高考數(shù)學大一輪復習精講精練(新高考地區(qū))8.6雙曲線方程及其性質(zhì)(精練)(原卷版+解析)

8.6雙曲線方程及其性質(zhì)【題型解讀】【題型一雙曲線的定義及應(yīng)用】1.(2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的一條漸近線方程為，、分別是雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上一點，若，則（）A． B．或 C．或 D．2.(2023·福建高三期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，右焦點為，點在雙曲線左支上運動，點在圓上運動，則的最小值為（）A．6 B．7 C．8 D．93.(2023·全國·高三專題練習）若點P是雙曲線上一點，，分別為的左、右焦點，則“”是“”的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4.(2023·河南高三高三模擬）已知，是雙曲線的左右焦點，過的直線與曲線的右支交于兩點，則的周長的最小值為（）A． B． C． D．5.(2023·全國·高三專題練習）（多選題）已知曲線：，則下列說法正確的是（

）A．若曲線表示雙曲線，則B．若曲線表示橢圓，則且C．若曲線表示焦點在軸上的雙曲線且離心率為，則D．若曲線與橢圓有公共焦點，則6.(2023·深圳模擬)在平面直角坐標系中，一動圓與軸切于點，分別過點、作圓的切線并交于點（點不在軸上），則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【題型二焦點三角形問題】1.(2023·青島高三模擬）已知，分別是雙曲線的左?右焦點，若P是雙曲線左支上的點，且.則的面積為（）A．8 B． C．16 D．2.(2023·山東日照高三模擬）已知雙曲線（，）的左、右焦點分別是、，且，若P是該雙曲線右支上一點，且滿足，則面積的最大值是（）A． B．1 C． D．3．(2023·武功縣普集高級中學期末）已知雙曲線：的左?右焦點分別為,，點，分別為漸近線和雙曲線左支上的動點，當取得最小值時，面積為___________.4．(2023·全國高三模擬）已知雙曲線的左右焦點為，，點為雙曲線上任意一點，則的最小值為A．1 B． C．2 D．3【題型三雙曲線的標準方程】1.(2023·全國高三專題練習）已知雙曲線的一個焦點為，漸近線方程為，則該雙曲線的標準方程為（）A． B．C． D．2.(2023·全國高三專題練習）已知，是雙曲線的兩個焦點，過的直線與圓切于點，且與雙曲線右支交于點，是線段的中點，若，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．3．(2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且它們的離心率不相同，則下列方程中有可能為雙曲線的標準方程的是（）A． B． C． D．4.(2023·全國·模擬預(yù)測）已知焦點在軸上的雙曲線，其漸近線方程為，焦距為，則該雙曲線的標準方程為．5.(2023·山西太原五中高三期末）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：（1）焦點在x軸上，實軸長為2，其離心率；（2）漸近線方程為，經(jīng)過點．（3）雙曲線E：離心率為，且點在雙曲線上，求的方程；（4）雙曲線實軸長為2，且雙曲線與橢圓的焦點相同，求雙曲線的標準方程．【題型四雙曲線的幾何性質(zhì)】1.(2023·湖北模擬）已知雙曲線的左、右焦點分別為，P為雙由線C上的一點，若線段與y軸的交點M恰好是線段的中點，，其中，O為坐標原點，則雙曲線C的漸近線的方程是（）A． B． C． D．2.(2023·江蘇省前黃高級中學高三月考）已知雙曲線C：的左右焦點分別為，，點在軸上，為等邊三角形，且線段的中點恰在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為（）A． B．2 C． D．3.(2023·濱州模擬)已知O是坐標原點，F(xiàn)是雙曲線的右焦點，過雙曲線C的右頂點且垂直于x軸的直線與雙曲線C的一條漸近線交于A點，若以F為圓心的圓經(jīng)過點A，O，則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C． D．4.(2023·德陽三模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線的右支交于，兩點，點在線段上，且，，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．5.(2023·江西·高三開學考試）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，點M在雙曲線C上，點I為的內(nèi)心，且，，則雙曲線C的離心率為（）A． B．2 C．3 D．6.(2023·威海模擬)已知雙曲線的左?右焦點分別為，若線段上存在點，使得線段與的一條漸近線的交點滿足：，則的離心率的取值范圍是___________.7.(2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的左?右焦點分別為，為雙曲線右支上的一點，若在以為直徑的圓上，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【題型五直線與雙曲線的位置關(guān)系】1.(2023·湖北模擬）直線與雙曲線：有且僅有一個公共點，那么值共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2.(2023·江蘇省前黃高級中學高三月考）若直線與曲線交于不同的兩點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3.(2023·德陽三模）若過點的直線與雙曲線:的右支相交于不同兩點，則直線斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．4.(2023·江西·高三開學考試）已知直線與雙曲線有且只有一個公共點，則C的離心率等于________．【題型六弦長與中點弦】1.(2023·湖北模擬）已知雙曲線，過點的直線l與雙曲線C交于M?N兩點，若P為線段MN的中點，則弦長|MN|等于（

）A． B． C． D．2.(2023·江蘇省前黃高級中學高三月考）過雙曲線：（，）的焦點且斜率不為0的直線交于A，兩點，為中點，若，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．3.(2023·德陽三模）已知雙曲線的離心率為，直線與交于兩點，為線段的中點，為坐標原點，則與的斜率的乘積為（

）A． B． C． D．4.(2023·江西·高三開學考試）雙曲線：被斜率為的直線截得的弦的中點為則雙曲線的離心率為______.【題型七雙曲線的綜合應(yīng)用】1.(2023·湖北模擬）已知雙曲線過點，且該雙曲線的虛軸端點與兩頂點的張角為．（1）求雙曲線的方程；（2）過點的直線與雙曲線左支相交于點，直線與軸相交于兩點，求的取值范圍．2.(2023·德陽三模）已知雙曲線C：（）的左?右焦點分別為，，，過焦點，且斜率為的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，且滿足.（1）求C的方程；（2）過點且斜率不為0的直線交C于M，N兩點，且，求直線的方程.8.6雙曲線方程及其性質(zhì)【題型解讀】【題型一雙曲線的定義及應(yīng)用】1.(2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的一條漸近線方程為，、分別是雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上一點，若，則（）A． B．或 C．或 D．答案：D【解析】由題意知，所以，所以，所以，所以點在雙曲線的左支上，所以，所以，故選：D.2.(2023·福建高三期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，右焦點為，點在雙曲線左支上運動，點在圓上運動，則的最小值為（）A．6 B．7 C．8 D．9答案：C【解析】由雙曲線方程，得，所以漸近線方程為比較方程，得所以雙曲線方程為，點記雙曲線的左焦點為，且點在雙曲線左支上，所以所以由兩點之間線段最短，得最小為因為點在圓上運動所以最小為點到圓心的距離減去半徑1所以所以的最小值為8故選：C3.(2023·全國·高三專題練習）若點P是雙曲線上一點，，分別為的左、右焦點，則“”是“”的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：A【解析】由題意可知，，，，若，則，或1（舍去），若，，或13，故“”是“”的充分不必要條件．故答案為：A．4.(2023·河南高三高三模擬）已知，是雙曲線的左右焦點，過的直線與曲線的右支交于兩點，則的周長的最小值為（）A． B． C． D．答案：C【解析】由雙曲線可知：的周長為.當軸時，的周長最小值為故答案為：C5.(2023·全國·高三專題練習）（多選題）已知曲線：，則下列說法正確的是（

）A．若曲線表示雙曲線，則B．若曲線表示橢圓，則且C．若曲線表示焦點在軸上的雙曲線且離心率為，則D．若曲線與橢圓有公共焦點，則答案：BCD【解析】對于A：若曲線：表示雙曲線，則，解得或，故A錯誤；對于B：若曲線：表示橢圓，則，解得且，故B正確；對于C：若曲線表示焦點在軸上的雙曲線且離心率為，則，所以，則，解得，故C正確；對于D：橢圓的焦點為，若曲線表示焦點在軸上的雙曲線，則，則，則，解得（舍去）；若曲線表示焦點在軸上的橢圓，則，則，則，解得，符合題意，故，故D正確；故選：BCD6.(2023·深圳模擬)在平面直角坐標系中，一動圓與軸切于點，分別過點、作圓的切線并交于點（點不在軸上），則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．答案：A【解析】如圖，設(shè)切線的切點分別為，則，，，，所以點軌跡是以為焦點的雙曲線的右支（除去與軸交點），，，，則，雙曲線方程為，軌跡方程為，故選：A．【題型二焦點三角形問題】1.(2023·青島高三模擬）已知，分別是雙曲線的左?右焦點，若P是雙曲線左支上的點，且.則的面積為（）A．8 B． C．16 D．答案：C【解析】因為P是雙曲線左支上的點，所以，兩邊平方得，所以.在中，由余弦定理得，所以，所以。故答案為：C2.(2023·山東日照高三模擬）已知雙曲線（，）的左、右焦點分別是、，且，若P是該雙曲線右支上一點，且滿足，則面積的最大值是（）A． B．1 C． D．答案：A【解析】因為P是該雙曲線右支上一點，所以由雙曲線的定義有，又，所以，，設(shè)，所以，所以，所以，當且僅當時等號成立，所以面積的最大值是，故答案為：A.3．(2023·武功縣普集高級中學期末）已知雙曲線：的左?右焦點分別為,，點，分別為漸近線和雙曲線左支上的動點，當取得最小值時，面積為___________.答案：【解析】由題意知，，，不妨取其中一條浙近線，由雙曲線定義知，所以，所以，所以當，，三點共線且垂直于漸近線時，取得最小值，此時，直線方程為，由，得，故點，.故答案為：.4．(2023·全國高三模擬）已知雙曲線的左右焦點為，，點為雙曲線上任意一點，則的最小值為A．1 B． C．2 D．3答案：A【解析】由題意知，，，不妨設(shè)點在雙曲線右支上，則，設(shè)，所以，所以當時，的值最小，最小為1，故選：A.【題型三雙曲線的標準方程】1.(2023·全國高三專題練習）已知雙曲線的一個焦點為，漸近線方程為，則該雙曲線的標準方程為（）A． B．C． D．答案：D【解析】由題意得：雙曲線的焦點在軸上，且，，再由，解得：，該雙曲線的標準方程為，故選D.2.(2023·全國高三專題練習）已知，是雙曲線的兩個焦點，過的直線與圓切于點，且與雙曲線右支交于點，是線段的中點，若，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．答案：A【解析】由于分別是的中點，所以.根據(jù)雙曲線的定義可知，所以，由于，所以，即，也即，即，解得，負根舍去.所以.所以雙曲線的方程為.故選：A3．(2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且它們的離心率不相同，則下列方程中有可能為雙曲線的標準方程的是（）A． B． C． D．答案：D【解析】雙曲線中，，則漸近線方程為，離心率為。對于A，，則離心率，故A錯誤；對于B，，則漸近線方程為，故B錯誤；對于C，，則離心率，故C錯誤；對于D，，則漸近線方程為，離心率，故D正確。故選：D4.(2023·全國·模擬預(yù)測）已知焦點在軸上的雙曲線，其漸近線方程為，焦距為，則該雙曲線的標準方程為．答案：【解析】由題設(shè)，可知：，，∴由，可得，，又焦點在軸上，∴雙曲線的標準方程為.故答案為：.5.(2023·山西太原五中高三期末）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：（1）焦點在x軸上，實軸長為2，其離心率；（2）漸近線方程為，經(jīng)過點．（3）雙曲線E：離心率為，且點在雙曲線上，求的方程；（4）雙曲線實軸長為2，且雙曲線與橢圓的焦點相同，求雙曲線的標準方程．答案：（1）（2）（3）（4）【解析】（1）解：設(shè)雙曲線的標準方程為：，由題知：，雙曲線方程為：.（2）解：設(shè)雙曲線方程為：，將代入，解得，所以雙曲線方程為：.（3）由，得，即，又，即，雙曲線的方程即為，點坐標代入得，解得．所以，雙曲線的方程為．（4）橢圓的焦點為，設(shè)雙曲線的方程為，所以，且，所以，所以，雙曲線的方程為．【題型四雙曲線的幾何性質(zhì)】1.(2023·湖北模擬）已知雙曲線的左、右焦點分別為，P為雙由線C上的一點，若線段與y軸的交點M恰好是線段的中點，，其中，O為坐標原點，則雙曲線C的漸近線的方程是（）A． B． C． D．答案：B【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為，則點，由題意知軸，所以點的橫坐標為，由雙曲線的對稱性特點不妨設(shè)點P(c，y0所以，解得，所以點，所以點的坐標為(0，b22a)所以MF1=(?c，?所以，所以.所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為：B.2.(2023·江蘇省前黃高級中學高三月考）已知雙曲線C：的左右焦點分別為，，點在軸上，為等邊三角形，且線段的中點恰在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為（）A． B．2 C． D．答案：C【解析】如圖所示，設(shè)，，設(shè)線段的中點為，則在雙曲線C的右支上，又為等邊三角形，所以，所以，所以連接，則在等邊三角形中，且，所以，所以，即雙曲線的離心率為.故答案為：C.3.(2023·濱州模擬)已知O是坐標原點，F(xiàn)是雙曲線的右焦點，過雙曲線C的右頂點且垂直于x軸的直線與雙曲線C的一條漸近線交于A點，若以F為圓心的圓經(jīng)過點A，O，則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C． D．答案：A【解析】由已知，點的坐標為，故，因為以F為圓心的圓經(jīng)過點A，O，所以，則△為等邊三角形，所以，則，所以雙曲線C的漸近線方程為.故答案為：A4.(2023·德陽三模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線的右支交于，兩點，點在線段上，且，，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．答案：B【解析】根據(jù)題意，作圖如下：因為，故可得，故可得//，且，故分別為的中點；又，故可得既是三角形的中線又是角平分線，故可得；又為中點，由對稱性可知：垂直于軸.故△為等邊三角形，則；令，可得，解得，故可得，則，由雙曲線定義可得：，即，解得，則離心率為.故選：B.5.(2023·江西·高三開學考試）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，點M在雙曲線C上，點I為的內(nèi)心，且，，則雙曲線C的離心率為（）A． B．2 C．3 D．答案：A【解析】依題意，，由雙曲線定義知：，于是得，，令雙曲線C的半焦距為c，內(nèi)切圓半徑為r，因，則有，即有，于是得：，即，所以雙曲線C的離心率為。故答案為：A6.(2023·威海模擬)已知雙曲線的左?右焦點分別為，若線段上存在點，使得線段與的一條漸近線的交點滿足：，則的離心率的取值范圍是___________.答案：【解析】設(shè)，，，，則，，則，，，則，，點在漸近線上，所以，，由得，所以，又，所以，所以．故答案為：．7.(2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的左?右焦點分別為，為雙曲線右支上的一點，若在以為直徑的圓上，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】在以為直徑的圓上，，，，，，由雙曲線定義知：，即，；，，，則，，即雙曲線離心率的取值范圍為.故選：D.【題型五直線與雙曲線的位置關(guān)系】1.(2023·湖北模擬）直線與雙曲線：有且僅有一個公共點，那么值共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個答案：D【解析】聯(lián)立，消去y得當時，即時，方程組只有一個解；當時，，解得：所以的取值為，共4個，故選：D.2.(2023·江蘇省前黃高級中學高三月考）若直線與曲線交于不同的兩點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：D【解析】因為表示雙曲線的右支，由消去得，整理得，設(shè)直線與曲線的兩交點為，，其中，，則，解得，又，解得，綜上，.3.(2023·德陽三模）若過點的直線與雙曲線:的右支相交于不同兩點，則直線斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由題意可得直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)交點，聯(lián)立可得，由題意可得解得：，故選：D．4.(2023·江西·高三開學考試）已知直線與雙曲線有且只有一個公共點，則C的離心率等于________．答案：【解析】雙曲線的漸近線方程為，，因為直線與雙曲線有且只有一個公共點，所以直線與漸近線平行，所以，所以，所以雙曲線的離心率為，故答案為：【題型六弦長與中點弦】1.(2023·湖北模擬）已知雙曲線，過點的直線l與雙曲線C交于M?N兩點，若P為線段MN的中點，則弦長|MN|等于（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由題設(shè)，直線l的斜率必存在，設(shè)過的直線MN為，聯(lián)立雙曲線：設(shè)，則，所以，