高考數(shù)學大一輪復(fù)習精講精練(新高考地區(qū))4.5解三角形6大常考題型(精練)(原卷版+解析)

4.5解三角形6大常考題型【題型解讀】【題型一已知邊角元素解三角形】1.(2023·山東濟南一模）中內(nèi)角所對的邊分別為，已知，則（

）A． B． C． D．2.(2023·重慶市育才中學高三二模）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，，，則（

）A． B． C．或 D．或3.(2023·安徽·合肥一六八中學模擬預(yù)測）））在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，面積為S，且，，________？4．(2023·四川·樹德中學模擬）在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊．若a，b，c成等比數(shù)列，且，則A的大小是（

）A． B． C． D．【題型二已知邊角關(guān)系解三角形】1.(2023·湖北·黃石市有色第一中學模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，若，則的值為（

）A． B． C． D．2.(2023·全國·高三專題練習）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則（

）A． B． C． D．3．(2023·安徽馬鞍山·一模）已知的內(nèi)角的對邊分別為，設(shè)，，則（

）A． B． C． D．4.(2023·山東濰坊·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且的面積．(1)求角B的大?。?2)若，求．【題型三判斷三角形形狀】1.(2023·全國·高三專題練習）設(shè)的三個內(nèi)角滿足，又，則這個三角形的形狀是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形2.(2023·四川省峨眉第二中學校月考）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則為（

）A．等腰非等邊三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形3.(2023·全國·高三專題練習）（多選）已知，，分別是三個內(nèi)角，，的對邊，下列四個命題中正確的是（

）A．若，則是銳角三角形B．若，則是等腰三角形C．若，則是等腰三角形D．若，則是等邊三角形4.(2023·全國·高三專題練習）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【題型四三角形解的個數(shù)問題】1.(2023·全國·高三專題練習）在△ABC中，，b＝6，下面使得三角形有兩組解的a的值可以為（

）A．4 B． C． D．2.(2023·浙江·高三專題練習）若的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，則B的解的個數(shù)是（

）A．2 B．1 C．0 D．不確定3.(2023·全國·高三專題練習）中，已知下列條件：①；②；③；④，其中滿足上述條件的三角形有兩解的是（

）A．①④ B．①② C．①②③ D．③④4.(2023·全國·高三專題練習）在中，角，，所對的邊分別為，，，，，若滿足條件的三角形有且只有一個，則邊的取值不可能為（

）A．3 B．4 C． D．【題型五解三角形中的最值范圍問題】1.(2023·寧夏石嘴山·一模）在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，的面積為S，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2.(2023·廣東江門·模擬預(yù)測）在中，角，，的對邊分別是，，，且，，成等差數(shù)列，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3.(2023·全國·高三課時練習）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.△ABC的面積為S，若.(1)求角C；(2)求的取值范圍.4.(2023·陜西高三期中）在中，，，分別是角，，的對邊，并且．（Ⅰ）已知_______，計算的面積；請從①，②，③這三個條件中任選兩個，將問題（Ⅰ）補充完整，并作答．（Ⅱ）求的最大值．【題型六解三角形實際應(yīng)用問題】1.(2023·山東省六地市部分學校高三3月線考）如圖所示，遙感衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)海面上有三個小島，小島B位于小島A北偏東距離60海里處，小島B北偏東距離海里處有一個小島C.(1)求小島A到小島C的距離；(2)如果有游客想直接從小島A出發(fā)到小島C，求游船航行的方向.2.(2023·山東泰安·高三期末）為了測量隧道口、間的距離，開車從點出發(fā)，沿正西方向行駛米到達點，然后從點出發(fā)，沿正北方向行駛一段路程后到達點，再從點出發(fā)，沿東南方向行駛400米到達隧道口點處，測得間的距離為1000米.(1)若隧道口在點的北偏東度的方向上，求的值；(2)求隧道口間的距離.4.5解三角形6大常考題型【題型解讀】【題型一已知邊角元素解三角形】1.(2023·山東濟南一模）中內(nèi)角所對的邊分別為，已知，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由余弦定理得：，所以.故選：A.2.(2023·重慶市育才中學高三二模）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，，，則（

）A． B． C．或 D．或答案：A【解析】由題意可得，則或.因為，所以，所以.故選：A3.(2023·安徽·合肥一六八中學模擬預(yù)測）））在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，面積為S，且，，________？答案：答案不唯一，具體見解析【解析】由題意可知在中，因為，且，所以，由余弦定理可知，所以因為，所以；

若選①，由正弦定理可得，解得，

在中，因為，所以，又因為，則角A只有一解，且，

所以．若選②，由正弦定理可得，解得，

在中，因為，所以，又因為，則角A有兩解，

所以．

若選③，由正弦定理可得，解得，因為，所以無解，即三角形不存在．4．(2023·四川·樹德中學模擬）在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊．若a，b，c成等比數(shù)列，且，則A的大小是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由已知得，由，得，所以，得，由余弦定理得，又，所以．故選：B．【題型二已知邊角關(guān)系解三角形】1.(2023·湖北·黃石市有色第一中學模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，若，則的值為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因為由正弦定理可得，所以又所以故選:D2.(2023·全國·高三專題練習）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則（

）A． B． C． D．答案：C【解析】在中，因為，由正弦定理，可得，即，可得，因為，可得，即，因為，可得，所以.故選：C.3．(2023·安徽馬鞍山·一模）已知的內(nèi)角的對邊分別為，設(shè)，，則（

）A． B． C． D．答案：C【解析】在中，由及正弦定理得：，即，由余弦定理得：，而，解得，由得，顯然，則，，所以.故選：C4.(2023·山東濰坊·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且的面積．(1)求角B的大?。?2)若，求．答案：(1)(2)【解析】(1)因為，所以，.又因為，所以.(2)因為，所以，即，所以，.因為，，所以，即..【題型三判斷三角形形狀】1.(2023·全國·高三專題練習）設(shè)的三個內(nèi)角滿足，又，則這個三角形的形狀是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形答案：B【解析】因的三個內(nèi)角，而，則，又，由正弦定理得：，由余弦定理得：，整理得，即，是等腰三角形，所以是等邊三角形.故選：B2.(2023·四川省峨眉第二中學校月考）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則為（

）A．等腰非等邊三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形答案：B【解析】由，可得，所以，所以.在中，，故，因為，所以，因為，所以，故為直角三角形.故選：B3.(2023·全國·高三專題練習）（多選）已知，，分別是三個內(nèi)角，，的對邊，下列四個命題中正確的是（

）A．若，則是銳角三角形B．若，則是等腰三角形C．若，則是等腰三角形D．若，則是等邊三角形答案：ACD【解析】對于A，因為，所以，，因為，，為的內(nèi)角，所以，，都是銳角，所以是銳角三角形，故選項A正確；對于B：由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故選項B錯；對于C：由及正弦定理化邊為角，可知，即，因為，為的內(nèi)角，所以，所以是等腰三角形，故選項C正確；對于D：由和正弦定理化邊為角，易知，所以，因為，，為的內(nèi)角，所以，所以是等邊三角形，故選項D正確；故選：ACD.4.(2023·全國·高三專題練習）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形答案：A【解析】因為，由正弦定理可得：，整理可得：，即，所以或者，所以或，而當時則，所以三角形為直角三角形，所以，則中，這時，分母為0無意義所以，選：A．【題型四三角形解的個數(shù)問題】1.(2023·全國·高三專題練習）在△ABC中，，b＝6，下面使得三角形有兩組解的a的值可以為（

）A．4 B． C． D．答案：C【解析】由題意，根據(jù)正弦定理有，所以，要使三角形有兩組解，則，且，即，所以，所以a的值可以為．故選：C．2.(2023·浙江·高三專題練習）若的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，則B的解的個數(shù)是（

）A．2 B．1 C．0 D．不確定答案：A【解析】由正弦定理知，，即，解得，又，由三角函數(shù)性質(zhì)知角B由兩個解，當角B為銳角時，滿足，即存在；當角B為鈍角時，，，則滿足，即存在；故有兩個解.故選：A3.(2023·全國·高三專題練習）中，已知下列條件：①；②；③；④，其中滿足上述條件的三角形有兩解的是（

）A．①④ B．①② C．①②③ D．③④答案：B【解析】①，三角形有兩解；②，三角形有兩解；③，三角形有一解；④，三角形無解.故選：B.4.(2023·全國·高三專題練習）在中，角，，所對的邊分別為，，，，，若滿足條件的三角形有且只有一個，則邊的取值不可能為（

）A．3 B．4 C． D．答案：B【解析】由已知，到直線的距離為，所以當或時，即或時，滿足條件的三角形有且只有一個.所以對于A，符合，故三角形有一解；對于B：當b=4時，符合，故三角形有兩解；對于C：符合，故三角形有一解；對于D：符合，故三角形有一解.故選：B.【題型五解三角形中的最值范圍問題】1.(2023·寧夏石嘴山·一模）在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，的面積為S，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】在中，，故題干條件可化為，由余弦定理得，故，又由正弦定理化簡得：，整理得，故或（舍去），得為銳角三角形，故，解得，故故選：C2.(2023·廣東江門·模擬預(yù)測）在中，角，，的對邊分別是，，，且，，成等差數(shù)列，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】在中，由，，成等差，可得，由，得，．由余弦定理，可得，又，當且僅當時等號成立，即，即，解得所以的取值范圍是．故選：A3.(2023·全國·高三課時練習）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.△ABC的面積為S，若.(1)求角C；(2)求的取值范圍.答案：(1)；(2).【解析】(1)由題設(shè)，，而，所以，又，所以，又，且，所以且，則.(2)由（1），，由，則.所以，故.4.(2023·陜西高三期中）在中，，，分別是角，，的對邊，并且．（Ⅰ）已知_______，計算的面積；請從①，②，③這三個條件中任選兩個，將問題（Ⅰ）補充完整，并作答．（Ⅱ）求的最大值．【解析】（Ⅰ）∵b2+∴由余弦定理知，cosA=b2+c2?a選擇①②：∵b2∴4+c2?7=2c，即c2?2c?3=0∴?ABC的面積S=1選擇①③：由正弦定理知，bsinB∵sinC=2sinB，∴c=2b(?)∵b∴b2+c2?7=bc(?)，由?∴?ABC的面積S=1選擇②③：由正弦定理知，bsinB∵sinC=2sinB，∴c=2b=4，∴?ABC的面積S=1（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A=π3，∴∴cosB+cosC=cosB+cos2π∵0<B<2π3，∴∴sinB+π6【題型六解三角形實際應(yīng)用問題】1.(2023·山東省六地市部分學校高三3月線考）如圖所示，遙感衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)海面上有三個小島，小島B位于小島A北偏東距離60海里處，小島B北偏東距離海里處有一個小島C.(1)求小島A到小島C的距離；(2)如果有游客想直接從小島A出發(fā)到小島C，求游船航行的方向.答案：(1)海里(2)游船應(yīng)該沿北偏東的方向航行.【解析】(1)解：(1)在中，，根據(jù)余弦定理得：..所以小島A到小島C的最短距離是海里.(2)解：(2)根據(jù)正弦定理得：解得在