山東省煙臺市中英文學校2023-2024學年高一下學期期末檢測數(shù)學試題（含答案）

煙臺市中英文學校2023-2024學年高一下學期期末檢測數(shù)學一、單選題1．某地為了了解學生的睡眠時間，根據(jù)初中和高中學生的人數(shù)比例采用分層抽樣，抽取了40名初中生和20名高中生，調(diào)查發(fā)現(xiàn)初中生每天的平均睡眠時間為8小時，方差為2，高中生每天的平均睡眠時間為7小時，方差為1.根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，估計該地區(qū)中學生睡眠時間的總體方差約為（

）A． B． C． D．2．甲中學的女排和乙中學的女排兩隊進行比賽，在一局比賽中甲中學女排獲勝的概率是，沒有平局．若采用三局兩勝制，即先勝兩局者獲勝且比賽結束，則甲中學的女排獲勝的概率等于（

）A． B． C． D．3．設是三個不同平面，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知母線長為a的圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，在該圓錐內(nèi)放置一個圓柱，則當圓柱的側(cè)面積最大時，圓柱的體積為（

）A． B． C． D．5．2016年至2023年我國原油進口數(shù)量如圖所示：下列結論正確的是（

）A．2016年至2023年我國原油進口數(shù)量逐年增加B．2016年至2023年我國原油進口數(shù)量的極差為16138萬噸C．2016年至2023年我國原油進口數(shù)是的分位數(shù)為54239萬噸D．2015年我國原油進口數(shù)量少于30000萬噸6．如圖，四棱錐中，面，四邊形為正方形，，與平面所成角的大小為，且，則四棱錐的外接球表面積為（

）A．26πB．28πC．34πD．14π7．拋擲一枚骰子兩次，將得到的點數(shù)分別記為，則能構成三角形的概率是（

）A． B． C． D．8．在三棱錐中，頂點P在底面的射影為的垂心O（O在內(nèi)部），且PO中點為M，過AM作平行于BC的截面，過BM作平行于AC的截面，記，與底面ABC所成的銳二面角分別為，，若，則下列說法錯誤的是（

）A．若，則B．若，則C．可能值為D．當取值最大時，二、多選題9．某不透明盒子中共有5個大小質(zhì)地完全相同的小球，其中有3個白球2個黑球，現(xiàn)從中隨機取兩個球，甲表示事件“第一次取到黑球”，乙表示事件“第二次取到白球”，則下列說法錯誤的是（

）A．若不放回取球，則甲乙相互獨立 B．若有放回取球，則甲乙相互獨立C．若不放回取球，則甲乙為互斥事件 D．若有放回取球，則甲乙為互斥事件10．盒子中有編號一次為1,2,3,4,5,6的6個小球（大小相同），從中不放回地抽取4個小球并記下編號，根據(jù)以下統(tǒng)計數(shù)據(jù)，可以判斷一定抽出編號為6的小球的是（

）A．極差為5 B．上四分位數(shù)為5 C．平均數(shù)為3.5 D．方差為4.2511．如圖，在棱長為4的正方體中，為棱的中點，，過點的平面截該正方體所得的截面為，則（

）A．不存在，使得平面B．當平面平面時，C．線段長的最小值為D．當時，三、填空題12．已知樣本數(shù)據(jù)為1，a，b，7，9，該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，則這組樣本數(shù)據(jù)的方差的最小值為．13．冰雹猜想又稱考拉茲猜想、角谷猜想、想等，其描述為：任一正整數(shù)x，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，反復計算，最終都將會得到數(shù)字1如給出正整數(shù)5，則進行這種反復運算的過程為5→16→8→4→2→1，即按照這種運算規(guī)律進行5次運算后得到1．若從正整數(shù)6，7，8，9，10中任取2個數(shù)按照上述運算規(guī)律進行運算，則至少有1個數(shù)的運算次數(shù)為奇數(shù)的概率為.14．如圖，在三棱臺中，平面平面ABC，，，.（1）求DC與平面ABC所成線面角大小.（2）若，求三棱錐外接球表面積.四、解答題15．如圖，在正四棱錐中，為底面的中心．(1)若，，求正四棱錐的體積；(2)若，為的中點，求直線與平面所成角的大?。?6．某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率．(1)當漏診率％時，求臨界值c和誤診率；(2)設函數(shù)，當時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．17．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，在棱上且側(cè)面，，垂足為．(1)求證：平面；(2)若平面與直線交于點，證明：；(3)側(cè)面為等邊三角形時，求二面角的平面角的正切值．18．某電子公司新開發(fā)一款電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個系統(tǒng)由3個電子元件組成，各個電子元件能正常工作的概率為，且每個電子元件能否正常工作是相互獨立，若系統(tǒng)中有超過一半的電子元件正常工作，則可以正常工作，否則就需要維修．(1)求系統(tǒng)需要維修的概率；(2)為提高系統(tǒng)正常工作的概率，在系統(tǒng)內(nèi)增加兩個功能完全一樣的其他品牌的電子元件，每個新元件正常工作的概率為，且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作，則可以正常工作．問：滿足什么條件時可以提高整個系統(tǒng)的正常工作概率？19．如圖，點在以為直徑的圓上不同于，，垂直于圓所在平面，為的重心，，在線段上，且.(1)證明：∥平面；(2)在圓上是否存在點，使得二面角的余弦值為？若存在，指出點的位置；若不存在，說明理由.高一數(shù)學期末檢測參考答案：1．D【詳解】該地區(qū)中學生每天睡眠時間的平均數(shù)為：（小時），該地區(qū)中學生每天睡眠時間的方差為：.故選：D.2．D【詳解】甲中學的女排要獲勝，必須贏得其中兩局，可以是第一、二局，也可以是第一、三局，也可以是第二、三局．故甲中學的女排獲勝的概率,故選：D3．B【詳解】若，，則由平面平行的性質(zhì)定理：得；但當，時，可能有，也可能有相交，如是三棱柱的兩條側(cè)棱所在直線，是確定的平面，另兩個側(cè)面所在平面分別為，此時符合條件，而相交，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B4．A【詳解】設圓錐底面半徑為，則，故，故圓錐的高為，設圓柱底面半徑為，則，故，其中，故圓柱的側(cè)面積為，而，當且僅當時等號成立，故圓柱的側(cè)面積取最大值時，，，此時體積為，故選：A.5．C【詳解】2021年和2022年我國原油進口數(shù)量都比上一年少，A錯誤；2016年至2023年我國原油進口數(shù)量的極差為18298萬噸，B錯誤；將數(shù)據(jù)從小到大排序：，，，，，，，，由于，則年至2023年我國原油進口數(shù)量的分位數(shù)為為第7個數(shù)，即54239萬噸，C正確；設2015年我國原油進口數(shù)量為萬噸，，，所以2015年我國原油進口數(shù)量超過30000萬噸，D錯誤．故選：C6．C【詳解】如圖，因為面，四邊形為正方形，所以可將四棱錐補成長方體，則四棱錐的外接球也是長方體的外接球.由面，所以就是與平面所成的角，則，所以，設四棱錐的外接球的半徑為，因為長方體的對角線的長即為其外接球的直徑，所以，所以，所以四棱錐的外接球的表面積為.故選：C7．A【詳解】因為三角形兩邊之和大于第三邊，所以，又因為最大為，所以當時，有共六種情況，當時，有共五種情況，當時，有共四種情況，當時，有共三種情況，當時，有共兩種情況，當時，有一種情況，所以共有種情況，而總的可能數(shù)有種，所以概率為，故選：A.8．C【詳解】

如圖所示，連接延長交與，連接延長交與，設平面平面頂點P在底面的射影為的垂心，平面，平面平面則有：直線與平行又，則平面，則又則平面從而故為與平面的二面角，即同理可得：對選項A，，又，則有：可得：與全等，則又根據(jù)是的垂心，則，綜上可得：直線垂直并平分線段可得：，故選項A正確；對選項B，易知有如下角關系：又，則有：可得：解得：則，故選項B正確；對選項C，若，則有：則有：化簡后可得：令，則有：則有：，此時方程無解，故選項C錯誤；對選項D，設（），則有：可化簡為：令，則有：則有：解得：故取得最大值時，，此時同理可得：故，且則有：，故選項D正確；故選：C9．ACD【詳解】由題記樣本點為，分別表示第一次和第二次取到的球，將3個白球2個黑球分別標記為和，則放回抽樣樣本空間為共25個樣本點，甲事件樣本空間為，共10個樣本點，則；乙事件樣本空間為共15個樣本點，則，則共6個樣本點，故甲乙不為互斥事件，且即甲相互獨立，故B對、D錯；不放回抽樣樣本空間為共20個樣本點，甲事件樣本空間為，共8個樣本點，則；乙事件樣本空間為共12個樣本點，則，則共6個樣本點，故甲乙不為互斥事件，且即甲不相互獨立，故A、C錯.故選：ACD.10．ABD【詳解】假設抽出四張卡牌從小到大排列為A．，得，，故A正確；B．上四分位數(shù)為，得，，故B正確；C．，存在，，，使得不抽出卡牌6，故C錯誤；D．若未抽出卡牌6，則方差最大為，，，時，此時，，故D正確.故選：ABD.11．BCD【詳解】當時，與重合，與重合，易證平面，即存在，使得平面，故A錯誤；若平面平面，因為平面平面，平面平面，所以，設，因為為的中點，所以為的中點，所以，延長到，使得，同理可得，又，所以，又為的中點，所以，所以，所以，故B正確；由題意知，且，故（當且僅當時等號成立），當且僅當時等號成立，所以，故C正確；當時，易得為正六邊形（如圖六邊形），其邊長為，故的面積為.，所以，故D正確.故選：BCD.12．【詳解】因為平均數(shù)為，所以．因為方差，所以，當且僅當時，等號成立，所以方差的最小值為．故答案為：.13．/0.7【詳解】按照題中運算規(guī)律，正整數(shù)6的運算過程為，運算次數(shù)為8；正整數(shù)7的部分運算過程為，當運算到10時，運算次數(shù)為10，由正整數(shù)的運算過程可知，正整數(shù)7總的運算次數(shù)為；正整數(shù)8的運算次數(shù)為3；正整數(shù)9的部分運算過程為，當運算到7時，運算次數(shù)為3，由正整數(shù)7的運算過程可知，正整數(shù)9總的運算次數(shù)為．正整數(shù)10的運算次數(shù)為6；故正整數(shù)6，7，8，9，10的運算次數(shù)分別為偶數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)，從正整數(shù)6，7，8，9，10中任取2個數(shù)的方法總數(shù)為：，共種，其中的運算次數(shù)均為偶數(shù)的方法總數(shù)為：，共種，故運算次數(shù)均為偶數(shù)的的概率為，故所求概率．故答案為：．14．【詳解】過點作于，連接，因為平面平面ABC，且平面平面ABC，所以平面ABC，為DC與平面ABC所成的線面角，過作于，連接，則，在中，，在中，，在中，，所以，即，解得，所以，即DC與平面ABC所成線面角大小為；如圖：因為，所以，即，且，所以，又因為，，所以，即，所以，即，又，平面，所以平面，因為平面，所以，由（1）知，，且，由余弦定理可得，所以，即，又平面，所以平面，設三棱錐外接球半徑為，底面的外接圓半徑為，且，所以，所以，所以三棱錐外接球表面積為，故答案為：；.15．(1)(2)【詳解】（1）正四棱錐滿足平面，由平面，則，又正四棱錐底面是正方形，由可得，，故，則；（2）連接，由題意結合正四棱錐的性質(zhì)可知，每個側(cè)面都是等邊三角形，由是中點，則，又平面，故平面，即平面，又平面，于是即為直線與平面所成角，設，則，，又線面角的范圍是，故，即直線與平面所成角的大小為.16．(1)，；(2)，最小值為．【詳解】（1）依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為，所以，所以，解得：，．（2）當時，；當時，,故，所以在區(qū)間的最小值為．17．【詳解】（1）如圖：因為側(cè)面，平面，所以，又因為四邊形為正方形，所以，又，平面，所以平面.因為側(cè)面，所以，

因為，且，平面，所以平面.（2）因為底面為正方形，所以,又因為平面，平面,所以平面.又平面，平面平面,所以.（3）如圖：由題為等邊三角形，，故為中點，在線段上取點，使得，因為是正方形，所以，又，所以，又因為底面，底面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以，所以即為二面角的平面角，設，不妨設等邊的邊長為2，則，，所以在中，.18．(1)(2)【詳解】（1）記事件，事件事件，顯然事件與事件互斥，則由題意可知.所以系統(tǒng)需要維修的概率為.（2）記，，，，則由題意可知且顯然事件、事件、事件兩兩互斥，則,將分別代入并整理得.由（1）可知系統(tǒng)原來的正常工作概率為，若新增兩個電子元件后整個系統(tǒng)的正常工作概率提高了，則有不等式成立，解得,考慮實際意義知.綜上當時，可以提高整個系統(tǒng)的正常工作