高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))5.5平面向量中的最值、范圍問題(精練)(原卷版+解析)

5.5平面向量中的最值、范圍問題【題型解讀】【題型一平面向量數(shù)量積的最值范圍問題】1.(2023·河南高三月考）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)E，F(xiàn)分在邊BC，CD上，，．若，則的最小值為___________．2.(2023·陜西·交大附中模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知兩個(gè)模都為10的向量，它們的夾角為，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，10為半徑的上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（

）A． B． C． D．3.(2023·山東·山師附中模擬預(yù)測(cè)）在平面內(nèi)，若有，，則的最大值為________．4.(2023·云南玉溪·高三月考）等邊的面積為，且的內(nèi)心為M，若平面內(nèi)的點(diǎn)N滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．5.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，M，N分別為邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，以MN為邊作等邊，使得點(diǎn)A，P位于直線MN的兩側(cè)，則的最小值為______．6.(2023·四川涼山·三模）已知下圖中正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為4，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為2，若點(diǎn)P在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，MN為圓O的直徑，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【題型二平面向量模的最值范圍問題】1.(2023·江蘇·南京市天印高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知為單位向量，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．2.(2023·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，，滿足，且，則最小值為（

）A． B． C． D．3.(2023·全國(guó)·高三課時(shí)練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，，，，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．6 C． D．44.(2023·江蘇姑蘇·蘇州中學(xué)高三月考）已知平面向量滿足，，，則的最小值為___________.5.(2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知在中，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，（

）A． B． C． D．【題型三平面向量夾角的最值范圍問題】1.(2023·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知向量與的夾角為，，，，，在時(shí)取得最小值．當(dāng)時(shí)，夾角的取值范圍為A． B．， C．， D．2.(2023·河北武強(qiáng)中學(xué)高三月考）設(shè)兩向量、滿足，，、的夾角為，若向量與向量的夾角為，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【題型四平面向量中系數(shù)的最值范圍問題】1.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，，，是的外接圓上的一點(diǎn)，若，則的最小值是（

）A． B． C． D．2.(2023·海南?？凇ざ＃┤鐖D，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．13.(2023?南通期末）已知是內(nèi)一點(diǎn)，且，點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是A． B． C． D．4.(2023?濟(jì)南期末）在直角中，為直角，，M是內(nèi)一點(diǎn)，且，若，則的最大值為_________．5.5平面向量中的最值、范圍問題【題型解讀】【題型一平面向量數(shù)量積的最值范圍問題】1.(2023·河南高三月考）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)E，F(xiàn)分在邊BC，CD上，，．若，則的最小值為___________．答案：【解析】如圖，，，且，，．由題意可得，，，，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），的最小值為．故答案為：．2.(2023·陜西·交大附中模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知兩個(gè)模都為10的向量，它們的夾角為，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，10為半徑的上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】要使最小，即最大而為定值，為定值10只要與同向即可使最大的最小值為.故選：A3.(2023·山東·山師附中模擬預(yù)測(cè)）在平面內(nèi)，若有，，則的最大值為________．答案：【解析】根據(jù)條件，；；，如圖，作，則，連接，取的中點(diǎn)，連接，則；由得，；；作，連接，，則；；點(diǎn)在以為直徑的圓上；當(dāng)運(yùn)動(dòng)到圓的最右側(cè)時(shí)，在上的投影最大，即最大；又,又,且,所以,所以在上的最大投影為，所以,故答案為：4.(2023·云南玉溪·高三月考）等邊的面積為，且的內(nèi)心為M，若平面內(nèi)的點(diǎn)N滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】設(shè)等邊的邊長(zhǎng)為，則面積，解得以為軸，的中垂線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.由為的內(nèi)心，則M在上，且則，由，則點(diǎn)N在以M為圓心，1為半徑的圓上.設(shè)，則，即，且，故選:A5.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，M，N分別為邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，以MN為邊作等邊，使得點(diǎn)A，P位于直線MN的兩側(cè)，則的最小值為______．答案：【解析】如圖，連接BN，設(shè)BN，MN中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接PE，PF，EF．設(shè)，，，在中，由勾股定理得，則，BN，MN中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，則EF為的中位線，∴且，∴，在中，由勾股定理得，∴，在等邊中，F(xiàn)為MN中點(diǎn)，則，，，在中，由余弦定理得，當(dāng)N與C重合時(shí)，，，不存在，但可驗(yàn)證上述等式依然成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．∵關(guān)于b的函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.故答案為：．6.(2023·四川涼山·三模）已知下圖中正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為4，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為2，若點(diǎn)P在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，MN為圓O的直徑，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】由正六邊形的邊長(zhǎng)為4，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為1，所以正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為，外接圓的半徑為，又由，因?yàn)椋?，可得，所以的取值范圍?故選：B.【題型二平面向量模的最值范圍問題】1.(2023·江蘇·南京市天印高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知為單位向量，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】設(shè)，則，所以為等邊三角形，以為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，則，所以在以為圓心，1為半徑的圓上，因?yàn)?，所?故選：A.2.(2023·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，，滿足，且，則最小值為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因?yàn)椋?，又，所以，如圖所示：不妨設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，即，表示點(diǎn)C在以為圓心，以2為半徑的圓上，所以最小值為，故選：D3.(2023·全國(guó)·高三課時(shí)練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，，，，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．6 C． D．4答案：B【解析】解：如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，因?yàn)?，，所以，所以，，所以，所以，所以?dāng)，即時(shí)，的最小值為.故選：B4.(2023·江蘇姑蘇·蘇州中學(xué)高三月考）已知平面向量滿足，，，則的最小值為___________.答案：【解析】，，，解得：，即，即，不妨令，，設(shè)，則，，，則的幾何意義為：直線上的點(diǎn)到和的距離之和，即；作出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，，（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），設(shè)，則，解得：，，即的最小值為.故答案為：.5.(2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知在中，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，（

）A． B． C． D．答案：A【解析】在中，，，.，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，.故選：.【題型三平面向量夾角的最值范圍問題】1.(2023·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知向量與的夾角為，，，，，在時(shí)取得最小值．當(dāng)時(shí)，夾角的取值范圍為A． B．， C．， D．【解析】解：由題意可得，，，由二次函數(shù)知，當(dāng)上式取最小值時(shí)，，由題意可得，求得，，故選：．2.(2023·河北武強(qiáng)中學(xué)高三月考）設(shè)兩向量、滿足，，、的夾角為，若向量與向量的夾角為，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：兩向量、滿足，，、的夾角為，不妨設(shè)，，則，，．向量與向量的夾角為，，向量，化為，解得或．實(shí)數(shù)的取值范圍是或．【題型四平面向量中系數(shù)的最值范圍問題】1.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，，，是的外接圓上的一點(diǎn)，若，則的最小值是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由余弦定理得，所以，所以，所以．以AC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，易得A（－1，0），C（1，0），B（－，），設(shè)P的坐標(biāo)為，所以，，，又，所以，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故選：B．2.(2023·海南海口·二模）如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．1答案：A【解析】作BC的平行線與圓相交于點(diǎn)P，與直線AB相交于點(diǎn)E，與直線AC相交于點(diǎn)F，設(shè)，則，∵BC//EF，∴設(shè)，則∴，∴∴故選：A.3.(2023?南通期末）已知是內(nèi)一點(diǎn)，且，點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是A． B．