已用-1.2正弦余弦定理應(yīng)用舉例

復(fù)習(xí)2、正弦定理1、三角形的一些基本性質(zhì)：1）在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°;2）大邊對大角，即a>b∠A>∠B.正弦定理應(yīng)用的兩種類型：1）已知兩角和任一邊，求其它元素；2）已知兩邊和其中一邊的對角，求其他元素.3、余弦定理利用余弦定理可解決一下兩類解三角形問題（1）已知三邊，求三角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求其他元素.

“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實(shí)際測量問題的真實(shí)背景下，某些方法會不能實(shí)施。如因?yàn)闆]有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限性.于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的.今天我們開始學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理在科學(xué)實(shí)踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測量距離.創(chuàng)設(shè)情境:解決實(shí)際測量問題的過程一般要充分認(rèn)真理解題意，正確做出圖形，把實(shí)際問題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學(xué)模型來求解.應(yīng)用舉例高度角度距離正弦定理余弦定理

解斜三角形的問題，通常都要根據(jù)題意，從實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過解這些三角形，得出所要求的量，從而得到實(shí)際問題的解.

在這個(gè)過程中，貫穿了數(shù)學(xué)建模的思想.這種思想即是從實(shí)際問題出發(fā)，經(jīng)過抽象概括，把它轉(zhuǎn)化為具體問題中的數(shù)學(xué)模型，然后通過推理演算，得出數(shù)學(xué)模型的解，再還原成實(shí)際問題的解.解斜三角形應(yīng)用舉例解應(yīng)用題中的幾個(gè)相關(guān)概念:1、仰角、俯角：在測量時(shí)，視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫做俯角.3、方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫方向角.它是方位角的另一種表示形式.2、方位角：指北的方向線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角.4、坡角：坡面與水平面的夾角.

坡比：坡面的鉛直高度與水平寬度之比，即5、基線：在測量上，根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線.注：1)基線越長，測量的精確度越高；2)測量一定要選取基線，因?yàn)闊o論是應(yīng)用正弦定理還是余弦定理解三角形時(shí)，至少應(yīng)已知一邊的長度.一般應(yīng)用舉例一距離正弦定理余弦定理例1:設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測量兩點(diǎn)之間的距離.測量者在A的同測，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離是55cm，∠BAC＝51o，∠ACB＝75o，求A、B兩點(diǎn)間的距離（精確到0.1m）.分析：已知兩角一邊，可以用正弦定理解三角形實(shí)例講解距離解：根據(jù)正弦定理，得答：A,B兩點(diǎn)間的距離為65.7米。例2:A、B兩點(diǎn)都在河的對岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測量兩點(diǎn)間的距離的方法.分析：用例1的方法，可以計(jì)算出河的這一岸的一點(diǎn)C到對岸兩點(diǎn)的距離，再測出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)間的距離.解：測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，測得CD=a,并且在C、D兩點(diǎn)分別測得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在⊿ADC和⊿BDC中，應(yīng)用正弦定理得計(jì)算出AC和BC后，再在⊿ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)間的距離練習(xí)1:一艘船以32.2nmile/hr的速度向正北航行在A處看燈塔S在船的北偏東20o的方向，30min后航行到B處，在B處看燈塔在船的北偏東65o的方向，已知距離此燈塔6.5nmile以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎？練習(xí)2:自動(dòng)卸貨汽車的車廂采用液壓機(jī)構(gòu)。設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算油泵頂桿BC的長度．已知車廂的最大仰角是60°，油泵頂點(diǎn)B與車廂支點(diǎn)A之間的距離為1.95m，AB與水平線之間的夾角為AC長為1.40m，計(jì)算BC的長（精確到0.01m）．

（1）什么是最大仰角？

最大角度最大角度最大角度最大角度（2）例題中涉及一個(gè)怎樣的三角形？在△ABC中已知什么，要求什么？CAB練習(xí)2:自動(dòng)卸貨汽車的車廂采用液壓機(jī)構(gòu)。設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算油泵頂桿BC的長度．已知車廂的最大仰角是60°，油泵頂點(diǎn)B與車廂支點(diǎn)A之間的距離為1.95m，AB與水平線之間的夾角為

，AC長為1.40m，計(jì)算BC的長（精確到0.01m）．

最大角度最大角度最大角度最大角度

已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，夾角∠CAB＝66°20′，求BC．解：由余弦定理，得答：頂桿BC約長1.89m。

CAB應(yīng)用舉例二高度正弦定理余弦定理實(shí)例講解例1:如圖，要測底部不能到達(dá)的煙囪的高AB，從與煙囪底部在同一水平直線上的C、D兩處，測得煙囪的仰角分別是，CD間的距離是12m.已知測角儀器高1.5m,求煙囪的高.圖中給出了怎樣的一個(gè)幾何圖形？已知什么，求什么？想一想高度實(shí)例講解AA1BCDC1D1分析：如圖，因?yàn)锳B=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可.答：煙囪的高為29.9m.例2：在山頂鐵塔上B處測得地面上一點(diǎn)A的俯角α＝54°40′，在塔底C處測得A處的俯角β＝50°1′。已知鐵塔BC部分的高為27.3m，求出山高CD(精確到1m).分析：根據(jù)已知條件，應(yīng)該設(shè)法計(jì)算出AB或AC的長.解：在⊿ABC中，∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,∠BAD=α.根據(jù)正弦定理，CD=BD-BC≈177-27.3=150(m)答：山的高度約為150米.例3：一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北15°的方向上，行駛5km后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北25°的方向上，仰角為8°，求此山的高度CD.（精確到1m）分析：要測出高CD,只要測出高所在的直角三角形的另一條直角邊或斜邊的長.根據(jù)已知條件，可以計(jì)算出BC的長.例3：一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到A處時(shí)測得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南15°的方向上，行駛5km后到達(dá)B處，測得此山頂在東偏南25°的方向上，仰角8°，求此山的高度CD.解：在⊿ABC中，∠A=15°,∠C=25°-15°=10°.根據(jù)正弦定理，CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m)答：山的高度約為1047米.應(yīng)用舉例三角度正弦定理余弦定理例1：一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行67.5nmile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā)，沿北偏東32°的方向航行54.0nmile后到達(dá)海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離（角度精確到0.1°,距離精確到0.01nmile）?解：在⊿ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根據(jù)余弦定理，角度實(shí)例講解所以，∠CAB=19.0°,75°－∠CAB=56.0°.答：此船應(yīng)該沿北偏東56.0°的方向航行，需要航行113.15nmile.例2:在⊿ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S(精確到0.1cm2)(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°;(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;(3)已知三邊的長分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°;(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;（3）已知三邊的長分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.例3:在某市進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中，要把一個(gè)三角形的區(qū)域改造成市內(nèi)公園，經(jīng)過測量得到這個(gè)三角形區(qū)域的三條邊長分別為68m,88m,127m，這個(gè)區(qū)域的面積是多少（精確到0.1cm2）?解：設(shè)a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論，1、分析題意，弄清已知和所求；2、根據(jù)提意，畫出示意圖；3、將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,建立數(shù)學(xué)模型；4、正確運(yùn)用正、余弦定理解數(shù)學(xué)模型，并寫出答案.小結(jié)：求解三角形應(yīng)用題的一般步驟：課堂小結(jié)1、本節(jié)課通過舉例說明了解斜三角形在行程中的一些應(yīng)用.掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法.2、在分析問題解決問題的過程中關(guān)鍵要分析題意，分清已知

與所求，根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問題歸納到一個(gè)或幾個(gè)三角形中去，然后通過函數(shù)或方程或不等式求解.3、在解實(shí)際問題的過程中，貫穿了數(shù)學(xué)建模的思想，其流程圖可表示為：實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型實(shí)際問題的解數(shù)學(xué)模