高一數(shù)學(xué)下學(xué)期考點(diǎn)精講+精練(人教A版2019必修第二冊)第02講平面向量的加、減法運(yùn)算(原卷版+解析)

第2講平面向量的加、減法運(yùn)算知識點(diǎn)1向量的加法向量的加法運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)加法求兩個向量和的運(yùn)算向量加法的三角形法則：如圖所示，已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a與b的和(或和向量)，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).上述求兩個向量和的作圖法則，叫做向量加法的三角形法則．21·世紀(jì)*對于零向量與任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a.向量加法的平行四邊形法則：如圖所示，已知兩個不共線向量a，b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則O、A、B三點(diǎn)不共線，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形，則以O(shè)為起點(diǎn)的對角線上的向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，這個法則叫做兩個向量加法的平行四邊形法則．www-2-向量加法的三角形法則：（類比位移）記憶口訣：首尾相接首尾連平行四邊形法則：（類比力的合成）記憶口訣：共起點(diǎn)，連對角向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯(lián)系．區(qū)別：(1)三角形法則中強(qiáng)調(diào)“首尾相接”，平行四邊形法則中強(qiáng)調(diào)的是“共起點(diǎn)”；(2)三角形法則適用于任意兩個非零向量求和（當(dāng)兩個向量共線時，三角形法則同樣適用），而平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個向量求和．聯(lián)系：(1)當(dāng)兩個向量不共線時，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統(tǒng)一的；(2)三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半．向量加法的運(yùn)算律：交換律：；結(jié)合律：．和向量的模與原向量之間的關(guān)系：一般地，我們有．當(dāng)與共線且同向時，；當(dāng)與共線且異向時，；當(dāng)與不共線時，．知識點(diǎn)2向量的減法1、相反向量(1)我們規(guī)定，與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.(2)－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.若，互為相反向量，則，，0(3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－0.2、向量的減法運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)減法向量加上向量的相反向量，叫做與的差，即，求兩個向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法，向量的減法實(shí)質(zhì)上也是向量的加法．向量減法的三角形法則：如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，，則向量為所求，即．即把兩個向量的起點(diǎn)放在一起，則兩個向量的差是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)、被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量．向量減法的平行四邊形法則：如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，，分別以，為邊作平行四邊形，連接，則，這種作差向量的方法實(shí)質(zhì)上是利用向量減法的定義．向量減法的三角形法則：記憶口訣：首同尾連指被減向量的加法和減法的運(yùn)算問題關(guān)于向量的加法和減法運(yùn)算問題，一種解法就是依據(jù)三角形法則通過作圖來解決，另一種解法就是通過表示向量的有向線段的字母符號運(yùn)算來解決．具體地說，在一個用有向線段表示向量的運(yùn)算式子中，將式子中的“?”改為“＋”只需把表示向量的兩個字母的順序顛倒一下即可．如“”改為“”．解用幾個基本向量表示某向量問題的基本技巧是，第一步：觀察各向量位置；第二步：尋找（或作）相應(yīng)的平行四邊形或三角形：第三步：運(yùn)用法則找關(guān)系；第四步：化簡結(jié)果．考點(diǎn)一向量的加法運(yùn)算解題方略（1）平行四邊形法則的應(yīng)用前提：兩個向量是從同一點(diǎn)出發(fā)的不共線向量．三角形法則應(yīng)用的前提：兩個向量“首尾相接”．當(dāng)兩個向量不共線時，三角形法則和平行四邊形法則實(shí)質(zhì)是一樣的．三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出圖形的一半．但當(dāng)兩個向量共線時，平行四邊形法則便不再適用．向量的加法法則已知向量a與向量b，要作出和向量a＋b，關(guān)鍵是準(zhǔn)確規(guī)范地依據(jù)向量的三角形法則和平行四邊形法則作圖．【例1】如圖，已知向量，，求作向量．變式1：如圖，在下列各小題中，已知向量、，分別用兩種方法求作向量．向量的加法運(yùn)算在向量的加法運(yùn)算中，通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序，可以省去畫圖步驟，加快解題速度.【例2】化簡：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)).變式1：向量﹒化簡后等于（）A. B.0 C. D.變式2：化簡下列各式：①；②；③；④．其中結(jié)果為的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4變式3：已知、是不平行的向量，若，，，則下列關(guān)系中正確的是（）A．B．C． D．【例3】已知正六邊形，則（）A． B． C． D．變式1：如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC和BD的交點(diǎn)．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝________；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝________；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝________；(4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝________.變式2：如圖，在中，D為BC的中點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C． D．變式3：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，則（）A． B． C． D．變式4：已知點(diǎn)O是的兩條對角線的交點(diǎn)，則下面結(jié)論中正確的是（）．A． B．C． D．變式5：如圖，在中，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，則（）A． B． C． D．變式6：已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，則下列等式中錯誤的（）A． B．C． D．變式7：在四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，則()A．ABCD一定是矩形B．ABCD一定是菱形C．ABCD一定是正方形D．ABCD一定是平行四邊形【例4】在矩形ABCD中，，，則向量的長度為（）A． B． C．12 D．6變式1：如圖所示,在正六邊形ABCDEF中,若AB=1,則|AB+FE+CDA.1 B.2 C.3 D.23向量加法的應(yīng)用要證四邊形是平行四邊形，只需證一組對邊平行且相等.根據(jù)向量相等的意義，只需證其一組對邊對應(yīng)的向量相等即可.【例5】用向量方法證明對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．向量加法的實(shí)際應(yīng)用向量應(yīng)用題要首先畫出圖形.解決的步驟是：1將應(yīng)用問題中的量抽象成向量；2化歸為向量問題，進(jìn)行向量運(yùn)算；3將向量問題還原為實(shí)際問題.【例6】某人在靜水中游泳，速度為4eq\r(3)千米/小時，他在水流速度為4千米/小時的河中游泳．他必須朝哪個方向游，才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)？實(shí)際前進(jìn)的速度大小為多少？變式1：一艘船以5km/h的速度向垂直于對岸方向行駛，航船實(shí)際航行方向與水流方向成30°角，求水流速度和船實(shí)際速度．

考點(diǎn)二向量的減法運(yùn)算相反向量【例7】若非零向量和互為相反向量，則下列說法中錯誤的是（）．A． B． C． D．變式1：向量，互為相反向量，已知，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．為實(shí)數(shù)0 C．與方向相同 D．變式2：如圖，在四邊形中，與交于點(diǎn)，若，則下面互為相反向量的是（）A．與 B．與 C．與 D．與向量的減法法則1.作兩向量的差的步驟eq\x(移)—eq\x(平移向量使之共起點(diǎn))↓eq\x(連)—eq\x(連接兩向量的終點(diǎn)，方向指向被減向量.)2．求兩個向量的減法的注意點(diǎn)(1)可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可．(2)向量減法的三角形法則對共線向量也適用．【例8】如圖，在各小題中，已知，分別求作．變式1：如圖，已知向量a，b，c，求作a－b－c．向量的減法運(yùn)算1首尾相接且為和；2起點(diǎn)相同且為差.,做題時要注意觀察是否有這兩種形式.同時要注意逆向應(yīng)用，統(tǒng)一向量起點(diǎn)方法的應(yīng)用.【例9】化簡eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))得()A．eq\o(AB,\s\up6(→))B．eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．0變式1：化簡：(1)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋(－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(MO,\s\up6(→)))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)).變式2：化簡下列各式：①；②；③；④.其中結(jié)果為的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4變式3：下列四式不能化簡為的是（）A．B．C．D．【例10】在正方形中，（）A． B． C． D．變式1：在五邊形中（如圖），（）A． B． C． D．變式2：在五邊形中（如圖），下列運(yùn)算結(jié)果為的是（）A． B．C． D．變式3：如右圖，，，分別是的邊，，的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．（三）向量減法的應(yīng)用【例11】已知正方形的邊長為1，，，，則等于（）A．0 B．1 C． D．2【例12】在中，若，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形變式1：已知△OAB中，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，滿足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|與△OAB的面積．變式2：已知非零向量a，b滿足|a|＝eq\r(7)＋1，|b|＝eq\r(7)－1，且|a－b|＝4，則|a＋b|的值為．第四關(guān)第四關(guān)鞏固練習(xí)識梳理鞏固練習(xí)識梳理練習(xí)一向量的加法運(yùn)算1、如圖，已知向量a、b，求作向量a＋b.2、化簡(1)eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))；(2)eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))；(3)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→)).(4)eq\o(DB,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))；(5)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→)).3、向量化簡后等于（）A． B． C． D．4、向量化簡后等于（）A． B． C． D．5、向量化簡后等于（）A． B． C． D．6、在平行四邊形中，等于（）A． B． C． D．7、如圖所示,點(diǎn)O是正六邊形的中心,則()A. B.0 C. D.8、如圖，已知O為正六邊形ABCDEF的中心，求下列向量：①eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))；②eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；③eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)).9、已知正方形的邊長為，設(shè)，，，則等于（）．A． B． C． D．10、在四川5·12大地震后，一架救援直升飛機(jī)從A地沿北偏東60°方向飛行了40km到B地，再由B地沿正北方向飛行40km到達(dá)C地，求此時直升飛機(jī)與A地的相對位置．練習(xí)二向量的減法運(yùn)算1、如圖，已知向量，，求作向量．2、化簡（1）(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))－(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→)))(2)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))．3、化簡得（）A．B．C． D．4、在△ABC中，eq\o(BC,\s\up7(→))＝a，eq\o(CA,\s\up7(→))＝b，則eq\o(AB,\s\up7(→))等于()A．a(chǎn)＋bB．－a＋(－b)C．a(chǎn)－b D．b－a5、在平行四邊形ABCD中，（）A． B． C． D．6、(多選)若a，b為非零向量，則下列命題正確的是()A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，則a與b方向相同B．若|a|＋|b|＝|a－b|，則a與b方向相反C．若|a|＋|b|＝|a－b|，則|a|＝|b|D．若||a|－|b||＝|a－b|，則a與b方向相同7、在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝|eq\o(CA,\s\up7(→))|＝1，則|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(BC,\s\up7(→))|＝________.第2講平面向量的加、減法運(yùn)算知識點(diǎn)1向量的加法向量的加法運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)加法求兩個向量和的運(yùn)算向量加法的三角形法則：如圖所示，已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a與b的和(或和向量)，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).上述求兩個向量和的作圖法則，叫做向量加法的三角形法則．21·世紀(jì)*對于零向量與任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a.向量加法的平行四邊形法則：如圖所示，已知兩個不共線向量a，b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則O、A、B三點(diǎn)不共線，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形，則以O(shè)為起點(diǎn)的對角線上的向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，這個法則叫做兩個向量加法的平行四邊形法則．www-2-向量加法的三角形法則：（類比位移）記憶口訣：首尾相接首尾連平行四邊形法則：（類比力的合成）記憶口訣：共起點(diǎn)，連對角向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯(lián)系．區(qū)別：(1)三角形法則中強(qiáng)調(diào)“首尾相接”，平行四邊形法則中強(qiáng)調(diào)的是“共起點(diǎn)”；(2)三角形法則適用于任意兩個非零向量求和（當(dāng)兩個向量共線時，三角形法則同樣適用），而平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個向量求和．聯(lián)系：(1)當(dāng)兩個向量不共線時，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統(tǒng)一的；(2)三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半．向量加法的運(yùn)算律：交換律：；結(jié)合律：．和向量的模與原向量之間的關(guān)系：一般地，我們有．當(dāng)與共線且同向時，；當(dāng)與共線且異向時，；當(dāng)與不共線時，．知識點(diǎn)2向量的減法1、相反向量(1)我們規(guī)定，與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.(2)－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.若，互為相反向量，則，，0(3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－0.2、向量的減法運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)減法向量加上向量的相反向量，叫做與的差，即，求兩個向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法，向量的減法實(shí)質(zhì)上也是向量的加法．向量減法的三角形法則：如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，，則向量為所求，即．即把兩個向量的起點(diǎn)放在一起，則兩個向量的差是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)、被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量．向量減法的平行四邊形法則：如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，，分別以，為邊作平行四邊形，連接，則，這種作差向量的方法實(shí)質(zhì)上是利用向量減法的定義．向量減法的三角形法則：記憶口訣：首同尾連指被減向量的加法和減法的運(yùn)算問題關(guān)于向量的加法和減法運(yùn)算問題，一種解法就是依據(jù)三角形法則通過作圖來解決，另一種解法就是通過表示向量的有向線段的字母符號運(yùn)算來解決．具體地說，在一個用有向線段表示向量的運(yùn)算式子中，將式子中的“?”改為“＋”只需把表示向量的兩個字母的順序顛倒一下即可．如“”改為“”．解用幾個基本向量表示某向量問題的基本技巧是，第一步：觀察各向量位置；第二步：尋找（或作）相應(yīng)的平行四邊形或三角形：第三步：運(yùn)用法則找關(guān)系；第四步：化簡結(jié)果．考點(diǎn)一向量的加法運(yùn)算解題方略（1）平行四邊形法則的應(yīng)用前提：兩個向量是從同一點(diǎn)出發(fā)的不共線向量．三角形法則應(yīng)用的前提：兩個向量“首尾相接”．當(dāng)兩個向量不共線時，三角形法則和平行四邊形法則實(shí)質(zhì)是一樣的．三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出圖形的一半．但當(dāng)兩個向量共線時，平行四邊形法則便不再適用．向量的加法法則已知向量a與向量b，要作出和向量a＋b，關(guān)鍵是準(zhǔn)確規(guī)范地依據(jù)向量的三角形法則和平行四邊形法則作圖．【例1】如圖，已知向量，，求作向量．【解析】（1）平移，使其起點(diǎn)與起點(diǎn)重合，再應(yīng)用平行四邊形法則，作出，如下圖示：（2）平移，使其終點(diǎn)與起點(diǎn)重合，再以的起點(diǎn)為起點(diǎn)，的終點(diǎn)為終點(diǎn)作，如下圖示：變式1：如圖，在下列各小題中，已知向量、，分別用兩種方法求作向量．【解析】將的起點(diǎn)移到的終點(diǎn)，再首尾相接，可得；將兩個向量的起點(diǎn)移到點(diǎn)，利用平行四邊形法則，以、為鄰邊，作出平行四邊形，則過點(diǎn)的對角線為向量.如圖所示，．（1）；（2）；（3）；（4）.向量的加法運(yùn)算在向量的加法運(yùn)算中，通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序，可以省去畫圖步驟，加快解題速度.【例2】化簡：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)).【解析】(1)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝0.(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝0.變式1：向量﹒化簡后等于（）A. B.0 C. D.【解析】,故選D.變式2：化簡下列各式：①；②；③；④．其中結(jié)果為的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】對于①：，對于②：，對于③：，對于④：，所以結(jié)果為的個數(shù)是，故選：B變式3：已知、是不平行的向量，若，，，則下列關(guān)系中正確的是（）A．B．C． D．【解析】＝＋＋＝＝＝2．故選：C【例3】已知正六邊形，則（）A． B． C． D．【解析】因?yàn)檎呅?，所以，所?故選：C變式1：如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC和BD的交點(diǎn)．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝________；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝________；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝________；(4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝________.【解析】(1)eq\o(AC,\s\up6(→))(2)eq\o(AO,\s\up6(→))(3)eq\o(AD,\s\up6(→))(4)變式2：如圖，在中，D為BC的中點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C． D．【解析】對于A，大小不相等，分向不相同，故不是相等向量，故A錯誤；對于B，大小不相等，分向相反，是相反向量，故B錯誤；對于C，利用三角形法則知，故C錯誤；對于D，利用三角形法則知，故D正確；故選：D變式3：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，則（）A． B． C． D．【解析】如圖，設(shè)交于點(diǎn)，則.故選：D變式4：已知點(diǎn)O是的兩條對角線的交點(diǎn)，則下面結(jié)論中正確的是（）．A． B．C． D．【解析】對于A：，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：，故C錯誤；對于D：，故D錯誤；故選：B變式5：如圖，在中，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【解析】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.故選：A變式6：已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，則下列等式中錯誤的（）A． B．C． D．【解析】由題意，根據(jù)向量的加法運(yùn)算法則，可得，故A正確；由，故B正確；根據(jù)平行四邊形法則，可得，故C正確，D不正確.故選：D.變式7：在四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，則()A．ABCD一定是矩形B．ABCD一定是菱形C．ABCD一定是正方形D．ABCD一定是平行四邊形【解析】由eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))知，由A，B，C，D構(gòu)成的四邊形一定是平行四邊形．【例4】在矩形ABCD中，，，則向量的長度為（）A． B． C．12 D．6【解析】因?yàn)?，所以的長度為的模的2倍．又，所以向量的長度為故選：B變式1：如圖所示,在正六邊形ABCDEF中,若AB=1,則|AB+FE+CDA.1 B.2 C.3 D.23【解析】由題,可知FE=BC,所以|AB+FE+CD|=|AB+向量加法的應(yīng)用要證四邊形是平行四邊形，只需證一組對邊平行且相等.根據(jù)向量相等的意義，只需證其一組對邊對應(yīng)的向量相等即可.【例5】用向量方法證明對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．證明：如圖，根據(jù)向量加法的三角形法則有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)).又∵eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).∴AB∥DC且AB＝DC，即AB與DC平行且相等．∴四邊形ABCD是平行四邊形．向量加法的實(shí)際應(yīng)用向量應(yīng)用題要首先畫出圖形.解決的步驟是：1將應(yīng)用問題中的量抽象成向量；2化歸為向量問題，進(jìn)行向量運(yùn)算；3將向量問題還原為實(shí)際問題.【例6】某人在靜水中游泳，速度為4eq\r(3)千米/小時，他在水流速度為4千米/小時的河中游泳．他必須朝哪個方向游，才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)？實(shí)際前進(jìn)的速度大小為多少？【解析】如圖，設(shè)此人的實(shí)際速度為eq\o(OD,\s\up6(→))，水流速度為eq\o(OA,\s\up6(→))，游速為eq\o(OB,\s\up6(→))，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))，在Rt△AOD中，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4eq\r(3)，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4，則|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝4eq\r(2)，cos∠DAO＝eq\f(\r(3),3).故此人沿向量eq\o(OB,\s\up6(→))的方向游(即逆著水流且與河岸所成夾角的余弦值為eq\f(\r(3),3))，實(shí)際前進(jìn)的速度大小為4eq\r(2)千米/小時．變式1：一艘船以5km/h的速度向垂直于對岸方向行駛，航船實(shí)際航行方向與水流方向成30°角，求水流速度和船實(shí)際速度．【解析】如圖所示，eq\o(OA,\s\up6(→))表示水流速度，eq\o(OB,\s\up6(→))表示船垂直于對岸的方向行駛的速度，eq\o(OC,\s\up6(→))表示船實(shí)際航行的速度，∠AOC＝30°，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝5..∵四邊形OACB為矩形，∴|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))|,tan30°)＝5eq\r(3)，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(|\o(OB,\s\up6(→))|,sin30°)＝10，∴水流速度大小為5eq\r(3)km/h，船實(shí)際速度為10km/h.

考點(diǎn)二向量的減法運(yùn)算相反向量【例7】若非零向量和互為相反向量，則下列說法中錯誤的是（）．A． B． C． D．【解析】由平行向量的定義可知項(xiàng)正確；因?yàn)楹偷姆较蛳喾?，所以，故?xiàng)正確；由相反向量的定義可知，故選項(xiàng)正確；由相反向量的定義知，故項(xiàng)錯誤；故選：C．變式1：向量，互為相反向量，已知，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．為實(shí)數(shù)0 C．與方向相同 D．【解析】向量，互為相反向量，則，模相等、方向相反，所以，故A錯誤；，故B錯誤；與方向相反，故C錯誤；，故D正確.故選：D.變式2：如圖，在四邊形中，與交于點(diǎn)，若，則下面互為相反向量的是（）A．與 B．與 C．與 D．與【解析】因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，互相平分，所以，即與為相反向量.故選：B向量的減法法則1.作兩向量的差的步驟eq\x(移)—eq\x(平移向量使之共起點(diǎn))↓eq\x(連)—eq\x(連接兩向量的終點(diǎn)，方向指向被減向量.)2．求兩個向量的減法的注意點(diǎn)(1)可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可．(2)向量減法的三角形法則對共線向量也適用．【例8】如圖，在各小題中，已知，分別求作．【解析】將的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)，再首尾相接，方向指向被減向量，如圖，，(1)(2)(3)(4)變式1：如圖，已知向量a，b，c，求作a－b－c．【解析】如圖，以A為起點(diǎn)分別作向量eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(AC,\s\up6(→))，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝B．連接CB，得向量eq\o(CB,\s\up6(→))，再以點(diǎn)C為起點(diǎn)作向量eq\o(CD,\s\up6(→))，使eq\o(CD,\s\up6(→))＝c．連接DB，得向量eq\o(DB,\s\up6(→)).則向量eq\o(DB,\s\up6(→))即為所求作的向量a－b－c．向量的減法運(yùn)算1首尾相接且為和；2起點(diǎn)相同且為差.,做題時要注意觀察是否有這兩種形式.同時要注意逆向應(yīng)用，統(tǒng)一向量起點(diǎn)方法的應(yīng)用.【例9】化簡eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))得()A．eq\o(AB,\s\up6(→))B．eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．0【解析】(1)解法一：eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0．解法二：eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0．變式1：化簡：(1)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋(－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(MO,\s\up6(→)))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)).【解析】(1)解法一：原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→)).解法二：原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(MO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MO,\s\up6(→)))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋0＝eq\o(AB,\s\up6(→)).(2)解法一：原式＝eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→)).解法二：原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))－(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→)).變式2：化簡下列各式：①；②；③；④.其中結(jié)果為的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】①；②；③；④；以上各式化簡后結(jié)果均為,故選:D變式3：下列四式不能化簡為的是（）A．B．C．D．【解析】A項(xiàng)中，；B項(xiàng)中，；C項(xiàng)中，；D項(xiàng)中，.故選：D.【例10】在正方形中，（）A． B． C． D．【解析】.故選：C.變式1：在五邊形中（如圖），（）A． B． C． D．【解析】.故選：B變式2：在五邊形中（如圖），下列運(yùn)算結(jié)果為的是（）A． B．C． D．【解析】A，，正確；B，，不正確；C，，不正確；D，，不正確.故選：A.變式3：如右圖，，，分別是的邊，，的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．【解析】，故A正確；，故B錯誤；，故C錯誤；，故D錯誤.故選：A.（三）向量減法的應(yīng)用【例11】已知正方形的邊長為1，，，，則等于（）A．0 B．1 C． D．2【解析】因?yàn)?，，，所以．故選：A．【例12】在中，若，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【解析】因?yàn)?，，所以，所以為等邊三角形．故選：A．變式1：已知△OAB中，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，滿足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|與△OAB的面積．【解析】由已知得|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(→))|，以eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))為鄰邊作平行四邊形OACB，則可知其為菱形，且eq\o(OC,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(BA,\s\up7(→))＝a－b，由于|a|＝|b|＝|a－b|，則OA＝OB＝BA，∴△OAB為正三角形，∴|a＋b|＝|eq\o(OC,\s\up7(→))|＝2×eq\r(3)＝2eq\r(3)，S△OAB＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3).變式2：已知非零向量a，b滿足|a|＝eq\r(7)＋1，|b|＝eq\r(7)－1，且|a－b|＝4，則|a＋b|的值為．【解析】如圖，令eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|a－b|．以O(shè)A與OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|a＋b|.由于(eq\r(7)＋1)2＋(eq\r(7)－1)2＝42.故|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|2，所以△OAB是∠AOB為90°的直角三角形，從而OA⊥OB，所以平行四邊形OACB是矩形．根據(jù)矩形的對角線相等有|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝4，即|a＋b|＝4．第四關(guān)第四關(guān)鞏固練習(xí)識梳理鞏固練習(xí)識梳理練習(xí)一向量的加法運(yùn)算1、如圖，已知向量a、b，求作向量a＋b.【解析】在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O(如下圖)，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，以O(shè)A、OB為鄰邊做?OACB，連接OC，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b.22、化簡(1)eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))；(2)eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))；(3)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→)).(4)eq\o(DB,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))；(5)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→)).【解析】(1)eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→)).(2)eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→)).(3)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝eq\o(AF,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝0.(4)eq\o(DB,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(BD,\s\up10(→))＋eq\o(DB,\s\up10(→))＝0.(5)方法一(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→)))＋(eq\o(OM,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＝eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→)).方法二(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋(eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→)))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋0＝eq\o(AB,\s\up10(→)).方法三(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→)))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＝eq\o(AM,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→)).3、向量化簡后等于（）A． B． C． D．【解析】由,故選：A4、向量化簡后等于（）A． B． C． D．【解析】故選：C.5、向量化簡后等于（）A． B． C． D．【解析】.故選：C.6、在平行四邊形中，等于（）A． B． C． D．【解析】畫出圖形，如圖所示：.故選：A.7、如圖所示,點(diǎn)O是正六邊形的中心,則()A. B.0 C. D.【解析】∵,∴,故選A.8、如圖，已知O為正六邊形ABCDEF的中心，求下列向量：①eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))；②eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；③eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)).【解析】①由題圖知，OAFE為平行四邊形，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))；②由題圖知，OABC為平行四邊形，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))；③由題圖知，AEDB為平行四邊形，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).9、已知正方形的邊長為，設(shè)，，，則等于（）．A． B． C． D．【解析】因?yàn)檎叫蔚倪呴L為，，，，所以．故選：D10、在四川5·12大地震后，一架救援直升飛機(jī)從A地沿北偏東60°方向飛行了40km到B地，再由B地沿正北方向飛行40km到達(dá)C地，求此時直升飛機(jī)與A地的相對位置．【解析】如圖所示，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))分別是直升飛機(jī)兩次位移，則eq\o(AC,\s\up6(→))表示兩次位移的合位移，即eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，在Rt△ABD中，|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝20km，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝20eq\r(3)km，在Rt△ACD中，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(|\o(AD,\s\up6(→))|2＋|\o(DC,\s\up6(→))|2)＝40eq\r(3)km，∠CAD＝60°，即此時直升飛機(jī)位于A地北偏東30°，且距離A地40eq\r(3)km處．練習(xí)二向量的減法運(yùn)算1、如圖，已知向量，，求作向量．【解析】(1)如圖，將向量的起點(diǎn)平移到向量的起點(diǎn)，以向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量即為向量；(2)如圖，將向量的起點(diǎn)平移到向量的起點(diǎn)，以向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量即為向量；2、化簡（1）(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))－(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→)))(2)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))．【解析】（1）方法一(統(tǒng)一成加法)(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))－(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→)))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＋eq\o(DC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DA,\s\up10(→))＝0.方法二(利用eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→)))(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))－(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→)))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→)))－eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(DB,\s\up10(→