2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-拓展拔高5-指對同構(gòu)【導(dǎo)學(xué)案】

PAGE拓展拔高5指對同構(gòu)【高考考情】同構(gòu)思想,在高考中有非常強(qiáng)烈的體現(xiàn),不管是小題還是大題,都處在壓軸題的位置,備受命題者的青睞,它能夠很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).【同構(gòu)法】是證明不等式的一種技巧,通過等價變形使得兩邊的式子結(jié)構(gòu)相同,從而將兩邊看成是同一個函數(shù)的兩個函數(shù)值,借助該函數(shù)的單調(diào)性簡化不等式,使問題得以解決.同構(gòu)法需要有敏銳的觀察能力才能找到函數(shù)的模型.一、五個常見變形①xex=ex+lnx②exx=ex-lnx③xex=e④x+lnx=ln(xex)⑤x-lnx=lne二、三種基本類型視角一blnb與xex同構(gòu)[導(dǎo)思]blnb=elnb·lnb,即lnb·elnb對應(yīng)xex模型,可構(gòu)造函數(shù)f(x)=xex.[例1]設(shè)實數(shù)λ>0,若對于任意的x∈(0,+∞),不等式eλx-lnxλ≥0恒成立,則λ的最小值為(A.e B.12e C.1e D【解析】選C.由eλx-lnxλ≥0,得λeλx-ln即λxeλx-xlnx≥0,也即λxeλx≥xlnx.由同構(gòu)xlnx=elnx·lnx,可得(λx)·eλx≥lnx·elnx.設(shè)f(x)=xex,則f'(x)=(x+1)ex>0對x∈(0,+∞)恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.由(λx)·eλx≥lnx·elnx可得f(λx)≥f(lnx),即λx≥lnx,也即λ≥lnxx,所以λ≥令g(x)=lnxx(x>0),則g'(x)=1-ln所以當(dāng)x∈(0,e)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(e,+∞)時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.因此,g(x)max=g(e)=1e,故λ≥1視角二aea與xlnx同構(gòu)[導(dǎo)思]aea=ea·lnea,即ea·lnea對應(yīng)xlnx模型,可構(gòu)造函數(shù)f(x)=xlnx.[例2]已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna,若f(x)≥1,則a的取值范圍為________.

【解析】由f(x)≥1,得aex-1-lnx+lna≥1.變形后可化為aex-1≥lnexa?ex-1≥1?ex≥ealnexa?xex≥exalnexa?ex令g(x)=xlnx(x>0),則g'(x)=1+lnx,可知當(dāng)x∈(0,1e)時,g'(x)<0,g(x當(dāng)x∈(1e,+∞)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增所以原不等式等價于g(ex)≥g(exa),且ex>1,exa所以g(ex)≥g(exa)?ex≥exa?令h(x)=exex(x>0),則h'(x所以當(dāng)x∈(0,1)時,h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1,+∞)時,h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減.所以h(x)max=h(1)=1,故a的取值范圍是[1,+∞).答案:[1,+∞)視角三aea與[導(dǎo)思]aea=lneaea,即lne[例3]已知a>0,且x2+xlna-aexlnx>0對任意的x∈(0,1)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為______________.

【解析】因為x2+xlna-aexlnx>0,所以aexlnx<x2+xlna,所以lnxx<x+ln即lnxx<ln(a設(shè)f(x)=lnxx,則f'(x)=所以當(dāng)x∈(0,1)時,f'(x)>0,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,所以x∈(0,1)時,f(x)<0.因為lnxx<ln(aex)所以a>xex恒成立,令g(x)=xex,則g'(x)=1-xex>0,即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,故a≥g(1)=答案:[1e視角四c+lnc與x+ex同構(gòu)[導(dǎo)思]c+lnc=elnc+lnc,即lnc+elnc對應(yīng)x+ex模型,可構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+ex.[例4]已知函數(shù)f(x)=ex+2ax(x∈R),(1)求f(x)的單調(diào)性;【解析】(1)f'(x)=ex+2a.當(dāng)a≥0時,f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.當(dāng)a<0時,f(x)在(-∞,ln(-2a))上單調(diào)遞減,在(ln(-2a),+∞)上單調(diào)遞增.(2)a>0,令g(x)=f(x)-a(x-1)ln(ax-a)+a,若g(x)恒單調(diào)遞增,求a的取值范圍.【解析】(2)g(x)=ex+2ax-a(x-1)ln(ax-a)+a的定義域為(1,+∞).因為g(x)恒單調(diào)遞增,所以g'(x)=ex-aln(ax-a)+a≥0在(1,+∞)上恒成立,即exa≥lna(x-1)-1,也即ex-lna-lna≥ln(x-1)-1,整理得ex-lna+(x-lna)≥eln(x-1)+ln(x-1).令F(x)=ex+x,顯然F(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,原不等式等價于F(x-lna)≥F(ln(x-1)),所以x-lna≥ln(x-1),即lna≤x-ln(x令h(x)=x-ln(x-1)(x>1),則h'(x)=1-1x-1=x-2x-1(x>1).所以h(x)在(1,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,h因此,lna≤2,即a≤e2,a的取值范圍是(0,e2].思維升華指對同構(gòu)解題的關(guān)鍵點(1)常用的指對同構(gòu):指數(shù)和對數(shù)混合的導(dǎo)數(shù)題,直接使用同構(gòu)的題目并不多,許多情況下,需要湊出同構(gòu)的形式來.因為指數(shù)和對數(shù)之間可以互相轉(zhuǎn)換,所以盡量轉(zhuǎn)換為常見的aea≤blnb,eaa=blnb,ea±a>b(2)復(fù)雜式的指對同構(gòu):比