新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)解答題培優(yōu)練習(xí)專題04 點(diǎn)到平面的距離(典型題型歸類訓(xùn)練)解析版

專題04點(diǎn)到平面的距離(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：等體積法求點(diǎn)到平面的距離 2題型二：利用向量法求點(diǎn)到平面的距離 10三、專項(xiàng)訓(xùn)練 16一、必備秘籍1、等體積法求點(diǎn)到平面的距離（1）當(dāng)點(diǎn)到面的距離那條垂線不好作或找時(shí)，利用等體積法可以間接求點(diǎn)到面的距離，從而快速解決體積問題，是一種常用數(shù)學(xué)思維方法（2）在用變換頂點(diǎn)求體積時(shí)，變換頂點(diǎn)的原則是能在圖象中直接找到求體積所用的高，有時(shí)單一靠棱錐四個(gè)頂點(diǎn)之間來變換頂點(diǎn)無法達(dá)到目的時(shí)，還可以利用平行關(guān)系（線面平行，面面平行）轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)，如當(dāng)線面平行時(shí)，線上任意一點(diǎn)到平面的距離是相等的，同理面面平行也可以變換頂點(diǎn)2、利用向量法求點(diǎn)到平面的距離如圖，已知平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0內(nèi)的定點(diǎn)，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外一點(diǎn).過點(diǎn)SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線SKIPIF1<0，交平面SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0的方向向量，且點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離就是SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上的投影向量SKIPIF1<0的長(zhǎng)度.SKIPIF1<0二、典型題型題型一：等體積法求點(diǎn)到平面的距離1．（23·24高二上·上海黃浦·階段練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，沿SKIPIF1<0把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體使SKIPIF1<0三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為SKIPIF1<0.則在四面體SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為.

【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題意，折疊后的四面體SKIPIF1<0如圖所示，

因?yàn)檎叫蜸KIPIF1<0邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同時(shí)由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.2．（23·24高二上·上海虹口·期中）如圖，已知點(diǎn)P在圓柱SKIPIF1<0的底面圓O的圓周上，SKIPIF1<0，圓O的直徑SKIPIF1<0，圓柱的高SKIPIF1<0．(1)求圓柱的體積；(2)求點(diǎn)A到平面SKIPIF1<0的距離．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由已知可得，圓柱的底面半徑SKIPIF1<0，圓柱的高SKIPIF1<0，SKIPIF1<0圓柱體積為：SKIPIF1<0；（2）設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，在等腰SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為直徑，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由等體積法SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．即點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0．3．（17·18高二下·河北唐山·期末）如圖，已知長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，過B點(diǎn)作SKIPIF1<0的垂線交SKIPIF1<0于E，交SKIPIF1<0于F．

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求點(diǎn)A到平面SKIPIF1<0的距離；【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）證明：根據(jù)題意，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0（已知），SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.同理，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以點(diǎn)A到平面SKIPIF1<0的距離等于點(diǎn)B到平面SKIPIF1<0的距離，設(shè)為d，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故點(diǎn)A到平面SKIPIF1<0的距離等于SKIPIF1<0.4．如圖，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.

(1)求證：SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0；(2)求點(diǎn)SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距離.【答案】(1)答案見詳解(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）∵SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0（2）連接SKIPIF1<0,設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0,由正方體的性質(zhì)可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.

5．（23·24高二上·江西九江·階段練習(xí)）如圖所示的五邊形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，沿SKIPIF1<0折疊成四棱錐SKIPIF1<0.(1)從條件①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0中任選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0：(2)在（1）的條件下，求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）選條件①②：證明：由題意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.選條件①③：證明：由題意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.選條件②③：證明：由題意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離等于點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.由（1）知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離也為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.6．（23·24高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是矩形，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn).

(1)證明：直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）證明：

如上圖，取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴在矩形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）解：

如上圖，連接SKIPIF1<0，由題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵矩形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是直角三角形，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是三棱錐SKIPIF1<0的高.∵底面SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0.∵點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離就是三棱錐SKIPIF1<0的高SKIPIF1<0，∴由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.7．（23·24高二上·上海楊浦·期中）如圖,SKIPIF1<0為菱形SKIPIF1<0外一點(diǎn),SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn).(1)求證:SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0;(2)若SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）連接SKIPIF1<0,如圖:因?yàn)镾KIPIF1<0,四邊形SKIPIF1<0為菱形,所以SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn),所以SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離即為點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離,設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,四邊形SKIPIF1<0為菱形,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.題型二：利用向量法求點(diǎn)到平面的距離1．（23·24高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）已知三棱柱SKIPIF1<0的側(cè)棱與底面垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，N是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，P是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】解：如圖，以A為原點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即點(diǎn)A到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0．故選：D.2．（23·24高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由題意可知：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為為平行四邊形，由SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為矩形，可知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）如圖所示，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸，過SKIPIF1<0作垂直SKIPIF1<0平面的直線，為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.3．（23·24上·滄州·階段練習(xí)）如圖所示，四棱錐SKIPIF1<0的底面是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，若邊SKIPIF1<0上存在異于SKIPIF1<0的一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得直線SKIPIF1<0．

(1)求SKIPIF1<0的最大值；(2)當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時(shí)，求異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值；(3)當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時(shí)，求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）

建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．（2）由（1）可知，當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0．（3）設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0等于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的射影長(zhǎng)，所以SKIPIF1<0．4．（23·24上·北辰·期中）如圖，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0且SKIPIF1<0且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0夾角的正弦值；(3)若點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0.【詳解】（1）取GD中點(diǎn)為Q，連接NQ，MQ.因SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，Q為GD中點(diǎn)，由三角形及梯形中位線定理，可得SKIPIF1<0.又注意到，SKIPIF1<0平面EDC，SKIPIF1<0平面EDC，SKIPIF1<0平面MNQ，SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面MQN，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）因SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0平面ABCD，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則如圖建立以D為原點(diǎn)的空間坐標(biāo)系.則SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.設(shè)平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的法向量分別為SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0.設(shè)平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.則平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0夾角的正弦值為SKIPIF1<0.（3）由（2），設(shè)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0又由題可得，平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量可取SKIPIF1<0.結(jié)合直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設(shè)平面SKIPIF1<0法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.取SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0.5．（重慶市部分區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）證明：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，SKIPIF1<0為z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設(shè)面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距離為d，∴SKIPIF1<0.

三、專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（23·24高二上·陜西·階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0．故選：D.2．（23·24高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0線段的中點(diǎn)，則直線SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由題意易知直線SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距離即為直線SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.建立如圖所示坐標(biāo)系SKIPIF1<0，則：

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0設(shè)面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0.故選：D3．（23·24高二上·湖南邵陽·階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則直線SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離即為點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離，所以直線SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.故選：D.

4．（23·24上·邯鄲·階段練習(xí)）在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0.故選：C.

5．（23·24上·紹興·階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體SKIPIF1<0中，E為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，F(xiàn)為SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)SKIPIF1<0靠近C點(diǎn)SKIPIF1<0，則點(diǎn)E到平面BDF的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】在棱長(zhǎng)為1的正方體SKIPIF1<0中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.故選：A6．（23·24高二上·北京·階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)B到平面SKIPIF1<0的距離為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】

由題意得點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0距離為三棱錐SKIPIF1<0的高，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0距離為SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為長(zhǎng)方體，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：C.7．（23·24高二上·湖南益陽·階段練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】如圖，連接SKIPIF1<0，因?yàn)槿庵鵖KIPIF1<0為直三棱柱，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則易知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故選：C.8．（23·24高二上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對(duì)立體幾何問題有著深入的研究，從其中的一些數(shù)學(xué)用語可見．譬如“塹堵”指底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，“陽馬”指底面是矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，“鱉臑”指四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐．現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】

取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0，根據(jù)題意，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0由題意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為直角三角形，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：B9．（23·24高三上·河北滄州·階段練習(xí)）在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)D是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)E是平面SKIPIF1<0的中心，則點(diǎn)E到平面SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】如圖所示，連接SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，再連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離等價(jià)于點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，由