新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)3-2 解三角形的綜合應(yīng)用（8題型+滿分技巧+限時(shí)檢測）（原卷版）

重難點(diǎn)3-2解三角形的綜合應(yīng)用解三角形一直是高考數(shù)學(xué)中的熱門考點(diǎn)，這類試題主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的能力。一般為中等難度，但題目相對綜合，涉及知識較多，可通過三角恒等變換、構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造基本不等式等方法加以解決?！绢}型1四邊形中的解三角形問題】滿分技巧四邊形中的解三角形問題通常需將四邊形分成多個(gè)三角形，觀察各個(gè)三角形之間的關(guān)系，找出同角、共邊的三角形，有時(shí)還需結(jié)合三角恒等變換?！纠?】（2024·湖南婁底·高三統(tǒng)考期末）如圖所示，在平面四邊形SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0為鈍角，且SKIPIF1<0.（1）求鈍角SKIPIF1<0的大?。唬?）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的大小.【變式1-1】（2024·云南昆明·統(tǒng)考一模）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的面積；（2）如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【變式1-2】（2024·重慶·高三重慶八中?？奸_學(xué)考試）已知四邊形SKIPIF1<0的外接圓面積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為鈍角，（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求四邊形SKIPIF1<0的面積．【變式1-3】（2024·云南楚雄·楚雄彝族自治州民族中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【題型2解三角形中的中線應(yīng)用】滿分技巧1、中線長定理：在?ABC中，AD是邊BC上的中線，則AB【點(diǎn)睛】靈活運(yùn)用同角的余弦定理，適用在解三角形的題型中2、向量法：AD【點(diǎn)睛】適用于已知中線求面積（已知BDCD【例2】（2024·廣東廣州·廣州六中校考三模）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0對應(yīng)的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.（1）求角SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長.【變式2-1】（2024·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0所對應(yīng)的邊分別為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0．（1）求角SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0邊的中線長．【變式2-2】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，BC邊上的中線SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．【變式2-3】（2024·重慶·統(tǒng)考一模）在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為鈍角，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求SKIPIF1<0的長．【變式2-4】（2024·全國·高三專題練習(xí)）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的大?。唬?）若SKIPIF1<0，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使SKIPIF1<0存在，求SKIPIF1<0邊上中線的長．條件①：SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0；條件②：SKIPIF1<0；條件③：SKIPIF1<0．【題型3解三角形中的垂線應(yīng)用】滿分技巧1、分別為邊上的高，則2、求高一般采用等面積法，即求某邊上的高，需要求出面積和底邊長度高線兩個(gè)作用：（1）產(chǎn)生直角三角形；（2）與三角形的面積相關(guān)?！纠?】（2024·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角A，B，C滿足SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0邊上的高等于SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【變式3-1】（2024·福建·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且SKIPIF1<0．（1）求A；（2）過點(diǎn)A作SKIPIF1<0的垂線與SKIPIF1<0的延長線交于點(diǎn)D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周長．【變式3-2】（2024·江蘇常州·高三統(tǒng)考期末）記SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0邊上的高為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【變式3-3】（2024·江西贛州·高三統(tǒng)考期末）在SKIPIF1<0中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1<0；（2）記邊AB和BC上的高分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，判斷SKIPIF1<0的形狀．【變式3-4】（2024·全國·模擬預(yù)測）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c且SKIPIF1<0，過點(diǎn)A作SKIPIF1<0，使得四邊形ABCD滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求角SKIPIF1<0的大小；（2）若SKIPIF1<0，求四邊形SKIPIF1<0的面積．【題型4解三角形中的角平分線應(yīng)用】滿分技巧如圖，在?ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所對的邊分別問a，b，1、利用角度的倍數(shù)關(guān)系：∠2、內(nèi)角平分線定理：AD為?ABC的內(nèi)角∠BAC的平分線，則AB說明：三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理將分對邊所成的線段比轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的兩邊之比，再結(jié)合抓星結(jié)構(gòu)，就可以轉(zhuǎn)化為向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”類問題，運(yùn)用向量知識解決起來都較為簡捷。3、等面積法：因?yàn)镾?ABD+S?ACD整理的：AD=2bccos【例4】（2024·河北滄州·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長.【變式4-1】（2024·廣東湛江·高三統(tǒng)考期末）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求角A；（2）作角A的平分線與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【變式4-2】（2024·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考期末）記SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求B，（2）SKIPIF1<0的平分線交邊SKIPIF1<0于點(diǎn)D，且SKIPIF1<0，求b．【變式4-3】（2024·浙江寧波·高三余姚中學(xué)校聯(lián)考期末）在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的長；（2）若SKIPIF1<0的平分線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.【變式4-4】（2023·安徽·高三校聯(lián)考期末）如圖,在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0的平分線交SKIPIF1<0邊于點(diǎn)SKIPIF1<0,點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0邊上,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.

（1）求SKIPIF1<0的大小;（2）若SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的面積.【題型5解三角形中的等分點(diǎn)應(yīng)用】滿分技巧當(dāng)所三角形問題不再是中線、角平分線、垂線這些特殊情況時(shí)，要注意結(jié)合補(bǔ)角的三角函數(shù)關(guān)系以及同角不同三角形，利用正余弦定理建立方程解出未知量?！纠?】（2024·山西太原·高三統(tǒng)考期末）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊，點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0.（1）當(dāng)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0；（2）當(dāng)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的周長.【變式5-1】（2024·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0.（1）求證：SKIPIF1<0；（2）若點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積.【變式5-2】（2023·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在SKIPIF1<0中，角A，B，C所對的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．【變式5-3】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且SKIPIF1<0.（1）求證：SKIPIF1<0；（2）如圖：點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【變式5-4】（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0三個(gè)內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對邊，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【題型6與三角值有關(guān)的最值范圍】滿分技巧三角形中的最值范圍問題處理方法1、利用基本不等式求最值-化角為邊余弦定理公式里有“平方和”和“積”這樣的整體，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范圍，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的條件。2、轉(zhuǎn)為三角函數(shù)求最值-化邊為角如果所求整體結(jié)構(gòu)不對稱，或者角度有更細(xì)致的要求，用余弦定理和基本不等式難以解決，這時(shí)候可以轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，消元后使得式子里只有一個(gè)角，變?yōu)槿呛瘮?shù)最值問題進(jìn)行解決。要注意三角形隱含角的范圍、三角形兩邊之和大于第三邊。【例6】（2024·全國·模擬預(yù)測）記SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0所對邊分別為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的最小值．【變式6-1】（2024·河北邢臺·高三統(tǒng)考期末）在銳角SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的取值范圍．【變式6-2】（2024·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0為銳角三角形，求SKIPIF1<0的取值范圍.【變式6-3】（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）記SKIPIF1<0三個(gè)內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0為銳角，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的最小值．【變式6-4】（2023·重慶永川·高三重慶市永川北山中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在SKIPIF1<0中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且SKIPIF1<0.（1）求角SKIPIF1<0的大小；（2）求SKIPIF1<0的取值范圍.【題型7與邊或周長有關(guān)的最值范圍】【例7】（2022·河南·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式7-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式7-2】（2024·廣東汕頭·金山中學(xué)校考模擬預(yù)測）在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下列問題中，并解決該問題.在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，__________，且SKIPIF1<0.求：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0周長的取值范圍.【變式7-3】（2024·青海西寧·高三統(tǒng)考期末）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.【變式7-4】（2023·江蘇鹽城·高三鹽城中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0周長的最小值.【題型8與面積有關(guān)的最值范圍】【例8】（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知該三角形的面積SKIPIF1<0．（1）求角SKIPIF1<0的大??；（2）若SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0面積的最大值．【變式8-1】（2024·四川成都·高三成都七中校考開學(xué)考試）在銳角SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所對應(yīng)的邊分別為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面積的取值范圍．【變式8-2】（2024·上海普陀·高三?？计谀┰赟KIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的對邊，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0滿足的表達(dá)式（2）如果SKIPIF1<0，求出此時(shí)SKIPIF1<0面積的最大值.【變式8-3】（2024·江西·高三校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，SKIPIF1<0，D為△ABC外一點(diǎn)，SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.【變式8-4】（2023·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，點(diǎn)O為SKIPIF1<0的內(nèi)心，記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0中選一個(gè)作為條件，判斷SKIPIF1<0是否存在，若存在，求出SKIPIF1<0的周長，若不存在，說明理由.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）（2）若SKIPIF1<0為銳角三角形，求SKIPIF1<0面積的取值范圍.（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2023·廣東深圳·高三?？计谀┰谄矫嫠倪呅蜸KIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，對角線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<02．（2024·浙江·校聯(lián)考一模）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0所對的邊分別是SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．（1）求角SKIPIF1<0；（2）設(shè)邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．3．（2023·湖南長沙·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0的平分線交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．4．（2023·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)部，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．5．（2024·廣東·高三廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0邊上的高設(shè)為SKIP