音N的頻率為n，音分值為l.若m＝2n，則k－lA．400 B．500C．600 D．8008．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，a1＝16，公比q＝12，則Tn取最大值時(shí)nA．3 B．6C．4或5 D．6或7二、多項(xiàng)選擇題9．Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若存在a，b，c∈R，使得Sn＝a·bn＋c，則()A．a(chǎn)＋c＝0 B．b是數(shù)列{an}的公比C．a(chǎn)c<0 D．{an}可能為常數(shù)列10．(2024·重慶模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，且an＋1＝3an＋2n，則()A．?dāng)?shù)列{an＋2n}是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列anC．a(chǎn)n＝2×3n－2n+1D．Sn＝2(3n－2n)三、填空題11．在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a3與a8是方程x2－30x＋10＝0的兩個(gè)根，則lga1＋lga2＋…＋lga1012．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝3n＋a，則a＝________，數(shù)列{an2四、解答題13．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝3，Sn＝2＋an＋1.(1)證明：數(shù)列{Sn－2}為等比數(shù)列；(2)記數(shù)列1Sn的前n項(xiàng)和為Tn，證明：Tn14．已知{an}為等差數(shù)列，{bn}為公比為2的等比數(shù)列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.(1)證明：a1＝b1；(2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的個(gè)數(shù)．參考答案1．B[法一：由等比數(shù)列的性質(zhì)，得q3＝S6?S3S3法二：由題得q≠1，∵等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S3＝－7，S6＝－63，∴S解得q＝2.故選B.]2．D[法一：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，所以a2+a3+a4a1+a2+a3＝a1+a2+a3qa1+a2+a3＝q＝2，由a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1，解得a1＝17，所以a6＋a7＋法二：令bn＝an＋an＋1＋an＋2(n∈N*)，則bn＋1＝an＋1＋an＋2＋an＋3．設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則bn+1bn＝an+1+an+2+an+3an+an+1+an+2＝an+an+1+a3．D[由前3項(xiàng)的和為7，得a1＋a1q＋a1q2＝7，前3項(xiàng)的積為8，得a1a2a3＝a23＝8，即a則a1＝2q，代入a1＋a1q＋a1q2＝7，得2q+2q·q＋2q·q2＝7，即2q2－5q＋2＝0，解得因?yàn)閍n所以q＝2，則a1＝2q所以a4＝1×23＝8.故選D.]4．C[∵a1＝2，am＋n＝aman，令m＝1，則an＋1＝a1an＝2an，∴{an}是以a1＝2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an＝2×2n-1＝2n.又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，∴2k+11?2即2k+1(210－1)＝25(210－1)，∴2k+1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.故選C.]5．C[因?yàn)閧an}為等比數(shù)列，an＋1＝2Sn＋2，所以a2＝2S1＋2＝2a1＋2，a3＝2S2＋2＝2(a1＋2a1＋2)＋2＝6a1＋6，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，a22＝a1·即(2＋2a1)2＝(6a1＋6)·a1，所以a1＝2或a1＝－1(舍)，所以a2＝6，q＝3，則a4＝a1·q3＝2×33＝54.故選C.]6．C[法一：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，由題意易知q≠1，則a11?q41?q=?5，a11?q6法二：易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…為等比數(shù)列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝54.當(dāng)S2＝－1時(shí)，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85；當(dāng)S2＝54時(shí)，結(jié)合S4＝－5得a11?q41?q7．C[由題意可知，1200個(gè)音的頻率值構(gòu)成一個(gè)公比為12002的等比數(shù)列，設(shè)第一個(gè)音為a1，所以an＝a1(12002)n－1，故m＝a1(12002)k－1，n＝a1(12002因?yàn)閙＝2n，所以mn＝a1(12002)k?1a1(12002)l?1＝(12002)k－故選C.]8．C[an＝a1qn-1＝16×12n?1＝24×21-n＝25-故Tn＝a1a2…an＝24×23×…×25-n＝24+3+…+5-n＝2n4+5?n2因?yàn)閚∈N*，所以當(dāng)n＝4或5時(shí)，Tn取得最大值．故選C.]9．ABC[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.當(dāng)q＝1，Sn＝na1，顯然不是Sn＝a·bn＋c的形式，故不滿足，D錯(cuò)誤；當(dāng)q≠1，Sn＝a11?qn1?q＝a11?q?a11?q·qn，所以c＝a11?q，a＝－a10．ABD[an＋1＋2n+1＝3an＋2n＋2n+1＝3an＋3·2n＝3(an＋2n)，又a1＋2＝4≠0，an+1+2n+1an+2n＝3，故數(shù)列{an＋2n}是以4為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以an＋2n＝4×3n-1，an＝4×3n-1－2an+12n+1＋1＝3an+2n211．5[因?yàn)閍3與a8是方程x2－30x＋10＝0的兩個(gè)根，所以a3a8＝10，因?yàn)閧an}為正項(xiàng)等比數(shù)列，所以a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6＝10，所以lga1＋lga2＋…＋lga10＝lg(a1·a2·…·a10)＝lg(a3a8)5＝lg105＝5．]12．－19n?12[設(shè)數(shù)列{an2}的前n項(xiàng)和為Tn，因?yàn)镾n＝3n＋a，所以Sn－1＝3n-1＋a(n≥2)，所以an＝Sn－Sn－1＝2·3n-1(n≥2)，且S1＝a1＝3＋a.又?jǐn)?shù)列{an}為等比數(shù)列，所以an＝2·3n-1且2＝3＋a，所以a＝－1．因?yàn)閍n+12an2＝an+113．證明：(1)因?yàn)镾n＝2＋an＋1＝2＋(Sn＋1－Sn)，所以2Sn＝Sn＋1＋2，所以Sn＋1－2＝2(Sn－2)，因?yàn)镾1－2≠0，所以Sn－2≠0，Sn+1?2Sn?2(2)由(1)可知Sn－2＝2n-1，所以1Sn＝12+2n?1<12n?1，所以＝1?12n14．解：(1)證明：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a2－b2＝a3－b3，知a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，故d＝2b1，由a2－b2＝b4－a4，知a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)，故a1＋d－2b1＝4d－(a1＋3d)，故a1＋d－2b1＝d－