江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2025屆高三數(shù)學(xué)第一次聯(lián)考試題文含解析

PAGE24-江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2025屆高三數(shù)學(xué)第一次聯(lián)考試題文（含解析）一、選擇題1.已知全集，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】計(jì)算出集合和，利用交集的定義可求得集合.【詳解】全集，，，則，，因此，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查交集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)滿意，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)滿意，利用復(fù)數(shù)的除法和乘法，化簡(jiǎn)為，再利用復(fù)數(shù)的模公式求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)滿意，所以，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.3.下列命題中，是假命題的是（）A.若，則B.，C.函數(shù)的最小正周期為D.【答案】A【解析】【分析】選項(xiàng)A.由數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，則，結(jié)合向量垂直的定義，從而可推斷.選項(xiàng)B.，,從而可推斷.選項(xiàng)C.函數(shù)的最小正周期為，從而可推斷.選項(xiàng)D由對(duì)數(shù)運(yùn)算可得，從而可推斷.【詳解】選項(xiàng)A.由數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)或者時(shí)，與不垂直，當(dāng)且時(shí)，有，從而A不正確.選項(xiàng)B.，,從而B正確.選項(xiàng)C.函數(shù)的圖象如圖.由，結(jié)合函數(shù)的圖象，可得的最小正周期為，從而C正確.選項(xiàng)D.設(shè)，則，所以所以，從而D正確.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的推斷，考查向量垂直的推斷，三角函數(shù)的周期的推斷，對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4.如圖，樣本容量均為的四組數(shù)據(jù)，它們的平均數(shù)都是，條形統(tǒng)計(jì)圖如下，則其中標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)每組的條形統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差，進(jìn)而可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于第一組，個(gè)數(shù)均為，其標(biāo)準(zhǔn)差為；對(duì)于其次組，標(biāo)準(zhǔn)差為；對(duì)于第三組，標(biāo)準(zhǔn)差為；對(duì)于第四組，標(biāo)準(zhǔn)差為.因此，標(biāo)準(zhǔn)差最大的為第四組.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查標(biāo)準(zhǔn)差的大小比較，依據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)差是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.5.已知單位圓上第一象限一點(diǎn)沿圓周逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)隨意角的三角函數(shù)的定義可得，從而可得，進(jìn)而求出，再利用三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】由單位圓上第一象限一點(diǎn)沿圓周逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，即，所以，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，理解隨意角的三角函數(shù)定義是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.6.函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析函數(shù)在處的取值，以及該函數(shù)在區(qū)間和函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合解除法可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即該函數(shù)圖象過原點(diǎn)，解除B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，則，解除C選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，則，解除D選項(xiàng).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，一般需分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)與函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合解除法得出正確選項(xiàng)，考查分析問題和解決問題的實(shí)力，屬于中等題.7.程大位是明代聞名數(shù)學(xué)家，他的《新編直指算法統(tǒng)宗》是中國(guó)歷史上一部影響巨大的著作．卷八中第33問：“今有三角果一垛，底闊每面七個(gè)．問該若干？”如圖是解決該問題的程序框圖．執(zhí)行該程序框圖，求得該垛果子的總數(shù)S為（）A.28 B.56 C.84 D.120【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，模擬程序運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的改變狀況，即可求解.【詳解】模擬程序的運(yùn)行，可得：執(zhí)行循環(huán)體，；不滿意推斷條件，執(zhí)行循環(huán)體，；不滿意推斷條件，執(zhí)行循環(huán)體，；不滿意推斷條件，執(zhí)行循環(huán)體，；不滿意推斷條件，執(zhí)行循環(huán)體，；不滿意推斷條件，執(zhí)行循環(huán)體，；不滿意推斷條件，執(zhí)行循環(huán)體，；滿意推斷條件，退出循環(huán)，輸出的值為.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出問題，其中解答中模擬程序運(yùn)行的過程，通過逐次計(jì)算和找出計(jì)算的規(guī)律是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.8.已知平面對(duì)量滿意，，若，，，則的值為（）A. B. C. D.與有關(guān)【答案】C【解析】【分析】依據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算律進(jìn)行綻開，代入對(duì)應(yīng)數(shù)值即得結(jié)果.【詳解】故選：C【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積運(yùn)算律，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.9.已知雙曲線，為雙曲線的右焦點(diǎn)，過作斜率為的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若為的內(nèi)心，則雙曲線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，再依據(jù)內(nèi)心為內(nèi)切圓的圓心可知焦點(diǎn)到的三邊距離相等，進(jìn)而列式可得即可得出雙曲線方程.【詳解】直線的方程為，即.因?yàn)榈綕u近線的距離為.且為的內(nèi)心，故焦點(diǎn)到的三邊距離相等，故，故，解得.故雙曲線方程為，即.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線方程的求解，須要依據(jù)題意利用內(nèi)心的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到線的距離公式列式求解.屬于中檔題.10.已知函數(shù)是定義在上的單調(diào)減函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列是等差數(shù)列，且，則的值（）A.恒為負(fù)數(shù) B.恒為正數(shù) C.恒為 D.可正可負(fù)【答案】A【解析】【分析】先依據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得，再依據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及單調(diào)性得，最終依據(jù)類推可推斷選擇.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的單調(diào)減函數(shù)且為奇函數(shù)，所以同理可得因此故選:A【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)、奇函數(shù)性質(zhì)以及單調(diào)性，考查綜合分析推斷實(shí)力，屬中檔題.11.已知，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A：先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性，進(jìn)而依據(jù)單調(diào)性作推斷；對(duì)于選項(xiàng)B,選項(xiàng)C與選項(xiàng)D，利用放縮進(jìn)行推斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，即，即，故A錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)B：由可得，故B錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)D：，故D錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)C：，故C正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)單調(diào)性以及放縮法比較大小,考查綜合分析與求解實(shí)力，屬中檔題.12.已知直角三角形中，，，斜邊上兩點(diǎn)，滿意，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】法一：設(shè)，，記為，利用三角形的面積公式可得，點(diǎn)到斜邊的距離為，可得，由余弦定理可得，利用基本不等式即可求解.法二：設(shè)，，，，在和中，由正弦定理求出，再利用三角形的面積公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】解析：（法一）設(shè)，，記為，則在中有，即.在中，點(diǎn)到斜邊的距離為，故，即由余弦定理可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).即，可得.法二：設(shè)，，，則在和中，由正弦定理可得：，即，得所以.∵，∴∴面積的最小值為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式、正弦定理、余弦定理、三角函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式，綜合性比較強(qiáng)，屬于中檔題.二、填空題13.______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)，再依據(jù)正余弦的差角公式求解即可.【詳解】.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了依據(jù)正余弦差角公式求解三角函數(shù)值的問題，須要轉(zhuǎn)換到特別角的三角函數(shù)進(jìn)行求解，屬于基礎(chǔ)題.14.已知，若，則實(shí)數(shù)的解集是______.【答案】【解析】【分析】先依據(jù)分段函數(shù)解析式分類列不等式，再解不等式得結(jié)果.【詳解】或解得或故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查解分段函數(shù)不等式，考查分類探討思想方法以及基本求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.15.已知直線與焦點(diǎn)在軸上的橢圓總有公共點(diǎn)，則橢圓的離心率取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由焦點(diǎn)在軸上得，再由直線與橢圓總有公共點(diǎn)，得，解不等式得，最終依據(jù)離心率公式求結(jié)果.【詳解】因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)在軸上，所以，因?yàn)?，所以；因?yàn)橹本€與橢圓總有公共點(diǎn)，所以，綜上,故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率、直線與橢圓位置關(guān)系,考查基本分析求解實(shí)力，屬中檔題.16.已知三棱錐中，滿意，，，則當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，直線與夾角的余弦值是______.【答案】【解析】【分析】先確定三棱錐體積最大時(shí)位置，再作平行得直線與的夾角，最終依據(jù)余弦定理求結(jié)果.【詳解】如圖所示，因?yàn)榈拿娣e為定值，所以當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐體積最大，過作，過作，所以為與所成角或補(bǔ)角；過點(diǎn)作交于，則平面，所以平面，即，因?yàn)?，，，所以為直角三角形，所以，，因，，，所以為直角三角形，所以，則，，所以.因此直線與夾角的余弦值是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查線線角、余弦定理以及三棱錐體積，考查基本分析與求解實(shí)力，屬中檔題.三、解答題17.某社會(huì)機(jī)構(gòu)為了調(diào)查對(duì)手機(jī)嬉戲的愛好與年齡的關(guān)系，通過問卷調(diào)查，整理數(shù)據(jù)得如下列聯(lián)表：40歲以下40歲以上合計(jì)很愛好301545無愛好203555合計(jì)5050100（1）依據(jù)列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為對(duì)手機(jī)嬉戲的愛好程度與年齡有關(guān)？（2）若已經(jīng)從歲以下的被調(diào)查者中用分層抽樣的方式抽取了名，現(xiàn)從這名被調(diào)查者中隨機(jī)選取名，求這名被調(diào)查者中恰出名對(duì)手機(jī)嬉戲無愛好的概率.0.1000.0500.0100.0012.7063.846.63510.828（注：參考公式：，其中）【答案】（1）沒有把握認(rèn)為手機(jī)嬉戲的愛好程度與年齡有關(guān)（2）【解析】【分析】（1）先依據(jù)卡方公式求卡方，再比照數(shù)據(jù)作推斷；（2）先依據(jù)分層抽樣確定各層抽取人數(shù)，再利用枚舉法確定事務(wù)所包含事務(wù)數(shù)，最終依據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果.【詳解】解：（1）∴沒有的把握認(rèn)為手機(jī)嬉戲的愛好程度與年齡有關(guān).（2）由題得歲以下的被調(diào)查者中用分層抽樣的方式抽取的名人員中出名對(duì)手機(jī)嬉戲很愛好，設(shè)為、、；出名對(duì)手機(jī)嬉戲無愛好，設(shè)為、，從、、、、中隨機(jī)選取名的基本領(lǐng)件有、、、、、、、、、共個(gè).其中恰有個(gè)的有、、、、、共個(gè)∴這名被調(diào)查者中恰出名對(duì)手機(jī)嬉戲無愛好的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查卡方公式以及古典概型概率，考查基本分析求解與推斷實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.18.已知非零數(shù)列滿意，；（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)遞推關(guān)系式，利用等比數(shù)列的定義即可證明數(shù)列為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.（2）利用分組求和法、錯(cuò)位相減法以及等差數(shù)列、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】解：（1）依題意：，所以，即數(shù)列為等比的等比數(shù)列，所以，可得，所以（2）由（1）可知，令，則，所以，即，所以【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列定義、遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、分組求和法、錯(cuò)位相減法以及等差數(shù)列、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于中檔題.19.已知棱長(zhǎng)為的正方體中，分別為棱和的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）證法一：連結(jié)交于點(diǎn)，利用平幾學(xué)問證四邊形為平行四邊形，再依據(jù)線面平行判定定理得結(jié)果；證法二：取中點(diǎn)，利用平幾學(xué)問證∥，再依據(jù)線面平行判定定理得結(jié)果；（2））解法一與解法二，利用等體積法求點(diǎn)到直線距離.【詳解】（1）證法一：如圖連結(jié)交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，連結(jié)，∵為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴∥，∵為的中點(diǎn)，∴∥，，∴四邊形為平行四邊形∴∥，∵平面，平面∴∥平面.證法二：如圖取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)檎襟w，分別為中點(diǎn)，所以可得四邊形和四邊形均為平行四邊形，所以∥∥，所以平面即為平行四邊形所在平面，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以也為中點(diǎn)，且為中點(diǎn)，所以∥，∴∥平面.（2）解法一：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連結(jié)，則∥平面，則到平面的距離即到平面的距離，，點(diǎn)到平面的距離為，，設(shè)到平面的距離為，則，即可得，即點(diǎn)到平面的距離為解法二：由證法二知點(diǎn)到平面的距離為到平面的距離，所以，且，，所以到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的推斷以及利用等體積法求點(diǎn)面距離，考查基本分析論證與求解實(shí)力，屬中檔題.20.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，探討函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（1）（2）區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)【解析】【分析】（1）求出和，應(yīng)用點(diǎn)斜式求出切線的方程；（2）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所求切線方程為：，即（2）∵，∴當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，且，，所以在內(nèi)有唯一零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，由，知在單調(diào)遞減，且，，知存在唯一使得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減且，，所以在無零點(diǎn)，綜上可知在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的問題，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)處的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的零點(diǎn)，屬于簡(jiǎn)潔題目.21.已知圓，設(shè)點(diǎn)為圓與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，且滿意的中點(diǎn)在軸上.（1）當(dāng)改變時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，、為曲線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且在、兩點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)在直線上，證明：直線過定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）；（2）證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為.【解析】【分析】（1）求得點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，求得線段的中點(diǎn)，由結(jié)合平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)可求得點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)、，設(shè)直線的方程為，利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在點(diǎn)、的切線方程，并將兩切線方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出，再將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可求得的值，進(jìn)而可求得直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）依題意，設(shè)，則弦中點(diǎn)，由得，即；（2）設(shè)、，依題意可設(shè)拋物線在、兩點(diǎn)處的切線交點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，所以，拋物線在點(diǎn)處的切線為，即，拋物線在點(diǎn)處的切線為，即，聯(lián)立，解得，所以，聯(lián)立直線與曲線的方程得，消去得，由韋達(dá)定理得，解得，所以，直線的方程為，過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解，同時(shí)也考查了直線過定點(diǎn)問題的處理，考查了拋物線的切線方程，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.2