高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))8.3直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(精講)(原卷版+解析)

8.3直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【題型解讀】【知識(shí)必備】1．直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)Δ<0Δ＝0Δ>0幾何觀點(diǎn)d>rd＝rd<r2.圓與圓的位置關(guān)系(⊙O1，⊙O2的半徑分別為r1，r2，d＝|O1O2|)圖形量的關(guān)系外離d>r1＋r2外切d＝r1＋r2相交|r1－r2|<d<r1＋r2內(nèi)切d＝|r1－r2|內(nèi)含d<|r1－r2|3.直線被圓截得的弦長(zhǎng)(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長(zhǎng)|AB|的一半構(gòu)成直角三角形，弦長(zhǎng)|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：設(shè)直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點(diǎn)M，N，代入，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，則|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xM＋xN2－4xMxN).常用結(jié)論1．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓相交時(shí)，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到．(2)兩個(gè)圓系方程①過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圓C2，所以注意檢驗(yàn)C2是否滿足題意，以防丟解)．【題型精講】【題型一直線與圓位置關(guān)系判斷】必備技巧判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．例1(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0的位置關(guān)系為()A．相交、相切或相離B．相交或相切C．相交D．相切【跟蹤精練】1.(2023·青島高三月考）已知直線，圓，則直線與圓的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切C．相離 D．無法確定2.(多選)(2023·深圳模擬)設(shè)直線l：y＝kx＋1(k∈R)與圓C：x2＋y2＝5，則下列結(jié)論正確的為()A．l與C可能相離B．l不可能將C的周長(zhǎng)平分C．當(dāng)k＝1時(shí)，l被C截得的弦長(zhǎng)為eq\f(3\r(2),2)D．l被C截得的最短弦長(zhǎng)為4【題型二弦長(zhǎng)和面積問題】必備技巧弦長(zhǎng)的兩種求法(1)代數(shù)法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)．(2)幾何法：若弦心距為d，圓的半徑長(zhǎng)為r，則弦長(zhǎng)l＝2eq\r(r2－d2).例2(2023·青島高三模擬）已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則k＝（

）A． B． C． D．例3(2023·山東日照高三模擬）（多選）已知圓的圓心在直線上，且與相切于點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條互相垂直的弦AE、BF．則下列結(jié)論正確的是(

)A．圓的方程為：B．弦AE的長(zhǎng)度的最大值為C．四邊形ABEF面積的最大值為D．該線段AE、BF的中點(diǎn)分別為M、N，直線MN恒過定點(diǎn)【跟蹤精練】1.設(shè)圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2eq\r(3)，則直線l的方程為()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝02.(2023·全國(guó)高三模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)的直線l與圓相交于M，N兩點(diǎn)，若，則直線l的斜率為__________.【題型三切線及切線長(zhǎng)問題】方法技巧當(dāng)切線方程斜率存在時(shí)，圓的切線方程的求法(1)幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進(jìn)而求出k.(2)代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進(jìn)而求得k.注意驗(yàn)證斜率不存在的情況．例4(2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知圓O：則，過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為___________.例5(2023·廣東深圳市·高三二模）已知直線l：x＋ay－1＝0是圓C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的對(duì)稱軸，過點(diǎn)A(－1，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|等于()A．1B．2C．4D．8【題型精練】1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）由直線y＝x＋1上的一點(diǎn)向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為________．2.（多選題）(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線，過直線上任意一點(diǎn)M作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則有（

）A．四邊形MACB面積的最小值為 B．最大度數(shù)為60°C．直線AB過定點(diǎn) D．的最小值為【題型四圓與圓的位置關(guān)系】例6(2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）若圓C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4與圓C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) D．(3,4)例7(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓與圓的公共弦所在直線恒過點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【題型精練】1.已知圓與圓相交于點(diǎn)，，則四邊形的面積是（

）A．1 B．2 C．3 D．42.(2023·山東青島高三月考）已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值時(shí)兩圓外切？(2)當(dāng)m＝45時(shí)兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng)．8.3直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【題型解讀】【知識(shí)必備】1．直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)Δ<0Δ＝0Δ>0幾何觀點(diǎn)d>rd＝rd<r2.圓與圓的位置關(guān)系(⊙O1，⊙O2的半徑分別為r1，r2，d＝|O1O2|)圖形量的關(guān)系外離d>r1＋r2外切d＝r1＋r2相交|r1－r2|<d<r1＋r2內(nèi)切d＝|r1－r2|內(nèi)含d<|r1－r2|3.直線被圓截得的弦長(zhǎng)(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長(zhǎng)|AB|的一半構(gòu)成直角三角形，弦長(zhǎng)|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：設(shè)直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點(diǎn)M，N，代入，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，則|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xM＋xN2－4xMxN).常用結(jié)論1．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓相交時(shí)，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到．(2)兩個(gè)圓系方程①過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圓C2，所以注意檢驗(yàn)C2是否滿足題意，以防丟解)．【題型精講】【題型一直線與圓位置關(guān)系判斷】必備技巧判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．例1(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0的位置關(guān)系為()A．相交、相切或相離B．相交或相切C．相交D．相切答案：C【解析】方法一直線kx－y＋2－k＝0的方程可化為k(x－1)－(y－2)＝0，該直線恒過定點(diǎn)(1,2)．因?yàn)?2＋22－2×1－8<0，所以點(diǎn)(1,2)在圓x2＋y2－2x－8＝0的內(nèi)部，所以直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0相交．方法二圓的方程可化為(x－1)2＋y2＝32，所以圓的圓心為(1,0)，半徑為3.圓心到直線kx－y＋2－k＝0的距離為eq\f(|k＋2－k|,\r(1＋k2))＝eq\f(2,\r(1＋k2))≤2<3，所以直線與圓相交．【跟蹤精練】1.(2023·青島高三月考）已知直線，圓，則直線與圓的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切C．相離 D．無法確定答案：A【解析】由圓，可得圓心，半徑，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以直線與圓相交，故選：A.2.(多選)(2023·深圳模擬)設(shè)直線l：y＝kx＋1(k∈R)與圓C：x2＋y2＝5，則下列結(jié)論正確的為()A．l與C可能相離B．l不可能將C的周長(zhǎng)平分C．當(dāng)k＝1時(shí)，l被C截得的弦長(zhǎng)為eq\f(3\r(2),2)D．l被C截得的最短弦長(zhǎng)為4答案：BD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，直線l過定點(diǎn)(0,1)，且點(diǎn)(0,1)在圓C內(nèi)，則直線l與圓C必相交，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若直線l將圓C的周長(zhǎng)平分，則直線l過原點(diǎn)，此時(shí)直線l的斜率不存在，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)k＝1時(shí)，直線l的方程為x－y＋1＝0，圓心C到直線l的距離為d＝eq\f(\r(2),2)，所以直線l被C截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝3eq\r(2)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，圓心C到直線l的距離為d＝eq\f(1,\r(k2＋1))≤1，所以直線l被C截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(5－d2)≥4，D選項(xiàng)正確．【題型二弦長(zhǎng)和面積問題】必備技巧弦長(zhǎng)的兩種求法(1)代數(shù)法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)．(2)幾何法：若弦心距為d，圓的半徑長(zhǎng)為r，則弦長(zhǎng)l＝2eq\r(r2－d2).例2(2023·青島高三模擬）已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則k＝（

）A． B． C． D．答案：B【解析】圓的圓心，所以圓心到直線的距離為，則，而，所以，解得：.故選：B.例3(2023·山東日照高三模擬）（多選）已知圓的圓心在直線上，且與相切于點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條互相垂直的弦AE、BF．則下列結(jié)論正確的是(

)A．圓的方程為：B．弦AE的長(zhǎng)度的最大值為C．四邊形ABEF面積的最大值為D．該線段AE、BF的中點(diǎn)分別為M、N，直線MN恒過定點(diǎn)答案：AD【解析】設(shè)圓心為C，圓的半徑為r，由題可知，，∴圓的方程為：，故A正確；當(dāng)AE過圓心C時(shí)，AE長(zhǎng)度最長(zhǎng)為圓的直徑4，故B錯(cuò)誤；如圖，線段AE、BF的中點(diǎn)分別為M、N，設(shè)，則，，，，∴時(shí)，四邊形ABEF面積有最大值，故C錯(cuò)誤；∵四邊形MDNC為矩形，則MN與CD互相平分，即MN過CD中點(diǎn)()，故D正確.故選：AD.【跟蹤精練】1.設(shè)圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2eq\r(3)，則直線l的方程為()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0答案：B【解析】當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l的方程為x＝0時(shí)，弦長(zhǎng)為2eq\r(3)，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋3，由弦長(zhǎng)為2eq\r(3)，半徑為2可知，圓心到該直線的距離為1，從而有eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(3,4)，綜上，直線l的方程為x＝0或3x＋4y－12＝0.2.(2023·全國(guó)高三模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)的直線l與圓相交于M，N兩點(diǎn)，若，則直線l的斜率為__________.答案：【解析】由題意得，直線的斜率存在，設(shè)，，直線MN的方程為，與聯(lián)立，得，，得，，.因?yàn)?，所以，則，于是，（由點(diǎn)A及C在y軸上可判斷出，同號(hào)）所以，兩式消去，得，滿足，所以.故答案為：【題型三切線及切線長(zhǎng)問題】方法技巧當(dāng)切線方程斜率存在時(shí)，圓的切線方程的求法(1)幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進(jìn)而求出k.(2)代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進(jìn)而求得k.注意驗(yàn)證斜率不存在的情況．例4(2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知圓O：則，過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為___________.答案：或.【解析】由題意：當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，方程為：，滿足與圓相切，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為：，則：，解得，此時(shí)切線方程為：，即，故答案為：或例5(2023·廣東深圳市·高三二模）已知直線l：x＋ay－1＝0是圓C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的對(duì)稱軸，過點(diǎn)A(－1，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|等于()A．1B．2C．4D．8答案：C【解析】已知直線l：x＋ay－1＝0是圓C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的對(duì)稱軸，圓心C(3,1)，半徑r＝3，所以直線l過圓心C(3,1)，故3＋a－1＝0，故a＝－2，所以點(diǎn)A(－1，－2)，|AC|＝eq\r(3＋12＋1＋22)＝5，|AB|＝eq\r(52－32)＝4.【題型精練】1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）由直線y＝x＋1上的一點(diǎn)向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為________．答案：eq\r(7)【解析】設(shè)直線上一點(diǎn)P，切點(diǎn)為Q，圓心為M，M的坐標(biāo)為(3,0)，則|PQ|即為切線長(zhǎng)，|MQ|為圓M的半徑，長(zhǎng)度為1，|PQ|＝eq\r(|PM|2－|MQ|2)＝eq\r(|PM|2－1)，要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此題轉(zhuǎn)化為求直線y＝x＋1上的點(diǎn)到圓心M的最小距離．設(shè)圓心到直線y＝x＋1的距離為d，則d＝eq\f(|3－0＋1|,\r(12＋－12))＝2eq\r(2)，∴|PM|的最小值為2eq\r(2)，此時(shí)|PQ|＝eq\r(|PM|2－1)＝eq\r(2\r(2)2－1)＝eq\r(7).2.（多選題）(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線，過直線上任意一點(diǎn)M作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則有（

）A．四邊形MACB面積的最小值為 B．最大度數(shù)為60°C．直線AB過定點(diǎn) D．的最小值為答案：AD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可知，當(dāng)時(shí)，有最小值，即，此時(shí)，所以四邊形MACB面積的最小值為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，此時(shí)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，，，則，易知在點(diǎn)A、B處的切線方程分別為，，將點(diǎn)分別代入兩切線方程得，，所以直線方程為，整理得，代入，得，解方程組得所以直線AB過定點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)直線AB所過定點(diǎn)為P，則，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最小，此時(shí)，則的最小值為，故選項(xiàng)D正確，故選：AD.【題型四圓與圓的位置關(guān)系】例6(2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）若圓C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4與圓C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) D．(3,4)答案：A【解析】|C1C2|＝eq\r(9＋a＋12)，因