高二上學期數(shù)學北師大版（2019）選擇性必修第一冊第一章空間向量與立體幾何同步單元必刷卷（基礎卷）（全解全析）（含答案）

第一章空間向量與立體幾何同步單元必刷卷（基礎卷）全解全析1．D【解析】【分析】根據(jù)空間四點共面的充要條件代入即可解決【詳解】由、、、四點共面，且其中任意三點均不共線可得，解之得故選：D2．A【解析】【分析】利用空間向量的基本定理求解.【詳解】解：，，，，故選；A3．A【解析】【分析】由空間向量平行的坐標公式求出即可.【詳解】由，解得，則.故選：A.4．B【解析】【分析】先以為基底表示空間向量，再利用數(shù)量積運算律求解.【詳解】解：，，，，所以，故選：B5．A【解析】【分析】取的中點，連接，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得和所成角的余弦值.【詳解】取的中點，連接，設，因為是邊長為的等邊三角形，則，因為平面，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，，，，因此，和所成角的余弦值為.故選：A.6．C【解析】【分析】將向量轉化成，然后等式兩邊同時平方表示出向量的模，再根據(jù)向量的數(shù)量積求出向量與的夾角，而向量與的夾角就是二面角的補角．【詳解】由條件，知．，，即，所以二面角的大小為故選：C．7．A【解析】【分析】根據(jù)空間點線面位置關系的向量表示，即可判斷各命題的真假．【詳解】對A，若，則直線平面或直線平面，A錯誤；對B，若，則直線平面，B正確；對C，設直線l與平面所成角的大小為，則，所以，C正確；對D，設平面、所成銳角的大小為，則，所以，，D正確．故選：A．8．B【解析】【分析】根據(jù)特殊位置即可判斷出周長，根據(jù)等體積，可判斷高最大，體積最大，根據(jù)線面垂直可判斷線線垂直，根據(jù)二面角的向量求法即可作出判斷.【詳解】當時，是的中點，,當時，，,

故當時的周長并不是最小的.故A錯.當λ=0時，,只需要面積最大體積就最大，此時重合，故B對.當是中點時，平面,又平面，則，故C錯.取中點為,則平面,以所在直線為軸，故建立如圖所示空間直角坐標系，平面的法向量為,故設平面的法向量為所以

令，則，故，故D不對.故選：B9．AC【解析】【分析】由向量共面定理可判斷AC；取，為零向量可判斷B；取，A，三點共線，點P與，A，不共線可判斷D.【詳解】由向量共面定理可知A正確；當，為零向量可知B錯誤；由向量共面定理可知共面，又因為共始點，所以點，，A，共面，故C正確；當，A，三點共線，點P與，A，不共線時可知D錯誤.故選：AC10．AD【解析】【詳解】根據(jù)空間向量共面的判定定理及空間向量基底的概念逐項判斷即可.【解答】解：，，是空間的三個單位向量，由，，則，故A正確；，，兩兩共面，但是，，不一定共面，，，可能兩兩垂直，故B錯誤；由空間向量基本定理，可知只有當，，不共面，才能作為基底，才能得到，故C錯誤；若是空間的一組基底，則，，不共面，可知也不共面，所以也是空間的一組基底，故D正確．故選：AD.11．BCD【解析】【分析】由空間向量平行的性質及空間向量模長，數(shù)量積，夾角的坐標運算進行判斷即可.【詳解】對于A選項：，不存在，使得，故A錯誤；對于B選項：，，故B正確；對于C選項：，，則，故C正確；對于D選項：，，所以，故D正確；故選：BCD.12．ACD【解析】【分析】在正三棱柱中，如圖建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量可判斷A；求出直線與BC的方向向量，通過異面直線所成角的向量公式可判斷B；因為點M在內，所以設可表示出的坐標，由可求出的范圍，再求出CM與平面ABC所成的角的正弦值可判斷C；設，求出，，表示出可判斷D.【詳解】對于A，在正三棱柱中，為的中點，所以，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，，所以，，設平面的法向量為，則，令，則，，所以，設平面，所以，則平面⊥平面，所以A正確；對于B，，，設直線與BC所成角為，則，所以異面直線與所成角的余弦值為，故B不正確.對于C，設平面，因為點M在內（包括邊界）且，所以設，則四點共面，則，所以，則，所以，所以，因為，所以化簡得：，所以，解得：，設CM與平面ABC所成的角為，所以，所以CM與平面ABC所成的角的正弦值的最大值為，故C正確.對于D，設，則、，因為，，所以，，則，，所以，所以當時有最小值，所以，所以，故D正確；故選:ACD.13．（答案不唯一）【解析】【分析】先求得向量的坐標，再依據(jù)題給條件列方程去求向量的坐標即可解決.【詳解】由點，可得，又向量在上的投影向量為，則則，又向量與向量不共線，則不成立則可令，即，故答案為：（答案不唯一）14．【解析】【分析】利用向量數(shù)量積求得向量的模，即可求得線段的長【詳解】則即線段的長為故答案為：15．【解析】【分析】先求出，再由求解即可.【詳解】在中，因為是的中點，所以，所以.故答案為：.16．①②③⑤【解析】【分析】由正方體的平面展開圖可得正方體，建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得；【詳解】解：由正方體的平面展開圖可得正方體（其中與重合），如圖建立空間直角坐標系，令正方體的棱長為，則，，，，，，，，，所以，，所以，所以，故①正確；，，所以，，即，，，平面，所以平面，即②正確；，顯然與是異面直線，設與所成角為，則，因為，所以，故③正確；，平面的法向量可以為，設與平面所成的角為，所以，故④錯誤；，，設平面的法向量為，則，令，所以，設二面角為，顯然二面角為銳二面角，則，所以，故⑤正確；故答案為：①②③⑤17．(1)25(2)或【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量的坐標線性運算與數(shù)量積公式求解即可；（2）根據(jù)垂直的數(shù)量積表示，結合向量的坐標公式求解即可(1)因為，，故，，故(2)，，，因為，故，即，故，即，故或18．(1)(2)(3)證明見解析【解析】【分析】（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量的模長公式可求得結果；（2）利用空間向量數(shù)量積的坐標運算可求得的值；（3）利用空間向量法可證得，，再利用線面垂直的判定定理可證得結論成立.(1)解：因為平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則，，所以，，則.(2)解：依題意得、、、，所以，，，，又，，所以，.(3)證明：依題意得、、、、，則，，，所以，，，則，，即，，又因為，所以，平面.19．(1)證明過程見解析(2)【解析】【分析】（1）作出輔助線，由線線垂直得到線面垂直，進而證明出AC⊥BD；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求解二面角的余弦.(1)連接BD，因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，因為平面ABCD⊥平面CDEF，交線為CD，ED⊥CD，ED平面CDEF，所以ED⊥平面ABCD，因為AC平面ABCD，所以ED⊥AC，因為BDED=D，所以AC⊥平面BDE，因為BE平面BDE，所以AC⊥BD(2)取BC的中點G，連接DG，BD，因為∠BCD=60°，四邊形ABCD是邊長為4的菱形，所以DG⊥BC，因為AD∥BC，所以DG⊥AD，以D為坐標原點，DA所在直線為x軸，DG所在直線為y軸，DE所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，則，設平面BCF的法向量為，則，解得：，令，則，平面ADE的法向量為，設平面ADE與平面BCF所成角為，顯然為銳角，則20．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)條件首先證明，再證明，由線面垂直的判定定理即可證明平面.（2）如圖，以為一組正交基底，建立空間直角坐標系，設，分別求出平面MNA與底面ABCD的法向量，由二面角公式可求出，即可求出PC的長.(1)證明：連接BD，因為底面為正方形，所以．因為平面，平面，所以．又，平面，平面，所以平面因為平面，所以．同理，．在中，M，N分別為PB，PD的中點，所以．因為，所以．又，平面，平面，所以平面．(2)解：如圖，以為一組正交基底，建立空間直角坐標系，設，則，，，，所以，．設平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為．因為平面，所以平面的一個法向量為，所以，解得．所以，．21．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）取，利用平行線分線段成比例和平行四邊形的性質，結合線面平行的判定可證得平面，平面，由面面平行的判定與性質可證得結論；（2）以為坐標原點可建立空間直角坐標系，利用面面角的向量求法可求得所求角的余弦值，由余弦值可求得正弦值.(1)在上取一點，使得，連接，，，又平面，平面，平面；，，，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面；，平面，平面平面，平面，平面.(2)由題意知：以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，平面與平面所成設平面的法向量，則，令，解得：，，；設平面的法向量，則，令，解得：，，；，平面與平面所成角的正弦值為.22．(1)(2)存在，當Q為AD上靠近A的四等分點時，PQ與平面APB所成角的正弦值為【解析】【分析】（1）如圖建系，求得各點坐標，進而可得坐標，即可求得平面PAB的法向量，根據(jù)線面垂直的性質及判定定理，可證平面，則即為平面的法向量，根據(jù)二面角的向量求法，即可得答案.（2）假設存在點Q滿足題意，設，因為，即可求得Q點坐標，進而可得坐標，根據(jù)線面角的向量求法，代入公式，計算可得值，即可得答案.(1)由題意得平面ABCD，且，以O為原點，分別以OA，OB，OP為x，y，z軸正方向建系，如圖所示所以，所以，設平面PAB的法向量，則，即，令