高考數學大一輪復習精講精練(新高考地區(qū))9.3計數原理(精講)(原卷版+解析)

9.3計數原理【題型解讀】【知識儲備】1．分類加法計數原理做一件事，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．2．分步乘法計數原理做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一個步驟有m1種不同的方法，做第二個步驟有m2種不同的方法……做第n個步驟有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．3．分類加法計數原理和分步乘法計數原理的區(qū)別分類加法計數原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事．4.兩個計數原理的應用用兩個計數原理解決計數問題時，最重要的是在開始計算之前要仔細分析兩點：一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分類還是需要分步．(1)分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進行計數，最后用分類加法計數原理求和，得到總數．(2)分步要做到“步驟完整”，即完成了所有步驟，恰好完成任務．分類后再計算每一步的方法數，最后根據分步乘法計數原理，把完成每一步的方法數相乘，得到總數．【題型精講】【題型一分類加法計數原理】必備技巧分類加法計數原理(1)根據題目特點恰當選擇一個分類標準．(2)分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復．(3)分類時除了不能交叉重復外，還不能有遺漏．例1(2023·濟南模擬)如果一個三位正整數如“a1a2a3”滿足a1<a2，且a2>a3，則稱這樣的三位數為凸數(如120,343,275等)，那么所有凸數的個數為()A．240B．204C．729D．920例2(2023·青島模擬)若橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的焦點在y軸上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，則這樣的橢圓的個數為________．【題型精練】1.(2023·華師大二附中高三期中）從集合中任意選擇三個不同的數，使得這三個數組成等差數列，這樣的等差數列有（）個A．98 B．56 C．84 D．492．(2023·全國高三課時練習）滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數解的有序數對(a，b)的個數為()A．14 B．13C．12 D．103．(2023·全國高三課時練習）在所有的兩位數中，個位數字大于十位數字的兩位數的個數為________．【題型二分步乘法計數原理】必備技巧分步乘法計數原理(1)利用分步乘法計數原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步之間確保連續(xù)，逐步完成．例3(全國Ⅱ高考)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為()A．24B．18C．12D．9例4(2023·云南師大附中高三模擬）洛書，古稱龜書，是陰陽五行術數之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上心有此圖象如圖，結構是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數，四角黑點為陰數（圖中白圈為陽數，黑點為陰數）.現利用陰數和陽數構成一個四位數，規(guī)則如下：（從左往右數）第一位數是陽數，第二位數是陰數，第三位數和第四位數一陰一陽和為7，則這樣的四位數有___________個例5(2023·全國高三期末）（多選題）有4位同學報名參加三個不同的社團，則下列說法正確的是（）A．每位同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有種B．每位同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有種C．每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有24種D．每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有種【題型精練】1．(2023·全國高三課時練習）核糖核酸(縮寫為RNA)，存在于生物細胞以及部分病毒、類病毒中的遺傳信息載體，RNA由核糖核苷酸經磷酸二酯鍵縮合而成長鏈狀分子，長鏈中每一個位置上都被一種稱為堿基的化學成分所占據，RNA的堿基主要有4種，分別用A，C，G，U表示．在一個RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現，假設某一RNA分子由100個堿基組成，則不同的RNA分子的種數為()A． B． C． D．2.(2023·安徽合肥一中高三開學考試）某校為了慶祝新中國成立70周年舉辦文藝匯演，原節(jié)目單上有10個節(jié)目已經排好順序，又有3個新節(jié)目需要加進去，不改變原來節(jié)目的順序，則新節(jié)目單的排法有（）種A．165 B．286 C．990 D．17163.(2023·湖南高三一模）從人中選出人參加某大學舉辦的數學、物理、化學、生物比賽，每人只能參加其中一項，且每項比賽都有人參加，其中甲、乙兩人都不能參加化學比賽，則不同的參賽方案的種數為（）A． B． C． D．【題型三數字問題】必備技巧利用兩個計數原理解決應用問題的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么．(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類．(3)弄清分步、分類的標準是什么．(4)利用兩個計數原理求解，注意0的特殊性．例6(2023·青島二中高三課時練習）用0,1,2,3,4五個數字．（1）可以排成多少個三位數字的電話號碼？（2）可以排成多少個三位數？（3）可以排成多少個能被2整除的無重復數字的三位數？例7(2023·煙臺高三模擬）用數字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復數字，且至多有一個數字是偶數的四位數，這樣的四位數一共有________個．(用數字作答)【題型精練】1．(2023·高三課時練習）計算（1）用1，2，3，4，5，6可以排成多少個數字不重復的兩位數？（2）用1，2，3，4，5，6可以排成多少個數字可以重復的兩位數？2.(2023·廣東高三模擬）用0，1，2，3，4，5可以組成多少個無重復數字的（1）密碼箱的四位密碼；（2）比2000大的四位偶數.【題型四涂色問題】必備技巧涂色問題的常用方法（1）可根據共用了多少種顏色分類討論;（2）根據相對區(qū)域是否同色分類討論;例8(2023·福建泉州科技中學月考）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，如圖，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法總數為（）A． B． C． D．例9(2023·湖北車城高中高三月考）現有6種不同的顏色，給圖中的6個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有（）A．720種 B．1440種 C．2880種 D．4320種【題型精練】1．(2023·常州市新橋高級中學高三模擬）現用五種不同的顏色，要對如圖中的四個部分進行著色，要求公共邊的兩塊不能用同一種顏色，共有__________種不同著色方法2.(2023·濟北中學高三月考）如圖所示的，，，按照下列要求涂色．（1）用3種不同顏色填涂圖中，，，四個區(qū)域，且使相鄰區(qū)域不同色，若按從左到右依次涂色，有多少種不同的涂色方案？（2）若恰好用3種不同顏色給，，，四個區(qū)域涂色，且相鄰區(qū)域不同色，共有多少種不同的涂色方案？（3）若有3種不同顏色，恰好用2種不同顏色涂完四個區(qū)域，且相鄰區(qū)域不同色，共有多少種不同的涂色方案？【題型五幾何體問題】例10(2023福建省部分名校高三聯合測評）(1)如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是()A．48 B．18C．24 D．36(2)如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構成一個“平行線面組”．在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“平行線面組”的個數是()A．60 B．48C．36 D．24【題型精練】1.(2023·全國高三課時練習）如圖所示，由連接正八邊形的三個頂點而組成的三角形中與正八邊形有公共邊的三角形有________個.2．(2023·濟南中學高三月考）過三棱柱任意兩個頂點的直線共15條，其中異面直線有多少對？9.3計數原理【題型解讀】【知識儲備】1．分類加法計數原理做一件事，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．2．分步乘法計數原理做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一個步驟有m1種不同的方法，做第二個步驟有m2種不同的方法……做第n個步驟有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．3．分類加法計數原理和分步乘法計數原理的區(qū)別分類加法計數原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事．4.兩個計數原理的應用用兩個計數原理解決計數問題時，最重要的是在開始計算之前要仔細分析兩點：一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分類還是需要分步．(1)分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進行計數，最后用分類加法計數原理求和，得到總數．(2)分步要做到“步驟完整”，即完成了所有步驟，恰好完成任務．分類后再計算每一步的方法數，最后根據分步乘法計數原理，把完成每一步的方法數相乘，得到總數．【題型精講】【題型一分類加法計數原理】必備技巧分類加法計數原理(1)根據題目特點恰當選擇一個分類標準．(2)分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復．(3)分類時除了不能交叉重復外，還不能有遺漏．例1(2023·濟南模擬)如果一個三位正整數如“a1a2a3”滿足a1<a2，且a2>a3，則稱這樣的三位數為凸數(如120,343,275等)，那么所有凸數的個數為()A．240B．204C．729D．920答案：A【解析】所以所有凸數有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個)．例2(2023·青島模擬)若橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的焦點在y軸上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，則這樣的橢圓的個數為________．答案：20【解析】當m＝1時，n＝2,3,4,5,6,7，共6個；當m＝2時，n＝3,4,5,6,7，共5個；當m＝3時，n＝4,5,6,7，共4個；當m＝4時，n＝5,6,7，共3個；當m＝5時，n＝6,7，共2個．故共有6＋5＋4＋3＋2＝20個滿足條件的橢圓．【題型精練】1.(2023·華師大二附中高三期中）從集合中任意選擇三個不同的數，使得這三個數組成等差數列，這樣的等差數列有（）個A．98 B．56 C．84 D．49答案：A【解析】當公差為時，數列可以是：，，，……，共13種情況.當公差為時，數列可以是：，，，……，共11種情況.當公差為時，數列可以是：，，，……，共9種情況.當公差為時，數列可以是：，，，……，共7種情況.當公差為時，數列可以是：，，，，，共5種情況.當公差為時，數列可以是：，，，共3種情況.當公差為時，數列可以是：，共1種情況.總的情況是.又因為三個數成公差數列有兩種情況，遞增或遞減，所以這樣的等差數列共有個.故選：A2．(2023·全國高三課時練習）滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數解的有序數對(a，b)的個數為()A．14 B．13C．12 D．10答案：B【解析】選B當a＝0時，關于x的方程為2x＋b＝0，此時有序數對(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均滿足要求；當a≠0時，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此時滿足要求的有序數對為(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)．綜上，滿足要求的有序數對共有13個．故選B.3．(2023·全國高三課時練習）在所有的兩位數中，個位數字大于十位數字的兩位數的個數為________．答案：36【解析】按十位數字分類，十位可為1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數分別有8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個，則共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36個兩位數．【題型二分步乘法計數原理】必備技巧分步乘法計數原理(1)利用分步乘法計數原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步之間確保連續(xù)，逐步完成．例3(全國Ⅱ高考)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為()A．24B．18C．12D．9答案：B【解析】從E點到F點的最短路徑有6條，從F點到G點的最短路徑有3條，所以從E點到G點的最短路徑有6×3＝18(條)，故選B.例4(2023·云南師大附中高三模擬）洛書，古稱龜書，是陰陽五行術數之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上心有此圖象如圖，結構是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數，四角黑點為陰數（圖中白圈為陽數，黑點為陰數）.現利用陰數和陽數構成一個四位數，規(guī)則如下：（從左往右數）第一位數是陽數，第二位數是陰數，第三位數和第四位數一陰一陽和為7，則這樣的四位數有___________個答案：120【解析】據題意，陽數為：1，3，5，7，9，陰數為：2，4，6，8，第一位數的選擇有5種，第二位數的選擇有4種，第三位數和第四位數可以的組合有（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）共有6種選擇，根據分步乘法計數原理，這樣的四位數共有個.故答案為：例5(2023·全國高三期末）（多選題）有4位同學報名參加三個不同的社團，則下列說法正確的是（）A．每位同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有種B．每位同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有種C．每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有24種D．每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有種答案：AC【解析】對于A選項，第1個同學有3種報法，第2個同學有3種報法，后面的2個同學也有3種報法，根據分步計數原理共有種結果，A正確，B錯誤；對于C選項，每個社團限報一個人，則第1個社團有4種選擇，第2個社團有3種選擇，第3個社團有2種選擇，根據分步計數原理共有種結果，C正確，D錯誤.故選：AC.【題型精練】1．(2023·全國高三課時練習）核糖核酸(縮寫為RNA)，存在于生物細胞以及部分病毒、類病毒中的遺傳信息載體，RNA由核糖核苷酸經磷酸二酯鍵縮合而成長鏈狀分子，長鏈中每一個位置上都被一種稱為堿基的化學成分所占據，RNA的堿基主要有4種，分別用A，C，G，U表示．在一個RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現，假設某一RNA分子由100個堿基組成，則不同的RNA分子的種數為()A． B． C． D．答案：B【解析】由100個堿基組成的長鏈共有100個位置，從A，C，G，U中任選1個依次填入這100個位置中，每個位置都有4種填充方法，根據分步乘法計數原理，可得不同的RNA分子的種數為．故選：B2.(2023·安徽合肥一中高三開學考試）某校為了慶祝新中國成立70周年舉辦文藝匯演，原節(jié)目單上有10個節(jié)目已經排好順序，又有3個新節(jié)目需要加進去，不改變原來節(jié)目的順序，則新節(jié)目單的排法有（）種A．165 B．286 C．990 D．1716答案：D【解析】第一步：10個節(jié)目空出11個位置，加入1個新來的節(jié)目，所以加入一個新節(jié)目有11種方法，第二步：從排好的11個節(jié)目空出的12個位置中，加入第2個新節(jié)目，有12種方法，第三步：從排好的12個節(jié)目空出的13個位置中，加入第3個新節(jié)目，有13種方法，所以由分步乘法計數原理得，加入3個新節(jié)目后的節(jié)目單的排法有（種）.故選：D3.(2023·湖南高三一模）從人中選出人參加某大學舉辦的數學、物理、化學、生物比賽，每人只能參加其中一項，且每項比賽都有人參加，其中甲、乙兩人都不能參加化學比賽，則不同的參賽方案的種數為（）A． B． C． D．答案：C【解析】第一步，因為甲、乙兩人都不能參加化學比賽，所以從剩下的人中選人參加化學比賽，共有種選法；第二步，在剩下的人中任選人參加數學、物理、生物比賽，共有種選法．由分步乘法計數原理，得不同的參賽方案的種數為，故選：C．【題型三數字問題】必備技巧利用兩個計數原理解決應用問題的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么．(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類．(3)弄清分步、分類的標準是什么．(4)利用兩個計數原理求解，注意0的特殊性．例6(2023·青島二中高三課時練習）用0,1,2,3,4五個數字．（1）可以排成多少個三位數字的電話號碼？（2）可以排成多少個三位數？（3）可以排成多少個能被2整除的無重復數字的三位數？答案：（1）125個；（2）100個；（3）30個.【解析】（1）三位數字的電話號碼，首位可以是0，數字也可以重復，每個位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125(個)．（2）三位數的首位不能為0，但可以有重復數字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(個)．（3）被2整除的數即偶數，末位數字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是末位數字是0，則有4×3＝12(種)排法；一類是末位數字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法．因而有12＋18＝30(種)排法．即可以排成30個能被2整除的無重復數字的三位數．例7(2023·煙臺高三模擬）用數字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復數字，且至多有一個數字是偶數的四位數，這樣的四位數一共有________個．(用數字作答)答案：1080【解析】①當組成四位數的數字中有一個偶數時，四位數的個數為Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝960.②當組成四位數的數字中不含偶數時，四位數的個數為Aeq\o\al(4,5)＝120.故符合題意的四位數一共有960＋120＝1080(個)．【題型精練】1．(2023·高三課時練習）計算（1）用1，2，3，4，5，6可以排成多少個數字不重復的兩位數？（2）用1，2，3，4，5，6可以排成多少個數字可以重復的兩位數？答案：（1）（2）【解析】（1）第一步十位數字有6種選擇，然后第二步個位數字在剩下的5個數字中選擇有5種方法，運用乘法原理得．所以可以排成個不重復的兩位數；（2）第一步十位數字有6種選擇，然后第二步個位數字有6種選擇，運用乘法原理得．所以可以排成個可以重復的兩位數；2.(2023·廣東高三模擬）用0，1，2，3，4，5可以組成多少個無重復數字的（1）密碼箱的四位密碼；（2）比2000大的四位偶數.答案：（1）360；（2）120【解析】解：（1）分步解決.第一步：選取第一個位置上的數字，有6種選取方法；第二步：選取第二個位置上的數字，有5種選取方法；第三步：選取第三個位置上的數字，有4種選取方法；第四步：選取第四個位置上的數字，有3種選取方法.由分步乘法計數原理知，可組成無重復數字的四位密碼共有.（2）按個位是0，2，4分為三類.第一類：個位是0的有個；第二類：個位是2的有個；第三類：個位是4的有個.故由分類加法計數原理得比2000大的四位偶數有個.【題型四涂色問題】必備技巧涂色問題的常用方法（1）可根據共用了多少種顏色分類討論;（2）根據相對區(qū)域是否同色分類討論;例8(2023·福建泉州科技中學月考）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，如圖，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法總數為（）A． B． C． D．答案：C【解析】分兩步,先將四棱錐一側面三頂點染色,然后再分類考慮另外兩頂點的染色數,用乘法原理可求解，由題設，四棱錐S-ABCD的頂點S,A,B所染的顏色互不相同,它們共有種染色方法；當染好時，不妨設所染顏色依次為1,2,3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4,則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法,即當S,A,B染好時，C,D還有7種染法.故不同的染色方法有種.

故選：C例9(2023·湖北車城高中高三月考）現有6種不同的顏色，給圖中的6個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有（）A．720種 B．1440種 C．2880種 D．4320種答案：D【解析】根據題意分步完成任務：第一步：完成3號區(qū)域：從6種顏色中選1種涂色，有6種不同方法；第二步：完成1號區(qū)域：從除去3號區(qū)域的1種顏色后剩下的5種顏色中選1種涂色，有5種不同方法；第三步：完成4號區(qū)域：從除去3、1號區(qū)域的2種顏色后剩下的4種顏色中選1種涂色，有4種不同方法；第四步：完成2號區(qū)域：從除去3、1、4號區(qū)域的3種顏色后剩下的3種顏色中選1種涂色，有3種不同方法；第五步：完成5號區(qū)域：從除去1、2號區(qū)域的2種顏色后剩下的4種顏色中選1種涂色，有4種不同方法；第六步：完成6號區(qū)域：從除去1、2、5號區(qū)域的3種顏色后剩下的3種顏色中選1種涂色，有3種不同方法；所以不同的涂色方法：種.故選：D.【題型精練】1．(2023·常州市新橋高級中學高三模擬）現用五種不同的顏色，要對如圖中的四個部分進行著色，要求公共邊的兩塊不能用同一種顏色，共有__________種不同著色方法答案：【解析】先排，有種方法；然后排，最后排：①當相同時，方法有種，故方法數有種.②當不同時，方法有種，故方法數有種.綜上所述，不同的著色方法數有種.故答案為：2.(2023·濟北中學高三月考）如圖所示的，，，按照下列要求涂色．（1）用3種不同顏色填涂圖中，，，四個區(qū)域，且使相鄰區(qū)域不同色，若按從左到右依次涂色，有多少種不同的涂色方案？（2）若恰好用3種不同顏色給，，，四個區(qū)域涂色，且相鄰區(qū)域不同色，共有多少種不同的涂色方案？（3）若有3種不同顏色，恰好用2種不同顏色涂完四個區(qū)域，且相鄰區(qū)域不同色，共有多少種不同的涂色方案？答案：（1）24；（2）18；（3）6.