統(tǒng)考版高考數(shù)學一輪復習第二章2.9函數(shù)模型及其應用課時作業(yè)理含解析_第1頁
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一輪復習精品資料(高中)PAGE1-課時作業(yè)12函數(shù)模型及其應用〖基礎達標〗一、選擇題1.下列函數(shù)中隨x的增大而增大速度最快的是()A.v=eq\f(1,100)·exB.v=100lnxC.v=x100D.v=100×2x2.某種商品進價為4元/件,當日均零售價為6元/件,日均銷售100件,當單價每增加1元,日均銷量減少10件,試計算該商品在銷售過程中,若每天固定成本為20元,則預計單價為多少時,利潤最大()A.8元/件B.10元/件C.12元/件D.14元/件3.〖2021·廣西欽州綜合能力測試〗一種放射性物質每經(jīng)過一年就有eq\f(3,4)的質量發(fā)生衰變,剩余質量為原來的eq\f(1,4).若要使該物質余下質量不超過原有的1%,則至少需要的年數(shù)是(取整數(shù))()A.3B.4C.5D.64.〖2021·廣州市綜合檢測〗如圖,一高為H且裝滿水的魚缸,其底部裝有一排水小孔,當小孔打開時,水從孔中勻速流出,水流完所用時間為T.若魚缸水深為h時,水流出所用時間為t,則函數(shù)h=f(t)的圖象大致是()5.汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程,如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是()A.消耗1升汽油,乙車最多可行駛5千米B.以相同速度行駛相同的路程,三輛汽車中,甲車消耗汽油量最多C.甲車以80千米/小時的速度行駛1小時,消耗10升汽油D.某城市機動車最高限速80千米/小時,相同條件下,在該城市用丙車比用乙車更省油二、填空題6.許多著名品牌是通過廣告宣傳進入消費者視線的.已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿足關系R=aeq\r(A)(a為常數(shù)),廣告效應為D=aeq\r(A)-A.那么精明的商人為了取得最大的廣告效應,投入的廣告費應為________(用常數(shù)a表示).7.要制作一個容積為16m3,高為1m的無蓋長方體容器,已知該容器的底面造價是每平方米20元,側面造價是每平方米10元,則該容器的最低總造價是________元.8.某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來的2倍,且知病毒的繁殖規(guī)律為y=ekt(其中k為常數(shù),t表示時間,單位:小時,y表示病毒個數(shù)),則經(jīng)過5小時,1個病毒能繁殖為________個.三、解答題9.〖2021·濟南一中月考〗響應國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè),萬眾創(chuàng)新”的號召,小王大學畢業(yè)后決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè).經(jīng)過市場調研,生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本2萬元,每生產(chǎn)x萬件,需另投入流動成本W(wǎng)(x)萬元,在年產(chǎn)量不足8萬件時,W(x)=eq\f(1,3)x2+2x.在年產(chǎn)量不小于8萬件時,W(x)=7x+eq\f(100,x)-37.每件產(chǎn)品售價6元.通過市場分析,小王生產(chǎn)的商品能當年全部售完.(1)寫出年利潤P(x)(萬元)關于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)〖解析〗式;(注:年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本)(2)年產(chǎn)量為多少萬件時,小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?最大利潤是多少?10.圍建一個面積為360m2的矩形場地,要求矩形場地的一面利用舊墻(需維修),其他三面圍墻要新建,在舊墻對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口,如圖所示.已知舊墻的維修費用為45元/m,新墻的造價為180元/m.設利用的圍墻長度為xm,修建此矩形場地圍墻的總費用為y元.(1)將y表示為x的函數(shù);(2)試確定x,使修建此矩形場地圍墻的總費用最少,并求出最少總費用.〖能力挑戰(zhàn)〗11.〖2021·四川綿陽一診〗某數(shù)學小組進行社會實踐調查,了解到某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤目標,準備制訂激勵銷售人員的獎勵方案:在銷售利潤超過10萬元時,按銷售利潤進行獎勵,且獎金y(單位:萬元)隨銷售利潤x(單位:萬元)的增加而增加,但獎金總數(shù)不超過5萬元,同時獎金不超過利潤的25%.同學們利用函數(shù)知識,設計了如下函數(shù)模型,其中符合公司要求的是(參考數(shù)據(jù):1.0021000≈7.37,lg7≈0.845)()A.y=0.25xB.y=1.002xC.y=log7x+1D.y=taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,10)-1))12.〖2021·河南安陽模擬〗5G技術的數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公式:C=Wlog2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(S,N))).它表示:在受噪聲干擾的信道中,最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小,其中eq\f(S,N)叫做信噪比.按照香農(nóng)公式,若不改變帶寬W,而將信噪比eq\f(S,N)從1000提升至2000,則C大約增加了()A.10%B.30%C.50%D.100%13.為滿足人民對美好生活的向往,環(huán)保部門要求相關企業(yè)加強污水治理,排放未達標的企業(yè)要限期整改.設企業(yè)的污水排放量W與時間t的關系為W=f(t),用-eq\f(fb-fa,b-a)的大小評價在〖a,b〗這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱.已知整改期內(nèi),甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關系如圖所示.給出下列四個結論:①在〖t1,t2〗這段時間內(nèi),甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強;②在t2時刻,甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強;③在t3時刻,甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標;④甲企業(yè)在〖0,t1〗,〖t1,t2〗,〖t2,t3〗這三段時間中,在〖0,t1〗的污水治理能力最強.其中所有正確結論的序號是________.課時作業(yè)121.〖解析〗只有v=eq\f(1,100)·ex和v=100×2x是指數(shù)函數(shù),并且e>2,所以v=eq\f(1,100)·ex的增大速度最快,故選A.〖答案〗A2.〖解析〗設單價為6+x,日均銷售量為100-10x,則日利潤y=(6+x-4)(100-10x)-20=-10x2+80x+180=-10(x-4)2+340(0<x<10).∴當x=4時,ymax=340.即單價為10元/件,利潤最大,故選B.〖答案〗B3.〖解析〗設原物質的質量為單位1,一年后剩余質量為原來的eq\f(1,4),兩年后剩余質量為原來的eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2,依此類推,得到n年后剩余質量是原來的eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n,根據(jù)題意,得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n≤eq\f(1,100)?n>3.故至少需要4年.故選B項.〖答案〗B4.〖解析〗水位由高變低,排除C、D.半缸前下降速度先快后慢,半缸后下降速度先慢后快,故選B.〖答案〗B5.〖解析〗根據(jù)題圖知消耗1升汽油,乙車最多行駛里程大于5千米,故選項A錯;以相同速度行駛時,甲車燃油效率最高,因此以相同速度行駛相同路程時,甲車消耗汽油最少,故選項B錯;甲車以80千米/小時的速度行駛時燃油效率為10千米/升,行駛1小時,里程為80千米,消耗8升汽油,故選項C錯;最高限速80千米/小時,丙車的燃油效率比乙車高,因此相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油,故選項D對.〖答案〗D6.〖解析〗令t=eq\r(A)(t≥0),則A=t2,所以D=at-t2=-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t-\f(1,2)a))2+eq\f(1,4)a2.所以當t=eq\f(1,2)a,即A=eq\f(1,4)a2時,D取得最大值.〖答案〗eq\f(1,4)a27.〖解析〗設長方體容器底面矩形的長、寬分別為xm,ym,則y=eq\f(16,x),所以容器的總造價為z=2(x+y)×1×10+20xy=20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(16,x)))+20×16,由基本不等式得,z=20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(16,x)))+20×16≥40eq\r(x·\f(16,x))+320=480,當且僅當x=y(tǒng)=4,即底面是邊長為4m的正方形時,總造價最低.〖答案〗4808.〖解析〗當t=0.5時,y=2,所以2=,所以k=2ln2,所以y=e2tln2,當t=5時,y=e10ln2=210=1024.〖答案〗10249.〖解析〗(1)因為每件商品售價為6元,則x萬件商品銷售收入為6x萬元.依題意得當0<x<8時,P(x)=6x-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2+2x))-2=-eq\f(1,3)x2+4x-2,當x≥8時,P(x)=6x-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7x+\f(100,x)-37))-2=35-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(100,x))).故P(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3)x2+4x-2,0<x<8,,35-x-\f(100,x),x≥8.))(2)當0<x<8時,P(x)=-eq\f(1,3)(x-6)2+10.此時,當x=6時,P(x)取最大值,最大值為10萬元.10.〖解析〗(1)如圖,設矩形中與舊墻垂直的邊長為am,則y=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360.由已知得xa=360,得a=eq\f(360,x).∴y=225x+eq\f(3602,x)-360(x>2).(2)∵x>2,∴225x+eq\f(3602,x)≥2eq\r(225×3602)=10800.∴y=225x+eq\f(3602,x)-360≥10440.當且僅當225x=eq\f(3602,x)時,等號成立.即當x=24m時,修建圍墻的總費用最少,最少總費用是10440元.11.〖解析〗由題意得,當10<x≤1000時,符合公司要求的函數(shù)模型應滿足:①為增函數(shù);②y≤5;③y≤25%x.選項D明顯不滿足條件①,所以D不符合題意;選項A、B、C均滿足條件①,但當x>20時,A選項不滿足條件②,所以A不符合題意;當x=1000時,有y=1.0021000≈7.37>5,不符合條件②,所以B不符合題意;而對于選項C,當10<x≤1000時,有ymax=log71000+1=3log710+1=eq\f(3,lg7)+1≈4.550<5,且log7x+1≤25%x恒成立,所以滿足條件②③,故選項C符合題意,故選C.〖答案〗C12.〖解析〗將信噪比eq\f(S,N)從1000提升至2000,C大約增加了eq\f(Wlog21+2000-Wlog21+1000,Wlog21+1000)=eq\f(log22001-log21001,log21001)≈eq\f(10.967-9.967,9.967)≈10%,故選A.〖答案〗A13.〖解析〗由題圖可知甲企業(yè)的污水排放量在t1時刻高于乙企業(yè),而在t2時刻甲、乙兩企業(yè)的污水排放量相同,故在〖t1,t2〗這段時間內(nèi),甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強,故①正確;由題圖知在t2時刻,甲企業(yè)對應的關系圖象斜率的絕對值大于乙企業(yè)的,故②正確;在t3時刻,甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都低于污水達標排放量,故都已達標,③正確;甲企業(yè)在〖0,t1〗,〖t1,t2〗,〖t2,t3〗這三段時間中,在〖0,t1〗的污水治理能力明顯低于〖t1,t2〗時的,故④錯誤.〖答案〗①②③課時作業(yè)12函數(shù)模型及其應用〖基礎達標〗一、選擇題1.下列函數(shù)中隨x的增大而增大速度最快的是()A.v=eq\f(1,100)·exB.v=100lnxC.v=x100D.v=100×2x2.某種商品進價為4元/件,當日均零售價為6元/件,日均銷售100件,當單價每增加1元,日均銷量減少10件,試計算該商品在銷售過程中,若每天固定成本為20元,則預計單價為多少時,利潤最大()A.8元/件B.10元/件C.12元/件D.14元/件3.〖2021·廣西欽州綜合能力測試〗一種放射性物質每經(jīng)過一年就有eq\f(3,4)的質量發(fā)生衰變,剩余質量為原來的eq\f(1,4).若要使該物質余下質量不超過原有的1%,則至少需要的年數(shù)是(取整數(shù))()A.3B.4C.5D.64.〖2021·廣州市綜合檢測〗如圖,一高為H且裝滿水的魚缸,其底部裝有一排水小孔,當小孔打開時,水從孔中勻速流出,水流完所用時間為T.若魚缸水深為h時,水流出所用時間為t,則函數(shù)h=f(t)的圖象大致是()5.汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程,如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是()A.消耗1升汽油,乙車最多可行駛5千米B.以相同速度行駛相同的路程,三輛汽車中,甲車消耗汽油量最多C.甲車以80千米/小時的速度行駛1小時,消耗10升汽油D.某城市機動車最高限速80千米/小時,相同條件下,在該城市用丙車比用乙車更省油二、填空題6.許多著名品牌是通過廣告宣傳進入消費者視線的.已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿足關系R=aeq\r(A)(a為常數(shù)),廣告效應為D=aeq\r(A)-A.那么精明的商人為了取得最大的廣告效應,投入的廣告費應為________(用常數(shù)a表示).7.要制作一個容積為16m3,高為1m的無蓋長方體容器,已知該容器的底面造價是每平方米20元,側面造價是每平方米10元,則該容器的最低總造價是________元.8.某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來的2倍,且知病毒的繁殖規(guī)律為y=ekt(其中k為常數(shù),t表示時間,單位:小時,y表示病毒個數(shù)),則經(jīng)過5小時,1個病毒能繁殖為________個.三、解答題9.〖2021·濟南一中月考〗響應國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè),萬眾創(chuàng)新”的號召,小王大學畢業(yè)后決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè).經(jīng)過市場調研,生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本2萬元,每生產(chǎn)x萬件,需另投入流動成本W(wǎng)(x)萬元,在年產(chǎn)量不足8萬件時,W(x)=eq\f(1,3)x2+2x.在年產(chǎn)量不小于8萬件時,W(x)=7x+eq\f(100,x)-37.每件產(chǎn)品售價6元.通過市場分析,小王生產(chǎn)的商品能當年全部售完.(1)寫出年利潤P(x)(萬元)關于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)〖解析〗式;(注:年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本)(2)年產(chǎn)量為多少萬件時,小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?最大利潤是多少?10.圍建一個面積為360m2的矩形場地,要求矩形場地的一面利用舊墻(需維修),其他三面圍墻要新建,在舊墻對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口,如圖所示.已知舊墻的維修費用為45元/m,新墻的造價為180元/m.設利用的圍墻長度為xm,修建此矩形場地圍墻的總費用為y元.(1)將y表示為x的函數(shù);(2)試確定x,使修建此矩形場地圍墻的總費用最少,并求出最少總費用.〖能力挑戰(zhàn)〗11.〖2021·四川綿陽一診〗某數(shù)學小組進行社會實踐調查,了解到某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤目標,準備制訂激勵銷售人員的獎勵方案:在銷售利潤超過10萬元時,按銷售利潤進行獎勵,且獎金y(單位:萬元)隨銷售利潤x(單位:萬元)的增加而增加,但獎金總數(shù)不超過5萬元,同時獎金不超過利潤的25%.同學們利用函數(shù)知識,設計了如下函數(shù)模型,其中符合公司要求的是(參考數(shù)據(jù):1.0021000≈7.37,lg7≈0.845)()A.y=0.25xB.y=1.002xC.y=log7x+1D.y=taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,10)-1))12.〖2021·河南安陽模擬〗5G技術的數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公式:C=Wlog2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(S,N))).它表示:在受噪聲干擾的信道中,最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小,其中eq\f(S,N)叫做信噪比.按照香農(nóng)公式,若不改變帶寬W,而將信噪比eq\f(S,N)從1000提升至2000,則C大約增加了()A.10%B.30%C.50%D.100%13.為滿足人民對美好生活的向往,環(huán)保部門要求相關企業(yè)加強污水治理,排放未達標的企業(yè)要限期整改.設企業(yè)的污水排放量W與時間t的關系為W=f(t),用-eq\f(fb-fa,b-a)的大小評價在〖a,b〗這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱.已知整改期內(nèi),甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關系如圖所示.給出下列四個結論:①在〖t1,t2〗這段時間內(nèi),甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強;②在t2時刻,甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強;③在t3時刻,甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標;④甲企業(yè)在〖0,t1〗,〖t1,t2〗,〖t2,t3〗這三段時間中,在〖0,t1〗的污水治理能力最強.其中所有正確結論的序號是________.課時作業(yè)121.〖解析〗只有v=eq\f(1,100)·ex和v=100×2x是指數(shù)函數(shù),并且e>2,所以v=eq\f(1,100)·ex的增大速度最快,故選A.〖答案〗A2.〖解析〗設單價為6+x,日均銷售量為100-10x,則日利潤y=(6+x-4)(100-10x)-20=-10x2+80x+180=-10(x-4)2+340(0<x<10).∴當x=4時,ymax=340.即單價為10元/件,利潤最大,故選B.〖答案〗B3.〖解析〗設原物質的質量為單位1,一年后剩余質量為原來的eq\f(1,4),兩年后剩余質量為原來的eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2,依此類推,得到n年后剩余質量是原來的eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n,根據(jù)題意,得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n≤eq\f(1,100)?n>3.故至少需要4年.故選B項.〖答案〗B4.〖解析〗水位由高變低,排除C、D.半缸前下降速度先快后慢,半缸后下降速度先慢后快,故選B.〖答案〗B5.〖解析〗根據(jù)題圖知消耗1升汽油,乙車最多行駛里程大于5千米,故選項A錯;以相同速度行駛時,甲車燃油效率最高,因此以相同速度行駛相同路程時,甲車消耗汽油最少,故選項B錯;甲車以80千米/小時的速度行駛時燃油效率為10千米/升,行駛1小時,里程為80千米,消耗8升汽油,故選項C錯;最高限速80千米/小時,丙車的燃油效率比乙車高,因此相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油,故選項D對.〖答案〗D6.〖解析〗令t=eq\r(A)(t≥0),則A=t2,所以D=at-t2=-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t-\f(1,2)a))2+eq\f(1,4)a2.所以當t=eq\f(1,2)a,即A=eq\f(1,4)a2時,D取得最大值.〖答案〗eq\f(1,4)a27.〖解析〗設長方體容器底面矩形的長、寬分別為xm,ym,則y=eq\f(16,x),所以容器的總造價為z=2(x+y)×1×10+20xy=20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(16,x)))+20×16,由基本不等式得,z=20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(16,x)))+20×16≥40eq\r(x·\f(16,x))+320=480,當且僅當x=y(tǒng)=4,即底面是邊長為4m的正方形時,總造價最低.〖答案〗4808.〖解析〗當t=0.5時,y=2,所以2=,所以k=2ln2,所以y=e2tln2,當t=5時,y=e10ln2=210=1024.〖答案〗10249.〖解析〗(1)因為每件商品售價為6元,則x萬件商品銷售收入為6x萬元.依題意得當0<x<8時,P(x)=6x-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2+2x))-2=-eq\f(1,3)x2+4x-2,當x≥8時,P(x)=6x-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7x+\f(100,x)-37))-2=35-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(100,x))).故P(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3)x2+4x-2,0<x<8,,35-x-\f(100,x),x≥8.))(2)當0<x<8時,P(x)=-eq\f(1,3)(x-6)2+10.此時,當x=6時,P

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