高一數(shù)學下學期考點精講+精練(人教A版2019必修第二冊)第02講平面向量的加、減法運算(原卷版+解析)

第2講平面向量的加、減法運算知識點1向量的加法向量的加法運算向量運算定義法則(或幾何意義)加法求兩個向量和的運算向量加法的三角形法則：如圖所示，已知非零向量a，b，在平面內任取一點A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a與b的和(或和向量)，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).上述求兩個向量和的作圖法則，叫做向量加法的三角形法則．21·世紀*對于零向量與任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a.向量加法的平行四邊形法則：如圖所示，已知兩個不共線向量a，b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則O、A、B三點不共線，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形，則以O為起點的對角線上的向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，這個法則叫做兩個向量加法的平行四邊形法則．www-2-向量加法的三角形法則：（類比位移）記憶口訣：首尾相接首尾連平行四邊形法則：（類比力的合成）記憶口訣：共起點，連對角向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯(lián)系．區(qū)別：(1)三角形法則中強調“首尾相接”，平行四邊形法則中強調的是“共起點”；(2)三角形法則適用于任意兩個非零向量求和（當兩個向量共線時，三角形法則同樣適用），而平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個向量求和．聯(lián)系：(1)當兩個向量不共線時，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統(tǒng)一的；(2)三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半．向量加法的運算律：交換律：；結合律：．和向量的模與原向量之間的關系：一般地，我們有．當與共線且同向時，；當與共線且異向時，；當與不共線時，．知識點2向量的減法1、相反向量(1)我們規(guī)定，與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.(2)－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.若，互為相反向量，則，，0(3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－0.2、向量的減法運算向量運算定義法則(或幾何意義)減法向量加上向量的相反向量，叫做與的差，即，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法，向量的減法實質上也是向量的加法．向量減法的三角形法則：如圖，在平面內任取一點，作，，則向量為所求，即．即把兩個向量的起點放在一起，則兩個向量的差是以減向量的終點為起點、被減向量的終點為終點的向量．向量減法的平行四邊形法則：如圖，在平面內任取一點，作，，分別以，為邊作平行四邊形，連接，則，這種作差向量的方法實質上是利用向量減法的定義．向量減法的三角形法則：記憶口訣：首同尾連指被減向量的加法和減法的運算問題關于向量的加法和減法運算問題，一種解法就是依據(jù)三角形法則通過作圖來解決，另一種解法就是通過表示向量的有向線段的字母符號運算來解決．具體地說，在一個用有向線段表示向量的運算式子中，將式子中的“?”改為“＋”只需把表示向量的兩個字母的順序顛倒一下即可．如“”改為“”．解用幾個基本向量表示某向量問題的基本技巧是，第一步：觀察各向量位置；第二步：尋找（或作）相應的平行四邊形或三角形：第三步：運用法則找關系；第四步：化簡結果．考點一向量的加法運算解題方略（1）平行四邊形法則的應用前提：兩個向量是從同一點出發(fā)的不共線向量．三角形法則應用的前提：兩個向量“首尾相接”．當兩個向量不共線時，三角形法則和平行四邊形法則實質是一樣的．三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出圖形的一半．但當兩個向量共線時，平行四邊形法則便不再適用．向量的加法法則已知向量a與向量b，要作出和向量a＋b，關鍵是準確規(guī)范地依據(jù)向量的三角形法則和平行四邊形法則作圖．【例1】如圖，已知向量，，求作向量．變式1：如圖，在下列各小題中，已知向量、，分別用兩種方法求作向量．向量的加法運算在向量的加法運算中，通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過加法的結合律調整向量相加的順序，可以省去畫圖步驟，加快解題速度.【例2】化簡：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)).變式1：向量﹒化簡后等于（）A. B.0 C. D.變式2：化簡下列各式：①；②；③；④．其中結果為的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4變式3：已知、是不平行的向量，若，，，則下列關系中正確的是（）A．B．C． D．【例3】已知正六邊形，則（）A． B． C． D．變式1：如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC和BD的交點．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝________；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝________；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝________；(4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝________.變式2：如圖，在中，D為BC的中點，下列結論中正確的是（）A． B．C． D．變式3：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，則（）A． B． C． D．變式4：已知點O是的兩條對角線的交點，則下面結論中正確的是（）．A． B．C． D．變式5：如圖，在中，為的中點，為上一點，則（）A． B． C． D．變式6：已知點D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點，則下列等式中錯誤的（）A． B．C． D．變式7：在四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，則()A．ABCD一定是矩形B．ABCD一定是菱形C．ABCD一定是正方形D．ABCD一定是平行四邊形【例4】在矩形ABCD中，，，則向量的長度為（）A． B． C．12 D．6變式1：如圖所示,在正六邊形ABCDEF中,若AB=1,則|AB+FE+CDA.1 B.2 C.3 D.23向量加法的應用要證四邊形是平行四邊形，只需證一組對邊平行且相等.根據(jù)向量相等的意義，只需證其一組對邊對應的向量相等即可.【例5】用向量方法證明對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．向量加法的實際應用向量應用題要首先畫出圖形.解決的步驟是：1將應用問題中的量抽象成向量；2化歸為向量問題，進行向量運算；3將向量問題還原為實際問題.【例6】某人在靜水中游泳，速度為4eq\r(3)千米/小時，他在水流速度為4千米/小時的河中游泳．他必須朝哪個方向游，才能沿與水流垂直的方向前進？實際前進的速度大小為多少？變式1：一艘船以5km/h的速度向垂直于對岸方向行駛，航船實際航行方向與水流方向成30°角，求水流速度和船實際速度．

考點二向量的減法運算相反向量【例7】若非零向量和互為相反向量，則下列說法中錯誤的是（）．A． B． C． D．變式1：向量，互為相反向量，已知，則下列結論正確的是（）A． B．為實數(shù)0 C．與方向相同 D．變式2：如圖，在四邊形中，與交于點，若，則下面互為相反向量的是（）A．與 B．與 C．與 D．與向量的減法法則1.作兩向量的差的步驟eq\x(移)—eq\x(平移向量使之共起點)↓eq\x(連)—eq\x(連接兩向量的終點，方向指向被減向量.)2．求兩個向量的減法的注意點(1)可以轉化為向量的加法來進行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可．(2)向量減法的三角形法則對共線向量也適用．【例8】如圖，在各小題中，已知，分別求作．變式1：如圖，已知向量a，b，c，求作a－b－c．向量的減法運算1首尾相接且為和；2起點相同且為差.,做題時要注意觀察是否有這兩種形式.同時要注意逆向應用，統(tǒng)一向量起點方法的應用.【例9】化簡eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))得()A．eq\o(AB,\s\up6(→))B．eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．0變式1：化簡：(1)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋(－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(MO,\s\up6(→)))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)).變式2：化簡下列各式：①；②；③；④.其中結果為的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4變式3：下列四式不能化簡為的是（）A．B．C．D．【例10】在正方形中，（）A． B． C． D．變式1：在五邊形中（如圖），（）A． B． C． D．變式2：在五邊形中（如圖），下列運算結果為的是（）A． B．C． D．變式3：如右圖，，，分別是的邊，，的中點，則（）A． B．C． D．（三）向量減法的應用【例11】已知正方形的邊長為1，，，，則等于（）A．0 B．1 C． D．2【例12】在中，若，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形變式1：已知△OAB中，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，滿足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|與△OAB的面積．變式2：已知非零向量a，b滿足|a|＝eq\r(7)＋1，|b|＝eq\r(7)－1，且|a－b|＝4，則|a＋b|的值為．第四關第四關鞏固練習識梳理鞏固練習識梳理練習一向量的加法運算1、如圖，已知向量a、b，求作向量a＋b.2、化簡(1)eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))；(2)eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))；(3)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→)).(4)eq\o(DB,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))；(5)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→)).3、向量化簡后等于（）A． B． C． D．4、向量化簡后等于（）A． B． C． D．5、向量化簡后等于（）A． B． C． D．6、在平行四邊形中，等于（）A． B． C． D．7、如圖所示,點O是正六邊形的中心,則()A. B.0 C. D.8、如圖，已知O為正六邊形ABCDEF的中心，求下列向量：①eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))；②eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；③eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)).9、已知正方形的邊長為，設，，，則等于（）．A． B． C． D．10、在四川5·12大地震后，一架救援直升飛機從A地沿北偏東60°方向飛行了40km到B地，再由B地沿正北方向飛行40km到達C地，求此時直升飛機與A地的相對位置．練習二向量的減法運算1、如圖，已知向量，，求作向量．2、化簡（1）(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))－(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→)))(2)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))．3、化簡得（）A．B．C． D．4、在△ABC中，eq\o(BC,\s\up7(→))＝a，eq\o(CA,\s\up7(→))＝b，則eq\o(AB,\s\up7(→))等于()A．a(chǎn)＋bB．－a＋(－b)C．a(chǎn)－b D．b－a5、在平行四邊形ABCD中，（）A． B． C． D．6、(多選)若a，b為非零向量，則下列命題正確的是()A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，則a與b方向相同B．若|a|＋|b|＝|a－b|，則a與b方向相反C．若|a|＋|b|＝|a－b|，則|a|＝|b|D．若||a|－|b||＝|a－b|，則a與b方向相同7、在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝|eq\o(CA,\s\up7(→))|＝1，則|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(BC,\s\up7(→))|＝________.第2講平面向量的加、減法運算知識點1向量的加法向量的加法運算向量運算定義法則(或幾何意義)加法求兩個向量和的運算向量加法的三角形法則：如圖所示，已知非零向量a，b，在平面內任取一點A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a與b的和(或和向量)，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).上述求兩個向量和的作圖法則，叫做向量加法的三角形法則．21·世紀*對于零向量與任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a.向量加法的平行四邊形法則：如圖所示，已知兩個不共線向量a，b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則O、A、B三點不共線，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形，則以O為起點的對角線上的向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，這個法則叫做兩個向量加法的平行四邊形法則．www-2-向量加法的三角形法則：（類比位移）記憶口訣：首尾相接首尾連平行四邊形法則：（類比力的合成）記憶口訣：共起點，連對角向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯(lián)系．區(qū)別：(1)三角形法則中強調“首尾相接”，平行四邊形法則中強調的是“共起點”；(2)三角形法則適用于任意兩個非零向量求和（當兩個向量共線時，三角形法則同樣適用），而平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個向量求和．聯(lián)系：(1)當兩個向量不共線時，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統(tǒng)一的；(2)三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半．向量加法的運算律：交換律：；結合律：．和向量的模與原向量之間的關系：一般地，我們有．當與共線且同向時，；當與共線且異向時，；當與不共線時，．知識點2向量的減法1、相反向量(1)我們規(guī)定，與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.(2)－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.若，互為相反向量，則，，0(3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－0.2、向量的減法運算向量運算定義法則(或幾何意義)減法向量加上向量的相反向量，叫做與的差，即，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法，向量的減法實質上也是向量的加法．向量減法的三角形法則：如圖，在平面內任取一點，作，，則向量為所求，即．即把兩個向量的起點放在一起，則兩個向量的差是以減向量的終點為起點、被減向量的終點為終點的向量．向量減法的平行四邊形法則：如圖，在平面內任取一點，作，，分別以，為邊作平行四邊形，連接，則，這種作差向量的方法實質上是利用向量減法的定義．向量減法的三角形法則：記憶口訣：首同尾連指被減向量的加法和減法的運算問題關于向量的加法和減法運算問題，一種解法就是依據(jù)三角形法則通過作圖來解決，另一種解法就是通過表示向量的有向線段的字母符號運算來解決．具體地說，在一個用有向線段表示向量的運算式子中，將式子中的“?”改為“＋”只需把表示向量的兩個字母的順序顛倒一下即可．如“”改為“”．解用幾個基本向量表示某向量問題的基本技巧是，第一步：觀察各向量位置；第二步：尋找（或作）相應的平行四邊形或三角形：第三步：運用法則找關系；第四步：化簡結果．考點一向量的加法運算解題方略（1）平行四邊形法則的應用前提：兩個向量是從同一點出發(fā)的不共線向量．三角形法則應用的前提：兩個向量“首尾相接”．當兩個向量不共線時，三角形法則和平行四邊形法則實質是一樣的．三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出圖形的一半．但當兩個向量共線時，平行四邊形法則便不再適用．向量的加法法則已知向量a與向量b，要作出和向量a＋b，關鍵是準確規(guī)范地依據(jù)向量的三角形法則和平行四邊形法則作圖．【例1】如圖，已知向量，，求作向量．【解析】（1）平移，使其起點與起點重合，再應用平行四邊形法則，作出，如下圖示：（2）平移，使其終點與起點重合，再以的起點為起點，的終點為終點作，如下圖示：變式1：如圖，在下列各小題中，已知向量、，分別用兩種方法求作向量．【解析】將的起點移到的終點，再首尾相接，可得；將兩個向量的起點移到點，利用平行四邊形法則，以、為鄰邊，作出平行四邊形，則過點的對角線為向量.如圖所示，．（1）；（2）；（3）；（4）.向量的加法運算在向量的加法運算中，通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過加法的結合律調整向量相加的順序，可以省去畫圖步驟，加快解題速度.【例2】化簡：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)).【解析】(1)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝0.(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝0.變式1：向量﹒化簡后等于（）A. B.0 C. D.【解析】,故選D.變式2：化簡下列各式：①；②；③；④．其中結果為的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】對于①：，對于②：，對于③：，對于④：，所以結果為的個數(shù)是，故選：B變式3：已知、是不平行的向量，若，，，則下列關系中正確的是（）A．B．C． D．【解析】＝＋＋＝＝＝2．故選：C【例3】已知正六邊形，則（）A． B． C． D．【解析】因為正六邊形，所以，所以.故選：C變式1：如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC和BD的交點．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝________；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝________；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝________；(4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝________.【解析】(1)eq\o(AC,\s\up6(→))(2)eq\o(AO,\s\up6(→))(3)eq\o(AD,\s\up6(→))(4)變式2：如圖，在中，D為BC的中點，下列結論中正確的是（）A． B．C． D．【解析】對于A，大小不相等，分向不相同，故不是相等向量，故A錯誤；對于B，大小不相等，分向相反，是相反向量，故B錯誤；對于C，利用三角形法則知，故C錯誤；對于D，利用三角形法則知，故D正確；故選：D變式3：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，則（）A． B． C． D．【解析】如圖，設交于點，則.故選：D變式4：已知點O是的兩條對角線的交點，則下面結論中正確的是（）．A． B．C． D．【解析】對于A：，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：，故C錯誤；對于D：，故D錯誤；故選：B變式5：如圖，在中，為的中點，為上一點，則（）A． B． C． D．【解析】因為為的中點，所以.故選：A變式6：已知點D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點，則下列等式中錯誤的（）A． B．C． D．【解析】由題意，根據(jù)向量的加法運算法則，可得，故A正確；由，故B正確；根據(jù)平行四邊形法則，可得，故C正確，D不正確.故選：D.變式7：在四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，則()A．ABCD一定是矩形B．ABCD一定是菱形C．ABCD一定是正方形D．ABCD一定是平行四邊形【解析】由eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))知，由A，B，C，D構成的四邊形一定是平行四邊形．【例4】在矩形ABCD中，，，則向量的長度為（）A． B． C．12 D．6【解析】因為，所以的長度為的模的2倍．又，所以向量的長度為故選：B變式1：如圖所示,在正六邊形ABCDEF中,若AB=1,則|AB+FE+CDA.1 B.2 C.3 D.23【解析】由題,可知FE=BC,所以|AB+FE+CD|=|AB+向量加法的應用要證四邊形是平行四邊形，只需證一組對邊平行且相等.根據(jù)向量相等的意義，只需證其一組對邊對應的向量相等即可.【例5】用向量方法證明對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．證明：如圖，根據(jù)向量加法的三角形法則有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)).又∵eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).∴AB∥DC且AB＝DC，即AB與DC平行且相等．∴四邊形ABCD是平行四邊形．向量加法的實際應用向量應用題要首先畫出圖形.解決的步驟是：1將應用問題中的量抽象成向量；2化歸為向量問題，進行向量運算；3將向量問題還原為實際問題.【例6】某人在靜水中游泳，速度為4eq\r(3)千米/小時，他在水流速度為4千米/小時的河中游泳．他必須朝哪個方向游，才能沿與水流垂直的方向前進？實際前進的速度大小為多少？【解析】如圖，設此人的實際速度為eq\o(OD,\s\up6(→))，水流速度為eq\o(OA,\s\up6(→))，游速為eq\o(OB,\s\up6(→))，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))，在Rt△AOD中，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4eq\r(3)，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4，則|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝4eq\r(2)，cos∠DAO＝eq\f(\r(3),3).故此人沿向量eq\o(OB,\s\up6(→))的方向游(即逆著水流且與河岸所成夾角的余弦值為eq\f(\r(3),3))，實際前進的速度大小為4eq\r(2)千米/小時．變式1：一艘船以5km/h的速度向垂直于對岸方向行駛，航船實際航行方向與水流方向成30°角，求水流速度和船實際速度．【解析】如圖所示，eq\o(OA,\s\up6(→))表示水流速度，eq\o(OB,\s\up6(→))表示船垂直于對岸的方向行駛的速度，eq\o(OC,\s\up6(→))表示船實際航行的速度，∠AOC＝30°，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝5..∵四邊形OACB為矩形，∴|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))|,tan30°)＝5eq\r(3)，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(|\o(OB,\s\up6(→))|,sin30°)＝10，∴水流速度大小為5eq\r(3)km/h，船實際速度為10km/h.

考點二向量的減法運算相反向量【例7】若非零向量和互為相反向量，則下列說法中錯誤的是（）．A． B． C． D．【解析】由平行向量的定義可知項正確；因為和的方向相反，所以，故項正確；由相反向量的定義可知，故選項正確；由相反向量的定義知，故項錯誤；故選：C．變式1：向量，互為相反向量，已知，則下列結論正確的是（）A． B．為實數(shù)0 C．與方向相同 D．【解析】向量，互為相反向量，則，模相等、方向相反，所以，故A錯誤；，故B錯誤；與方向相反，故C錯誤；，故D正確.故選：D.變式2：如圖，在四邊形中，與交于點，若，則下面互為相反向量的是（）A．與 B．與 C．與 D．與【解析】因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，互相平分，所以，即與為相反向量.故選：B向量的減法法則1.作兩向量的差的步驟eq\x(移)—eq\x(平移向量使之共起點)↓eq\x(連)—eq\x(連接兩向量的終點，方向指向被減向量.)2．求兩個向量的減法的注意點(1)可以轉化為向量的加法來進行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可．(2)向量減法的三角形法則對共線向量也適用．【例8】如圖，在各小題中，已知，分別求作．【解析】將的起點移到同一點，再首尾相接，方向指向被減向量，如圖，，(1)(2)(3)(4)變式1：如圖，已知向量a，b，c，求作a－b－c．【解析】如圖，以A為起點分別作向量eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(AC,\s\up6(→))，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝B．連接CB，得向量eq\o(CB,\s\up6(→))，再以點C為起點作向量eq\o(CD,\s\up6(→))，使eq\o(CD,\s\up6(→))＝c．連接DB，得向量eq\o(DB,\s\up6(→)).則向量eq\o(DB,\s\up6(→))即為所求作的向量a－b－c．向量的減法運算1首尾相接且為和；2起點相同且為差.,做題時要注意觀察是否有這兩種形式.同時要注意逆向應用，統(tǒng)一向量起點方法的應用.【例9】化簡eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))得()A．eq\o(AB,\s\up6(→))B．eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．0【解析】(1)解法一：eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0．解法二：eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0．變式1：化簡：(1)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋(－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(MO,\s\up6(→)))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)).【解析】(1)解法一：原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→)).解法二：原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(MO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MO,\s\up6(→)))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋0＝eq\o(AB,\s\up6(→)).(2)解法一：原式＝eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→)).解法二：原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))－(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→)).變式2：化簡下列各式：①；②；③；④.其中結果為的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】①；②；③；④；以上各式化簡后結果均為,故選:D變式3：下列四式不能化簡為的是（）A．B．C．D．【解析】A項中，；B項中，；C項中，；D項中，.故選：D.【例10】在正方形中，（）A． B． C． D．【解析】.故選：C.變式1：在五邊形中（如圖），（）A． B． C． D．【解析】.故選：B變式2：在五邊形中（如圖），下列運算結果為的是（）A． B．C． D．【解析】A，，正確；B，，不正確；C，，不正確；D，，不正確.故選：A.變式3：如右圖，，，分別是的邊，，的中點，則（）A． B．C． D．【解析】，故A正確；，故B錯誤；，故C錯誤；，故D錯誤.故選：A.（三）向量減法的應用【例11】已知正方形的邊長為1，，，，則等于（）A．0 B．1 C． D．2【解析】因為，，，所以．故選：A．【例12】在中，若，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【解析】因為，，所以，所以為等邊三角形．故選：A．變式1：已知△OAB中，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，滿足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|與△OAB的面積．【解析】由已知得|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(→))|，以eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))為鄰邊作平行四邊形OACB，則可知其為菱形，且eq\o(OC,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(BA,\s\up7(→))＝a－b，由于|a|＝|b|＝|a－b|，則OA＝OB＝BA，∴△OAB為正三角形，∴|a＋b|＝|eq\o(OC,\s\up7(→))|＝2×eq\r(3)＝2eq\r(3)，S△OAB＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3).變式2：已知非零向量a，b滿足|a|＝eq\r(7)＋1，|b|＝eq\r(7)－1，且|a－b|＝4，則|a＋b|的值為．【解析】如圖，令eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|a－b|．以OA與OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|a＋b|.由于(eq\r(7)＋1)2＋(eq\r(7)－1)2＝42.故|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|2，所以△OAB是∠AOB為90°的直角三角形，從而OA⊥OB，所以平行四邊形OACB是矩形．根據(jù)矩形的對角線相等有|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝4，即|a＋b|＝4．第四關第四關鞏固練習識梳理鞏固練習識梳理練習一向量的加法運算1、如圖，已知向量a、b，求作向量a＋b.【解析】在平面內任取一點O(如下圖)，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，以OA、OB為鄰邊做?OACB，連接OC，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b.22、化簡(1)eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))；(2)eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))；(3)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→)).(4)eq\o(DB,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))；(5)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→)).【解析】(1)eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→)).(2)eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→)).(3)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝eq\o(AF,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝0.(4)eq\o(DB,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(BD,\s\up10(→))＋eq\o(DB,\s\up10(→))＝0.(5)方法一(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→)))＋(eq\o(OM,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＝eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→)).方法二(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋(eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→)))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋0＝eq\o(AB,\s\up10(→)).方法三(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→)))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＝eq\o(AM,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→)).3、向量化簡后等于（）A． B． C． D．【解析】由,故選：A4、向量化簡后等于（）A． B． C． D．【解析】故選：C.5、向量化簡后等于（）A． B． C． D．【解析】.故選：C.6、在平行四邊形中，等于（）A． B． C． D．【解析】畫出圖形，如圖所示：.故選：A.7、如圖所示,點O是正六邊形的中心,則()A. B.0 C. D.【解析】∵,∴,故選A.8、如圖，已知O為正六邊形ABCDEF的中心，求下列向量：①eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))；②eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；③eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)).【解析】①由題圖知，OAFE為平行四邊形，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))；②由題圖知，OABC為平行四邊形，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))；③由題圖知，AEDB為平行四邊形，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).9、已知正方形的邊長為，設，，，則等于（）．A． B． C． D．【解析】因為正方形的邊長為，，，，所以．故選：D10、在四川5·12大地震后，一架救援直升飛機從A地沿北偏東60°方向飛行了40km到B地，再由B地沿正北方向飛行40km到達C地，求此時直升飛機與A地的相對位置．【解析】如圖所示，設eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))分別是直升飛機兩次位移，則eq\o(AC,\s\up6(→))表示兩次位移的合位移，即eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，在Rt△ABD中，|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝20km，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝20eq\r(3)km，在Rt△ACD中，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(|\o(AD,\s\up6(→))|2＋|\o(DC,\s\up6(→))|2)＝40eq\r(3)km，∠CAD＝60°，即此時直升飛機位于A地北偏東30°，且距離A地40eq\r(3)km處．練習二向量的減法運算1、如圖，已知向量，，求作向量．【解析】(1)如圖，將向量的起點平移到向量的起點，以向量的終點為起點，向量的終點為終點的向量即為向量；(2)如圖，將向量的起點平移到向量的起點，以向量的終點為起點，向量的終點為終點的向量即為向量；2、化簡（1）(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))－(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→)))(2)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))．【解析】（1）方法一(統(tǒng)一成加法)(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))－(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→)))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＋eq\o(DC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DA,\s\up10(→))＝0.方法二(利用eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→)))(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))－(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→)))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→)))－eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(DB,\s\up10(→