新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點4-1 平面向量的最值與范圍（4題型+滿分技巧+限時檢測）（解析版）

重難點4-1平面向量的最值與范圍平面向量中的最值范圍問題是向量問題中的重難點，也是近幾年新高考數(shù)學(xué)的熱點問題。常以選擇填空題的形式出現(xiàn)，難度稍大，方法靈活。主要考查向量數(shù)量積的最值、系數(shù)的最值、模長和夾角的最值。在復(fù)習(xí)過程中要注重對基本方法的訓(xùn)練，把握好類型題的一般解法?！绢}型1向量數(shù)量積的最值與范圍】滿分技巧數(shù)量積的最值范圍處理方法：（1）運用平面向量基本定理，將數(shù)量積的兩個向量用基底表示后，再運算；（2）建立坐標系，利用向量的坐標運算轉(zhuǎn)化為函數(shù)來處理；（3）利用極化恒等式來處理?！纠?】（2023·江蘇連云港·高三統(tǒng)考期中）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是單位向量，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為60°，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：D.【變式1-1】（2023·遼寧·高三校聯(lián)考期中）已知正方形SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．1B．SKIPIF1<0C．2D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由題意，建立如圖所示坐標系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0．故選：C．【變式1-2】（2024·陜西咸陽·?？寄M預(yù)測）如圖，在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上一點，且SKIPIF1<0，動點SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為圓心，1為半徑的圓上，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0同向時，SKIPIF1<0取最大值SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故選：C.【變式1-3】（2023·山東·五蓮縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0是半徑為2的圓上的三個動點，弦SKIPIF1<0所對的圓心角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．6B．3C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因為弦SKIPIF1<0所對的圓心角為SKIPIF1<0，且圓的半徑為2，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖所示：因為SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以若SKIPIF1<0最大，所以只需SKIPIF1<0最大，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A【變式1-4】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知過點SKIPIF1<0且與圓SKIPIF1<0相切的兩條直線的夾角為SKIPIF1<0，再過點SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．0B．8C．SKIPIF1<0D．16【答案】B【解析】如圖，設(shè)過點SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的兩條切線的切點為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因為圓C的方程可化為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以點P的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓．如圖，設(shè)MN的中點為H，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的值最大，最大值為8．故選：B．【題型2向量模長的最值與范圍】滿分技巧處理平面向量的模長范圍問題，常用的方法有：（1）坐標法：即通過建立直角坐標系，通過向量坐標運算求得；（2）基向量表示法：即通過選設(shè)平面的基底，用基底表示相關(guān)向量，運算求得；（3）構(gòu)造幾何圖形法：即根據(jù)模長定值構(gòu)造圓形，由向量點乘等于零得到兩向量垂直.【例2】（2023·云南昆明·高三統(tǒng)考期中）向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為．【答案】SKIPIF1<0【解析】依題意，根據(jù)投影向量的定義有：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0取最大值時，SKIPIF1<0有最大值，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【變式2-1】（2024·江西撫州·高三金溪一中校考階段練習(xí)）已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．5【答案】A【解析】SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故選：A．【變式2-2】（2024·北京朝陽·高三統(tǒng)考期末）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如下圖所示：在直線SKIPIF1<0上取一點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，所以可得SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為頂點的等腰直角三角形，建立以SKIPIF1<0為坐標原點的平面直角坐標系，如下圖所示：又SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，由SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由二次函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增可得，SKIPIF1<0.故選：C【變式2-3】（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．4C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如圖所示：不妨設(shè)SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由橢圓的定義可知點SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為焦點，長軸長為4的橢圓上運動，SKIPIF1<0，所以該橢圓方程為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，這表明了點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上面運動，其中點SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑，又SKIPIF1<0，等號成立當且僅當SKIPIF1<0三點共線，故只需求SKIPIF1<0的最大值即可，因為點SKIPIF1<0SKIPIF1<0在橢圓上面運動，所以不妨設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0且SKIPIF1<0三點共線時，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0.故選：A.【變式2-4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0,SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0,SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.故選：SKIPIF1<0【題型3向量夾角的的最值與范圍】滿分技巧求兩個非零向量夾角的步驟第一步：由坐標運算或定義計算出這兩個向量的數(shù)量積；第二步：分別求出這兩個向量的模；第三步：根據(jù)公式SKIPIF1<0求解出這兩個向量夾角的余弦值；第四步：根據(jù)兩個向量夾角的范圍是SKIPIF1<0及其夾角的余弦值，求出這兩個向量的夾角?！纠?】（2023·高三課時練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角的取值范圍是.【答案】SKIPIF1<0【解析】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，余弦函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，即有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角的取值范圍是SKIPIF1<0.【變式3-1】（2023·廣東清遠·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知單位向量SKIPIF1<0，若對任意實數(shù)x，SKIPIF1<0恒成立，則向量SKIPIF1<0的夾角的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)向量SKIPIF1<0的夾角為θ，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0恒成立.所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的夾角的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：A.【變式3-2】（2022·重慶沙坪壩·高三鳳鳴山中學(xué)?？计谥校┤羝矫嫦蛄縎KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0夾角的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以O(shè)為原點，SKIPIF1<0方向為x軸正方向建立平面直角坐標系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三者直接各自的夾角都為銳角，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影為1，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影為3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，由基本不等式得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為銳角，SKIPIF1<0，由余弦函數(shù)可得：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的取值范圍是SKIPIF1<0，故選：C.【變式3-3】（2023·山東菏澤·高三菏澤一中?？茧A段練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，若對任意模為SKIPIF1<0的向量SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0的夾角的取值范圍為.【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，若對任意模為SKIPIF1<0的向量SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，由三角不等式得，SKIPIF1<0，因為向量SKIPIF1<0為任意模為SKIPIF1<0的向量，所以當向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0夾角為SKIPIF1<0時，上式也成立，設(shè)向量SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平方得到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，平方得到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，綜上SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0向量SKIPIF1<0的夾角的取值范圍SKIPIF1<0.【變式3-4】（2023·上海·高三大同中學(xué)?？计谥校┮阎狝，B是平面內(nèi)兩個定點，且SKIPIF1<0，點集SKIPIF1<0.若M，SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0夾角的余弦值的取值范圍是．【答案】SKIPIF1<0【解析】因為SKIPIF1<0，點集SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,延長SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0,則可知點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上運動.因為SKIPIF1<0，根據(jù)數(shù)量積的幾何含義可知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影為3，即SKIPIF1<0，又因為M，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的兩個點，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0夾角最小為SKIPIF1<0，最大為SKIPIF1<0的二倍，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0最大為1，SKIPIF1<0最小為SKIPIF1<0所以范圍為SKIPIF1<0.【題型4向量系數(shù)的最值與范圍】滿分技巧此類問題一般要利用共線向量定理或平面向量基本定理尋找系數(shù)之間的關(guān)系，然后利用函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式求解。（1）平面向量共線定理：已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0三點共線，反之亦然；（2）等和線：平面內(nèi)一組基底SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及任一向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上或者在平行于SKIPIF1<0的直線上，則SKIPIF1<0（定值），反之也成立。我們把直線SKIPIF1<0以及與直線SKIPIF1<0平行的直線稱為等和線。=1\*GB3①當?shù)群途€恰為直線SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；=2\*GB3②當?shù)群途€在SKIPIF1<0點和直線SKIPIF1<0直線時，SKIPIF1<0；=3\*GB3③當直線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0和等和線之間時，SKIPIF1<0；=4\*GB3④當?shù)群途€過SKIPIF1<0點時，SKIPIF1<0；=5\*GB3⑤若兩等和線關(guān)于SKIPIF1<0點對稱，則定值SKIPIF1<0互為相反數(shù)?！纠?】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在正六邊形SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內(nèi)（包括邊界）的一個動點，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因為SKIPIF1<0為動點，所以不容易利用數(shù)量積來得到SKIPIF1<0的關(guān)系，因為六邊形為正六邊形，所以建立坐標系各個點的坐標易于確定，可得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以設(shè)SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所滿足的可行域為SKIPIF1<0，代入可得：SKIPIF1<0，通過線性規(guī)劃可得：SKIPIF1<0.【變式4-1】（2023·四川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0是邊長為1的等邊三角形，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因為SKIPIF1<0是邊長為1的等邊三角形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，故選：B.【變式4-2】（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點且滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點，且滿足SKIPIF1<0為正實數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的最大值為1C．SKIPIF1<0的最小值為4D．SKIPIF1<0的最大值為16【答案】C【解析】SKIPIF1<0為正實數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0共線，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，結(jié)合SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取等號，A，B錯誤；SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取等號，即SKIPIF1<0的最小值為4，C正確；又SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0為正實數(shù)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時SKIPIF1<0取最大值SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0趨近于0時，SKIPIF1<0可無限趨近于0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0無最大值，D錯誤，故選：C.【變式4-3】（2023·湖北·高三隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考期中）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的動點（與端點不重合），設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（）A．3B．1C．2D．4【答案】D【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0三點共線，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0、SKIPIF1<0時取等號，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.故選：D【變式4-4】（2023·山東·高三省實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為單位向量，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．-1【答案】B【解析】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,如圖，建立平面直角坐標系，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可知，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.故選：B（建議用時：60分鐘）1．（2023·陜西榆林·高三榆林市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．2B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．1【答案】B【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立.故選：B2．（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．2C．SKIPIF1<0D．4【答案】D【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0反向時，SKIPIF1<0取得最大值，且最大值為SKIPIF1<0.故選：D.3．（2023·寧夏石嘴山·高三平羅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為單位向量，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】依題意平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為單位向量，且SKIPIF1<0，建立如圖所示平面直角坐標系，設(shè)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0在以原點為圓心，半徑為SKIPIF1<0的圓上，SKIPIF1<0表示以原點為圓心，半徑為SKIPIF1<0的圓上的點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0的距離，所以，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知：SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是點SKIPIF1<0與原點的距離.故選：C4．（2023·江蘇南通·高三統(tǒng)考期中）在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故選：C5．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標系中，SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)點SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0軌跡為圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0的圓，可設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為任意角，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最大，且為SKIPIF1<0.故選：A6．（2023·福建莆田·高三莆田第十中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，斜邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的動點（包含端點），SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點．將線段SKIPIF1<0繞著點SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)得到線段SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】連接SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最小，可求得SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<07．（2022·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱德強學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面四邊形ABCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若點E為邊SKIPIF1<0上的動點，則SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A.8．（2023·天津東麗·高三天津市第一百中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，SKIPIF1<0是由三個全等的鈍角三角形和一個小的正三角形拼成一個大的正三角形，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點M為線段SKIPIF1<0上的動點，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．6D．10【答案】D【解析】根據(jù)題意可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0取最大值為SKIPIF1<0.故選：D9．（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知點A，B，C在圓SKIPIF1<0上運動，且SKIPIF1<0，若點P的坐標為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．7B．12C．14D．11【答案】D【解析】如圖所示：因為SKIPIF1<0，所以AC為圓的直徑，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，等號成立，故選：D10．（2024·湖南婁底·高三統(tǒng)考期末）已知平面非零向量SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．12C．SKIPIF1<0D．24【答案】D【解析】由已知非零向量SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，兩邊平方得SKIPIF1<0當且僅當SKIPIF1<0時等號成立，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值為24.故選：D.11．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0為單位向量，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．2B．SKIPIF1<0C．4D．6【答案】B【解析】SKIPIF1<0為單位向量，有SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0方向相反時“SKIPIF1<0”成立，如取SKIPIF1<0時，可使“SKIPIF1<0”成立.所以SKIPIF1<0.故選：B．12．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的點，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上（不含端點），且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．8【答案】B【解析】因為SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的點，滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上（不含端點），則存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不共線，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，即當SKIPIF1<0時，等號成立，故SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：B.13．（2023·福建寧德·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0上的任一點，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．2C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由已知可設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有最大值為SKIPIF1<0.故選：C.14．（2022·江蘇南通·高三開學(xué)考試）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的外心O的直線(不經(jīng)過點SKIPIF1<0)分別交線段SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因為SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0三點共線，可得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值，最小值為SKIPIF1<0；又由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值，最大值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：B.15．（2023·四川南充·閬中中學(xué)校考一模）圓O是邊長為SKIPIF1<0