高等數(shù)學(xué)(高職)教案

單元名稱第1章第一節(jié)預(yù)備知識(shí)

教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：定義域的求解；函數(shù)的幾種特性；

及難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)：定義域的求解；奇偶性的判斷

教學(xué)方法講授法

教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容(1.精講2.互動(dòng)3.練習(xí))備注

一、函數(shù)預(yù)備知識(shí)

利用現(xiàn)實(shí)生活中的一個(gè)實(shí)例(勻速運(yùn)動(dòng))，引起學(xué)生的興趣，進(jìn)一

步使學(xué)生想了解什么是函數(shù)，好奇心吸引學(xué)生們認(rèn)真聽(tīng)課。順利引出函

數(shù)。

1、函數(shù)的定義(課件展示)

說(shuō)明：函數(shù)是變量間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系(單值對(duì)應(yīng))，函數(shù)的表達(dá)式

如下：

y=f(x),x&D

(1)定義域：自變量的取值集合(。)。

(2)值域：函數(shù)值的集合，即為=可=/(和)。

2、函數(shù)的二要素(板書(shū))

構(gòu)成函數(shù)的兩個(gè)重要因素：定義域和對(duì)應(yīng)法則。

如果兩個(gè)函數(shù)定義域相同，對(duì)應(yīng)法則也相同，那么這兩個(gè)函數(shù)是相

同的。

注意：為了使定義域在數(shù)學(xué)上有意義，要求，

(1)分母不能為o。如/0)=」時(shí)

講授新課X

(2)偶次根號(hào)下非負(fù)。如/(X)=?時(shí)

(3)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0。如/(%)=In*

(4)正切符號(hào)下的式子不等于以+&,左eZ。

2

(5)余切符號(hào)下的式子不等于左匹ZEZ。

(6)反正弦、反余弦符號(hào)下的式子絕對(duì)值小于等于lo

例1求函數(shù)y=T二的定義域。

4-4

例2確定函數(shù)/(x)=j3+2x-/+in(x-2)的定義域。

說(shuō)明：根據(jù)學(xué)生們做題的情況，老師仔細(xì)深刻地講解，加深學(xué)生對(duì)

定義域求解的理解和掌握。

3、函數(shù)的表示方法

通過(guò)板書(shū)結(jié)合實(shí)例，簡(jiǎn)述函數(shù)的表示方法，并且給出函數(shù)讓學(xué)生用

不同的方法表示該函數(shù)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)的表示方法的理解。

4、分段函數(shù)

分段函數(shù)：對(duì)自變量的不同取值范圍，函數(shù)用不同的表達(dá)式。

例如：符號(hào)函數(shù)、狄立克萊函數(shù)、取整函數(shù)等。

分段函數(shù)的定義域：不同自變量取值范圍的并集。

1

注意：求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，應(yīng)先確定自變量取值的所在范圍，

再按照其對(duì)應(yīng)的式子進(jìn)行計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)例題的講解，加深學(xué)生對(duì)于分段函數(shù)的認(rèn)識(shí)

5、函數(shù)常見(jiàn)的幾種基本特性

函數(shù)常見(jiàn)的四種基本特性：奇偶性，周期性，單調(diào)性，有界性。

講解思路：(1)給出奇偶函數(shù)的圖形，對(duì)比性地進(jìn)行講解；

(2)通過(guò)例題講解，示范最小正周期的求解方法

(3)給出一些函數(shù)，提問(wèn)學(xué)生函數(shù)是否有界。

6.基本初等函數(shù)

熟記：六種基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像、性質(zhì)。

板書(shū)：結(jié)合圖形，講解六種基本初等函數(shù)的定義域，值域及性質(zhì)。

7.復(fù)合函數(shù)

說(shuō)明：(1)并非任意幾個(gè)函數(shù)都能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。

如：y=lnM,u=-%2就不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。

(2)復(fù)合函數(shù)的定義域：各個(gè)復(fù)合體定義域的交集。

(3)復(fù)合函數(shù)的分解從外到內(nèi)進(jìn)行；復(fù)合時(shí)，則直接代入消去中間變

量即可。

強(qiáng)調(diào)：在求兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合時(shí)，注意中間變量的取舍。

板書(shū)：給出例題，讓學(xué)生們做練習(xí)，加深學(xué)生對(duì)復(fù)合函數(shù)的理解和

掌握。復(fù)合函數(shù)反映了事物聯(lián)系的復(fù)雜性。

8.初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合步驟所構(gòu)成的，

并且能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)，叫做初等函數(shù)；否則，不是初等函

數(shù)。

注：(1)一般分段函數(shù)都不是初等函數(shù)，但y=1x1是初等函數(shù)；

(2)初等函數(shù)的一般形成方式：復(fù)合運(yùn)算、四則運(yùn)算

二、例題分析

例1y=sinx的定義域?yàn)?一8,+8),值域?yàn)椋?1,1］。

例2y=1的定義域?yàn)椋郇D1,+8),值域?yàn)椋?,+8)。

1>0

例3設(shè)/(%)=<0,x=0,求/⑵,/(0)和/(一2)。

—1,x<0

解/(2)=1,/(0)=0,/(-2)=-1=

注意：求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，應(yīng)先確定自變量取值的所在范圍，

再按照其對(duì)應(yīng)的式子進(jìn)行計(jì)算。

1.函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素：定義域，對(duì)應(yīng)法則；

課堂小結(jié)2.函數(shù)的特性：有界性，單調(diào)性，奇偶性，周期性；

3.基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)。

課后作業(yè)習(xí)題1.1-2

2

單元名稱第2節(jié)極限的概念

教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念

及難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)：左極限與右極限、無(wú)窮小量及無(wú)窮小量的性質(zhì)

教學(xué)方法啟發(fā)式與互動(dòng)式

教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容(1.精講2.互動(dòng)3.練習(xí))備注

一、數(shù)列極限

1.提出問(wèn)題：分析當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，下列數(shù)列的項(xiàng)a“的變化趨勢(shì)及其

共同特征.

1.，萬(wàn)，T，9---，遞減一＞0

10102103…10〃…

c123n?品1

234,,,n+1…

11(―)〃一

3.1,,，，,擺動(dòng)一，0

23n1"

2.解決問(wèn)題

共同特征：不論這些變化趨勢(shì)如何，隨著項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大，數(shù)列的項(xiàng)4

無(wú)限地趨近于常數(shù)A.

3.強(qiáng)化認(rèn)識(shí)：

觀察下面三個(gè)數(shù)列，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，下列數(shù)列的項(xiàng)的變化趨勢(shì)

1.1,，―,遞減-0

2481"2"

講授新課

2.0.9,0.99,0.999,…，0.9999遞增T1

4.概念形成:

一般地，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)窮數(shù)列｛%｝的項(xiàng)無(wú)限趨近于

一個(gè)常數(shù)A,我們就稱A是數(shù)列％的極限，記作limx,=A.

讀作：當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，居的極限等于a

注意：1.｛X“｝是無(wú)窮數(shù)列。

2.數(shù)值變化趨勢(shì)：遞減、遞增、擺動(dòng).

例1考察下面數(shù)列，寫(xiě)出它們的極限

1.1,一,—，，—T,記作：lim—r=0

8271??/???

2.6.5,6.95,6.995，,7-----,記作：lim(7-----)=7

???io",,,一?'jo"

3.，，，，,記作:lim=0

2481?1(-2)""-8(_2)”

探究性問(wèn)題：是否每個(gè)無(wú)窮數(shù)列都是有極限？

3

1.2,4,6,8,In,趨近于無(wú)限大，沒(méi)有常數(shù)

2.-1,-2,-3,…，-n，…趨近于無(wú)限小，沒(méi)有常數(shù)

[〃為奇數(shù)—

3.-1,1,-1,1,…，(-1)",…擺[〃動(dòng)為偶數(shù)一，不是

同一常數(shù)

結(jié)論：不是所有數(shù)列都有極限，擺動(dòng)數(shù)列無(wú)極限.

例2求常數(shù)列—1,—1,—1,…，—1,…的極限.

解：lim(-l)=-1

n—oo

結(jié)論：常數(shù)的極限就是這個(gè)常數(shù)，即limC=C.

fl—8

二、函數(shù)極限

1.當(dāng)函數(shù)y=/(x)的極限

xT+8,/(%)—A=limJ(x)=A

x—>+℃

xT-8,/(x)—A=lim/(x)=A

x—>—oo

178，/(x)—A=>lim/(x)=A

X—8

等價(jià)關(guān)系：

lim/(x)=A的充分必要條件是lim/(x)=A且limf(x)=A

x—>+?o

2.當(dāng)XT/,函數(shù)y=/(x)的極限

%—,/(x)—>Anlim/(x)=A

%—?%()+

%一/一，/(x)—Anlim/(x)=A

%7%o，/(%)-Anlim/(x)=A

函數(shù)/(x)當(dāng)XT殉時(shí)的左極限，記為lim/(X)=A.

X-

函數(shù)/(尤)當(dāng)x-?Xo時(shí)的右極限，記為limf(X)=A；

等價(jià)關(guān)系：lim/(x)=A或/(x)7A(x7項(xiàng))

X-

3、極限的性質(zhì)

性質(zhì)1(唯一性)

性質(zhì)2(有界性)

性質(zhì)3(保號(hào)性)

性質(zhì)4(夾逼性)

4、無(wú)窮大量與無(wú)窮小量

(1)無(wú)窮大量

定義：在X的某個(gè)極限過(guò)程中，|/(x)|無(wú)限變大，則稱/(X)在

這個(gè)極限過(guò)程中為無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮大。

注意：(i)不能脫離極限過(guò)程談無(wú)窮大。

(ii)不是特別大的數(shù)就是無(wú)窮大。

定義：若在X的某個(gè)極限過(guò)程中，/(X)—+8,則稱/(X)在這

4

個(gè)極限過(guò)程中為正無(wú)窮大量，記為lim/(x)=+00

定義：在X的某個(gè)極限過(guò)程中，/(X)-—8,則稱/(X)在這個(gè)

極限過(guò)程中為正無(wú)窮大量，記為lim/(x)=-8

(2)無(wú)窮小量

定義：在x的某個(gè)極限過(guò)程中，若lim/(x)=O,則稱/(x)在

這個(gè)極限過(guò)程中為無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小。

注意：(i)不能脫離極限過(guò)程談無(wú)窮小。

(ii)不是特別小的數(shù)就是無(wú)窮小。

(iii)無(wú)窮小的性質(zhì)

性質(zhì)1：有限個(gè)無(wú)窮小的和仍是無(wú)窮小。

性質(zhì)2：有限個(gè)無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小。

性質(zhì)3：有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小量。

。1

例3limxsin—=0

xfOX

丘一arctanx八

例4hm----------=0

定理Llim/(x)=A充分必要條件為

lim/(x)=lim(A+a(x)),其中cr(x)為無(wú)窮小量。

(3)無(wú)窮大于無(wú)窮小的關(guān)系

定理2：若/(x)是在某一極限狀態(tài)下的無(wú)窮大量，則為

無(wú)窮小量；若/(x)是在某一極限狀態(tài)下的無(wú)窮小量(/(x)#o)，則

’?為無(wú)窮大量。

/(X)

Y2+3%

例5求極限lim----------

12X-2

解：*/lim———=0

12X+3x

「x2+3x

lim---------=8

12x-2

1.數(shù)列極限的概念

2.函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限

課堂小結(jié)3.函數(shù)在某一點(diǎn)處的極限

4.無(wú)窮大量與無(wú)窮小量

5.無(wú)窮小量的性質(zhì)

課后作業(yè)習(xí)題1.2-5

5

單元名稱第3節(jié)極限的運(yùn)算

教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)利用函數(shù)極限的運(yùn)算法則求函數(shù)的極限、兩個(gè)重要極限及等價(jià)

教學(xué)重點(diǎn)

無(wú)窮小的替換

及難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)：極限運(yùn)算、兩個(gè)重要極限、等價(jià)無(wú)窮的替換

教學(xué)方法啟發(fā)式與互動(dòng)式

教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容（1.精講2.互動(dòng)3.練習(xí)）備注

函數(shù)的極限的概念

%—+8,/(%)—Anlim/(x)=A

X—>4-00

xT-g,/(x)—A=>lim/(x)=A

X—

x—8,/(x)—Anlim/(x)=A

復(fù)習(xí)提問(wèn)%—>8

%,/(x)TAnlimf(x)=A

%7/一，/(x)TAnlim/(x)=A

%一%()-

o，/(x)Anlim/(x)=A

x—>x0

一、極限的四則運(yùn)算法則

定理1：如果lim/(x)=A,limg(x)=B,則

1.lim[/(x)±g(x)]=A±B

2.lim[/(x)?g(x)]=lim/(x).limg(x)=AB

lim(C-f(x))=Climf(x)=CA

(x))=(lim/(%))?=An

3.當(dāng)時(shí)，1面口=電n3=4

g(x)hmg(x)B

二、例題講解

講授新課題型一：直接代入法

丫+]

例1lim(x2-2%+3)例2lim----------

7%，—%+1

例3lim[(2+-)(3-i]

題型二：約零因式

「%2—x—2...J%+1—1

例4lim------------例5l1im------------

x—>2JQ—2X—>01

X—4

例6lim,----=----

7%+5-3

題型三：8—8

6

13112

例7lim(----------------)例8lim(----------------)

XTl-x1-x3^2x-2龍3_8

OO

題型四：一

OO

,,.%3—2/+3..x-1

例91hm—z----石--------例]°lim-......

%*3%+x-4x+l—8%+i

Y3+X

例n

18x—2

三、兩個(gè)重要極限

、「sinx1

I.lim------=I

%一。X

…「sin3%二―1-cos2x

例12hm-------例13hm-------——

X—>0%X—>0

,…「tanx

例14lim------

10x

2.lim(l+-)Y=e

%*X

例15lim(l+—)x例16lim(l-3x戶

%—>8%X—>0

Y—1

例17lim(匕」廣

X―8X+1

四、無(wú)窮小量的比較

若a(x),A(x)是同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小量，且尸(x)rO

貝!](1)lim=d=0,則稱a(x)是以％)的高階無(wú)窮小量，或稱

隊(duì)X)

伙x)是a(x)的低階無(wú)窮小量，記為a(x)=。夕(%)；

(2)lim誓^=C(CwO),則稱a(x)與尸(%)是同階無(wú)窮小量。

隊(duì)X)

(3)=l,則稱。(%)與月(%)是等價(jià)無(wú)窮小量，記為

隊(duì)X)

a(尤)?隊(duì)x)。

定理2：(等價(jià)無(wú)窮小量的替換定理)若。(1),以工)是同一變化過(guò)

程中的無(wú)窮小量，且a(x)?a'(x),隊(duì)X)?則有

「。(九)「a1(x)

lim------=lim--------

B(x)

常用的等價(jià)無(wú)窮小的替換

sinx-xtanx?xarcsinx?x

12

arctanx?11-cosx--xln(l+%)?％

ex-I-x

7

…rersin3%

例18lim------

%-。tan2x

.八「tanx-sinx/舟.1皿、

例19lim------------（替換原則）

%一。sinx

,5-1

tanxsm—

例20lim-----石―

sinx

1.極限的運(yùn)算法則

課堂小結(jié)2.兩個(gè)重要極限

3.等價(jià)無(wú)窮小的替換公式

課后作業(yè)P24-1-⑴、(3)、(4)、(7)、⑻、(15)、(17)、(19)

8

單元名稱第4節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)在某一點(diǎn)處連續(xù)；函數(shù)的增量形式；間斷點(diǎn)的判別

及難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)在某一點(diǎn)處的連續(xù)；間斷點(diǎn)的判別。

教學(xué)方法啟發(fā)式與講授式

教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容(1.精講2.互動(dòng)3.練習(xí))備注

一、函數(shù)在某一點(diǎn)處的連續(xù)

1./(X)在x=/處有定義

2.lim/(x)=lim/(x)

gX—

3.lim/(x)=A=/(x)

%-0

滿足以上三點(diǎn)就可以說(shuō)明函數(shù);'(x)在x=/處連續(xù)

fx+2x>0

例1討論函數(shù)y在x=0的連續(xù)性。

[x-2x<0

二、函數(shù)的左右連續(xù)性

若=/(%)(或lim/(x)=/(x0)),

%—而XTg

則稱函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)殉處左連續(xù)(或右連續(xù))。即

lim_f(x)=lim+/(x)=/(x0)o

X~X~

說(shuō)明：如果函數(shù)/(x)在某一區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱/(尤)在該區(qū)

間上連續(xù)，或者說(shuō)f(x)是該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。

講授新課注：連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)而不間斷的曲線。

關(guān)于函數(shù)的連續(xù)性有下面三點(diǎn)結(jié)論：

(1)基本初等函數(shù)在它們的定義區(qū)間內(nèi)，都是連續(xù)的；

(2)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不能為0)在它的定義區(qū)間

內(nèi)，是連續(xù)函數(shù)；

(3)由連續(xù)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，在它的定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。

三、函數(shù)連續(xù)的增量形式

1、增量的概念

注意:增量A"可正可負(fù)。當(dāng)時(shí)，說(shuō)明變量〃從數(shù)值"1變到數(shù)

值“2是增加的；當(dāng)A"<0時(shí)，說(shuō)明變量"從數(shù)值對(duì)變到數(shù)值"2是減少的。

稱Ay=/(3+Ax)-/(x())為函數(shù)/(X)的增量。

2、函數(shù)連續(xù)性的概念

定義1：若limAy=0,則稱函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)與處連續(xù)，并且稱

AXTO

點(diǎn)卻為函數(shù)y=/(x)的連續(xù)點(diǎn)。

四、函數(shù)的間斷點(diǎn)

如果函數(shù)/(X)在/處不連續(xù)，則/稱為函數(shù)/(X)的一個(gè)間

9

斷點(diǎn)。

間斷點(diǎn)有三種情況：

(1)/(X)在/處沒(méi)有定義；

(2)/(x)在/處沒(méi)有極限；

(3)lim/(x)^/(x0)；

例如y=工在x=0處沒(méi)有定義；

X

Y+1X>0

/(X)='當(dāng)XT0時(shí)沒(méi)有極限.

[X-1,x<0

fsinx八

/(x)=\x當(dāng)iT0時(shí)lim/(x)W/(0)

x->0

[2,x=0

以上三個(gè)都是間斷點(diǎn)的原因。對(duì)于間斷點(diǎn)類型，給出如下分類

第一類間斷點(diǎn)：在％點(diǎn)的左極限與右極限同時(shí)存在

(1)左右極限同時(shí)存在且相等可去間斷點(diǎn)

(2)左右極限同時(shí)存在不相等跳躍間斷點(diǎn)

第二類間斷點(diǎn)：左右極限至少有一個(gè)不存在

無(wú)窮間斷點(diǎn)。振蕩間斷點(diǎn)。

例3：判斷(1)y=-,

X

/、fx+1,x>0

⑵/(%)=:z

[x-1,x<0

fsinx八

------x0

(3)/(x)=x的間斷點(diǎn)是什么類型.

2,x=0

例4：判別/(x)=上^的間斷點(diǎn)及其類型.

X(1一X)

三、.函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的性質(zhì)

于(X)在x0連續(xù)nlim/(g(x))=/(limg(x))

X—?xo

“Iz\i'/x—3

例5：(1)lim----

Vx-9

兀

(2)limInsinx=Insin—=0

-2

2

3

(3)lim(l+2x)sinx

1.函數(shù)在某點(diǎn)的連續(xù)性

課后小結(jié)2.函數(shù)的間斷點(diǎn)

課后作業(yè)習(xí)題1.41、2、3

10

單元名稱第2章第1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念

教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念

及難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念

教學(xué)方法啟發(fā)式與講授式

教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容(1.精講2.互動(dòng)3.練習(xí))備注

一、引例

1.瞬時(shí)速度

設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上作非勻速運(yùn)動(dòng)，時(shí)刻/質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為S,S是/

的函數(shù)：5=/(/),求動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻屯的速度.

考慮比值匕包=幺上空2,這個(gè)比值可認(rèn)為是動(dòng)點(diǎn)在時(shí)間間

t—t。t-t0

隔內(nèi)的平均速度.如果時(shí)間間隔較短，這個(gè)比值在實(shí)踐中也可用來(lái)

說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻的速度.但這樣做是不精確的，更精確地應(yīng)當(dāng)這樣：令

yo,取比值八'I)一。/0°)的極限,如果這個(gè)極限存在，設(shè)為v,即

/⑺一%。)

v=lim，這時(shí)就把這個(gè)極限值v稱為動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻t0的速度.

tf。t-，0

2.切線斜率

引入新課如圖所示，設(shè)曲線c的方程為y=/(x),

〃(/，為)是。上的一點(diǎn)?求曲線。在〃處的切y=f^/

線MT的斜率.LJpr

在點(diǎn)M鄰近取曲線上的另一點(diǎn))

N(x0+Ax,%+Ay),連接M與N的直線MN西一』

稱為曲線c的割線.設(shè)割線MN的傾角為°,其斜率為

癡Idlle(p—-X—-/("&)一—(人).

AxAx

如果當(dāng)N沿曲線趨向M(AXTO)時(shí)，割線繞點(diǎn)M轉(zhuǎn)動(dòng)至一個(gè)

確切的極限位置MT,則就稱為曲線c在點(diǎn)M處的切線.

設(shè)切線的傾角為a,那么其斜率為

,Ay/(x+Ax)-/(x)

k=tana=limtan(p=lim=lim-——0----------------0.

Ax—>0>0>0\y

兩個(gè)問(wèn)題背景不同，但是它們的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)卻是相同，都是求函數(shù)的

增量與自變量增量之比，當(dāng)自變量增量趨近于零時(shí)函數(shù)的極限.

11

一、導(dǎo)數(shù)的定義

定義1設(shè)函數(shù)y=/(x)在。(％0)內(nèi)有定義，當(dāng)自變量尤在點(diǎn)與

處產(chǎn)生改變量Ax(Ax/O,且Xo+AxeU(x(j))時(shí)，函數(shù)y產(chǎn)生相

應(yīng)的改變量為Ay=/(x0+Ax)-/(x0).

x

如果極限lim=lim/(o+Ax)-/(xo)

-Ax-Ax

存在，則稱函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)與處可導(dǎo)，并稱此極限為函數(shù)y=/(x)

在點(diǎn)入。處的導(dǎo)數(shù)，記為了‘(X。)或n/，乎I』?；蛴?/p>

axax

二、導(dǎo)數(shù)定義的幾點(diǎn)說(shuō)明

說(shuō)明一：可導(dǎo)與不可導(dǎo)

如果lim包存在，則稱y=/(x)在/處可導(dǎo).

垓70Ax

如果lim包不存在，則稱y=/(x)在/處不可導(dǎo).

。Ax

如果lim.=8存在，則稱y=/(X)在x0處為無(wú)窮大.

Ax―>0

說(shuō)明二：導(dǎo)函數(shù)

如果函數(shù)/(%)在(a,。)內(nèi)每一點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)，則稱函數(shù)/(X)在區(qū)

間(a,。)的導(dǎo)函數(shù).

區(qū)別：是一個(gè)常數(shù)聯(lián)系：

講授新課r(x°)/'(%0)=/,(%)uo

f'(x)是一個(gè)函數(shù)

說(shuō)明三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)f(x)在點(diǎn)與處的導(dǎo)數(shù)r(/)就是函數(shù)所表示的曲線在點(diǎn)

(無(wú)o，y0)處切線的斜率.k=f'(x0)

切線方程y—/(Xo)=r(x°)(x—X。)

法線方程y—/(%)=——I(x—xo)

f(/)

導(dǎo)數(shù)((%)反映出曲線y=/(x)在點(diǎn)P(x0,九)處的傾斜程度：曲

線越陡，導(dǎo)數(shù)越大.

三、左、右導(dǎo)數(shù)

類比于左右極限的概念，我們按以下方式引入左右導(dǎo)數(shù).

定義3如果極限

lim/("Ax)-/(X。)(或Um/—/(%))

Ar-?O-A%Ar->0+A%

存在，則稱此極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)/處的左導(dǎo)數(shù)(或右導(dǎo)數(shù))，記

為￡(%)(或￡(%).

定理1(導(dǎo)數(shù)存在定理)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)％處可導(dǎo)的充分必要條

件是：函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)/處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等.

即/(%)=AC￡(X())=￡(XO)=A.

12

x,x>0,

例1絕對(duì)值函數(shù)y=|x|=<0,x=0,在x=0是否可導(dǎo)？

-x,x<0,

解￡(0)=lim八。+&)9=lim±j

-—Ax——Ax

/r(0)=lim,他與3=lim/=L

Ax—0+A%

由于￡(0)。￡(0)，所以函數(shù)y二|x|在x=0不可導(dǎo).

四、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

為了應(yīng)用方便，把常用初等舀總數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式歸納如下

(1)(c)'=O；(2)(九")'=管"-1；

(3)(a*)'=a*Ino；(4)(ex/=ex；

(5)(logx)=；(6)(Inx)z=—；

axlnaX

(7)(sinx)"=cosx；(8)(cosx)，=-sinx；

(9)(tan=sec2x；(10)(cotx)z=-csc2%；

(11)(secx)z=secx-tanx；(12)(escx)z=-CSCx-cotx；

(13)(arcsinxY=/1；(14)(arccosx)'=——11；

7i-%2yl—x2

(15)(arctan%)'=-r；(16)(CLYCcotx)-------.

1+X1+X

五、函數(shù)四則運(yùn)算求導(dǎo)法則

1.(w(x)±v(x))*=w*(x)±V,(x)

2.(u(x)-v(x))!=u'(x)v(x)T-"(%)/(%)

3.(CM(X))'=CU'(x)

/(M(九)\w*(x)v(x)-

4.-----二-----------------

(y(x)Jv2(x)

定理2如果函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)X=Xo處可導(dǎo)，則函數(shù)/(X)在點(diǎn)

%二%0處必連續(xù).則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù).

另一方面，一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)去[1不一定在該點(diǎn)處可導(dǎo).

1.導(dǎo)數(shù)的概念

課堂小結(jié)2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

3.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

課后作業(yè)

(1)y=2x2+ln2；⑵y二=—+sinx+Vx；

13

單元名稱第2節(jié)求導(dǎo)法則

教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、隱函數(shù)求導(dǎo)、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法、高階導(dǎo)數(shù)

教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)；

及難點(diǎn)利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；

利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

教學(xué)方法講授式

教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容(1.精講2.互動(dòng)3.練習(xí))備注

1.導(dǎo)數(shù)的表示方法

復(fù)習(xí)提問(wèn)2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算

一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：設(shè)〃=夕(尤)在x可導(dǎo)，函數(shù)y=/(")在相應(yīng)的

點(diǎn)"可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=八夕(x)]在x處也可導(dǎo)，且

(/取切)'=/'Q)?9'(幻或字=字當(dāng)。

說(shuō)明：應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，首先要分析由哪些函數(shù)復(fù)合而成，如

果所給函數(shù)能分解成比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，而這些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)易求，那么應(yīng)

用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則就可以求出所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

注意：區(qū)別復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)與函數(shù)乘積的求導(dǎo)。

例1設(shè)y=Insinx,求y'。

例2設(shè)>=5]!132%,求y'。

二、隱函數(shù)求導(dǎo)法

1.顯函數(shù)：可以完全把x與y分離出來(lái)

隱函數(shù)：不可以完成把與分離出來(lái)

講授新課2.xy

有些隱函數(shù)可以變換為顯函數(shù)，例如2x+2y-5=0,可化為

y=-x+g；但有些隱函數(shù)則很難化為顯函數(shù)，如sin(x+y)=e1。

說(shuō)明：要想直接計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，需要找出隱函數(shù)求導(dǎo)的方法。

下面就講解隱患函數(shù)的求導(dǎo)法則。

3、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

通過(guò)以上學(xué)生們對(duì)顯函數(shù)及隱函數(shù)定義的學(xué)習(xí)，對(duì)它們的形式已經(jīng)

基本上掌握了，但是要想計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，還是需要找出隱函數(shù)的求

導(dǎo)法則。如下：

求方程F(x,y)=0確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y',只要將方程中的y看

作是X的函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，在方程兩邊同時(shí)對(duì)X求導(dǎo)，

就可得到一個(gè)關(guān)于y的方程，然后從中解出V即可。

例3求由方程孫=ln(x+y)所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y'=

例4求由方程/+2>7_3/=0所確定的隱函數(shù)在x=0處的導(dǎo)

14

數(shù)4=0。

三、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法(乘塞、連乘、帶根號(hào))

這種方法是先在y=f(x)的兩邊取對(duì)數(shù)，然后再求出y的導(dǎo)數(shù).

設(shè)y=/(x),兩邊取對(duì)數(shù)，得lny=ln/(x).

兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得|y=[ln/(x)]z,整理得

y=[ln/(x)]7(x).

對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用于求塞指函數(shù)y=[w(x)]v(x)的導(dǎo)數(shù)及多個(gè)因子之積、商

的導(dǎo)數(shù).

例5求y=(x>0)的導(dǎo)數(shù).

解兩邊取對(duì)數(shù)，得lny=x,lnx,

兩邊對(duì)無(wú)求導(dǎo)，得4y'=l+lnx,

y

于是，y'=y(l+Inx)=xx(l+lnx).

四、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).

若函數(shù)%=/(>)在區(qū)間4內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且r(y)w0,則它的反函

數(shù)y=/7(％)在區(qū)間Ix={x\x=f(y\yeIy}內(nèi)也可導(dǎo)，且

=或/=

f(y)dxax

dy

例6求函數(shù)y-arcsinx的導(dǎo)數(shù).

解,.,4=51”在/),二(一多3內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且(siny)'=cosy>0,

.??在對(duì)應(yīng)區(qū)間，=(-1,1)內(nèi)有

(2=上一=11=4.

(siny)cosyJi—sin2yVl-x2

]

(arccosx)一E’