人教A版（2019）選修第二冊第四章第二節(jié)課時2等差數(shù)列的前n項和公式一（含解析）

人教A版（2019）選修第二冊第四章第二節(jié)課時2等

差數(shù)列的前n項和公式（1）

一、單選題

1.函數(shù)〃X）在定義域R內可導，若〃x）=〃2-x）且（x-l）r（x）<（），若a=〃0），

b=c=/（3）,則“，b,c的大小關系是（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.a>c>b

2.已知公差不為0的等差數(shù)列｛凡｝滿足則（)

A.。6=。B.。7=°C.S[2=0D-S]3=0

3.已知等差數(shù)列｛4｝的各項都為整數(shù)，且4=-5,%%=-1，則聞+|%|+…+%卜

A.70B.58C.51D.40

4.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S〃，S7=14,《-=28（〃>7）,S〃=225,則〃=

（）

A.8B.9C.15D.17

5.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和是S“，公差△不等于零，若生，%，〃6成等比數(shù)列，則

A.4d>0,公3>0B.cixd>0,dS3<0

C.ciyd<0,dS3>0D.qd<0,dS3Vo

6.設S〃是等差數(shù)列｛4｝(〃e")的前幾項和，且4=1,S4=16,則%=

()

A.7B.10C.13D.16

7.設等差數(shù)列｛6｝的前〃項和為S〃，公差d=l,且$6-§2=10,則%+4=

()

A.2B.3C.4D.5

二、多選題

8.已知數(shù)列｛叫的前”項和為S“=33〃-〃2,則()

A.%=34-2〃B.?！?gt;0時，〃的最大值為17

C.同+|聞+…+|4|=272D.同+同+…+底|=450

9.等差數(shù)列｛4｝的前"項和為S“，且S,,=4,Sm=-(m,“eN*,加二〃)，則下

mn

列各值中不可能是“的為()

A.3B.4C.5D.6

10.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,若％=31,與=210,則()

A.若b“=(-l)"q,則數(shù)列出｝的前2020項和為4040B.數(shù)列｛*｝是公比為8的等

比數(shù)列

D.若優(yōu)=」一，則數(shù)列也“｝的前2020

C.S19=19〃9

44+1

2020

項和為

24249

三、填空題

11.在等差數(shù)列｛an｝中，=120,那么/+%的值是

12.等差數(shù)列數(shù)“｝的前”項和為和,且其=4,S4=16,數(shù)列等“｝滿足I=4+4",

則數(shù)列仍“｝的前9和4=

13.已知數(shù)列｛4｝滿足：q=l,a?=2an_t+2"-'(n>2,neN),則為=

四、解答題

14.已知等差數(shù)列｛為｝的前〃項和為S“，且G=5,九=225.

(I)求數(shù)列｛。,,｝的通項4；

(II)設2=3冊+2〃，求數(shù)列也｝的前“項和卻

15.已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列伍,,｝,也｝滿足-2-1=d+2。,,，

2a,,=log,hn+log2b“u+1,且q=々=1.

(1)求證：數(shù)列｛",J為等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(3)設數(shù)列0｝,｛[｝的前n項和分別為S,,,卻求使得等式：2sBi+4-36=7；成立的有

序數(shù)對⑺,，?)(，〃,ieN*).

16.已知等差數(shù)列｛4｝的公差不為0,前〃項和為S,,55=25,*,$2,S,成等比數(shù)歹IJ.

(1)求?！ㄅcs〃；

(2)設,求證：4+4+4+…+2<1.

3〃3”+1

17.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,,q=1,S4=452.

(1)求數(shù)列｛《,｝的通項公式；

(2)若。,—+/+2+?“+,9=180(mwN*),求機的值.

+,

18.設等比數(shù)列｛??｝的前n項和為S,、=2"-2；數(shù)列仍“｝滿足6/-^+3b?)n+2bn=0

(feR,?eM).

(1)求數(shù)列｛a“｝的通項公式；

(2)①試確定，的值，使得數(shù)列｛〃,｝為等差數(shù)列；②在①結論下，若對每個正整數(shù)

k,在4與4+i之間插入仇個2,符到一個數(shù)列｛%｝.設I是數(shù)列｛%｝的前〃項和，試

求滿足乙=2clM的所有正整數(shù)機.

19.對于無窮數(shù)列｛4｝,也｝,若a=max｛q,42,…4｝-min｛4，%,…&｝

(1=1,2,3,…),則稱他,｝是｛叫的“伴隨數(shù)列”.其中,max｛《,%...%｝,

疝乂卬叼,…4｝分別表示中的最大數(shù)和最小數(shù).已知｛4｝為無窮數(shù)列，其前

〃項和為為，數(shù)列｛〃｝是｛4｝的“伴隨數(shù)列”.

⑴若4=〃+2022,求低｝的前"項和;

(2)證明：(=0且如他;

⑶若sz+.r=當以+當為1卬)，求所有滿足該條件的

｛4｝?

參考答案:

I.c

【解析】

【分析】

確定函數(shù)關于X=1對稱，再確定函數(shù)的單調性，綜合兩者判斷大小得到答案.

【詳解】

/(x)=/(2-x),即“x+l)=/(l—x),函數(shù)關于x=I對稱，

當彳>1時，(x-i)r(x)<o,即r(x)<o,函數(shù)單調遞減；

當x<l時，(x-l)r(x)<0,EP,f(x)>0,函數(shù)單調遞增.

a=/(O)=〃2),力==c=/'⑶，故b>a>c.

故選：C.

【點睛】

本題考查了利用函數(shù)的單調性和對稱性判斷函數(shù)值的大小關系，意在考查學生對于函數(shù)性

質的綜合應用能力.

2.C

【解析】

【分析】

由條件利用等差中項化簡，再根據等差數(shù)列的性質及等差數(shù)列的求和公式即可求解.

【詳解】

???"；+4=片+《，

%—ag+45—綜=0,

2d(%+a5)+2d(ai+a6)=0,又d#0,%+as=a6+a7

2(%+%)=。，

.5=12(4+%)12(4+田)二0

"l2"2-2一，

故選：C

【點睛】

關鍵點點睛：根據等差數(shù)列的性質機+〃=p+時，+4=<+%化簡是解

答案第1頁，共14頁

題的關鍵，屬于中檔題.

3.B

【解析】

【詳解】

設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,由各項都為整數(shù)得deZ,

因為“=-5,所以/為=（-5+24）（-5+34）=-1,化簡得6/-25d+26=0,解得d=2或

13

d=—（舍去），

6

所以%=2〃-7

所以同+同+…+%|=5+3+1+1+3+…+13=9+"I；"=58.

故選B.

4.C

【解析】

【分析】

利用等差數(shù)列的性質化簡已知條件，由此列方程，通過通過解方程求得〃的值.

【詳解】

因為跖=7%=14,所以%=2,又s“=〃（q+%）="（%+%）=225,

22

*=28（〃>7）,所以15〃=225,解得〃=15.故選C.

【點睛】

本題考查等差數(shù)列的性質與前”項和的計算，考查運算求解能力.屬于中檔題.

5.C

【解析】

【分析】

由%，小，4成等比數(shù)列.可得。32=4&，利用等差數(shù)列的通項公式可得

（4+24）2=（《+d）（4+54）,解出4d<0,2q+d=0.即可.

【詳解】

由生嗎,&成等比數(shù)列.可得，

答案第2頁，共14頁

可得(4+2d)2=3+d)(q+5”),

即2qd+/=0,?.?公差〃不等于零，

/.+6?=0.

2

dS3=d(3q+3d)=|^>0.

故選C.

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列的通項公式、考查了計算能力，屬于基礎題.

6.C

【解析】

由題建立關系求出公差，即可求解.

【詳解】

設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

*.*<2|=1,=]6,

S4-4at+6d=4+6d=16,:.d=2,

“7=4+6d=13.

故選：C

7.B

【解析】

根據等差數(shù)列的性質，由題中條件，可直接得出結果.

【詳解】

因為S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，公差d=l,S6-S2=10,

所以"+“s+q+4=(%+24+4+24)+%+%=2(%+4)+4=10,

解得的+4=3?

故選：B.

8.AC

【解析】

答案第3頁，共14頁

【分析】

根據數(shù)列的求和公式可得通項公式，可判斷A8,根據求和公式和分類討論即可求出含絕對

值的前”項和.

【詳解】

2

4=￡=33-1=32,an=Sn-Sn_l=33n-n-33(n-l)+(/?-1)-=34-2n(n>2),經驗證對

于〃=1也成立，所以勺=34-2”，故A正確；

當〃<17時，??>0,當〃=17時。“=0,當〃>17時，a?<0,所以%>0時，”的最大值

為16,故B錯誤；

因為當“<17時，>0,所以同+同+…+院|=&=33x16-162=272,故C正確；

a—a

同+同*1---=九+(i7i8--------%>)=2S|6—SX=2x272-(33x30-30~)=454,故D

錯誤，

故選：AC.

9.AB

【解析】

【分析】

根據等差數(shù)列求和公式的函數(shù)特征，設S“=A/+8〃(ABeR),由題中條件，求出A.B,

再利用基本不等式，即可求出結果.

【詳解】

因為等差數(shù)列｛凡｝的前〃項和S.，所以可設S,=A*+即(4,8wR),

因為5“=二，

m/

1

SC〃=AAn~2+Bn-—〃An+B=一「

所以加,即一:,解得?mn,

S=Am+Bm=一Am+B=—8=0

mnn

222

g、i°A/\2nr+n+linnm+n,2mn..

所以S”+“=A(m+n)=------------=-------+2>----+2=4,

nmmnmn

當且僅當機=幾時等號成立，

又初工〃，所以等號不能取得，

因此S,』>4.

答案第4頁，共14頁

故選：AB.

10.AD

【解析】

【分析】

由分組求和可判斷A;由等比數(shù)列的定義可判斷B；由等差數(shù)列的性質可判斷C；由裂項相

消可判斷D

【詳解】

等差數(shù)列也｝的前”項和為S,,,若％=31,幾=210,

..['為+7"=31

設4的公差為d，則有＜\'...,6

[Ro=1n0q+45d=210

解得4=3,d=4,故“〃=4九一1,

若“=（一1）""”=（一1）”（4〃一1）,

則｛2｝的前2020項京so=-3+7-11+15-…+8079=4x1010=4040,故A正確；

由%=4〃-1,得2%=28n-'，

令%=2.，貝IJ當"22時，7Y=^￡H=28,

則數(shù)列｛23｝是公比為展的等比數(shù)列，故B錯誤；

由等差數(shù)列的性質可知幾=3+%＞19=（%。+7、19=]網0,故c錯誤；

若“（4"1；4"+3）+擊-焉），則色｝的前2020項和

G20=WIJ_I+1_TT+…+柿一菽J=兩,故D正確，

故選：AD.

11.24

【解析】

【分析】

應用等差數(shù)列的性質計算即可.

【詳解】

在等差數(shù)列｛an｝中，品＞=120,..%=10（〃；4。）=5（%+&）=120,

答案第5頁，共14頁

。3+%=24,

即答案為24.

【點睛】

本題考查等差數(shù)列性質的應用，屬基礎題.

12.180

【解析】

【詳解】

設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,因為仇=4+。,出，所以%產可，兩式相減

b?+l-b?=a?+l+an+2-ai-an+l=2d,為常數(shù)，所以數(shù)列｛仇｝也為等差數(shù)列.因為｛叫為等

差數(shù)列，且$2=4,5,=16,所以4=4+%=52=4也=43+4=&一邑=12,所以等差數(shù)

列色｝的公差2d=與4=4,所以前〃項和公式為7>4〃+國二以x4=2/+2〃，所

22

以4=2x92+2x9=180,故答案為180.

13.n-2"-'

【解析】

【分析】

由題設可得墨=^+g，結合題設易知申是首項、公差均為g的等差數(shù)列，進而寫出

?！钡耐椆?

【詳解】

由題設，?=符+:(〃*2),即符=；(在2),而首；，

???｛??｝是首項、公差均為!的等差數(shù)列，即*=；+；(〃-1)=/

/.4,=〃-2"T.

故答案為：〃.2"T

33

14.(1)4=2”-1；(2)--9n+n(/7+l)--,

88

【解析】

【分析】

答案第6頁，共14頁

q+2d=5

(1)設等差數(shù)列｛4｝首項為4,公差為“，由＜15x14,求得首項與公差，

I\C5a,+--------d=225

12

從而可得結果；(2)b?=y-+2n=32'-'+2n=^-9"+2n,利用分組求和法，結合等差數(shù)列

求和公式以及等比數(shù)列求和公式，從而可得結果.

【詳解】

4+2d=5

(1)設等差數(shù)列｛為｝首項為q,公差為“，由題得15x14,

15氏+------a=225

2

解得匕=2〃-1；

\a=2

(2)b=3^'4-2n=32/,_,+2z?=--9rt+2H,

〃3

\Tn=4+4+.??+2=；(9+92+93+??.+9")+2(1+2+3+.??+〃)

i9(1-9")37

31-9v78v78

【點睛】

本題主要考查等差數(shù)列的通項公式與求和公式以及等比數(shù)列的通項與求和公式，利用“分組

求和法”求數(shù)列前“項和，屬于中檔題.利用“分組求和法”求數(shù)列前〃項和常見類型有兩

種：一是通項為兩個公比不相等的等比數(shù)列的和或差，可以分別用等比數(shù)列求和后再相加

減；二是通項為一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的和或差，可以分別用等差數(shù)列求和、等比

數(shù)列求和后再相加減.

15.(1)證明見解析(2)bn=2"-'(3)(9,6)

【解析】

(1)根據遞推關系可得■產(%+1)2,從而得到數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列;

(2)分別求出數(shù)列出,｝的奇數(shù)項和偶數(shù)項的通項公式，進而整合數(shù)列｛〃,｝的通項公式;

(3)求出S“，T?,代入2S,“+*-36=7；中，則存在sjeM,使得2、=加+7,

2'=根一5,從而2'—2'=12,再證明5不成立，從而得到s=4,機=9,1=6.

【詳解】

⑴由%2-l=a；+2a“,

答案第7頁，共14頁

即4、=*+2”,,+1=(%+1)二

因為數(shù)列｛%｝各項均為正數(shù)，所以。的=?！?1,即。=

故數(shù)列｛4｝是公差為1的等差數(shù)列.

(2)由(1)及4=1知.

2nl

由2%=log2b?+log2bn+l+1,得bnbn+i=2~.

所以黑瓦+2=22n+l,上面兩式相除得箏=4,

所以數(shù)列｛"｝的奇數(shù)項和偶數(shù)項都是公比為4的等比數(shù)列.

2T(2t

由仇=1及b?bn+]=2'-'知a=2,所以k=1x4“=2-'?-',b2k=2x4*-'=2"T(kwN*),

所以〃=2"T.

綜上，數(shù)列｛仇｝的通項公式為4=2"-'.

(3)由(1)和(2)知S"="電，7；=上2=2"—1.

21一2

()

由2S?,+a,,,-36=7；,f#2xW1^/W+/n-36=2i-l,即(〃I+7)("L5)=2’.

則必存在s/eN*,使得2'=m+7，21=m-5,從而仔-2'=12.

若s..5,則2,=2*-12..20,故J5.

又因為s>f,所以為一2'感加一2'=2'32.

這與2'_2'=12矛盾，所以s,,4.由于2'-2=12，則只能s=4,t=2

止匕時，〃=9,i=6.

滿足題意數(shù)對為(9,6).

【點睛】

關鍵點點睛：通過遞推關系的變形化簡證明數(shù)列為等差等比數(shù)列，要注意變形的方向性，

*=4這種類型的遞推關系，注意要分奇偶項分析，探索性問題要注意利用問題的特殊

化，特殊性，提供方向.

16.(1)an=2n-\,Sn=n-(2)見解析

【解析】

【詳解】

答案第8頁，共14頁

試題分析：(1)設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,由題意，化簡得”=2勾，求得W=l,d=2,

即可得到數(shù)列的通項公式和前?項和；

(2)由(1)得2=/一G%，即可利用裂項求解數(shù)列的和，證明不等關系式.

試題解析：(1)設等差數(shù)列｛aj的公差為d,

則由S$=25可得a3=5,得2d=5……①

又S』成等比數(shù)列，且&=a「S2=2aI+d,S,=4a1+6d

所以（2a1+d『=4（4q+6J）,整理得2，d=d2,

因為dwO,所以d=2〃i...②

聯(lián)立①②，解得q=l,"=2

2

所以a”=l+2（n-l）=2n-l,5/1，（匕—―=n

.2n+l11

⑵由⑴得”而可7一國

所以…+/??+%=『一卦+…+\一品,

<1

（〃+1）2

17.(1)4=2"-1(“eAT)；(2)5.

【解析】

(1)由邑=3邑，得到d=2q,進而求得4=2,即可求得數(shù)列｛4“｝的通項公式；

(2)由(1)和4“+。,川+。,,-2+《”+9=180,結合等差數(shù)列的前〃項和公式，列出關于m的

方程，即可求解.

【詳解】

(1)設等差數(shù)列｛為｝的公差為"，

由$4=4$2,可得%+6d=8q+4d,整理得d=2q,

又因為4=1,所以d=2,

答案第9頁，共14頁

所以數(shù)列｛4｝的通項公式““=fl|+(?-!)</=2〃-l(〃eN*).

(2)由(1)知?！?2〃-1,

因為+”,"2+…+*9=180，

inxo

nJ彳導10a”,H---xd=20,"+80=180,

解得，*=5.

【點睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，以及等差數(shù)列前”項和公式的應用，其中解答中熟

記等差數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的求和公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查推理與

運算能力.

18.（1）a“=2"（"eN*）；（2）見解析

【解析】

【詳解】

分析：（1）求出數(shù)列的首項和公比，即可求數(shù)列｛”“｝的通項公式；（2）①求出數(shù)列的前幾

項，根據等差數(shù)列的性質建立方程即可求出L②討論，"的取值，根據（,,=2%川的關系進

行求解即可.

2+|

詳解：（1）當〃=］時，q=S］=2"'-2=4-2=2,a2=52=-S,=2-2-2=8-4=4,

a4

則公比4===彳=2,則4,=2-2"T=2"

q2

I54-3/

（2）①當”=1時，得々=6-1,〃=2時，得4=6-5］；〃=3時，得々=―-~~-,

則由4+4=2/，得f=4.

而當f=4時，由6〃2-。+3bn）n+2bn=0得a=2n.

由bn+l-b?=2,知此時數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列.

②由題意知，q=4=2,C2=Q=2,c&=%=4,c$=Cs=c?=q=2，G=%=8,…

則當，"=1時，（=2片2。2=4,不合題意，舍去；

當，〃=2時，4=q+。2=4=2。3，所以m=2成立；

答案第10頁，共14頁

當根之3時，若或討=2,則7；產2jr，不合題意，舍去；從而%M必是數(shù)列{〃〃}中的某一

項ak+l，

貝lj=q+24—+2+生+2+…+2+/+2d—+2+44+2HF2

冰嬴打個冰

=(2+2?+23+…+2*)+2伍+4+4+..?+4)

m+，

=2(2"-1)+2x(2+j)"=2+2&2+2R-2又2c=2az=2x2*,所以

2k+,+2k2+2k-2=2x2*"，

即2"—公一%+i=o,所以2*+l=F+Z=k(Z+l)

因為2*+l(keN")為奇數(shù)，而公+%=&住+1)為偶數(shù)，所以上式無解.

即當機23時，Tm^2cm+i

綜上所述，滿足題意的正整數(shù)僅有〃?=2.

點睛：本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的綜合應用，考查學生的運算和推理能力，綜合

性較強，有一定的難度.

19.⑴『

(2)證明見解析；

fai，n=l

⑶",=<、產2"一

[a2,n>\

【解析】

【分析】

(1)由%="+2022可得{4}為遞增數(shù)列，max{4，%,…,為}=%,

而忒知外,…,。"}：",從而易得〃,；

(2)令〃=1,即可得4=0.利用max{al,a2,---,a?}^max{a1,a2,---,a?+l)(/j=l,2,3,---),

min{a1,a2,???,a,a2,2,3,--?)>可證以；

(3)首先，由已知，當〃=1時，4=《；當”=2時，，b2=a2-at,a2>a}-當〃=3時，

=2(%-4)+(4-4)(*),這里分析出與4，々的大小關系，%<4，均出

答案第II頁，共14頁

現(xiàn)矛盾，a.>a2,結合(*)式可得%=生，因此猜想(2之4)，用反證法證

[a2,n>2

[a.,n=l

明此結論成立，證明時假設4是首次不符合4=’,,生2%的項，貝IJ

[a2,n>\

4V%=%=…=w%,這樣題設條件變?yōu)?"；一之a2+ak="(7)%+"；」優(yōu)

(*),仿照討論出的情況討論《，可證明.

(1)

由4=〃+2022可得{%}為遞增數(shù)列，

所以a=max{q,%,…,-min{6,

=〃+2022-2023=〃-1,

故{優(yōu)}的前n項和為(°+丁晨〃=若”.

(2)

〃=1時，bt=at-at=0,

因為max{q,%,…,a“}WmaxM，%…,。“+|}("=1,2,3」一)，

min(ap4f2,---,a/1}>min{a,,a2,---,a?+1)(n=l,2,3,---),

所以max{4+i}-min{q,4,…,a“+|}

>max{a1,a2,...,an}-min{a1,a2,...,an}

所以心22(〃=123,.J

(3)

由Si+S2+…+S〃=12<+2"〃5=1，2,3,3)可得

當〃=1時，4=6；

當〃=2時，24+4=34+8,

即4=々-4，所以4之4；

當〃=3時，3q+2%+/=6q+34,

答案第12頁，共14頁

即34=2（%-4）+（4-4）（*）,

若則仇=%一%，

所以由（*）可得%=%，與。3＜。2矛盾;

若由＜%4a2，則仇=%一%，

所以由（*）可得％-電=3（4-4）,

所以