新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)4-1 平面向量的最值與范圍（4題型+滿分技巧+限時(shí)檢測(cè)）（解析版）

重難點(diǎn)4-1平面向量的最值與范圍平面向量中的最值范圍問(wèn)題是向量問(wèn)題中的重難點(diǎn)，也是近幾年新高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問(wèn)題。常以選擇填空題的形式出現(xiàn)，難度稍大，方法靈活。主要考查向量數(shù)量積的最值、系數(shù)的最值、模長(zhǎng)和夾角的最值。在復(fù)習(xí)過(guò)程中要注重對(duì)基本方法的訓(xùn)練，把握好類型題的一般解法?！绢}型1向量數(shù)量積的最值與范圍】滿分技巧數(shù)量積的最值范圍處理方法：（1）運(yùn)用平面向量基本定理，將數(shù)量積的兩個(gè)向量用基底表示后，再運(yùn)算；（2）建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為函數(shù)來(lái)處理；（3）利用極化恒等式來(lái)處理。【例1】（2023·江蘇連云港·高三統(tǒng)考期中）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是單位向量，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為60°，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：D.【變式1-1】（2023·遼寧·高三校聯(lián)考期中）已知正方形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．1B．SKIPIF1<0C．2D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由題意，建立如圖所示坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0．故選：C．【變式1-2】（2024·陜西咸陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為圓心，1為半徑的圓上，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0同向時(shí)，SKIPIF1<0取最大值SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故選：C.【變式1-3】（2023·山東·五蓮縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0是半徑為2的圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦SKIPIF1<0所對(duì)的圓心角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．6B．3C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因?yàn)橄襍KIPIF1<0所對(duì)的圓心角為SKIPIF1<0，且圓的半徑為2，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖所示：因?yàn)镾KIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以若SKIPIF1<0最大，所以只需SKIPIF1<0最大，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A【變式1-4】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且與圓SKIPIF1<0相切的兩條直線的夾角為SKIPIF1<0，再過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．0B．8C．SKIPIF1<0D．16【答案】B【解析】如圖，設(shè)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的兩條切線的切點(diǎn)為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因?yàn)閳AC的方程可化為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以點(diǎn)P的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓．如圖，設(shè)MN的中點(diǎn)為H，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的值最大，最大值為8．故選：B．【題型2向量模長(zhǎng)的最值與范圍】滿分技巧處理平面向量的模長(zhǎng)范圍問(wèn)題，常用的方法有：（1）坐標(biāo)法：即通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，通過(guò)向量坐標(biāo)運(yùn)算求得；（2）基向量表示法：即通過(guò)選設(shè)平面的基底，用基底表示相關(guān)向量，運(yùn)算求得；（3）構(gòu)造幾何圖形法：即根據(jù)模長(zhǎng)定值構(gòu)造圓形，由向量點(diǎn)乘等于零得到兩向量垂直.【例2】（2023·云南昆明·高三統(tǒng)考期中）向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為．【答案】SKIPIF1<0【解析】依題意，根據(jù)投影向量的定義有：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時(shí)，SKIPIF1<0有最大值，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【變式2-1】（2024·江西撫州·高三金溪一中?？茧A段練習(xí)）已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．5【答案】A【解析】SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故選：A．【變式2-2】（2024·北京朝陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如下圖所示：在直線SKIPIF1<0上取一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，所以可得SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，建立以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：又SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，由SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由二次函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增可得，SKIPIF1<0.故選：C【變式2-3】（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．4C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如圖所示：不妨設(shè)SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由橢圓的定義可知點(diǎn)SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上運(yùn)動(dòng)，SKIPIF1<0，所以該橢圓方程為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，這表明了點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上面運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑，又SKIPIF1<0，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，故只需求SKIPIF1<0的最大值即可，因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0SKIPIF1<0在橢圓上面運(yùn)動(dòng)，所以不妨設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0三點(diǎn)共線時(shí)，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0.故選：A.【變式2-4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0,SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0,SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.故選：SKIPIF1<0【題型3向量夾角的的最值與范圍】滿分技巧求兩個(gè)非零向量夾角的步驟第一步：由坐標(biāo)運(yùn)算或定義計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積；第二步：分別求出這兩個(gè)向量的模；第三步：根據(jù)公式SKIPIF1<0求解出這兩個(gè)向量夾角的余弦值；第四步：根據(jù)兩個(gè)向量夾角的范圍是SKIPIF1<0及其夾角的余弦值，求出這兩個(gè)向量的夾角?！纠?】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角的取值范圍是.【答案】SKIPIF1<0【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，余弦函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，即有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角的取值范圍是SKIPIF1<0.【變式3-1】（2023·廣東清遠(yuǎn)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知單位向量SKIPIF1<0，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，SKIPIF1<0恒成立，則向量SKIPIF1<0的夾角的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)向量SKIPIF1<0的夾角為θ，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0恒成立.所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的夾角的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：A.【變式3-2】（2022·重慶沙坪壩·高三鳳鳴山中學(xué)校考期中）若平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0夾角的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以O(shè)為原點(diǎn)，SKIPIF1<0方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三者直接各自的夾角都為銳角，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影為1，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影為3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，由基本不等式得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為銳角，SKIPIF1<0，由余弦函數(shù)可得：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的取值范圍是SKIPIF1<0，故選：C.【變式3-3】（2023·山東菏澤·高三菏澤一中?？茧A段練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，若對(duì)任意模為SKIPIF1<0的向量SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0的夾角的取值范圍為.【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，若對(duì)任意模為SKIPIF1<0的向量SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，由三角不等式得，SKIPIF1<0，因?yàn)橄蛄縎KIPIF1<0為任意模為SKIPIF1<0的向量，所以當(dāng)向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0夾角為SKIPIF1<0時(shí)，上式也成立，設(shè)向量SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平方得到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同時(shí)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，平方得到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，綜上SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0向量SKIPIF1<0的夾角的取值范圍SKIPIF1<0.【變式3-4】（2023·上海·高三大同中學(xué)?？计谥校┮阎狝，B是平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，且SKIPIF1<0，點(diǎn)集SKIPIF1<0.若M，SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0夾角的余弦值的取值范圍是．【答案】SKIPIF1<0【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，點(diǎn)集SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,延長(zhǎng)SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0,則可知點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng).因?yàn)镾KIPIF1<0，根據(jù)數(shù)量積的幾何含義可知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影為3，即SKIPIF1<0，又因?yàn)镸，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的兩個(gè)點(diǎn)，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0夾角最小為SKIPIF1<0，最大為SKIPIF1<0的二倍，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0最大為1，SKIPIF1<0最小為SKIPIF1<0所以范圍為SKIPIF1<0.【題型4向量系數(shù)的最值與范圍】滿分技巧此類問(wèn)題一般要利用共線向量定理或平面向量基本定理尋找系數(shù)之間的關(guān)系，然后利用函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式求解。（1）平面向量共線定理：已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，反之亦然；（2）等和線：平面內(nèi)一組基底SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及任一向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上或者在平行于SKIPIF1<0的直線上，則SKIPIF1<0（定值），反之也成立。我們把直線SKIPIF1<0以及與直線SKIPIF1<0平行的直線稱為等和線。=1\*GB3①當(dāng)?shù)群途€恰為直線SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；=2\*GB3②當(dāng)?shù)群途€在SKIPIF1<0點(diǎn)和直線SKIPIF1<0直線時(shí)，SKIPIF1<0；=3\*GB3③當(dāng)直線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0和等和線之間時(shí)，SKIPIF1<0；=4\*GB3④當(dāng)?shù)群途€過(guò)SKIPIF1<0點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0；=5\*GB3⑤若兩等和線關(guān)于SKIPIF1<0點(diǎn)對(duì)稱，則定值SKIPIF1<0互為相反數(shù)?！纠?】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在正六邊形SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0為動(dòng)點(diǎn)，所以不容易利用數(shù)量積來(lái)得到SKIPIF1<0的關(guān)系，因?yàn)榱呅螢檎呅危越⒆鴺?biāo)系各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)易于確定，可得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以設(shè)SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所滿足的可行域?yàn)镾KIPIF1<0，代入可得：SKIPIF1<0，通過(guò)線性規(guī)劃可得：SKIPIF1<0.【變式4-1】（2023·四川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，故選：B.【變式4-2】（2023·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點(diǎn)且滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的最大值為1C．SKIPIF1<0的最小值為4D．SKIPIF1<0的最大值為16【答案】C【解析】SKIPIF1<0為正實(shí)數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0共線，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，結(jié)合SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，A，B錯(cuò)誤；SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，即SKIPIF1<0的最小值為4，C正確；又SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0為正實(shí)數(shù)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0取最大值SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0趨近于0時(shí)，SKIPIF1<0可無(wú)限趨近于0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0無(wú)最大值，D錯(cuò)誤，故選：C.【變式4-3】（2023·湖北·高三隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考期中）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（）A．3B．1C．2D．4【答案】D【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0三點(diǎn)共線，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0、SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.故選：D【變式4-4】（2023·山東·高三省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為單位向量，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．-1【答案】B【解析】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可知，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.故選：B（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2023·陜西榆林·高三榆林市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．2B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．1【答案】B【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立.故選：B2．（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．2C．SKIPIF1<0D．4【答案】D【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0反向時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值，且最大值為SKIPIF1<0.故選：D.3．（2023·寧夏石嘴山·高三平羅中學(xué)校考階段練習(xí)）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為單位向量，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】依題意平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為單位向量，且SKIPIF1<0，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0在以原點(diǎn)為圓心，半徑為SKIPIF1<0的圓上，SKIPIF1<0表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為SKIPIF1<0的圓上的點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0的距離，所以，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知：SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是點(diǎn)SKIPIF1<0與原點(diǎn)的距離.故選：C4．（2023·江蘇南通·高三統(tǒng)考期中）在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故選：C5．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0軌跡為圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0的圓，可設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為任意角，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0最大，且為SKIPIF1<0.故選：A6．（2023·福建莆田·高三莆田第十中學(xué)校考期中）如圖，在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，斜邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．將線段SKIPIF1<0繞著點(diǎn)SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)得到線段SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】連接SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0最小，可求得SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<07．（2022·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面四邊形ABCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若點(diǎn)E為邊SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A.8．（2023·天津東麗·高三天津市第一百中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，SKIPIF1<0是由三個(gè)全等的鈍角三角形和一個(gè)小的正三角形拼成一個(gè)大的正三角形，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)M為線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．6D．10【答案】D【解析】根據(jù)題意可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0取最大值為SKIPIF1<0.故選：D9．（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A，B，C在圓SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，且SKIPIF1<0，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．7B．12C．14D．11【答案】D【解析】如圖所示：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以AC為圓的直徑，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，故選：D10．（2024·湖南婁底·高三統(tǒng)考期末）已知平面非零向量SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．12C．SKIPIF1<0D．24【答案】D【解析】由已知非零向量SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，兩邊平方得SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值為24.故選：D.11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0為單位向量，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．2B．SKIPIF1<0C．4D．6【答案】B【解析】SKIPIF1<0為單位向量，有SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0方向相反時(shí)“SKIPIF1<0”成立，如取SKIPIF1<0時(shí)，可使“SKIPIF1<0”成立.所以SKIPIF1<0.故選：B．12．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的點(diǎn)，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上（不含端點(diǎn)），且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．8【答案】B【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的點(diǎn)，滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上（不含端點(diǎn)），則存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不共線，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，故SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：B.13．（2023·福建寧德·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0上的任一點(diǎn)，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．2C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由已知可設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0有最大值為SKIPIF1<0.故選：C.14．（2022·江蘇南通·高三開(kāi)學(xué)考試）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0的外心O的直線(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0)分別交線段SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0三點(diǎn)共線，可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值，最小值為SKIPIF1<0；又由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值，最大值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：B.15．（2023·四川南充·閬中中學(xué)?？家荒＃﹫AO是邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0