新高考數(shù)學(xué)二輪考點(diǎn)培優(yōu)專題（精講+精練）37 圓錐曲線中的存在性和探索性問(wèn)題（含解析）

素養(yǎng)拓展37圓錐曲線中的存在性和探索性問(wèn)題（精講+精練）一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、圓錐曲線中的存在性問(wèn)題1.存在性問(wèn)題通常采用“肯定順推法”,將不確定性問(wèn)題明朗化．一般步驟為：①假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在,②用待定系數(shù)法設(shè)出,③列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組,若方程組有實(shí)數(shù)解,則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則,元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在．注：反證法與驗(yàn)證法也是求解存在性問(wèn)題常用的方法．【一般策略】求解字母參數(shù)值的存在性問(wèn)題時(shí)，通常的方法是首先假設(shè)滿足條件的參數(shù)值存在，然后利用這些條件并結(jié)合題目的其他已知條件進(jìn)行推理與計(jì)算，若不出現(xiàn)矛盾，并且得到了相應(yīng)的參數(shù)值，就說(shuō)明滿足條件的參數(shù)值存在;若在推理與計(jì)算中出現(xiàn)了矛盾，則說(shuō)明滿足條件的參數(shù)值不存在，同時(shí)推理與計(jì)算的過(guò)程就是說(shuō)明理由的過(guò)程.二、圓錐曲線中的探索性性問(wèn)題1.對(duì)于要注意：(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論；(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí),先假設(shè)成立,再推出條件；(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知,按常規(guī)方法解題很難時(shí),要開(kāi)放思維,采取另外合適的方法．二、題型精講精練二、題型精講精練【典例1】已知雙曲線E：SKIPIF1<0與直線l：SKIPIF1<0相交于A、B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)．(1)當(dāng)k變化時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；(2)若l與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C、D兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)k，使得A、B是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由．【分析】（1）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程，消去y，得SKIPIF1<0，根據(jù)已知直線l與雙曲線E相交于A、B兩點(diǎn)，得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，由韋達(dá)定理，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立消去k，得SKIPIF1<0，再根據(jù)SKIPIF1<0的范圍得出SKIPIF1<0的范圍，即可得出答案；（2）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)雙曲線E的漸近線方程與直線l的方程聯(lián)立即可得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即線段AB的中點(diǎn)M也是線段CD的中點(diǎn)，若A，B為線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則SKIPIF1<0，結(jié)合弦長(zhǎng)公式列式得SKIPIF1<0，即可化簡(jiǎn)代入得出SKIPIF1<0，即可解出答案.【詳解】（1）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程，得SKIPIF1<0，消去y，得SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．由韋達(dá)定理，得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0消去k，得SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．所以，點(diǎn)M的軌跡方程為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（2）雙曲線E的漸近線方程為SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以，線段AB的中點(diǎn)M也是線段CD的中點(diǎn)．若A，B為線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，存在實(shí)數(shù)，使得A、B是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)．【典例2】在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中,動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0,滿足SKIPIF1<0,記點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡為SKIPIF1<0．（1）請(qǐng)說(shuō)明SKIPIF1<0是什么曲線,并寫(xiě)出它的方程；（2）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于不同的兩點(diǎn)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0,直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于兩點(diǎn)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,請(qǐng)判斷SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系,并證明你的結(jié)論．【解析】（1）設(shè)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則因?yàn)镾KIPIF1<0,滿足SKIPIF1<0,即動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0表示以點(diǎn)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0為左、右焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為SKIPIF1<0的橢圓,其軌跡的方程為SKIPIF1<0；（2）可以判斷出SKIPIF1<0,下面進(jìn)行證明：設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由方程組SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0①,方程①的判別式為SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．由①得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0,直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0,由方程組SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0【題型訓(xùn)練-刷模擬】1.存在性問(wèn)題一、解答題1．雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0，一個(gè)焦點(diǎn)到該漸近線的距離為1.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)是否存在直線SKIPIF1<0，經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且與雙曲線SKIPIF1<0于A，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，若存在，求SKIPIF1<0的方程；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在，SKIPIF1<0.【分析】（1）利用雙曲線的性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算即可；（2）利用點(diǎn)差法計(jì)算即可.【詳解】（1）令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由題意可知雙曲線的焦點(diǎn)SKIPIF1<0到漸近線的距離SKIPIF1<0，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：SKIPIF1<0；（2）假設(shè)存在，由題意知：該直線的斜率存在，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，聯(lián)立直線與雙曲線方程SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足條件，所以存在直線SKIPIF1<0，其方程為SKIPIF1<0.2．已知橢圓方程為SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直線傾斜角為SKIPIF1<0，原點(diǎn)到該直線的距離為SKIPIF1<0．(1)求橢圓的方程；(2)對(duì)于SKIPIF1<0，是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線SKIPIF1<0分別交橢圓于點(diǎn)P，Q，且SKIPIF1<0，若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)滿足條件的k不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)斜率定義得到SKIPIF1<0，求出過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直線方程，由點(diǎn)到直線距離公式得到方程，求出SKIPIF1<0，進(jìn)而得到SKIPIF1<0，得到橢圓方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，由斜率關(guān)系得到方程，求出SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)，均不合要求.【詳解】（1）因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直線傾斜角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直線方程為SKIPIF1<0，故原點(diǎn)到該直線的距離為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以橢圓的方程是SKIPIF1<0．（2）記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均使方程沒(méi)有兩相異實(shí)根，∴滿足條件的k不存在．3．已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的左焦點(diǎn)、左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0（不與x軸重合）交橢圓SKIPIF1<0于A，B兩點(diǎn)．

(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積；(3)是否存在直線SKIPIF1<0，使得點(diǎn)B在以線段SKIPIF1<0為直徑的圓上，若存在，求出直線SKIPIF1<0的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)不存在，理由見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)題意可得SKIPIF1<0，進(jìn)而可求SKIPIF1<0和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）可根據(jù)直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組解出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，求三角形面積．△SKIPIF1<0的面積可分割成兩個(gè)小三角形，其底皆為SKIPIF1<0；（3）存在性問(wèn)題，一般從計(jì)算出發(fā)，即垂直關(guān)系結(jié)合橢圓方程交點(diǎn)求出B點(diǎn)坐標(biāo)：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，而由橢圓范圍知這樣的B點(diǎn)不存在．【詳解】（1）由左焦點(diǎn)SKIPIF1<0、左頂點(diǎn)SKIPIF1<0可知：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，則過(guò)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解方程組SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0.（3）若點(diǎn)B在以線段SKIPIF1<0為直徑的圓上，等價(jià)于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，則不存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，所以不存在直線SKIPIF1<0，點(diǎn)B在以線段SKIPIF1<0為直徑的圓上.4．已知拋物線SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0軸，與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且平行于SKIPIF1<0軸的直線與直線SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，記動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0．(1)求曲線SKIPIF1<0的方程；(2)點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作曲線SKIPIF1<0的兩條切線，切點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在定點(diǎn)SKIPIF1<0【分析】（1）由相關(guān)點(diǎn)代入法求軌跡方程即可；（2）先由特殊位置確定定點(diǎn)在SKIPIF1<0軸上，設(shè)定點(diǎn)，由相切求出切點(diǎn)滿足的關(guān)系式，再由垂直的坐標(biāo)條件求解.【詳解】（1）設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由題意線SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0軸，與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，知SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且平行于SKIPIF1<0軸的直線方程為：SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0在拋物線SKIPIF1<0上，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，由題意知SKIPIF1<0不重合，故SKIPIF1<0，所以曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0

（2）由（1）知曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在特殊位置SKIPIF1<0時(shí)，兩個(gè)切點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對(duì)稱，故要使得SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上．

故設(shè)SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，求導(dǎo)得SKIPIF1<0，所以切線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，又點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是一元二次方程SKIPIF1<0的根，由韋達(dá)定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0恒成立，所以存在定點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恒成立．

5．在直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，拋物線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0交于M，N兩點(diǎn)．(1)若M，N的橫坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0，4，求直線l的方程及MN的中垂線所在的直線方程；(2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有SKIPIF1<0?說(shuō)明理由．【答案】(1)答案見(jiàn)詳解(2)存在，理由見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)拋物線C的方程，求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，進(jìn)而求相應(yīng)的直線方程；（2）設(shè)點(diǎn)PSKIPIF1<0為符合題意的點(diǎn)，將直線l的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用斜率公式計(jì)算直線PM和直線PN的斜率之和為0，求出SKIPIF1<0的值，即可解決該問(wèn)題．【詳解】（1）由題意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，所以直線l的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；可得線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，線段MN的中垂線所在的直線的斜率SKIPIF1<0線段MN的中垂線所在的直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）存在符合題意的點(diǎn)SKIPIF1<0，理由如下：設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0SKIPIF1<0為符合題意的點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

聯(lián)立方程SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0不恒為0，可知當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，恒有SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的傾斜角互補(bǔ)，故SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0符合題意．6．如圖，SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0上四個(gè)不同的點(diǎn)，直線AB與直線MN相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，直線AN過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0

(1)記A，B的縱坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)記直線AN，BM的斜率分別為SKIPIF1<0，是否存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值，若不存在說(shuō)明理由【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在，SKIPIF1<0【分析】（1）設(shè)出直線SKIPIF1<0的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，從而求得正確答案.（2）先求得SKIPIF1<0，然后由SKIPIF1<0求得正確答案.【詳解】（1）設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0并化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.（2）設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，同（1）可求得SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0并化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，同理可求得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0.7．已知橢圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，斜率不為零的直線SKIPIF1<0過(guò)右焦點(diǎn)SKIPIF1<0交橢圓于SKIPIF1<0兩點(diǎn).(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)在SKIPIF1<0軸上是否存在定點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，如果存在，求出SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)，如果不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在，SKIPIF1<0【分析】（1）由橢圓上的點(diǎn)和離心率，求橢圓SKIPIF1<0的方程；

（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理代入SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，

所以橢圓C的方程為SKIPIF1<0（2）假設(shè)在SKIPIF1<0軸上存在定點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，

設(shè)直線L的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，

即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0

（*）

，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0

代入（*），得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故在SKIPIF1<0軸上存在定點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.

另解：①當(dāng)SKIPIF1<0斜率存在時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（*），由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，代入（*）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故在SKIPIF1<0軸上存在定點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.

②當(dāng)SKIPIF1<0斜率不存在時(shí)，顯然SKIPIF1<0綜上所述：在SKIPIF1<0軸上存在定點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.8．已知離心率為SKIPIF1<0的橢圓C的中心在原點(diǎn)O，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左右焦點(diǎn)，M為橢圓上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0．直線l過(guò)橢圓外一點(diǎn)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，與橢圓交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，滿足SKIPIF1<0．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)對(duì)于任意點(diǎn)P，是否總存在唯一的直線l，使得SKIPIF1<0成立，若存在，求出點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的直線l的斜率；否則說(shuō)明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在，SKIPIF1<0【分析】（1）由橢圓定義得出SKIPIF1<0，再應(yīng)用離心率得出橢圓方程即可；（2）設(shè)直線l方程為SKIPIF1<0聯(lián)立SKIPIF1<0與橢圓方程可得韋達(dá)定理，再結(jié)合向量共線計(jì)算唯一性可得.【詳解】（1）由題可設(shè)橢圓方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由橢圓定義可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓的方程為：SKIPIF1<0．（2）設(shè)直線l方程為SKIPIF1<0（斜率必存在），則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0①，聯(lián)立SKIPIF1<0與橢圓方程可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入①得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②，SKIPIF1<0，代入②得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而點(diǎn)A、B在x軸上方，所以對(duì)于任意一個(gè)SKIPIF1<0，存在唯一的SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0成立，故滿足題意的直線l有且只有一條．例如，SKIPIF1<0時(shí)：

9．已知橢圓SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，且上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)的距離為SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0軸上是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，若存在，求出點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在；點(diǎn)SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)距離和橢圓所過(guò)點(diǎn)可構(gòu)造方程組求得SKIPIF1<0，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）當(dāng)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸不重合時(shí)，假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，根據(jù)SKIPIF1<0可構(gòu)造方程求得SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸重合時(shí)，驗(yàn)證所求SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)滿足條件；綜合兩種情況可得結(jié)論.【詳解】（1）SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)的距離為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；又橢圓SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；兩式聯(lián)立可解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0.（2）當(dāng)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸不重合時(shí)，設(shè)其方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，假設(shè)存在點(diǎn)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，即存在點(diǎn)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，

設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當(dāng)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸重合時(shí)，SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0左右頂點(diǎn)，若SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0顯然成立；綜上所述：SKIPIF1<0軸上存在點(diǎn)SKIPIF1<0滿足題意．10．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離是3．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)是否存在過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線交曲線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，使得SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)？若存在，求該直線方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在，該直線方程為SKIPIF1<0【分析】（1）設(shè)橢圓上一點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，表達(dá)出SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，結(jié)合離心率得到SKIPIF1<0，求出橢圓方程；（2）根據(jù)點(diǎn)差法求出斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式可求出結(jié)果．【詳解】（1）由題意得SKIPIF1<0，設(shè)橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，設(shè)橢圓上一點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故橢圓上的點(diǎn)到又焦點(diǎn)的最小距離是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線交曲線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，使得SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以存在過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線交曲線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，使得SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，且該直線方程為SKIPIF1<0．11．已知雙曲線SKIPIF1<0SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的左頂點(diǎn)，SKIPIF1<0的離心率為2.設(shè)過(guò)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的右支于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)，其中SKIPIF1<0在第一象限.

(1)求SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在常數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恒成立？若存在，求出SKIPIF1<0的值；否則，說(shuō)明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在，SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)離心率，以及SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0，即可求得曲線SKIPIF1<0方程；（2）求得直線SKIPIF1<0不存在斜率時(shí)滿足的SKIPIF1<0，當(dāng)斜率存在時(shí)，將所求問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為直線SKIPIF1<0斜率之間的關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)滿足曲線SKIPIF1<0方程，求解即可.【詳解】（1）由題可得SKIPIF1<0，故可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.（2）當(dāng)直線SKIPIF1<0斜率不存在時(shí)，對(duì)曲線SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，在三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故可得SKIPIF1<0，則存在常數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立；當(dāng)直線SKIPIF1<0斜率存在時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，假設(shè)存在常數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0，則一定有：SKIPIF1<0，也即SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；又點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；故假設(shè)成立，存在實(shí)數(shù)常數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立；綜上所述，存在常數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恒成立.12．已知?jiǎng)狱c(diǎn)SKIPIF1<0到定點(diǎn)SKIPIF1<0的距離與動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0到定直線SKIPIF1<0的距離之比為SKIPIF1<0．(1)求點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程；(2)對(duì)SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0上是否始終存在兩點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱？若存在，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在，SKIPIF1<0【分析】（1）設(shè)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，整理即可得解；（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，設(shè)直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，設(shè)SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0的值，即可得解.【詳解】（1）設(shè)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）假設(shè)曲線SKIPIF1<0上始終存在兩點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，設(shè)直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0恒成立，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．易知當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，曲線SKIPIF1<0上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱．所以SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．13．已知拋物線SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)SKIPIF1<0）．(1)若SKIPIF1<0，證明：直線SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn)．(2)已知SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0的右側(cè)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，試問(wèn)是否存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求SKIPIF1<0的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，SKIPIF1<0【分析】（1）將點(diǎn)SKIPIF1<0代入拋物線方程求出SKIPIF1<0，直線與拋物線聯(lián)立方程組，由SKIPIF1<0，利用向量數(shù)量積和韋達(dá)定理，求出SKIPIF1<0，可得直線所過(guò)定點(diǎn).（2）設(shè)兩條直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方程，分別與拋物線方程聯(lián)立，求出弦長(zhǎng)，由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【詳解】（1）證明：將點(diǎn)SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．聯(lián)立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，

由SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0．（2）聯(lián)立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0．

因?yàn)橹本€SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的右側(cè)，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以滿足條件的SKIPIF1<0存在，SKIPIF1<0.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與拋物線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、拋物線的條件；強(qiáng)化有關(guān)直線與拋物線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．14．已知橢圓SKIPIF1<0的焦距為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)求橢圓C的方程；(2)經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F且斜率為SKIPIF1<0的動(dòng)直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)x軸上是否存在異于點(diǎn)F的定點(diǎn)T，使SKIPIF1<0恒成立？若存在，求出T點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在；點(diǎn)SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)題意，得到SKIPIF1<0，再由橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組，求得SKIPIF1<0，即可求解.（2）設(shè)直線l的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組，得到SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，列出方程，求得SKIPIF1<0，即可求解．【詳解】（1）解：由橢圓SKIPIF1<0的焦距為2，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又由橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）解：根據(jù)題意，直線l的斜率顯然不為零，令SKIPIF1<0，由橢圓右焦點(diǎn)SKIPIF1<0，故可設(shè)直線l的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，設(shè)存在點(diǎn)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對(duì)稱，其傾斜角互補(bǔ)，即有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0