初中圓題型總結(jié)

圓的基本題型

縱觀近幾年全國各地中考題，圓的有關(guān)概念以及性質(zhì)等一般以填空題，選擇

題的形式考查并占有一定的分值；一般在10分一15分左右，圓的有關(guān)性質(zhì)，如

垂徑定理，圓周角，切線的判定與性質(zhì)等綜合性問題的運用一般以計算證明的形

式考查；利用圓的知識與其他知識點如代數(shù)函數(shù)，方程等相結(jié)合作為中考壓軸題

將會占有非常重要的地位，另外與圓有關(guān)的實際應用題，閱讀理解題，探索存在

性問題仍是熱門考題，應引起注意.下面究近年來圓的有關(guān)熱點題型，舉例解析

如下。

一、圓的性質(zhì)及重要定理的考查

基礎(chǔ)知識鏈接：（1）垂徑定理；（2）同圓或等圓中的圓心角、弦、弧之間的關(guān)

系.（3）圓周角定理及推論（4）圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)

【例1】（江蘇鎮(zhèn)江）如圖，A5為。0直徑，CD為弦,且CDJ_A5,垂足為

（1）NOCD的平分線CE交。。于E,連結(jié)OE.求證：E為弧ADB的中點;

（2）如果。。的半徑為1,CD=V3,

①求。到弦AC的距離;

②填空：此時圓周上存在.個點到直線AC的距離為工.

【解析】(1)VOC=OE,ZE=ZOCE

又ZOCE=ZDCE,/.NE=NDCE.

OE//CD.

XCD1AB,.-.ZAOE=ZBOE=90°.

.,.E為弧ADB的中點.

(2)CDLAB,A5為。0的直徑，CD=6，

1c-r

-,CH=-CD=^-.又OC=1,...sinNCOB=&2』

22OC12

ZCOB=60°,ABAC=30°.

作。PLAC于P,則==

22

②3.

【點評】本題綜合考查了利用垂徑定理和勾股定理及銳角三角函數(shù)求解問題的

能力.運用垂徑定理時，需添加輔助線構(gòu)造與定理相關(guān)的“基本圖形”.

幾何上把圓心到弦的距離叫做弦心距,本題的弦心距就是指線段0D的長.在圓中

解有關(guān)弦心距半徑有關(guān)問題時,常常添加的輔助線是連半徑或作出弦心距,把垂

徑定理和勾股定理結(jié)合起來解題.如圖，?0的半徑為弦心距為d,弦長。之間

的關(guān)系為/=/+/；根據(jù)此公式，在八d三個量中，知道任何兩個量就可

以求出第三個量.平時在解題過程中要善于發(fā)現(xiàn)并運用這個基本留形.0

【例2】（安徽蕪湖）如圖，已知點￡是圓。上的點，A/A

反。分別是劣弧AD的三等分點，ZBOC=460,\\0/]

則ZAa的度數(shù)為一

【解析】由反。分別是劣弧的三等分點知，圓心角/AOB=NBOC=/COD,

又建50c=46°,所以NA0D=138°.

根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半。從而有NAEO=69°.

點評本題根據(jù)同圓或等圓中的圓心角、圓周角的關(guān)系。

【強化練習】

【1】.如圖，。。是ABC的外接圓，NA4c=60。，AD,CE分別是BC,AB上的高,

且AD,CE交于點H,求證：AH=A0

⑴如圖，在。0中，弦ACJ_BD,0E±AB,垂足為E,求證：0E=1cD

⑵如圖，AC,BD是。0的兩條弦，且ACBD,。。的半徑為自求AB,+CD?的值。

D

【2】(第25題)如圖，。。是4ABC的外接圓，弦BD交AC于點E,連接CD,且AE=DE,

BC=CE.

(1)求/ACB的度數(shù)；

(2)過點O作OF_LAC于點F,延長FO交BE于點G,DE=3,EG=2,求AB的長.

二、直線與圓的位置關(guān)系

基礎(chǔ)知識鏈接：

1、直線與圓的位置關(guān)系有三種：

⑴如果一條直線與一個圓沒有公共點,那么就說這條直線與這個圓相離.

⑵如果一條直線與一個圓只有一個公共點,那么就說這條直線與這個圓相切，止匕

時這條直線叫做圓的切線,這個公共點叫做切點.

⑶如果一條直線與一個圓有兩個公共點,那么就說這條直線與這個圓相交,此時

這條直線叫做圓的割線,這兩個公共點叫做交點.

2、直線與圓的位置關(guān)系的判定；

3、弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角；

4.和圓有關(guān)的比例線段

(1)相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等；

(2)推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的

比例中項；

(3)切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交

點的兩條線段長的比例中項；

(4)推論從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條

線段長的積相等。

5.三角形的內(nèi)切圓

(1)有關(guān)概念：三角形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、圓的外切三角形、多邊形的

內(nèi)切圓、圓的外切多邊形；

6、圓的切線的性質(zhì)與判定。

CCr=AC-BCHCD^CE'OCDCOE?￡C且血=屹-AE

u

AC-BC=CE，OCOE,EC=BE-AE

【例1】(甘肅蘭州)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,3。是。0的直徑，AE1CD,

垂足為E,DA平分NBDE.

(1)求證：AE是。0的切線；

(2)若NDBC=30°,DE=1cm,求3。的長.

【解析】(1)證明：連接04,???DA平分N3DE,/.ZBDA=ZEDA.

?/0A=0D,Z0DA=N0AD.Z0AD=ZEDA.

0A//CE.

?/AEIDE,ZAED=9Q°,ZOAE=ZDEA=90°.

AELOA.,AE是。0的切線.

(2)?.?3。是直徑，ZBCD=ZBAD=90°.

vZDBC=3Q°,ZBDC=60°,ZBDE=120°.

?/DA平分ZBDE,/.ZBDA=ZEDA=60°.

ZABD=ZEAD=30°.

在RtZXAED中，ZAED=9Q°,ZEAD=30°,/.AD=IDE.

在中，NBAD=90°,ZABD=30°,/.BD=2AD=4DE.

?/DE的長是1cm,BD的長是4cm.

【點評】證明圓的切線，過切點的這條半徑為必作輔助線.即經(jīng)過半徑的外端且

垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

【例2】(廣東茂名)如圖，。。是△"a'的外接圓，且力后4C,點。在弧歐上運

動，過點、D炸DE”BC,"交46的延長線于點￡,連結(jié)力久BD.

(1)求證：2幻爐/￡；

(2)當點。運動到什么位置時，鹿是。。的切線？請說明理由.B

(3)當/斤5,旅6時，求。。的半徑.(4分)

【解析】(1)在△"比1中，?:AB=AC,

：.AABOAC.

'：DE//BC,:./ABO/E,

斤NC.

又?：/AD氏4C,

，/ADF/E.

(2)當點。是弧比'的中點時，/應是?！ǖ那芯€.

理由是：當點。是弧比'的中點時，則有且H〃過圓心。.

又,：DE〃BC,：.ADVED.

：.應'是。。的切線.

(3)連結(jié)加、A0,并延長月。交a1于點尸,

則4a式；且於工旅3.

2

又

設(shè)。。的半徑為r,在Rt△眺中，0戶4—r,OB^r,B戶3,

r2=32+(4-r)2

解得，=仝25，二。。的半徑是245.

88

【點評】本題綜合運用了等腰三角形的性質(zhì)，圓的切線判定，解題最關(guān)鍵是抓

住題中所給的已知條件，構(gòu)造直角三角形，探索出不同的結(jié)論.

【例4】已知：如圖7,點P是半圓0的直徑BA延長線上的點，PC切半圓于C

點，CDLAB于D點，若PA：PC=1：2,DB=4,求tanNPCA及PC的長。

圖7

證明：連結(jié)CB

:PC切半圓0于C點，.../PCA=NB

VZP=ZP,AAPAC^APCB

AAC：BC=PA：PC

,iACPA\

ton=ton3n=----=-----=—

BCPC2

VAB是半圓0的直徑，NACB=90°

XVCD1AB

AC2AD*ABAD,門AC25D=1X4=1

-7-=----=-，A.L)-------

???BC2BD*ABBDBC24

...AB=AD+DB=5

22

7PC=PA*PB,：.(2PA)=PA(PA+5)

PA=-,：.PC=2PA=—

33

【例5】已知：如圖8,在Rt^ABC中，NB=90°,NA的平分線交BC于點D,

E為AB上的一點，DE=DC,以D為圓心，DB長為半徑作。D。

求證：(1)AC是。D的切線；

(2)AB+EB=AC

分析：(1)欲證AC與。D相切，只要證圓心D到AC的距離等于。D的半徑BD。

因此要作DFXAC于F

(2)只要證AC=AF+FC=AB+EB,證明的關(guān)鍵是證BE=FC,這又轉(zhuǎn)化為證4EBD

^△CFDo

證明：(1)如圖8,過D作DFLAC,F為垂足

：AD是NBAC的平分線，DB±AB,；.DB=DF

點D到AC的距離等于圓D的半徑

...AC是。D的切線

(2)VAB1BD,OD的半徑等于BD,

；.AB是。D的切線，...AB=AF

在RtABED和RtZxFCD中,ED=CD,BD=FD

AABED^AFCD,ABE=FC

；.AB+BE=AF+FC=AC

小結(jié)：有關(guān)切線的判定，主要有兩個類型，若要判定的直線與已知圓有公共點,

可采用“連半徑證垂直”的方法；若要判定的直線與已知圓的公共點沒有給出,

可采用“過圓心作垂線，證垂線段等于半徑”的方法。此例題屬于后一類

【例6】已知：如圖9,AB為。0的弦，P為BA延長線上一點，PE與。0相切

C2

于點E,C為中點，連CE交AB于點F。求證：PF=川?產(chǎn)8

分析：由已知可得PE?=PA?PB,因此要證PF?=PA?PB,只要證PE=PF。

即證NPFE=NPEF。

證明一：如圖9,作直徑CD,交AB于點G,連結(jié)ED,

...NCED=90°

c

?點C為的中點，ACDIAB,，NCFG=/D

;PE為。0切線，E為切點

NPEF=ND,；.NPEF=NCFG

：NCFG=NPFE,,NPFE=NPEF,APE=PF

PE2=PA?PB,，PF2=PA?PB

證明二：如圖9—1,連結(jié)AC、AE

ccc

?.?點C是jR的中點，AAC=BC,，NCAB=NAEC

：PE切。0于點E,.?.NPEA=/C

VZPFE=ZCAB+ZC,NPEF=NPEA+NAEC

...NPFE=NPEF,APE=PF

PE2=PA?PB,PF2=PA?PB

【例7】（1）如圖10,已知直線AB過圓心0,交。。于A、B,直線AF交。0

于F（不與B重合），直線/交。。于C、D,交BA延長線于E,且與AF垂直，

垂足為G,連結(jié)AC、AD

求證：①NBAD=NCAG；

②AC?AD=AE?AF

（2）在問題（1）中，當直線,向上平行移動，與。。相切時，其它條件不變。

①請你在圖10-1中畫出變化后的圖形，并對照圖10標記字母；

②問題（1）中的兩個結(jié)論是否成立？如果成立，請給出證明；如果

不成立，請說明理由。

證明：（1）①連結(jié)BD

VAB是。0的直徑，,NADB=90°

NAGC=NADB=90°

又...ACDB是。0內(nèi)接四邊形

，NACG=NB,AZBAD=ZCAG

②連結(jié)CF

NBAD=ZCAG,NEAG=ZFAB

NDAE=NFAC

又：/ADC=NF,A△ADEAFC

AD_AE

：.AF~AC,.-.AC?AD=AE?AF

(2)①見圖10-1

②兩個結(jié)論都成立，證明如下：

①連結(jié)BC,

：AB是直徑，AZACB=90°

NACB=NAGC=90°

?.?GC切。0于C,NGCA=ZABC

ZBAC=ZCAG(即ZBAD=ZCAG)

②連結(jié)CF

/CAG=ZBAC,NGCF=ZGAC,

.\ZGCF=ZCAE,NACF=NACG—NGFC,NE=NACG—NCAE

AC_AF

：.ZACF=ZE,AAACF^AAEC,AAE~AC

.\AC2=AE?AF(即AC?AD=AE?AF)

說明：本題通過變化圖形的位置，考查了學生動手畫圖的能力，并通過探究式的

提問加強了對學生證明題的考查，這是當前熱點的考題，希望引起大家的關(guān)注。

【強化練習】

【1】(第22題)如圖，。。的直徑為10cm,弦BC為D、E分別是/ACB的平分

線與。O,AB的交點，尸為AB延長線上一點，＜PC=PE.

(1)求AC、AO的長；(2)試判斷直線尸C與。O的位置關(guān)系，并說明理由.

[2](第23題)如圖，在△ABC中，ZC=90°,/ABC的平分線交AC于點E,過點E作

BE的垂線交AB于點尸，。。是的外接圓.

(1)求證：AC是。。的切線.

(2)過點E作于點H,求證：CD=HF.

【3】(第25題)如圖，在。O中，AB,CD是直徑，BE是切線，B為切點，連接AD,BC,

BD.

(1)求證：AABD^ACDB；

(2)若/DBE=37。，求/ADC的度數(shù).

[4](第24題)如圖，AB為0O的直徑，PD切0O于點C,交AB的延長線于點D,且

ZD=2ZCAD.

(1)求ND的度數(shù)；

(2)若CD=2,求BD的長.

【5】(第27題)如圖，中，ZABC=90°,以AB為直徑作半圓。。交AC與點D,

點￡為BC的中點，連接DE.

(1)求證：OE是半圓0O的切線.(2)若/BAC=30。，DE=2,求的長.

三、圓與圓的位置關(guān)系的考查

基礎(chǔ)知識鏈接：如果兩個圓沒有公共點,那么就說這兩個圓相離,如圖（1）、（2）、

⑶所示.其中⑴又叫做外離，⑵、⑶又叫做內(nèi)含.⑶中兩圓的圓心相同，這

兩個圓還可以叫做同心圓.

如果兩個圓只有一個公共點,那么就說這兩個圓相切,如圖（4）、⑸所示.其中⑷

又叫做外切，（5）又叫做內(nèi)切.如果兩個圓只有兩個公共點，那么就說這兩個圓相

交,如圖（6）所示.

【例11（甘肅蘭州）.如圖是北京奧運會自行車比賽項目標志，則圖中兩輪

所在圓的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)含B.相交C.相切D.外離

【解析】圖中的兩圓沒有公共點，且一個圓上的所有點都在另一個圓的外部,

故兩圓外離，選D.

【點評】圓與圓的位置關(guān)系有五種:外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.其關(guān)系可

以用圓與圓公共點的個數(shù)及點與圓的位置關(guān)系來判定，也可以用數(shù)量關(guān)系來表

示圓與圓的位置關(guān)系：

如果設(shè)兩圓的半徑為小弓，兩圓的圓心距為由則圓與圓的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系

如下表

兩圓的位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系及其識別方法

外離*〉門+^2

外切d=ri+f2

相交ri-r2〈d〈ri+之&i

內(nèi)切d=r\-r2（r\》之）

內(nèi)含）嘮

【例2】（赤峰市）如圖（1）,兩半徑為廠的等圓。（X和。O?相交于N兩點,

且。02過點?！高^航點作直線A3垂直于MN,分別交。01和。。2于43兩點,

連結(jié)N4,NB.

（1）猜想點2與。0】有什么位置關(guān)系，并給出證明；

（2）猜想△MIB的形狀，并給出證明；

（3）如圖（2）,若過M的點所在的直線A3不垂直于MN,且點A3在點

M的兩側(cè)，那么（2）中的結(jié)論是否成立，若成立請給出證明.

M

圖⑴圖(2)

【解析】解：（1）Q在口。上

證明：過點。1，.?.。1。2=廠.\

/

又。01的半徑也是「，.?.點。2在。01上.

（2）ZXMIB是等邊三角形

證明：?/MNLAB,ZNMB=ZNMA=9Q°.

.?.3N是。O2的直徑，AN是。0i的直徑，廠

^BN=AN=2r,Q在BN上，。在A7V上.（Ox

連結(jié)。。2，則。02是ANAB的中位線.

M-

圖(2)

AB=2OQ,=2r.

AB=BN=AN,則ANAB是等邊三角形.

（3）仍然成立.

證明：由（2）得在。0】中弧MN所對的圓周角為60°.

在。中弧MN所對的圓周角為60°..?.當點43在點M的兩側(cè)時,

在。Ch中弧MN所對的圓周角NMAN=60°,在。O2中弧MN所對的圓周角

NMBN=60°,

.?.△N4B是等邊三角形.

注：（2）,（3）是中學生猜想為等腰三角形證明正確給一半分.

【點評】相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，又且。過點構(gòu)建對稱性知，

。01過再證ANAB是等腰三角形；（2）1是的基礎(chǔ)上發(fā)散探究，具有一定的

開放性.

四、圓與多邊形的計算考查

基礎(chǔ)知識鏈接：

1、圓與正多邊形的關(guān)系的計算；

2、弧長、扇形面積、圓錐側(cè)面積全面積的計算.

【例1］（贛州）小芳隨機地向如圖所示的圓形簸箕內(nèi)撒了幾把豆子，則豆子落

到圓內(nèi)接正方形（陰影部分）區(qū)域的概率是

【解析】設(shè)圓的半徑為1,則圓的面積為萬，易算得正方形的邊長為行，正方形

面積為2,則豆子落到圓內(nèi)接正方形（陰影部分）區(qū)域的概率是三.

71

【點評】本題考查的是幾何概率，解題的關(guān)鍵是圓與圓內(nèi)接正方形的面積，根據(jù)

古典概型，可轉(zhuǎn)化為面積之比.

【例2］兩同心圓，大圓半徑為3，小圓半徑為1,則陰影部分面積為

【解析】根據(jù)大、小圓的半徑，可求得圓環(huán)的面積為8小圖中的陰影面積為圓

環(huán)面積的一半4萬.

【點評】有關(guān)面積計算問題，不難發(fā)現(xiàn)，一些不規(guī)則的圖形可轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形

計算，本題就較好的體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化方法和整體思想.

五、圓的綜合性問題的考查

基礎(chǔ)知識鏈接：圓的有關(guān)知識與三角函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等綜合應用。

【例1】如圖，在平面直角坐標系中，圓M經(jīng)過原點0,且與x軸、y軸分別相

交于A(-8,0)、3(0,-6)兩點.

（1）求出直線AB的函數(shù)解析式；

（2）若有一拋物線的對稱軸平行于y軸且經(jīng)過點M,頂點C在。M上，開口向

下，且經(jīng)過點B,求此拋物線的函數(shù)解析式；

（3）設(shè)（2）中的拋物線交x軸于D、E兩點，在拋物線上是否存在點P,使得

SAPDEM^SMBC?若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由?

L\rULL]Q'

【解析】（1）設(shè)AB的函數(shù)表達式為y=kr+h

0=~~8k+b,.

,/A(-8,0),B(0,-6),

-6=b.

3/、

直線AB的函數(shù)表達式為y=——x-6.

（2）設(shè)拋物線的對稱軸與。M相交于一點，依題意知這一點就是拋物線的頂點C。

又設(shè)對稱軸與x軸相交于點N,在直角三角形A0B中，

AB=^AO2+OB2=&2+6?=io.

因為。M經(jīng)過0、A、B三點，且NAOB=90°".A3為。M的直徑，二半徑MA=5,

；.N為A0的中點AN=N0=4,MN=3CN=MC-MN=5-3=2,...C點的坐標為（一4,2）.

設(shè)所求的拋物線為丁=。/+法+。

貝！J<2=16〃—4b+c,.，?<b=—4,

—6=c.c=—6.

???所求拋物線為J=-1X2-4X-6

(3)令一工——4x—6.=0,得D、E兩點的坐標為D(-6,0)、E(-2,0),所以

2

DE=4.

又AC=2逐,3C=46,.?.直角三角形的面積=g?26?4斯=20.

假設(shè)拋物線上存在"(x,y)使得SAPDE=±5,o，即3?。石?國=，?20,二丁=±1.

當丁=1時，x=-4±四;當y=-1時，x=-4±布.故滿足條件的存在.它們是

P\卜4+a,1),鳥卜4一0,1)出卜4+6,—1),巴卜4一遍1卜

【點評】本題是一次函數(shù)、二次函數(shù)與圓的綜合性問題，解題的關(guān)鍵是抓住圖

形中的點的坐標，運用待定系數(shù)數(shù)的方法求出解析式；

【例2】(第27題)如圖，在。0的內(nèi)接AABC中，NACB=90°,AC=2BC,過C

作AB的垂線1交。。于另一點D,垂足為E.設(shè)P是同上異于A,C的一個動點,

射線AP交1于點F,連接PC與PD,PD交AB于點G.

(1)求證：ZXPACs/XPDF；

(2)若AB=5,AP=BP-求PD的長；

(3)在點P運動過程中，設(shè)修生x,tanZAFD=y,

BG

求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.(不要求寫出x的取值范圍)

圓的綜合題

(1)證明相似，思路很常規(guī)，就是兩個角相等或邊長成比例.因為題中因

圓周角易知一對相等的角，那么另一對角相等就是我們需要努力的方向，

因為涉及圓，傾向于找接近圓的角NDPF,利用補角在圓內(nèi)作等量代換，等

弧對等角等知識易得NDPF=NAPC,則結(jié)論易證.

(2)求PD的長，且此線段在上問已證相似的4PDF中，很明顯用相似得

成比例，再將其他邊代入是應有的思路.利用已知條件易得其他邊長，則

PD可求.

(3)因為題目涉及NAFD與也在第一問所得相似的4PDF中，進而考慮轉(zhuǎn)

化，ZAFD=ZPCA,連接PB得NAFD=NPCA=NPBG,過G點作AB的垂線，

若此線過PB與AC的交點那么結(jié)論易求，因為根據(jù)三角函數(shù)或三角形與三

角形ABC相似可用AG表示NPBG所對的這條高線.但是“此線是否過PB

與AC的交點”？此時首先需要做的是多畫幾個動點P,觀察我們的猜想.驗

證得我們的猜想應是正確的，可是證明不能靠畫圖，如何求證此線過PB與

AC的交點是我們解題的關(guān)鍵.常規(guī)作法不易得此結(jié)論，我們可以換另外的

輔助線作法，先做垂線，得交點H,然后連接交點與B,再證明

ZHBG=ZPCA=ZAFD.因為C、D關(guān)于AB對稱，可以延長CG考慮P點的對

稱點.根據(jù)等弧對等角，可得NHBG=NPCA,進而得解題思路.

(1)證明：???眾=會，

AZDPF=1800-ZAPD=180°-卷所對的圓周角=180°-京所對的圓周

角=3而所對的圓周角二/APC.

在APAC和4PDF中，

[NAPC=NDPF,

IZPAC=ZPDF，

AAPAC^APDF.

(2)解：如圖1,連接P0,則由會二或，有PO_LAB,且NPAB=45°,△APO、

△AEF都為等腰直角三角形.

在RtZXABC中，

VAC=2BC,

.*.AB2=BC2+AC2=5BC2,

VAB=5,

；.AC=2巡，

CE=AC?sinNBAC=AC?強2粕?運2,

AB5

AE=AC?cosNBAC=AC?空=2旄?"??/良4,

AB5

,.?△AEF為等腰直角三角形，

.?.EF=AE=4,

.\FD=FC+CD=(EF-CE)+2CE=EF+CE=4+2=6.

?.?△APO為等腰直角三角形，AO=?AB=,

AAP=5V2

2

?.'△PDFs△PAC,

?PDPA

??麗qr

5A/2

?PDF

62^5

...PD=3何.

2

(3)解：如圖2,過點G作GH_LAB,交AC于H,

圓，連接CG并延長交。。于Q,

VHCXCB,GHXGB,

；.C、G都在以HB為直徑的圓上，

ZHBG=ZACQ,

?.＜、D關(guān)于AB對稱，G在AB上，

；.Q、P關(guān)于AB對稱,

:.AP=AQ>

ZPCA=ZACQ,

，ZHBG=ZPCA.

VAPAC^APDF,

/PCA=/PFD=/AFD,

y=tanNAFD=tanNPCA=tanNHBG=—.

BG

HG=tanZHAG?AG=tanZBAC?AG=—.AG二工?AG,

3嗡x.

本題考查了圓周角、相似三角形、三角函數(shù)等性質(zhì)，前兩間思路還算簡單，

但最后一問需要熟練的解題技巧需要長久的磨練總結(jié).總體來講本題偏難，

學生練習時加強理解，重點理解分析過程，自己如何找到思路._

【例3】（第24題）如圖①，已知：在矩形ABCD的邊AD上有一點0,0A=Jj,

以0為圓心,0A長為半徑作圓，交AD于M,恰好與BD相切于H,過H作弦HP〃AB,

弦HP=3.若點E是CD邊上一動點（點E與C,D不重合），過E作直線EF〃BD

交BC于F,再把4CEF沿著動直線EF對折，點C的對應點為G.設(shè)CE=x,AEFG

與矩形ABCD重疊部分的面積為S.

（1）求證：四邊形ABHP是菱形；

（2）問4EFG的直角頂點G能落在。0上嗎？若能，求出此時x的值；若不能，

請說明理由；

（3）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出FG與。。相切時，S的值.

圖①圖②（備用圖）

第3題圖

考點：圓的綜合題；含30度角的直角三角形；菱形的判定；矩形的性質(zhì)；垂徑

定理；切線的性質(zhì)；切線長定理；軸對稱的性質(zhì)；特殊角的三角函數(shù)值所有

專題：壓軸題.

分析：（1）連接0H,可以求出NH0D=60°,ZHD0=30°,從而可以求出AB=3,

由HP〃AB,HP=3可證到四邊形ABHP是平行四邊形，再根據(jù)切線長定理可得

BA=BH,即可證到四邊形ABHP是菱形.

（2）當點G落到AD上時，可以證到點G與點M重合，可求出x=2.

（3）當0WxW2時，如圖①，S=S△晚，只需求出FG,就可得到S與x之間的函

數(shù)關(guān)系式；當2VxW3時，如圖④，S=SAGEF-SASGR,只需求出SG、RG,就可得到

S與x之間的函數(shù)關(guān)系式.當FG與。。相切時，如圖⑤，易得FK=AB=3,KQ=AQ

-AK=2-2'小，金.再由FK=VsKQ即可求出x,從而求出S.

解答：解：（1）證明：連接0H,如圖①所示.

?.?四邊形ABCD是矩形，

AZADC=ZBAD=90°,BC=AD,AB=CD.

：HP〃AB,

AZANH+ZBAD=180°.

ZANH=90°.

.\HN=PN=HP=.

圖①

V0H=0A=V3-

.\sinZH0N=?=2Zl.

OH2

ZH0N=60°

???BD與。。相切于點H,

AOHIBD.

AZHD0=30°.

00=2-73，

/.AD=3A/3，

，BC=3石.

VZBAD=90°,ZBDA=30°.

tan/BDA=^=—立.

AD3733

.\AB=3.

VHP=3,

.\AB=HP.

：AB〃HP,

四邊形ABHP是平行四邊形.

VZBAD=90°,AM是。0的直徑，

...BA與。0相切于點A.

???BD與。。相切于點H,

.\BA=BH.

???平行四邊形ABHP是菱形.

(2)aEFC的直角頂點G能落在。。上.

如圖②所示，點G落到AD上.

：EF〃BD,

ZFEC=ZCDB.

ZCDB=90°-30°=60°,

AZCEF=60°.

由折疊可得：NGEF=NCEF=60°.

AZGED=60°.

VCE=x,

/.GE=CE=x.ED=DC-CE=3-x.

.,.cos/GED=%"J.

GEx

/.x=2.

AGE=2,ED=1.

.".GD=V3.____

OG=AD-AO-GD=3^/5-V3-

.\OG=OM.

...點G與點M重合.

此時4EFG的直角頂點G落在。0上，對應的x的值為2.

當4EFG的直角頂點G落在。0上時，對應的x的值為2.

（3）①如圖①，

在RtAEGF中，

t…嘴詈⑥

,FG二?x.

?'.S=GE?FG=x?A/3X=2Z^X2.

2

②如圖③，

ED=3-x,RE=2ED=6-2x,

GR=GE-ER=x-(6-2x)=3x-6.

tanZSRG=i2=SG=J1,

_RG3x-63

ASG=V3(x-2).

??SASGR=SG*RG=?V3(x-2)?(3x-6).

=2^1(x-2)2.

2

2

??S=SAGEF一SASGR

=?2_型(x-2)2.

22_

=--6-73.

綜上所述：當0WxW2時,S=2Z^x2；當2<xW3時，S=-V3X2+6-73X-6a.

2

當FG與。。相切于點T時,延長FG交AD于點Q,過點F作FKJ_AD,垂足為K,

如圖④所示.

?四邊形ABCD是矩形，

.?.BC〃AD,ZABC=ZBAD=90°

AZAQF=ZCFG=60°.

V0T=V3-

.\0Q=2.

AQ=\f^~2.

,：ZFKA=ZABC=ZBAD=90°,

四邊形ABFK是矩形._

FK=AB=3,AK=BF=3A/3-歷?

KQ=AQ-AK=-(3-y3-=2-2后代.

在RtZXFKQ中，tanNFQK=奧V5.

_QK

/.FK=V3QK.__

：.3=息(2-2后后).

解得：x=3-2V3.

3

70^3-

3

.\S=^x2=^X(3-2^)2

223

=31V3.6.

6_

，F(xiàn)G與。。相切時，S的值為31遙-6.

6

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、切線長定理、垂徑

定理、軸對稱性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、30°角所對的直角邊等于斜邊的一半、

等腰三角形的性質(zhì)等知識，綜合性非常強.

【例4】(第23題)如圖1,在。0中，E是弧AB的中點，C為。0上的一動點(C

與E在AB異側(cè))，連接EC交AB于點F,EB=2(r是。0的半徑).

3

(1)D為AB延長線上一點，若DC=DF,證明：直線DC與。0相切；

(2)求EF?EC的值；

(3)如圖2,當F是AB的四等分點時，求EC的值.

圓的綜合題..

(1)連結(jié)0C、0E,0E交AB于H,如圖1,由E是弧AB的中點，根據(jù)垂徑

定理的推論得到0E1AB,則NHEF+NHFE=90°,由對頂相等得NHFE=NCFD,

則NHEF+NCFD=90°,再由DC=DF得NCFD=NDCF,加上N0CE=N0EC,所

以N0CE+NDCE=NHEF+NCFD=90°,于是根據(jù)切線的判定定理得直線DC與

。。相切；

(2)由弧AE=MBE,根據(jù)圓周角定理得到NABE=NBCE,加上NFEB=NBEC,

于是可判斷△EBFS/XECB,利用相似比得到EF?EC=BE?=(r)2=r2；

(3)如圖2,連結(jié)0A,由弧AE=MBE得AE=BE=r,設(shè)0H=x,則HE=r-x,

根據(jù)勾股定理，在RtAOAH中有AH2+x2=r2；在RtAEAH中由AH2+(r-x)

=(r)2,利用等式的性質(zhì)得x?-(r-x)2=r2-(r)2,即得x=r,則HE=r

-r=r,在RtAOAH中，根據(jù)勾股定理計算出AH=±Z±r,由0E1AB得AH=BH,

9

而F是AB的四等分點，所以HF=AH=2e三,于是在RtZXEFH中可計算出

_9

EF=W,然后利用(2)中的結(jié)論可計算出EC.

9

(1)證明：連結(jié)0C、0E,0E交AB于H,如圖1,

???E是弧AB的中點，

.\OE±AB,

AZEHF=90°,

AZHEF+ZHFE=90°,

而NHFE=NCFD,

AZHEF+ZCFD=90°,

VDC=DF,

ZCFD=ZDCF,

而OC=OE,

，ZOCE=ZOEC,E

Z0CE+ZDCE=ZHEF+ZCFD=90°,圖1

AOCXCD,

，直線DC與。0相切；

(2)解：連結(jié)BC,

IE是弧AB的中點，

.?.弧AE=MBE,

，ZABE=ZBCE,

而NFEB=NBEC,

AAEBF^AECB,

AEF：BE=BE：EC,

.".EF*EC=BE=(r)2=r2；

(3)解：如圖2,連結(jié)OA,

V<AE=MBE,

.\AE=BE=r,

設(shè)0H=x,則HE=r-x,

在RtZxOAH中,AH2+0H2=0A2,BPAH2+x2=r2,

在Rt^EAH中，AH2+EH2=EA2,即AH?+(r-x)2=(r)2,

x2-(r-x)2=r2-(r)2,即得x=r,

HE=r-r=r,

在RtAOAH中,

AH=A/0A2-OH^

VOEXAB,

.\AH=BH,

而F是AB的四等分點，

.,.HF=AH=2如三,

9________________________

在RtaEFH中，