關(guān)于大一高數(shù)的練習(xí)題

大一高數(shù)練習(xí)題一、極限與連續(xù)1.計(jì)算下列極限：(1)$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$(2)$\lim_{x\to1}\frac{x^21}{x1}$(3)$\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x}$(4)$\lim_{x\to0}\frac{e^x1}{x}$2.判斷下列函數(shù)在指定點(diǎn)的連續(xù)性：(1)$f(x)=\sqrt{x^2+1}$在$x=0$處(2)$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=1$處(3)$f(x)=|x|$在$x=0$處3.討論函數(shù)$f(x)=\frac{\sinx}{x}$在$x=0$處的連續(xù)性。二、導(dǎo)數(shù)與微分1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)$y=x^33x+2$(2)$y=\ln(x^2+1)$(3)$y=\sqrt{1x^2}$(4)$y=\frac{1}{x^2}$2.求下列函數(shù)的微分：(1)$y=e^{2x}$(2)$y=\arctanx$(3)$y=\sin^2x$3.求曲線$y=x^33x$在點(diǎn)$(2,2)$處的切線方程。三、積分與不定積分1.計(jì)算下列不定積分：(1)$\int(3x^22x+1)\,dx$(2)$\int\frac{1}{x}\,dx$(3)$\inte^x\,dx$(4)$\int\cosx\,dx$2.計(jì)算下列定積分：(1)$\int_{0}^{1}(x^2+1)\,dx$(2)$\int_{1}^{e}\lnx\,dx$(3)$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sinx\,dx$3.計(jì)算由曲線$y=x^2$與直線$y=2x$所圍成的圖形的面積。四、多元函數(shù)微分學(xué)1.求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)：(1)$z=x^2+y^2$(2)$z=\ln(xy)$(3)$z=\frac{x}{y}$2.求函數(shù)$z=x^2+2xy+y^2$在點(diǎn)$(1,1)$處的梯度。3.判斷函數(shù)$f(x,y)=x^2+y^2$在點(diǎn)$(0,0)$處的極值。五、無窮級(jí)數(shù)1.判別下列級(jí)數(shù)的收斂性：(1)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$(2)$\sum_{n=1}^{\infty}(1)^n$(3)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$(4)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$2.求冪級(jí)數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}x^n$的收斂區(qū)間。3.求函數(shù)$f(x)=e^x$在$x=0$處的泰勒展開式。六、常微分方程1.求解下列一階微分方程：(1)$\frac{dy}{dx}=3x^2+2y$(2)$\frac{dy}{dx}+y=e^x$(3)$(x+2y)\frac{dy}{dx}=y$2.求解下列可降階的二階微分方程：(1)$y''=6x+2$(2)$y''2y'+y=e^x$3.求解下列線性微分方程組：\[\begin{cases}\frac{dx}{dt}=2x+y\\\frac{dy}{dt}=x+3y\end{cases}\]七、空間解析幾何與向量代數(shù)1.計(jì)算向量$\mathbf{a}=(2,1,1)$和$\mathbf=(1,1,2)$的點(diǎn)積和叉積。2.求直線$L:\frac{x1}{2}=\frac{y+3}{1}=\frac{z2}{3}$與平面$P:xy+z=4$的交點(diǎn)。3.寫出經(jīng)過點(diǎn)$(1,2,3)$且平行于平面$2xy+z=0$的直線的方程。八、線性代數(shù)1.解下列線性方程組：\[\begin{cases}x+2yz=4\\2xy+3z=6\\x+y+2z=7\end{cases}\]2.求矩陣$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$的逆矩陣。3.計(jì)算行列式$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$。九、復(fù)變函數(shù)1.計(jì)算復(fù)數(shù)$z=1+i$的模和輻角。2.將復(fù)數(shù)$z=3+4i$表示為三角形式和指數(shù)形式。3.求解復(fù)變函數(shù)$f(z)=z^2+2z+1$在$z=1+i$處的導(dǎo)數(shù)。十、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.計(jì)算從一副52張的標(biāo)準(zhǔn)撲克牌中隨機(jī)抽取4張牌，抽到至少一張紅桃的概率。2.已知隨機(jī)變量$X$服從正態(tài)分布$N(0,1)$，求$P(X<1.96)$。3.某電子元件的使用壽命$X$（以小時(shí)計(jì)）服從參數(shù)為$\lambda=0.01$的指數(shù)分布，求該元件使用超過100小時(shí)的概率。答案一、極限與連續(xù)1.(1)1(2)2(3)0(4)12.(1)連續(xù)(2)不連續(xù)(3)連續(xù)3.連續(xù)二、導(dǎo)數(shù)與微分1.(1)$y'=3x^23$(2)$y'=\frac{2x}{x^2+1}$(3)$y'=\frac{x}{\sqrt{1x^2}}$(4)$y'=\frac{2}{x^3}$2.(1)$dy=2e^{2x}dx$(2)$dy=\frac{1}{1+x^2}dx$(3)$dy=2\sinx\cosxdx$3.$y2=3(x2)$或$y=3x4$三、積分與不定積分1.(1)$\frac{x^3}{3}x^2+x+C$(2)$\ln|x|+C$(3)$e^x+C$(4)$\sinx+C$2.(1)$\frac{5}{6}$(2)1(3)03.$\frac{4}{3}$四、多元函數(shù)微分學(xué)1.(1)$z_x=2x$,$z_y=2y$(2)$z_x=\frac{1}{x}$,$z_y=\frac{1}{y}$(3)$z_x=\frac{1}{y}$,$z_y=\frac{x}{y^2}$2.$\nablaf(1,1)=(2,4)$3.極小值五、無窮級(jí)數(shù)1.(1)發(fā)散(2)發(fā)散(3)收斂(4)收斂2.$(1,1)$3.$1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$六、常微分方程1.(1)$y=Ce^{x^2}x^22x$(2)$y=\frac{1}{2}e^x+Ce^{x}$(3)$y=Cx^2e^xx$2.(1)$y=x^3+x+C$(2)$y=(Ax+B)e^x+Ce^{x}$3.$x=C_1e^{2t}C_2e^t$,$y=C_1e^{2t}+C_2e^t$七、空間解析幾何與向量代數(shù)1.點(diǎn)積：$3$,叉積：$(5,5,5)$2.交點(diǎn)：$(1,2,3)$3.直線方程：$\frac{x1}{2}=\frac{y2}{1}=\frac{z3}{3}$八、線性代數(shù)1.$x=2,y=1,z=3$2.$\begin{pmatrix}2&1\\\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$3.0九、復(fù)變函數(shù)1.模：$\sqrt{2}$,輻角：$\frac{\pi}{4}$2.三角形式：$