河南省駐馬店市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題理含解析

…………○…………外…………○…………裝…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………PAGEPAGE16河南省駐馬店市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題理（含解析）一、單選題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．）1.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則復(fù)數(shù)（

）A.B.C.D.2.命題“，使”的否定是（

）A.，使

B.，

C.，使

D.，3.若，則“”是“”的（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件4.已知變量，滿意，則的取值范圍是（

）A.B.C.D.5.函數(shù)在處的切線方程是（

）A.

B.

C.

D.6.若曲線與直線，，所圍成的平面圖形的面積為，則二項式綻開后常數(shù)項是（

）A.84B.-84C.28D.-287.在對人們休閑方式的一次調(diào)查中，依據(jù)數(shù)據(jù)建立如下的列聯(lián)表：休閑性別看電視或玩手機(jī)運(yùn)動或旅游男1022女1612為了推斷休閑方式是否與性別有關(guān)，依據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到.因為，所以判定休閑方式與性別有關(guān)系，那么這種推斷（）[參考數(shù)據(jù)：，]A.出錯的可能性至多為5%

B.出錯的可能性至多為1%

C.出錯的可能性至少為5%

D.出錯的可能性至少為1%8.我國南宋聞名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”，設(shè)的三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，面積為，則“三斜求積”公式為，若，，則用“三斜求積”公式求得的面積為(

)A.

B.

1

C.

D.

9.已知，則的最小值是（

）A.6

B.4

C.

D.10.某批零件的尺寸聽從正態(tài)分布且滿意，零件的尺寸與10的誤差不超過1即合格，從這批產(chǎn)品中抽取件，若保證抽取的合格零件至少有1件的概率不低于0.9，則的最小值為（

）A.6

B.5

C.4

D.311.2024年1月18日，國家航天局探月與航天工程中心組織完成了我國首輛火星車全球征名活動的初次評審.初評環(huán)節(jié)遴選出弘毅?麒麟?哪吒?赤兔?祝融?求索?風(fēng)火輪?追夢?天行?星火共10個名稱，作為我國首輛火星車的命名范圍.某同學(xué)為了探討這些初選名字的內(nèi)涵，安排從中隨機(jī)選取3個依次進(jìn)行分析，若該同學(xué)同時選中麒麟?哪吒，則麒麒和哪吒連續(xù)被分析，否則隨機(jī)依次分析，則全部不同的分析狀況有（

）A.704種

B.536種

C.520種

D.352種12.已知拋物線的焦點為，經(jīng)過點且斜率為的直線與拋物線交于，兩點(點在第一象限)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點，若，則下列說法正確的是（

）①②為中點③為中點④A.①③

B.①④

C.②③

D.②④二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13.已知數(shù)列中，，且，，則________.14.設(shè)△的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，，則________.15.已知，是雙曲線的左右焦點，過且傾斜角為60°的直線與的左?右兩支分別交于?兩點.若，則雙曲線的離心率為________.16.已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是________．三、解答題（本大題共70分．）17.已知數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿意，且，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.18.如圖所示，菱形的對角線與交于點，，將△沿翻折到△的位置，使得.（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)時，求二面角的正弦值.19.在平面直角坐標(biāo)系中，，分別是橢圓的左?右焦點，是橢圓上隨意一點，且面積的最大值為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過作直線與橢圓交于，兩點，點，請問的值分別表示直線與直線的斜率)是否為定值？若是定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由.20.某客戶打算在家中安裝一套凈水系統(tǒng)，該系統(tǒng)為二級過濾，運(yùn)用壽命為十年.如圖所示，兩個二級過濾器采納并聯(lián)安裝，再與一級過濾器串聯(lián)安裝.其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn).在運(yùn)用過程中，一級濾芯和二級濾芯都須要不定期更換(每個濾芯是否須要更換相互獨立).客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯和在運(yùn)用過程中單獨購買濾芯的狀況如下表：一級濾芯二級濾芯安裝凈水系統(tǒng)的同時購買160元/個80元/個運(yùn)用過程中單獨購買200元/個100元/個現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯的數(shù)量，為此參考了依據(jù)100套該凈水系統(tǒng)在十年運(yùn)用期內(nèi)更換的濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表，其中表1是依據(jù)100個一級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的頻數(shù)分布表，圖2是依據(jù)200個二級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的條形圖.表1：一級濾芯更換頻數(shù)分布表一級濾芯更換的個數(shù)89頻數(shù)6040圖2：二級濾芯更換頻數(shù)條形圖以100個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以200個二級過濾器更換濾芯的頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.（1）記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在運(yùn)用期內(nèi)須要更換的一級濾芯總數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）求一套凈水系統(tǒng)在運(yùn)用期內(nèi)須要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為21的概率；（3）記，分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數(shù).若且，以該客戶的凈水系統(tǒng)在運(yùn)用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據(jù)，試確定，的值.21.已知函數(shù)，.（1）探討的單調(diào)性；（2）若對隨意，恒成立，求實數(shù)的值.22.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為(為極徑，為極角).（1）請分別求出直線和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與軸的交點為，且與曲線的交點分別為，.求的值.23.已知函數(shù).（1）解不等式：；（2）若的最小值為，且實數(shù)，，滿意，求證：.

答案解析部分河南省駐馬店市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期理數(shù)期末考試試卷一、單選題1.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則復(fù)數(shù)（

）A.

B.

C.

D.【答案】B【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算【解析】【解答】依題意得，則.故答案為：B.

【分析】依據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法原則，即可求解.2.命題“，使”的否定是（

）A.，使

B.，

C.，使

D.，【答案】D【考點】命題的否定【解析】【解答】“，使”的否定是“，”.故答案為：D.

【分析】依據(jù)特稱命題的否定是全稱命題可得答案。3.若，則“”是“”的（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件【答案】B【考點】必要條件、充分條件與充要條件的推斷【解析】【解答】因為，但是，所以“”是“”的必要不充分條件.故答案為：B.

【分析】因為，但是，再依據(jù)充分條件、必要條件的定義可得答案。4.已知變量，滿意，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.【答案】C【考點】簡潔線性規(guī)劃【解析】【解答】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示陰影部分.設(shè)點，動點為平面區(qū)域內(nèi)隨意一點，則.設(shè)點，則與直線垂直，所以的最小值為；由得點，由圖可知的最大值為.故的取值范圍是.故答案為：C.

【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解即可.5.函數(shù)在處的切線方程是（

）A.

B.

C.

D.【答案】C【考點】利用導(dǎo)數(shù)探討曲線上某點切線方程【解析】【解答】由題意，，故，又，∴在處的切線方程為，即.故答案為：C

【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),得到f’(0)

,再求得f(0)，利用直線方程的斜截式得答案.6.若曲線與直線，，所圍成的平面圖形的面積為，則二項式綻開后常數(shù)項是（

）A.84

B.-84

C.28

D.-28【答案】B【考點】二項式定理【解析】【解答】依題意得，則的通項為（），令得，所以二項綻開式中的常數(shù)項為.故答案為：B.

【分析】由題意依據(jù)定積分的運(yùn)算，考查定積分的幾何意義，求得m的值，再利用二項綻開式的通項公式，即可求得二項式

綻開后常數(shù)項。7.在對人們休閑方式的一次調(diào)查中，依據(jù)數(shù)據(jù)建立如下的列聯(lián)表：休閑性別看電視或玩手機(jī)運(yùn)動或旅游男1022女1612為了推斷休閑方式是否與性別有關(guān)，依據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到.因為，所以判定休閑方式與性別有關(guān)系，那么這種推斷（）[參考數(shù)據(jù)：，]A.出錯的可能性至多為5%

B.出錯的可能性至多為1%

C.出錯的可能性至少為5%

D.出錯的可能性至少為1%【答案】A【考點】獨立性檢驗的基本思想【解析】【解答】因為，，，所以判定休閑方式與性別有關(guān)系，這種推斷出錯的可能性至多為5%.故答案為：A.

【分析】利用K2與臨界值比較，即可得出答案。8.我國南宋聞名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”，設(shè)的三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，面積為，則“三斜求積”公式為，若，，則用“三斜求積”公式求得的面積為(

)A.

B.

1

C.

D.

【答案】C【考點】正弦定理，余弦定理，三角形中的幾何計算【解析】【解答】∵，∴，，因為，所以，，從而的面積為.故答案為：C．【分析】依據(jù)正弦定理：由得的值，再由得的值，利用公式可得結(jié)論．9.已知，則的最小值是（

）A.6

B.4

C.

D.【答案】C【考點】基本不等式【解析】【解答】因為，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)即時，的最小值為.故答案為：C.

【分析】利用基本不等式的換“1”法

,得到，進(jìn)而利用基本不等式不解即可。10.某批零件的尺寸聽從正態(tài)分布且滿意，零件的尺寸與10的誤差不超過1即合格，從這批產(chǎn)品中抽取件，若保證抽取的合格零件至少有1件的概率不低于0.9，則的最小值為（

）A.6

B.5

C.4

D.3【答案】C【考點】二項分布與n次獨立重復(fù)試驗的模型【解析】【解答】因為，且，所以，即每個零件合格的概率為.依題意得，即，解得.故答案為：C.

【分析】先算出，然后依據(jù)取出的n件產(chǎn)品中合格品件數(shù)X聽從二項分布，再依據(jù)P(X≥2)≥0.9列出n的不等式求解即可.11.2024年1月18日，國家航天局探月與航天工程中心組織完成了我國首輛火星車全球征名活動的初次評審.初評環(huán)節(jié)遴選出弘毅?麒麟?哪吒?赤兔?祝融?求索?風(fēng)火輪?追夢?天行?星火共10個名稱，作為我國首輛火星車的命名范圍.某同學(xué)為了探討這些初選名字的內(nèi)涵，安排從中隨機(jī)選取3個依次進(jìn)行分析，若該同學(xué)同時選中麒麟?哪吒，則麒麒和哪吒連續(xù)被分析，否則隨機(jī)依次分析，則全部不同的分析狀況有（

）A.704種

B.536種

C.520種

D.352種【答案】A【考點】分類加法計數(shù)原理【解析】【解答】①同時選中麒麒和哪吒,則只需從剩下的8個初選名字中選出一個即可，有種.②麒麒和哪吒選中一個時，則只需從剩下的8個初選名字中選出2個即可，有種.③麒麒和哪吒都不選時，則只需從剩下的8個初選名字中選出3個即可，有種.所以不同的分析狀況有：故答案為：A

【分析】依據(jù)題意,按麒麟、哪吒是否被同時選中,分2種狀況探討，由加法原理計算可得答案.12.已知拋物線的焦點為，經(jīng)過點且斜率為的直線與拋物線交于，兩點(點在第一象限)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點，若，則下列說法正確的是（

）①②為中點③為中點④A.①③

B.①④

C.②③

D.②④【答案】A【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題【解析】【解答】依題意設(shè)過拋物線焦點，斜率為的直線方程為，由得，解得或，依題意可知，，，.則，解得.故①正確；由得，，，明顯點不是的中點.故②錯誤；由，，可知點是的中點.故③正確；.故④錯誤.故答案為：A.

【分析】依據(jù)題意可得直線AB的方程，由得，求出，，，則，解得.故①是否正確；由線段DF中點坐標(biāo)可得②是否正確；求出線段AD的中點坐標(biāo)，即可推斷③是否正確;由拋物線的定義可計算出，即可推斷④是否正確.二、填空題13.已知數(shù)列中，，且，，則________.【答案】【考點】數(shù)列遞推式【解析】【解答】由得，，，，∴數(shù)列是周期數(shù)列，且周期為4.所以.故答案為：.

【分析】利用遞推公式，求出數(shù)列各項，即可求出數(shù)列是周期數(shù)列，且周期為4，即可求出的值。

14.設(shè)△的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，，則________.【答案】8【考點】正弦定理，余弦定理【解析】【解答】由正弦定理，，則，又，，∴，由余弦定理，且，∴，即.故答案為：8

【分析】由3sinA=2sinB即正弦定理可得3a=2b,進(jìn)而利用余弦定理結(jié)合已知即可得解a的值.15.已知，是雙曲線的左右焦點，過且傾斜角為60°的直線與的左?右兩支分別交于?兩點.若，則雙曲線的離心率為________.【答案】【考點】雙曲線的定義【解析】【解答】在直角中，，，，則，.由雙曲線定義得，即，解得.故答案為：.

【分析】由題意可得F1(c,0)，在直角中，，

，由雙曲線的定義化簡即可得出答案.16.已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是________．【答案】【考點】利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值，函數(shù)的零點【解析】【解答】(i)當(dāng)a=0時,f(x)=?3x2+1,令f(x)=0,解得x=±,函數(shù)f(x)有兩個零點，舍去．(ii)當(dāng)a≠0時,f′(x)=3ax2?6x=3ax(x?),令f′(x)=0,解得x=0或2a.①當(dāng)a<0時,<0,當(dāng)x<或x>0時,f′(x)<0,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)<x<0時,f′(x)>0,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．∴是函數(shù)f(x)的微小值點,0是函數(shù)f(x)的極大值點．∵函數(shù)f(x)=ax3?3x2+1存在唯一的零點x0,且x0<0,則，無解，舍去．②當(dāng)a>0時,>0,當(dāng)x>或x<0時,f′(x)>0,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)0<x<時,f′(x)<0,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．∴是函數(shù)f(x)的微小值點,0是函數(shù)f(x)的極大值點．∵函數(shù)f(x)=ax3?3x2+1存在唯一的零點x0,且x0<0,則f(>0,即?+1>0，a>0，解得a>2.綜上可得：實數(shù)a的取值范圍是(2,+∞).故答案為(2,+∞).

【分析】對a進(jìn)行分類探討，求導(dǎo)，再由題意可知f()>0，從而求出a.三、解答題17.已知數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿意，且，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）由題意，時，又時，也符合，∴的通項公式為，；∵，且，∴是首項為，公比為的等比數(shù)列，故，.

（2）由（1）知：，∴，則，∴，∴，.【考點】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式【解析】【分析】（1）結(jié)合已知條件可得，利用遞推公式，得出

的通項公式，再由，等比數(shù)列的定義可得

是首項為

，公比為

的等比數(shù)列，從而可得

的通項公式；

（2）由（1）知：

利用錯位相減法即可求出數(shù)列

的前

項和

.

18.如圖所示，菱形的對角線與交于點，，將△沿翻折到△的位置，使得.（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)時，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明：連接，又菱形的對角線與交于點，，∴，又，∴在△中，，即，∵在等腰△中，，又，∴面，又面，∴平面平面；

（2）過作于，連接，由（1）知：面，則是二面角的平面角，又面與面是同一平面，∴為二面角的平面角，又且中，易得.∴，則.【考點】平面與平面垂直的判定，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（1）連接

，又菱形

的對角線

與

交于點

，依據(jù)勾股定理即可得出，再依據(jù)面面垂直的判定定理，即可證得平面

平面

；

（2）過

作

于

，連接

，由（1）知：

面

，則

是二面角

的平面角，又面

與面

是同一平面，

為二面角

的平面角，

中，利用三角函數(shù)定義即可求出二面角

的正弦值。19.在平面直角坐標(biāo)系中，，分別是橢圓的左?右焦點，是橢圓上隨意一點，且面積的最大值為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過作直線與橢圓交于，兩點，點，請問的值分別表示直線與直線的斜率)是否為定值？若是定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由.【答案】（1）由題意得，因為是橢圓上隨意一點，且面積的最大值為，所以，得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

（2）當(dāng)直線不與軸垂直時，設(shè)直線為，設(shè)，將直線代入橢圓方程化簡得則，所以，因為，所以，當(dāng)直線與軸垂直時，此時依據(jù)對稱性可得，綜上，為定值0【考點】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的綜合問題【解析】【分析】（1）由題意得

，

面積的最大值為

，可得

求得b的值，再依據(jù)a，b，c的關(guān)系即可求出a2，進(jìn)而求出橢圓

的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)直線

不與

軸垂直時，設(shè)直線

為

，設(shè)

，將直線

代入橢圓方程

化簡得利用韋達(dá)定理可得，進(jìn)而求出

，當(dāng)直線

與

軸垂直時，此時依據(jù)對稱性可得

，即可得出結(jié)論。20.某客戶打算在家中安裝一套凈水系統(tǒng)，該系統(tǒng)為二級過濾，運(yùn)用壽命為十年.如圖所示，兩個二級過濾器采納并聯(lián)安裝，再與一級過濾器串聯(lián)安裝.其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn).在運(yùn)用過程中，一級濾芯和二級濾芯都須要不定期更換(每個濾芯是否須要更換相互獨立).客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯和在運(yùn)用過程中單獨購買濾芯的狀況如下表：一級濾芯二級濾芯安裝凈水系統(tǒng)的同時購買160元/個80元/個運(yùn)用過程中單獨購買200元/個100元/個現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯的數(shù)量，為此參考了依據(jù)100套該凈水系統(tǒng)在十年運(yùn)用期內(nèi)更換的濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表，其中表1是依據(jù)100個一級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的頻數(shù)分布表，圖2是依據(jù)200個二級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的條形圖.表1：一級濾芯更換頻數(shù)分布表一級濾芯更換的個數(shù)89頻數(shù)6040圖2：二級濾芯更換頻數(shù)條形圖以100個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以200個二級過濾器更換濾芯的頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.（1）記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在運(yùn)用期內(nèi)須要更換的一級濾芯總數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）求一套凈水系統(tǒng)在運(yùn)用期內(nèi)須要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為21的概率；（3）記，分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數(shù).若且，以該客戶的凈水系統(tǒng)在運(yùn)用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據(jù)，試確定，的值.【答案】（1）的可能取值為8,9，由表1知：，，所以的分布列為890.60.4數(shù)學(xué)期望（個）.

（2）依題意知：該套凈水系統(tǒng)中在運(yùn)用期內(nèi)一個一級過濾器須要更換9個濾芯的概率為0.4，兩個二級過濾器均須要更換6個濾芯的概率為.記“一套凈水系統(tǒng)在運(yùn)用期內(nèi)須要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為21”為事務(wù)，則（或者）.

（3）由圖可知，一個二級濾芯十年內(nèi)須要更換的個數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2，0.4，0.4.令表示一套凈水系統(tǒng)在運(yùn)用期間須要更換的二級濾芯的總個數(shù)，則的可能取值為8,9,10,11,12.，，，，.令、分別表示一套凈水系統(tǒng)在運(yùn)用期間須要購買的一級濾芯、二級濾芯的總個數(shù)，表示該客戶在運(yùn)用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用（單位：元）.①當(dāng)，時，010.60.40120.520.320.16所以.②當(dāng)，時，一級濾芯無需購買，01230.20.320.320.16所以.因為，所以選，.【考點】離散型隨機(jī)變量及其分布列，離散型隨機(jī)變量的期望與方差【解析】【分析】（1）

的可能取值為8,9，

求出對應(yīng)的概率，進(jìn)而列出分布列，求出期望；

（2）記“一套凈水系統(tǒng)在運(yùn)用期內(nèi)須要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為21”為事務(wù)

，；

（3）令

表示一套凈水系統(tǒng)在運(yùn)用期間須要更換的二級濾芯的總個數(shù)，則

的可能取值為8,9,10,11,12，求出對應(yīng)的概率，依題意,可分m=8，n=10及m=9，n=9兩種,分別求出期望，比較即可.21.已知函數(shù)，.（1）探討的單調(diào)性；（2）若對隨意，恒成立，求實數(shù)的值.【答案】（1）因為（，），所以.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，