新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第7章　§7.8　空間距離及立體幾何中的探索問(wèn)題（原卷版）

§7.8空間距離及立體幾何中的探索問(wèn)題考試要求1.會(huì)求空間中點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離.2.以空間向量為工具，探究空間幾何體中線、面的位置關(guān)系或空間角存在的條件．知識(shí)梳理1．點(diǎn)到直線的距離如圖，已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)，設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，則向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2).2．點(diǎn)到平面的距離如圖，已知平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P作平面α的垂線l，交平面α于點(diǎn)Q，則n是直線l的方向向量，且點(diǎn)P到平面α的距離就是eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq\o(QP,\s\up6(→))的長(zhǎng)度，因此PQ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AP,\s\up6(→))·n,|n|)))＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)平面α上不共線的三點(diǎn)到平面β的距離相等，則α∥β.()(2)點(diǎn)到直線的距離也就是該點(diǎn)與直線上任一點(diǎn)連線的長(zhǎng)度．()(3)直線l平行于平面α，則直線l上各點(diǎn)到平面α的距離相等．()(4)直線l上兩點(diǎn)到平面α的距離相等，則l平行于平面α.()教材改編題1．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則A1A到平面B1D1DB的距離為()A.eq\r(2)B．2C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(3\r(2),2)2．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3,1)且向量n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0，\f(\r(2),2)))為l的一個(gè)單位方向向量，則點(diǎn)P(4,3,2)到l的距離為_(kāi)_______．3．設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是________．題型一空間距離例1(1)空間中有三點(diǎn)P(1，－2，－2)，M(2，－3,1)，N(3，－2,2)，則點(diǎn)P到直線MN的距離為()A．2eq\r(2)B．2eq\r(3)C．3D．2eq\r(5)(2)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥平面BCC1B1，BC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)AA1＝2，BC1＝2eq\r(3)，M為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)．①證明：BC1⊥CM；②若E為A1C1的中點(diǎn)，求點(diǎn)A1到平面BCE的距離．思維升華(1)點(diǎn)到直線的距離．①設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線l的單位方向向量為n，A為直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)A到直線l的距離d＝eq\r(\o(\s\up7(),\s\do5())|\o(PA,\s\up6(→))|2－\o(PA,\s\up6(→))·n2)；②若能求出點(diǎn)在直線上的射影坐標(biāo)，可以直接利用兩點(diǎn)間距離公式求距離．(2)求點(diǎn)面距一般有以下三種方法．①作點(diǎn)到面的垂線，求點(diǎn)到垂足的距離；②等體積法；③向量法.跟蹤訓(xùn)練1(1)在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，點(diǎn)F，G分別是AB，CC1的中點(diǎn)，則△D1GF的面積為_(kāi)_______．(2)如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)．①證明：D1E⊥A1D；②當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到平面ACD1的距離．題型二立體幾何中的探索性問(wèn)題例2如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是等邊三角形，平面ABB1A1⊥平面ABC，A1B⊥AB，AC＝2，∠A1AB＝60°，O為AC的中點(diǎn)．(1)求證：AC⊥平面A1BO；(2)試問(wèn)線段CC1上是否存在點(diǎn)P，使得平面POB與平面A1OB夾角的余弦值為eq\f(2\r(7),7)，若存在，請(qǐng)計(jì)算eq\f(CP,CC1)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．思維升華(1)對(duì)于存在判斷型問(wèn)題的求解，應(yīng)先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等．(2)對(duì)于位置探究型問(wèn)題，通常借助向量，引進(jìn)參數(shù)，綜合已知和結(jié)論列出等式，解出參數(shù)．跟蹤訓(xùn)練2如圖，四棱錐S－ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的eq\r(2)倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)．(1)求證：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC與平面DAC夾角的大小；(3)在(2)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．課時(shí)精練1.如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱長(zhǎng)均為4，N是CC1的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)N到直線AB的距離；(2)求點(diǎn)C1到平面ABN的距離．2．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，M為線段A1C1上一點(diǎn)．(1)求證：BM⊥AB1；(2)若直線AB1與平面BCM所成的角為eq\f(π,4)，求點(diǎn)A1到平面BCM的距離．3.已知空間幾何體ABCDE中，△ABC，△ECD是全等的正三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面ECD⊥平面BCD.(1)若BD＝eq\r(2)BC，求證：BC⊥ED；(2)探索A，B，D，E四點(diǎn)是否共面？若共面，請(qǐng)給出證明；若不共面，請(qǐng)說(shuō)明理由．4.如圖所示，在三棱錐P－ABC中，底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，PA＝2，PA⊥底面ABC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AC，PC的中點(diǎn)．(1)求證：平面BEF⊥平面PAC；(2)在線段PB上是否存在點(diǎn)G，使得直線AG與平面PBC所成角的正弦值為eq\f(\r(15),5)？若存在，確定點(diǎn)G的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5.(2022·北京模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD.△PBC是等腰三角形，且PB＝PC＝3.在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝5，AD＝4，DC＝3.(1)求證：AB∥平面PCD；(2)求平面APB與平面PBC夾角的余弦值；(3)棱BC上是否存在點(diǎn)Q到平面PBA的距離為eq\f(\r(10),10)，若存在，求出eq\f(CQ,CB)的值；若不存在，說(shuō)明理