高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))4.2三角函數(shù)恒等變換(精講)(原卷版+解析)

4.2三角函數(shù)恒等變換【題型解讀】【知識(shí)必備】1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(T(α＋β))tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(T(α－β))2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα(S2α)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)(T2α)3．公式的變形和逆用在準(zhǔn)確熟練地記住公式的基礎(chǔ)上，要靈活運(yùn)用公式解決問(wèn)題：如公式的正用、逆用和變形用等．常見(jiàn)變形如下：降冪公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，升冪公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).正切和差公式變形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)＝eq\f(tanα－tanβ,tanα－β)－1.配方變形：1＋sinα＝(sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2))2，1－sinα＝(sineq\f(α,2)－coseq\f(α,2))2.4．輔助角公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).【題型精講】【題型一兩角和與差公式】必備技巧兩角和差公式常見(jiàn)題型及解法(1)兩特殊角和差的題型，利用兩角和差公式直接展開(kāi)求解．(2)含有常數(shù)的式子，先將系數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值，再利用兩角和差公式求解．(3)求非特殊角的三角函數(shù)值，把非特殊角轉(zhuǎn)化為兩個(gè)特殊角的和差，然后利用兩角和差公式求解．例1（1）(2023·四川省岳池中學(xué)）（

）A． B． C． D．（2）(2023·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）（

）A． B． C． D．（3）(2023·四川涼山·高三期中）_________．（4）(2023·山西應(yīng)縣一中高三期中）的值為（）A． B． C． D．例2(2023·江西省銅鼓中學(xué)高三期末）已知，，則的值為（）A． B． C． D．例3(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，且，，則（

）A． B． C． D．【跟蹤精練】1．(2023·安徽蚌埠·高三期末）求值：（）A． B． C． D．2.(2023·甘肅）_______.3．(2023·江蘇·華羅庚中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，，均為銳角，則（

）A． B． C． D．【題型二二倍角公式】必備技巧二倍角公式的應(yīng)用(1)直接正用、逆用二倍角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對(duì)已知式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，一般可以化為特殊角．(2)若形式為幾個(gè)非特殊角的三角函數(shù)式相乘，則一般逆用二倍角的正弦公式，在求解過(guò)程中，需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用二倍角公式的條件，使得問(wèn)題出現(xiàn)可以連用二倍角的正弦公式的形式．例4(2023·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）（多選）下列三角式中，值為1的是（）A． B．C． D．例5(2023·全國(guó)高三二模）已知，則【跟蹤精練】1．(2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）若，，則（

）A． B． C． D．2.(2023·合肥市第八中學(xué)高三）已知，則的值是（）A． B． C． D．【題型三輔助角公式的應(yīng)用】例6(2023·全國(guó)·高三課時(shí)練習(xí)）將下列各式化成的形式(1)；(2)；(3)；(4).【跟蹤精練】1.(2023·江西九江·三模）已知，則（

）A． B． C． D．【題型四給值求值】方法技巧給值求值的解題策略(1)已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系，即拆角與湊角．(2)由于和、差角與單角是相對(duì)的，因此解題過(guò)程中根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換．常見(jiàn)角的變換有：①α＝(α－β)＋β；②α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．例7（1）(2023·商丘市第一高級(jí)中學(xué)高三期末）已知，，則（）A． B．3 C．13 D．（2）(2023·湖南婁星·婁底一中高三期末）已知為銳角，且，則（）A． B． C． D．（3）(2023·河南林州一中高三月考）若，，，，則（）A． B． C． D．【題型精練】1．(2023·江西省銅鼓中學(xué)高三期末）已知，，則的值為（）A． B． C． D．2．(2023·阜新市第二高級(jí)中學(xué)高三期末）已知，則__________．3.(2023·四川眉山市·仁壽一中高三開(kāi)學(xué)考試）已知，.（1）求；（2）已知，.求.【題型五給值求角】方法技巧已知三角函數(shù)值求角的解題步驟(1)界定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍．(2)求所求角的某種三角函數(shù)值．為防止增解最好選取在范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù)．(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角．提醒：由三角函數(shù)值求角時(shí)，易忽視角的范圍，而得到錯(cuò)誤答案．例8(2023·遼寧沈陽(yáng)·高三期中）已知為銳角，為鈍角且，，則的值為（）A． B． C． D．例9(2023·湖北東西湖·華中師大一附中高三月考）若，，，，則角的值為（）A． B． C． D．【題型精練】1．(2023·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）已知，其中，求角的值.2．(2023·江蘇南師大二附中高三月考）已知，均為銳角，且，．（1）求的值；（2）求的值．【題型六恒等變換】方法技巧三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的常用方法：（1）異角化同角：善于發(fā)現(xiàn)角之間的差別與聯(lián)系，合理對(duì)角拆分，恰當(dāng)選擇三角公式，能求值的求出值，減少角的個(gè)數(shù)；（2）異名化同名：統(tǒng)一三角函數(shù)名稱(chēng)，利用誘導(dǎo)公式切弦互化、二倍角公式等實(shí)現(xiàn)名稱(chēng)的統(tǒng)一；（3）異次化同次：統(tǒng)一三角函數(shù)的次數(shù)，一般利用降冪公式化高次為低次例10（1）(2023·安徽相山·淮北一中月考）（）A．1 B． C． D．（2）(2023·山西應(yīng)縣一中高三期中）的值為（）A．1 B．2 C．1 D．2【題型精練】1．(2023·福建高三期末）__________.2．(2023·全國(guó)專(zhuān)題練習(xí)）_______.4.2三角函數(shù)恒等變換【題型解讀】【知識(shí)必備】1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(T(α＋β))tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(T(α－β))2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα(S2α)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)(T2α)3．公式的變形和逆用在準(zhǔn)確熟練地記住公式的基礎(chǔ)上，要靈活運(yùn)用公式解決問(wèn)題：如公式的正用、逆用和變形用等．常見(jiàn)變形如下：降冪公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，升冪公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).正切和差公式變形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)＝eq\f(tanα－tanβ,tanα－β)－1.配方變形：1＋sinα＝(sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2))2，1－sinα＝(sineq\f(α,2)－coseq\f(α,2))2.4．輔助角公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).【題型精講】【題型一兩角和與差公式】必備技巧兩角和差公式常見(jiàn)題型及解法(1)兩特殊角和差的題型，利用兩角和差公式直接展開(kāi)求解．(2)含有常數(shù)的式子，先將系數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值，再利用兩角和差公式求解．(3)求非特殊角的三角函數(shù)值，把非特殊角轉(zhuǎn)化為兩個(gè)特殊角的和差，然后利用兩角和差公式求解．例1（1）(2023·四川省岳池中學(xué)）（

）A． B． C． D．答案：A【解析】故選：A（2）(2023·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）（

）A． B． C． D．答案：C【解析】，由兩角和的正弦公式，可知故答案為：C（3）(2023·四川涼山·高三期中）_________．答案：【解析】由題意得：由兩角和的正切公式，可令，可得故答案為：（4）(2023·山西應(yīng)縣一中高三期中）的值為（）A． B． C． D．答案：A【解析】由題意，得，故選A.例2(2023·江西省銅鼓中學(xué)高三期末）已知，，則的值為（）A． B． C． D．答案：B【解析】由，，.故選：B例3(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，且，，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】且，，.又，，.當(dāng)時(shí)，，，，不合題意，舍去；當(dāng)，同理可求得，符合題意.綜上所述：.故選：.【跟蹤精練】1．(2023·安徽蚌埠·高三期末）求值：（）A． B． C． D．答案：C【解析】解：，故選：C.2.(2023·甘肅）_______.答案：【解析】由題，，，故原式可化為，故答案為：3．(2023·江蘇·華羅庚中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，，均為銳角，則（

）A． B． C． D．答案：C【詳解】均為銳角，即，，，又，，又，.故選：C.【題型二二倍角公式】必備技巧二倍角公式的應(yīng)用(1)直接正用、逆用二倍角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對(duì)已知式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，一般可以化為特殊角．(2)若形式為幾個(gè)非特殊角的三角函數(shù)式相乘，則一般逆用二倍角的正弦公式，在求解過(guò)程中，需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用二倍角公式的條件，使得問(wèn)題出現(xiàn)可以連用二倍角的正弦公式的形式．例4(2023·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）（多選）下列三角式中，值為1的是（）A． B．C． D．答案：ABC【解析】A選項(xiàng),，故正確.B選項(xiàng)，，故正確.C選項(xiàng)，，故正確.D選項(xiàng)，，故錯(cuò)誤故選：ABC例5(2023·全國(guó)高三二模）已知，則答案：【解析】.【跟蹤精練】1．(2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）若，，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因?yàn)?，，所以，所?故選：D2.(2023·合肥市第八中學(xué)高三）已知，則的值是（）A． B． C． D．答案：A【解析】令，則，，故，故選：A.【題型三輔助角公式的應(yīng)用】例6(2023·全國(guó)·高三課時(shí)練習(xí)）將下列各式化成的形式(1)；(2)；(3)；(4).【解析】(1)；(2)；(3)；(4)【跟蹤精練】1.(2023·江西九江·三模）已知，則（

）A． B． C． D．答案：B【解析】，即，故選：B【題型四給值求值】方法技巧給值求值的解題策略(1)已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系，即拆角與湊角．(2)由于和、差角與單角是相對(duì)的，因此解題過(guò)程中根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換．常見(jiàn)角的變換有：①α＝(α－β)＋β；②α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．例7（1）(2023·商丘市第一高級(jí)中學(xué)高三期末）已知，，則（）A． B．3 C．13 D．（2）(2023·湖南婁星·婁底一中高三期末）已知為銳角，且，則（）A． B． C． D．（3）(2023·河南林州一中高三月考）若，，，，則（）A． B． C． D．答案：（1）D（2）B（3）D【解析】（1），，，，.故選：D（2）∵cos（α）（α為銳角），∴α為銳角，∴sin（α），∴sinα＝sin[（α）]＝sin（α）coscos（α）sin，故選B．（3），，則，，，，因此，.故選：D.【題型精練】1．(2023·江西省銅鼓中學(xué)高三期末）已知，，則的值為（）A． B． C． D．答案：B【解析】由，，.故選：B2．(2023·阜新市第二高級(jí)中學(xué)高三期末）已知，則__________．答案：【解析】∵，∴,∴．又，∴．∴．答案：3.(2023·四川眉山市·仁壽一中高三開(kāi)學(xué)考試）已知，.（1）求；（2）已知，.求.答案：（1）；（2）.【解析】（1），，（2），【題型五給值求角】方法技巧已知三角函數(shù)值求角的解題步驟(1)界定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍．(2)求所求角的某種三角函數(shù)值．為防止增解最好選取在范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù)．(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角．提醒：由三角函數(shù)值求角時(shí)，易忽視角的范圍，而得到錯(cuò)誤答案．例8(2023·遼寧沈陽(yáng)·高三期中）已知為銳角，為鈍角且，，則的值為（）A