基于全狀態(tài)模型的自同步電壓源并網(wǎng)系統(tǒng)頻率穩(wěn)定分析

01考慮頻率問題的發(fā)電機(jī)模型1.1

同步機(jī)模型在考慮頻率穩(wěn)定問題時，同步機(jī)可采用暫態(tài)電抗后的內(nèi)電勢

E′

恒定的經(jīng)典模型，原動機(jī)-調(diào)速器采用二階模型，并忽略調(diào)頻死區(qū)、功率飽和等因素影響，在平衡點處線性化后得到如下模型。式中：

δ

為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角；

ω

、

ω0

分別為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速和同步轉(zhuǎn)速；

M

、

D

分別為發(fā)電機(jī)慣性時間常數(shù)和阻尼系數(shù)；

Pe

為電磁功率；

FHP

為高壓缸功率占比；

TCH

為主進(jìn)氣容積和汽室時間常數(shù)；R為調(diào)速器下垂系數(shù)；

y

、

z

分別為原動機(jī)-調(diào)速器的狀態(tài)變量；

TRH

為再熱器時間常數(shù)。1.2

自同步電壓源模型研究頻率穩(wěn)定問題時可忽略電流控制環(huán)，只考慮功率控制環(huán)的自同步電壓源模型如圖1所示。圖1

自同步電壓源控制框圖Fig.1

Blockdiagramofautonomous-synchronizationvoltagesourcecontrol假設(shè)新能源機(jī)組的后備儲能足夠充分，并認(rèn)為自同步電壓源內(nèi)電壓Evir幅值恒定，得到只考慮有功功率部分的模型為式中：

Pref

為自同步電壓源的有功功率參考值；

Td

為考慮頻率測量和變流器控制延遲的時間常數(shù)。02慣量響應(yīng)階段的時域解分析

電力系統(tǒng)發(fā)生頻率擾動后，系統(tǒng)頻率動態(tài)響應(yīng)過程主要有擾動功率分配、慣量響應(yīng)和頻率調(diào)節(jié)階段3個階段。慣量響應(yīng)階段主要研究系統(tǒng)慣量對頻率變化率的影響，新能源接入對系統(tǒng)慣量的影響直接，盡管部分跟網(wǎng)型光伏發(fā)電系統(tǒng)具備緊急功率控制方案，但無法像自同步電壓源一樣提供慣量支撐。本章采用二次特征值分析理論對慣量變化所帶來的影響進(jìn)行解析分析。2.1

狀態(tài)空間模型響應(yīng)時域解對于線性系統(tǒng)，有式中：x為狀態(tài)變量；A為狀態(tài)矩陣。式（3）的零輸入表達(dá)式為式中：vi、ui分別為矩陣A的右、左特征值向量，相應(yīng)的矩陣滿足

V?1=U

，V是由v按列組成的矩陣，U是u按行組成的矩陣；

λi

為矩陣A的特征值。引入輸入矩陣后系統(tǒng)模型變?yōu)槭街校?/p>

B

為輸入矩陣；

r

為輸入向量。引入坐標(biāo)變換式中：z為坐標(biāo)變換后的狀態(tài)變量。將式（6）代入式（5）后狀態(tài)方程變?yōu)槭街校?/p>

Λλ

為A矩陣的特征值形成的對角陣；P=UB。式（7）可表示為n個解耦的一階方程，第i個方程為式中：

pij

為P矩陣的i行、j列元素。假設(shè)

rj

為階躍響應(yīng)，其拉氏變換

Ri(s)=aj/s

，對式（8）兩邊取拉氏變換，有令求得時域解為其初值滿足由于發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子的絕對角度不是唯一的，因此根據(jù)式（1）和式（2）形成的電力系統(tǒng)A矩陣存在一個零特征值，假設(shè)零特征值為第一個特征值，得到初始狀態(tài)變量的時域解為在頻率穩(wěn)定問題中，系統(tǒng)狀態(tài)變量初值通常為平衡點的值，因此只需要研究其零狀態(tài)響應(yīng)解的特性，即2.2

二次特征值問題2.2.1

問題描述QEP已經(jīng)在聲學(xué)和流體力學(xué)中的線性穩(wěn)定性等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。QEP可找到滿足以下條件的標(biāo)量

λ

和非零向量v和u。式中：K0、K1和K2為方陣；v和u分別為

λ

對應(yīng)的右、左特征值向量。假設(shè)系統(tǒng)中發(fā)電機(jī)只包含同步機(jī)和自同步電壓源，在功率擾動發(fā)生后的慣量響應(yīng)階段，同步機(jī)調(diào)速器和變流器下垂控制還未生效，機(jī)械功率和功率參考值基本不變，通常存在頻率基本呈線性變化的時段。此時電網(wǎng)可以用二階模型近似表示，即式中：Δδ

為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角形成的向量；Δω

為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速形成的向量；

M

、D分別為發(fā)電機(jī)慣性時間常數(shù)和阻尼系數(shù)形成的對角矩陣。

Λ

、Γ矩陣表達(dá)式推導(dǎo)如下。將負(fù)荷視為恒阻抗并入網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)納矩陣，并引入內(nèi)電勢節(jié)點，得到系統(tǒng)的增廣導(dǎo)納矩陣為式中：E為同步機(jī)暫態(tài)電抗后的電勢或變流器內(nèi)電壓；

VN

為聯(lián)絡(luò)節(jié)點和負(fù)荷節(jié)點電壓；

YEE

為同步機(jī)暫態(tài)電納或者自同步電壓源內(nèi)電勢與端電壓之間的電納所形成的導(dǎo)納陣；

YEV

、

YVE

和

YVV

分別為式中：

為原網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)納矩陣；

Yload

為負(fù)荷等值導(dǎo)納所形成的導(dǎo)納陣。Kron化簡后得到只包含發(fā)電機(jī)內(nèi)電壓的網(wǎng)絡(luò)方程為式中：

Yred

為

Kvon

化簡后的網(wǎng)絡(luò)方程。令式中：real(·)、imag(·)分別為括號內(nèi)數(shù)值的實部和虛部函數(shù)。由此可得

Λ

和Γ矩陣表達(dá)式分別為式中：

Ei0

、

Ej0

分別為發(fā)電機(jī)i、j在平衡點處的內(nèi)電勢；

δij0

為發(fā)電機(jī)i、j在平衡點處的相角差；

Gij

、

Bij

分別為G、B的i行、j列元素。并且

Λ

為對稱矩陣。令

L=Λ+Γ

，得到系統(tǒng)的雅克比矩陣為雅克比矩陣特征值和特征向量滿足展開后得到令將式（23）中第一個式子代入第二個式子，得到根據(jù)特征值的定義，其滿足二次特征值問題，即2.2.2

基本性質(zhì)二次特征值問題的解

λ

與矩陣和L性質(zhì)密切相關(guān)?？紤]網(wǎng)絡(luò)損耗的L矩陣為有向圖的拉普拉斯矩陣，不能保證具有實特征值，但可以根據(jù)電網(wǎng)特性估計其數(shù)值范圍。L矩陣可分解為Hermitian部分

LH

和斜Hermitian部分

LS

，即式中：

L?

為L矩陣的共軛轉(zhuǎn)置，并且根據(jù)電網(wǎng)特性可知

Gijsinδij

遠(yuǎn)小于

Bijcosδij

，因此斜對稱部分元素數(shù)量級遠(yuǎn)小于對稱部分。令

x∈Cn

，則有式中：上劃線表示共軛。于是，

x?LHx

為純實數(shù)，而

x?LSx

為純虛數(shù)，并且實部大于虛部。L矩陣的特征值和特征向量滿足

Lx=γx

，并假設(shè)

x?x=1，則式中：

γ

為一個實部大、虛部小的復(fù)數(shù)，根據(jù)Gersgorin圓盤定理可知實部為正（如圖2所示，L矩陣行和為零，因此特征值均位于右半平面）。圖2

L矩陣的一個圓盤Fig.2

Adiskofmatrix

L計算經(jīng)驗表明，

γ

幾乎均為實數(shù)，虛數(shù)部分往往也很小，因此以下分析假設(shè)

γ

為實數(shù)。考慮均勻阻尼

M?1D=bI

的情況，其中b為慣量阻尼比，則有式中：

γ

為由

M?1L

特征值組成的對角矩陣，因此式（29）等價于如下所示N個獨立方程的解。進(jìn)而可以得到N對解為對特征值分類，并進(jìn)行小干擾穩(wěn)定分析，步驟如下。1）對于零特征值

γ1=0，得到解

λ1=0，

λ2=?b

；2）對于實特征值

γi＞0，根據(jù)勞斯判據(jù)可知其對應(yīng)的解

λi1,2

具有負(fù)的實數(shù)部分。因此可知

γi?0是系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定的一個充分條件。在滿足小干擾穩(wěn)定條件后，進(jìn)一步要明確慣性對頻率動態(tài)響應(yīng)的影響，需要分析特征值隨慣量矩陣變化的情況。實際電力系統(tǒng)中參數(shù)b通常很小，因此可見決定有功子系統(tǒng)動態(tài)特性的關(guān)鍵是廣義特征值問題命題1：降低任意發(fā)電機(jī)組的慣性時間常數(shù)M，系統(tǒng)所有特征值的虛部近似單調(diào)上升。證明：注意到正定，L近似對稱，那么令ΔM?0，再令ΔX

為某對角元全正矩陣，那么因為

Λ

正定，那么ΔXΛΔX

正定，根據(jù)特征值單調(diào)定理有因此根據(jù)可知，隨著慣量矩陣元素的減小，系統(tǒng)特征值頻率單調(diào)上升。2.3

慣量響應(yīng)階段的時域解性質(zhì)得到慣量對系統(tǒng)特征值的作用后，就可以通過狀態(tài)變量時域響應(yīng)的解析解得到系統(tǒng)頻率相關(guān)特征量與系統(tǒng)參數(shù)的變化關(guān)系。減小部分同步機(jī)出力以模擬發(fā)生功率缺額的情況，則可令式中：ΔPm

為同步機(jī)機(jī)械功率變化量矩陣。得到ΔPm

發(fā)生階躍變化時的模型為其零狀態(tài)響應(yīng)為結(jié)合命題1可知系統(tǒng)慣量的降低使得λ增大，慣量響應(yīng)階段的頻率動態(tài)響應(yīng)變快，從而惡化系統(tǒng)頻率穩(wěn)定性。另外需要考慮慣量與零時刻頻率變化率的關(guān)系，令一臺同步機(jī)為參考機(jī)可消去零特征值，可以得到狀態(tài)變量的變化率為式中：

V′

、

U′

分別為消去零特征值后的右、左特征值向量矩陣；

Eλ

為形成的對角矩陣。系統(tǒng)慣性中心頻率變化Δωcoi(t)為對時間求導(dǎo)得到系統(tǒng)慣性中心頻率變化率為式中：

Mcol

為發(fā)電機(jī)慣性時間常數(shù)形成的列向量；

Vω

表示右特征值向量矩陣中與轉(zhuǎn)速相關(guān)的部分。零時刻的頻率變化率為從式（41）可以看出慣量越低的系統(tǒng)在零時刻的頻率變化率越大，結(jié)合式（37）的結(jié)果可知低慣量系統(tǒng)在慣量響應(yīng)階段的頻率穩(wěn)定性更差。與同步機(jī)天然具有的慣量不同，目前自同步新能源需要通過加裝儲能裝置實現(xiàn)較大的虛擬慣量，因此有必要對滿足頻率動態(tài)安全要求的最低虛擬慣量進(jìn)行估計?；谑剑?1），在預(yù)設(shè)的頻率動態(tài)安全條件下，可以估計出新能源機(jī)組所需的最低虛擬慣量，以達(dá)到有效利用電力資源的目的。03頻率調(diào)節(jié)階段的時域解分析頻率調(diào)節(jié)階段的一次調(diào)頻階段主要研究系統(tǒng)調(diào)頻作用對穩(wěn)態(tài)頻率誤差的影響，目前以自同步電壓源接入電網(wǎng)的新能源機(jī)組通常采取有功-頻率下垂控制方式模擬同步機(jī)的調(diào)頻作用。為分析調(diào)頻系統(tǒng)對一次調(diào)頻階段響應(yīng)特征的影響，本章對比考慮調(diào)頻作用前后的穩(wěn)態(tài)頻率誤差時域解表達(dá)式，進(jìn)而確定調(diào)頻系統(tǒng)對穩(wěn)態(tài)頻率誤差的影響。3.1

不考慮調(diào)頻作用的穩(wěn)態(tài)頻率誤差表達(dá)式假設(shè)不考慮調(diào)速器作用時，狀態(tài)變量穩(wěn)態(tài)誤差可寫成矩陣形式為可知狀態(tài)變量穩(wěn)態(tài)誤差可以用消去零特征值的雅克比矩陣的逆來表示，其逆表達(dá)式為其中因此穩(wěn)態(tài)頻率誤差可表示為首先證明所有發(fā)電機(jī)組最后收斂至同一轉(zhuǎn)速。已知矩陣左乘

A12

的意義為矩陣中除第一行元素以外的每一行減去第一行元素，因此將式（45）左乘

A12

，得到可知

(?D?1+D?1L′(A12D?1L′)?1A12D?1)為一個行相等矩陣，證明了轉(zhuǎn)速終值向量各元素均相同，因此所有發(fā)電機(jī)組最后收斂至同一轉(zhuǎn)速。從式（45）可以看出，穩(wěn)態(tài)頻率誤差與慣量大小無關(guān)，但和系統(tǒng)阻尼成反比，系統(tǒng)阻尼越小，頻率跌落程度越大。綜上所述，在沒有調(diào)速器的情況下，當(dāng)出現(xiàn)有功功率缺額時，系統(tǒng)頻率會單調(diào)下降，頻率跌落速度隨著系統(tǒng)慣量的下降而加快，頻率跌落程度隨著系統(tǒng)阻尼的減小而加深。3.2

考慮調(diào)頻作用的穩(wěn)態(tài)頻率誤差表達(dá)式考慮調(diào)速器作用后的系統(tǒng)統(tǒng)一模型為式中：I為單位矩陣。上述的調(diào)速器包含了自同步電壓源的功率-頻率下垂控制，其參數(shù)與上述模型中的參數(shù)對應(yīng)關(guān)系為對應(yīng)的雅克比矩陣為按照第2章推導(dǎo)步驟得到一個4次特征值問題，相應(yīng)的特征多項式系數(shù)為按照2.2.2節(jié)做法，則特征值多項式同樣可近似等價于n個方程組，即各系數(shù)為這里需要說明的是，即使自同步電壓源與同步機(jī)參數(shù)存在差異，但各系數(shù)矩陣仍然是對角占優(yōu)矩陣，上述的解耦方法是近似有效的。加入調(diào)速器后的小干擾穩(wěn)定分析步驟如下。1）對于

γi≠0

，可忽略一次項中的和二次項中的方程可以近似解耦為式（54）左邊已做過討論，右邊可因式分解得到2）對于

γi=0

，

和不可忽略，特征值多項式變?yōu)閯t穩(wěn)定條件為對于火電機(jī)組，有以下近似關(guān)系。因此當(dāng)γ

正定時，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。命題2：加入調(diào)速器后，相當(dāng)于系統(tǒng)阻尼增加至(D

+

R?1

)，減小了受擾動后系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)頻率誤差。證明：加裝調(diào)速器后，功率缺額時的模型為零狀態(tài)響應(yīng)為同樣，狀態(tài)變量穩(wěn)態(tài)誤差可以用消去零特征值的雅克比矩陣的逆來表示，將消去零特征值的雅克比矩陣分塊可得根據(jù)分塊矩陣求逆公式可知在左上子矩陣中則對比式（43）后可知調(diào)速器的調(diào)頻作用相當(dāng)于增加了系統(tǒng)阻尼(D

+

R?1

)，因此減小了受擾動后系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)頻率誤差。自同步電壓源機(jī)組包含大量電力電子器件，因此其電流耐受性不強(qiáng)，過大的功率輸出會導(dǎo)致電力電子器件的損壞。因此有必要對自同步電壓源機(jī)組的功率下垂系數(shù)做出估計，在滿足頻率動態(tài)安全要求的情況下，保證電力電子器件工作在安全范圍以內(nèi)?；谏鲜鼋Y(jié)論，在預(yù)設(shè)的頻率動態(tài)安全條件下，提出一種估計自同步電壓源機(jī)組下垂系數(shù)的方法，步驟如下。1）在給定自同步電壓源機(jī)組初值的情況下，計算系統(tǒng)的等效阻尼為式中：

Deq0

為估計前的系統(tǒng)等效阻尼；

RSG

為同步機(jī)的調(diào)差系數(shù)；

RVSG0

為估計前的自同步電壓源機(jī)組的下垂系數(shù)。2）基于式（45）得到估計前的穩(wěn)態(tài)頻率誤差

Δω0(∞)。3）計算Δω0(∞)與給定的穩(wěn)態(tài)頻率誤差Δωcmd(∞)的比值，乘以

Deq0

后得到滿足穩(wěn)態(tài)頻率誤差要求的

Deq_cmd

。4）根據(jù)式（65）反推得到滿足頻率穩(wěn)態(tài)值要求的再根據(jù)每臺自同步電壓源機(jī)組的備用有功功率和穩(wěn)態(tài)頻率誤差

Δωcmd(∞)計算出每臺機(jī)組能提供的最大最后按照實際需求和功率限制分配到自同步電壓源機(jī)組。04算例分析4.1

模型準(zhǔn)確性驗證本節(jié)將所提出的全狀態(tài)模型、SFR模型和時域仿真結(jié)果進(jìn)行對比，驗證其對系統(tǒng)頻率動態(tài)描述的準(zhǔn)確性。仿真在10機(jī)39節(jié)點系統(tǒng)算例中進(jìn)行，同步機(jī)部分參數(shù)如表1所示，其余參數(shù)TCH=0.3s，TRH=7s，F(xiàn)HP

=0.3。計算得到SFR模型中的聚合參數(shù)MSFR

=782s，DSFR

=7.82，RSFR

=0.0047。表1

同步機(jī)部分參數(shù)Table1

Partialparametersofsynchronousgeneratorst

=0s時刻減小1號機(jī)出力100MW，利用3種方法得到30s內(nèi)系統(tǒng)慣性中心頻率在發(fā)生功率擾動后的變化。全狀態(tài)模型、SFR模型與時域仿真法計算結(jié)果的偏差如圖3示。圖3

兩種模型與時域仿真法的誤差Fig.3

Errorsbetweenthetwomodelsandthetime-domainsimulationmethod由圖3可以看出，全狀態(tài)模型的計算精確度高于SFR模型，這是由于在SFR模型中忽略了部分環(huán)節(jié)，而全狀態(tài)模型保留了包括網(wǎng)絡(luò)在內(nèi)的模型，因此具有更高的精度。4.2

廣義特征值變分為驗證發(fā)電機(jī)慣量對廣義特征值的影響，在仿真算例中將同步機(jī)逐臺替換為低慣量的自同步電壓源，其參數(shù)如表2所示，并計算其對應(yīng)的廣義特征值大小，結(jié)果如圖4所示。表2

自同步電壓源參數(shù)Table2

Parametersofautonomous-synchronizationvoltagesource圖4

慣量-廣義特征值頻率單調(diào)關(guān)系Fig.4

Monotonicrelationshipbetweeninertiaandgeneralizedeigenvalues由圖4可以看出，隨著同步機(jī)被替換為低慣量的新能源機(jī)組，廣義特征值單調(diào)上升，也意味著系統(tǒng)特征值頻率單調(diào)上升，說明慣量減小降低了系統(tǒng)頻率的抗干擾性，在發(fā)生擾動時系統(tǒng)頻率振蕩更快。其他仿真算例也具有類似的結(jié)果。4.3

基于全狀態(tài)模型的最低虛擬慣量估計目前對電網(wǎng)頻率變化率沒有明確要求，因此假設(shè)在發(fā)生100MW的功率階躍變化時，頻率變化率0.06Hz/s，即0.0012(p.u.)/s作為限制，在表1中將7~10號同步機(jī)替換為自同步電壓源機(jī)組，根據(jù)式（41）估計滿足限制要求的系統(tǒng)最低慣量為833.33

s，因此4組自同步電壓源機(jī)組虛擬慣量總和的最低要求為178.33s。在滿足系統(tǒng)最低慣量要求時，發(fā)生100MW功率階躍1s內(nèi)的慣性中心頻率動態(tài)曲線如圖5所示。圖5

1s內(nèi)的慣性中心頻率動態(tài)響應(yīng)Fig.5

Inertiacenterfrequencydynamicresponsein1s由圖5可知，1s內(nèi)系統(tǒng)慣性中心頻率偏差小于0.06Hz，即根據(jù)所提方法安排自同步電壓源機(jī)組的虛擬慣量大小可以滿足頻率動態(tài)安全要求。4.4

基于全狀態(tài)模型的自同步電壓源功率下垂系數(shù)估計在4.3節(jié)的電網(wǎng)中，假設(shè)在發(fā)生100MW的功率階躍變化時，頻率穩(wěn)態(tài)誤差不超過0.3Hz。基于3.2節(jié)所提的估計自同步電壓源機(jī)組下垂系數(shù)的方法，其中假設(shè)自同步電壓源機(jī)組初始下垂系數(shù)均為0.5。1）計算系統(tǒng)的等效阻尼

Deq0=136.33；2）計算估計前的穩(wěn)態(tài)頻率誤差Δω0(∞)=?0.3180Hz；3）計算Δω0(∞)與給定的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)頻率誤差Δωcmd(∞)=?0.3Hz的比值，乘以

Deq0

后得到滿足穩(wěn)態(tài)頻率誤差要求的

Deq_cmd=144.53；4）根據(jù)式（65）反推得到滿足頻率穩(wěn)態(tài)值要求的假設(shè)平均分配到4臺自同步電壓源機(jī)組，則每臺自同步電壓源機(jī)組的下垂系數(shù)應(yīng)調(diào)整至0.247。假設(shè)每臺自同步電壓源機(jī)組的備用有功功率為0.05p.u.，則每臺自同步電壓源機(jī)組最多能提供的因此上述下垂系數(shù)分配滿足了功率限制要求。根據(jù)上述參數(shù)估計結(jié)果，在發(fā)生100MW功率階躍變化時，仿真計算調(diào)整前后的系統(tǒng)，其慣性中心頻率50s內(nèi)