考研數(shù)學二（向量組的線性關系與秩）模擬試卷1（共164題）

考研數(shù)學二（向量組的線性關系與秩）模擬試卷1（共6套）（共164題）考研數(shù)學二（向量組的線性關系與秩）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、已知n維向量組α1，α2，…，αs線性無關，則n維向量組β1，β2，…，βs也線性無關的充分必要條件為A、α1，α2，…，αs可用β1，β2，…，βs線性表示．B、β1，β2，…，βs可用α1，α2，…，αs線性表示．C、α1，α2，…，αs與β1，β2，…，βs等價．D、矩陣(α1，α2，…，αs)和(β1，β2，…，βs)等價．標準答案：D知識點解析：從條件A可推出β1，β2，…，βs的秩不小于α1，α2，…，αs的秩s，β1，β2，…，βs線性無關．即A是充分條件，但它不是必要條件．條件C也是充分條件，不是必要條件．條件B既非充分的，又非必要的．兩個矩陣等價就是它們類型相同，并且秩相等．現(xiàn)在(α1，α2，…，αs)和(β1，β2，…，βs)都是n×s矩陣，(α1，α2，…，αs)的秩為s，于是β1，β2，…，βs線性無關(即矩陣(β1，β2，…，βs)的秩也為s)<=>(α1，α2，…，αs)和(β1，β2，…，βs)等價．2、n階矩陣A=的秩為n－1，則a=()．A、1．B、1／(1－n)．C、－1．D、1／(n－1)．標準答案：B知識點解析：用初等變換化A為階梯形矩陣來求秩．(這里第一步變換是把第2～n列都加到第1列上；第二步變換是把第2～n行都減去第1行．)如果1+(n－1)a≠0并且1－a≠0，則r(A)=n．如果1－a=0，則r(A)=1．當1+(n－1)a=0時r(A)=n－1，即a=1／(1－n)．3、設α1，α2，…，αs都是n維向量，A是m×n矩陣，下列選項中正確的是()．A、若α1，α2，…，αs線性相關，則Aα1，Aα2，…，Aαs線性相關．B、若α1，α2，…，αs線性相關，則Aα1，Aα2，…，Aαs線性無關．C、若α1，α2，…，αs線性無關，則Aα1，Aα2，…，Aαs線性相關．D、若α1，α2，…，αs線性無關，則Aα1，Aα2，…，Aαs線性無關．標準答案：A知識點解析：本題考的是線性相關性的判斷問題，可以用定義說明A的正確性，做法如下：因為α1，α2，…，αs線性相關，所以存在不全為0的數(shù)c1，c2，…，cs使得c1α1+c2α2+…+csαs=0，用A左乘等式兩邊，得c1Aα1+c1Aα2+…+csAαs=0，于是Aα1，Aα2，…，Aαs線性相關．但是用秩來解此題，則更加簡單透徹．只要應用兩個基本性質(zhì)，它們是：1．α1，α2，…，αs線性無關<=>r(α1，α2，…，αs)=s．2．r(AB)≤r(B)．矩陣(Aα1，Aα2，…，Aαs)=A(α1，α2，…，αs)，因此r(Aα1，Aα2，…，Aαs)≤r(α1，α2，…，αs)．于是，若α1，α2，…，αs線性相關，有r(α1，α2，…，αs)＜s，從而r(Aα1，Aα2，…，Aαs)＜s，Aα1，Aα2，…，Aαs線性相關．4、向量組α1，α2，…，αs線性無關的充分必要條件是A、α1，α2，…，αs均不是零向量．B、α1，α2，…，αs中任意兩個向量的分量不成比例．C、α1，α2，…，αs，αs+1線性無關．D、α1，α2，…，αs中任一個向量均不能由其余s－1個向量線性表出．標準答案：D知識點解析：A，B均是線性無關的必要條件．例如，α1=(1，1，1)T，α2=(1，2，3)T，α3=(2，3，4)T，雖α1，α2，α3均為非零向量且任兩個向量的分量都不成比例，但α1+α2－α3=0，α1，α2，α3線性相關．C是線性無關的充分條件．由α1，α2，…，αs，αs+1線性無關=>α1，α2，…，αs線性無關，但由α1，α2，…，αs線性無關α1，α2，…，αs，αs+1線性無關．D是線性相關的意義．故應選D．5、設向量組Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量組Ⅱ：β1，β2，…，βs線性表示，則A、當r＜s時，向量組(Ⅱ)必線性相關．B、當r＞s時，向量組(Ⅱ)必線性相關．C、當r＜s時，向量組(Ⅰ)必線性相關．D、當r＞s時，向量組(Ⅰ)必線性相關．標準答案：D知識點解析：若多數(shù)向量可用少數(shù)向量線性表出，則多數(shù)向量一定線性相關．故應選D．6、設A是m×n矩陣，r(A)=m＜n，則下列命題中不正確的是A、A經(jīng)初等行變換必可化為(Em，0)．B、b∈Rm，方程組Ax=b必有無窮多解．C、如m階矩陣B滿足BA=0，則B=0．D、行列式｜ATA｜=0．標準答案：A知識點解析：例如，，只用初等行變換就不能化為(E2，0)形式，A不正確．故應選A．因為A是m×n矩陣，m=r(A)≤r(A｜b)≤m．于是r(A)=r(A｜b)=m＜n．B正確．由BA=0知r(B)+r(A)≤m，又r(A)=m，故r(B)=0，即B=0．C正確．ATA是n階矩陣，r(ATA)≤r(A)=m＜n，故｜ATA｜=0，即D正確．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)7、設α1，α2，α3，α4都是n維向量．判斷下列命題是否成立．①如果α1，α2，α3線性無關，α4不能用α1，α2，α3線性表示，則α1，α2，α3，α4線性無關．②如果α1，α2線性無關，α3，α4都不能用α1，α2線性表示，則α1，α2，α3，α4線性無關．③如果存在n階矩陣A，使得Aα1，Aα2，Aα3，Aα4線性無關，則α1，α2，α3，α4線性無關．④如果α1=Aβ1，α2=Aβ2，α3=Aβ3，α4=Aβ4，其中A可逆，β1，β2，β3，β4線性無關，則α1，α2，α3，α4線性無關．其中成立的為________．標準答案：①，③，④．知識點解析：①直接從定理3．2得到．②明顯不對，例如α3不能用α1，α2線性表示，而α3=α4時，α3，α4都不能用α1，α2線性表示但是α1，α2，α3，α4線性相關．③容易用秩說明：Aα1，Aα2，Aα3，Aα4的秩即矩陣(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)的秩，而(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)=A(α1，α2，α3，α4)，由矩陣秩的性質(zhì)④，r(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)≤r(α1，α2，α3，α4)．Aα1，Aα2，Aα3，Aα4無關，秩為4，于是α1，α2，α3，α4的秩也一定為4，線性無關．④也可從秩看出：A可逆時，r(α1，α2，α3，α4)=r(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)=4．8、已知α1，α2，α3線性無關，α1+α2，aα2－α3，α1－α2+α3線性相關，則a=________．標準答案：2知識點解析：記β1=α1+α2，β2=aα2－α3，β3=α1－α2+α3，則β1，β2，β3線性相關<=>=0<=>a－2=0=>a=2．9、向量組α1=(1，－1，3，0)T，α2=(－2，1，a，1)T，α3=(1，1，－5，－2)T的秩為2，則a=________．標準答案：－2知識點解析：r(α1，α2，α3)=2，計算秩10、已知且AXA*=B，秩r(X)=2，則a=________．標準答案：0知識點解析：由A可逆，知A*可逆，那么r(AXA*)=r(X)，從而r(B)=2，｜B｜=0．于是三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)11、設α1，α2，…，αs是一個n維向量組，β和γ也都是n維向量．判斷下列命題的正確性．①如果β，γ都可用α1，α2，…，αs線性表示，則β+γ也可用α1，α2，…，αs線性表示．②如果β，γ都不可用α1，α2，…，αs線性表示，則β+γ也不可用α1，α2，…，αs線性表示．③如果β可用α1，α2，…，αs線性表示，而γ不可用α1，α2，…，αs線性表示，則β+γ可用α1，α2，…，αs線性表示．④如果β可用α1，α2，…，αs線性表示，而γ不可用α1，α2，…，αs線性表示，則β+γ不可用α1，α2，…，αs線性表示．標準答案：正確的是①和④，②和③都不對．①顯然．②不對，可用一個反例說明．取β不可用α1，α2，…，αs線性表示，γ=－β，則γ也不可用α1，α2，…，αs線性表示，但是β+γ=0，是可用α1，α2，…，αs線性表示．用反證法說明③不對④對．如果β+γ可用α1，α2，…，αs線性表示，則因為β可用α1，α2，…，αs線性表示，所以γ=(β+γ)－β也可用α1，α2，…，αs線性表示，與條件矛盾．知識點解析：暫無解析12、設α1=(2，1，2，3)T，α2=(－1，1，5，3)T，α3=(0，－1，－4，－3)T，α4=(1，0，－2，－1)T，α5=(1，2，9，8)T．求r(α1，α2，α3，α4，α5)，找出一個最大無關組．標準答案：以α1，α2，α3，α4，α5為列向量作矩陣A，用初等行變換把A化為階梯形矩陣：于是r(α1，α2，α3，α4，α5)=3．α1，α2，α4是α1，α2，α3，α4，α5的一個最大無關組．知識點解析：暫無解析13、設α1=(1，－1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，－2，2，0)，α5=(2，1，5，10)．①求r(α1，α2，α3，α4，α5)．②求一個最大線性無關組，并且把其余向量用它線性表示．標準答案：①構造矩陣A=(α1T，α2T，α3T，α4T，α5T)，并對它作初等行變換：記B和C分別是中間的階梯形矩陣和右邊的簡單階梯形矩陣．B有3個非零行，則r(α1，α2，α3，α4，α5)=3．②B的臺角在1，2，4列，則α1，α2，α4是α1，α2，α3，α4，α5的一個最大無關組．設C的列向量組為γ1，γ2，γ3，γ4，γ5，則α1，α2，α3，α4，α5和γ1，γ2，γ3，γ4，γ5有相同線性關系．顯然γ3=3γ1+γ2，γ5=2γ1+γ2，于是α3=3α1+α2，α5=2α1+α2．知識點解析：暫無解析14、3階矩陣，已知r(AB)小于r(A)和r(B)，求a，b和r(AB)．標準答案：條件r(AB)小于r(A)，說明B不可逆(這是用了矩陣秩的性質(zhì)⑤的逆否命題)．類似地r(AB)小于r(B)，說明A不可逆．于是｜A｜=｜B｜=0．求出｜A｜=－4a+8b－12，｜B｜=a+b－3，則a，b滿足解得a=1，b=2．r(AB)＜r(A)＜3，則r(AB)≤1．再由AB不是零矩陣(如它的(2，3)位元素為4)，得r(AB)=1．(說明AB不是零矩陣也可用反證法得到：如果AB=0，則r(A)+r(B)≤3，而顯然r(A)=r(B)=2．)知識點解析：暫無解析15、給定向量組(Ⅰ)α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，－1，a+2)T和(Ⅱ)β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T．當a為何值時(Ⅰ)和(Ⅱ)等價?a為何值時(Ⅰ)和(Ⅱ)不等價?標準答案：思路(Ⅰ)和(Ⅱ)等價用秩來刻畫，即r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=r(α1，α2，α3)=r(β1，β2，β3)．當a+1=0時，r(α1，α2，α3)=2，而r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=3，因此(Ⅰ)與(Ⅱ)不等價．當a+1≠0時，r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=r(α1，α2，α3)=3．再來計算r(β1，β2，β3)．則r(β1，β2，β3)=3(與a無關)．于是a+1≠0時(Ⅰ)與(Ⅱ)等價．知識點解析：暫無解析16、已知(2，1，1，1)T，(2，1，a，a)T，(3，2，1，a)T，(4，3，2，1)T線性相關，并且a≠1，求a．標準答案：因為這4個向量線性相關，所以以它們?yōu)榱邢蛄康?階行列式為0．求出此行列式的值：得a=1／2．知識點解析：暫無解析17、設n維向量組α1，α2，…，αs線性相關，并且α1≠0，證明存在1＜k≤s，使得αk可用α1，…，αk－1線性表示．標準答案：因為α1，α2，…，αs線性相關，所以存在不全為0的數(shù)c1，c2，…，cs，使得c1α1+c2α2+…+csαs=0．設ck是c1，c2，…，cs中最后一個不為0的數(shù)，即ck≠0，但i＞k時，ci=0．則k≠1(否則α1=0，與條件矛盾)，并且有c1α1+c2α2+…+ckαk=0．則于知識點解析：暫無解析18、設A是n階矩陣，k為正整數(shù)，α是齊次方程組AkX=0的一個解，但是Ak－1α≠0．證明α，Aα，…，Ak－1α線性無關．標準答案：用定義證明．方法一設c1α+c2Aα+…+ckAk－1α=0，要推出每個ci=0．先用Ak－1乘上式兩邊，注意到當m≥k時，Amα=0(因為AkX=0)，得到c1Ak－1α=0．又因為Ak－1α≠0，所以c1=0．上式變?yōu)閏2Aα+…+ckAk－1α=0．再用Ak－2乘之，可得到c2=0．如此進行下去，可證明每個ci=0．方法二用反證法．如果α，Aα，…，Ak－1α線性相關，則存在不全為0的c1，c2，…，ck，使得c1α+c2Aα+…+ckAk－1α=0，設其中第一個不為0的系數(shù)是ci，則ciAi－1α+…+ckAk－1α=0，用Ak－i乘之，得ciAk－1α=0．從而Ak－1α=0，與條件矛盾．知識點解析：暫無解析19、設α1，α2，…，αs線性無關，βi=αi+αi+1，i=1，…，s－1，βs=αs+α1．判斷β1，β2，…，βs線性相關還是線性無關?標準答案：β1，β2，…，βs對α1，α2，…，αs的表示矩陣為｜C｜=1+(－1)s+1．于是當s為偶數(shù)時，｜C｜=0，r(C)＜s，從而r(β1，β2，…，βs)＜s，β1，β2，…，βs線性相關．當s為奇數(shù)時，｜C｜=2，r(C)=s，從而r(β1，β2，…，βs)=s，β1，β2，…，βs線性無關．知識點解析：暫無解析20、設α1，α2，…，αs，β都是n維向量，證明：標準答案：把α1，α2，…，αs的一個最大無關組放在α1，α2，…，αs，β中考察，看它是否也是α1，…，α3，β的最大無關組．設(Ⅰ)是α1，α2，…，αs的一個最大無關組，則它也是α1，α2，…，αs，β中的一個無關組．問題是：(Ⅰ)增添β后是否相關?若β可用α1，α2，…，αs表示，則β可用(Ⅰ)表示(因為α1，α2，…，αs和(Ⅰ)等價！)，于是(Ⅰ)增添β后相關，從而(Ⅰ)也是α1，α2，…，αs，β的最大無關組，r(α1，α2，…，αs，β)=r(α1，α2，…，αs)．若β不可用α1，α2，…，αs表示，則β不可用(Ⅰ)表示，(Ⅰ)增添β后無關，從而(Ⅰ)不是α1，α2，…，αs，β的最大無關組，此時(Ⅰ)，β是α1，α2，…，αs，β的最大無關組，r(α1，α2，…，αs，β)=r(α1，α2，…，αs)+1．知識點解析：暫無解析21、證明r(A+B)≤r(A)+r(B)．標準答案：r(A+B)≤r(A+B｜B)．對矩陣(A+B｜B)進行初等列變換：左邊A+B各列都減去右邊B的對應列，化為(A｜B)．于是r(A+B)≤r(A+B｜B)=r(A｜B)≤r(A)+r(B)．知識點解析：暫無解析22、設α1，α2，…，αr和β1，β2，…，βs是兩個線性無關的n維向量．證明：向量組{α1，α2，…，αr；β1，β2，…，βs}線性相關<=>存在非零向量r，它既可用α1，α2，…，αr線性表示，又可用β1，β2，…，βs線性表示．標準答案：“=>”因為{α1，α2，…，αr；β1，β2，…，βs}線性相關，所以存在c1，c2，…，cr，cr+1，…，cr+s不全為0，使得c1α1+c2α2+…+crαr+cr+1β1+cr+2β2+…+cr+sβs=0記γ=c1α1+c2α2+…+crαr－(cr+1β1+cr+2β2+…+cr+sβs)，則γ≠0(否則由α1，α2，…，αr和β1，β2，…，βs都線性無關，推出c1，c2，…，cr，cr+1，…，cr+s全為0)，并且它既可用α1，α2，…，αr表示，又可用β1，β2，…，βs表示．“<=”設γ≠0，它既可用α1，…，αr表示，又可用β1，…，βs表示．記γ=c1α1+c2α2+…+crαs=t1β1+t2β2+…+tsβs，則c1，c2，…，cr和t1，t2，…，ts都不全為0，而c1α1+c2α2+…+crαs－t1β1－t2β2－…－tsβs=0．根據(jù)定義，{α1，α2，…，αr；β1，β2，…，βs}線性相關．知識點解析：暫無解析23、設α1，α2，…，αs是一組兩兩正交的非零向量，證明它們線性無關．標準答案：方法一用定義．設c1α1+c2α2+…+csαs=0，對每個i，ci‖αi‖=(αi，c1α1+c2α2+…+csαs)=0，而‖αi‖≠0，于是ci=0．方法二計算秩．以α1，α2，…，αs為列向量組構造矩陣A=(α1，α2，…，αs)，則由例3．50的結果，ATA是對角矩陣，并且對角線上的元素依次為‖α1‖2，‖α2‖2，…，‖αs‖2，它們都不為0．于是r(α1，α2，…，αs)=r(A)=r(ATA)=s，從而α1，α2，…，αs線性無關．知識點解析：暫無解析24、設A為n階正交矩陣，α和β都是n維實向量，證明：(1)內(nèi)積(α，β)=(Aα，Aβ)．(2)長度‖Aα‖=‖α‖．標準答案：(1)(Aα，Aβ)=αTATAβ=αTβ=(α，β)．(2)(α，α)=(Aα，Aα)．兩邊求算術平方根，得‖α‖=‖Aα‖．知識點解析：暫無解析25、已知α1=(1，1，0，2)T，α2=(－1，1，2，4)T，α3=(2，3，a，7)T，α4=(－1，5，－3，a+6)T，β=(1，0，2，b)T，問a，b取何值時，(Ⅰ)β不能由α1，α2，α3，α4線性表示?(Ⅱ)β能用α1，α2，α3，α4線性表出，且表示法唯一；(Ⅲ)β能用α1，α2，α3，α4線性表出，且表示法不唯一，并寫出此時表達式．標準答案：設x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β，對增廣矩陣(α1，α2，α3，α4β)作初等行變換，有(Ⅰ)當a=1，b≠2或a=10，b≠－1時，方程組均無解．所以β不能由α1，α2，α3，α4線性表出．(Ⅱ)當a≠1且a≠10時，b方程組均有唯一解．所以β能用α1，α2，α3，α4線性表示且表示法唯一．(Ⅲ)方程組在兩種情況下有無窮多解，即(1)當a=10，b=－1時，方程組有無窮多解：(2)當a=1，b=2時，方程組有無窮多解：x4=，x2=t，x3=1－2t，x1=5t－，即知識點解析：暫無解析26、設A是n階非零實矩陣，A*是A的伴隨矩陣，AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣，如果AT=A*，證明任一n維列向量均可由矩陣A的列向量線性表出．標準答案：因為A*=AT，按定義有Aij=aij(i，j=1，2，…，n)，其中Aij是行列式｜A｜中aij的代數(shù)余子式．由于A≠0，不妨設a11≠0，那么｜A｜=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a112+a122+…+a1n2≠0．于是A=(α1，α2，…，αn)的n個列向量線性無關．那么對任－n維列向量β，恒有α1，α2，…，αn，β線性相關．因此β必可由α1，α2，…，αn線性表出．知識點解析：暫無解析27、設A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，C是m×s矩陣，滿足AB=C，如果秩r(A)=n，證明秩r(B)=r(C)．標準答案：對齊次方程組(Ⅰ)ABx=0，(Ⅱ)Bx=0，如α是(Ⅱ)的解，有Bα=0，那么ABα=0，于是α是(Ⅰ)的解．如α是(Ⅰ)的解，有ABα=0，因為A是m×n矩陣，秩r(A)=n，所以Ax=0只有零解，從而Bα=0．于是α是(Ⅱ)的解．因此方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)同解．那么s－r(AB)=s－r(B)，即r(AB)=r(B)．所以r(B)=r(C)．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（向量組的線性關系與秩）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、AB=0，A，B是兩個非零矩陣，則A、A的列向量組線性相關．B曰的行向量組線性相關．B、A的列向量組線性相關．B的列向量組線性相關．C、A的行向量組線性相關．B的行向量組線性相關．D、A的行向量組線性相關．B的列向量組線性相關．標準答案：A知識點解析：用秩．矩陣的行(列)向量組線性相關，即其的秩小于行(列)數(shù)．設A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，則由AB=0得到r(A)+r(B)≤n．由于A，B都不是零矩陣，r(A)＞0，r(B)＞0．于是r(A)＜n，r(B)＜n．n是A的列數(shù)，B的行數(shù)，因此A的列向量組線性相關．B的行向量組線性相關．2、設α1，α2，…，αs都是n維向量，A是m×n矩陣，下列選項中正確的是()．A、若α1，α2，…，αs線性相關，則Aα1，Aα2，…，Aαs線性相關．B、若α1，α2，…，αs線性相關，則Aα1，Aα2，…，Aαs線性無關．C、若α1，α2，…，αs線性無關，則Aα1，Aα2，…，Aαs線性相關．D、若α1，α2，…，αs線性無關，則Aα1，Aα2，…，Aαs線性無關．標準答案：A知識點解析：本題考的是線性相關性的判斷問題，可以用定義說明(A)的正確性，做法如下：因為α1，α2，…，αs線性相關，所以存在不全為0的數(shù)c1，c2，…，cs使得c1α1+c2α2+…+csαs=0，用A左乘等式兩邊，得c1Aα1+c2Aα2+…+csAαs=0，于是Aα1，Aα2，…，Aαs線性相關．但是用秩來解此題，則更加簡單透徹．只要應用兩個基本性質(zhì)，它們是：1．α1，α2，…，αs線性無關r(α1，α2，…，αs)=s．2．r(AB)≤r(B)．矩陣(Aα1，Aα2，…，Aαs)=A(α1，α2，…，αs)，因此r(Aα1，Aα2，…，Aαs)≤r(α1，α2，…，αs)．于是，若α1，α2，…，αs線性相關，有r(α1，α2，…，αs)＜s，從而r(Aα1，Aα2，…，Aαs)＜s，Aα1，Aα2，…，Aαs線性相關．3、α1，α2，…，αs，β線性無關，而α1，α2，…，αs，γ線性相關，則A、α1，α2，α3，β+γ線性相關．B、α1，α2，α3，cβ+γ線性無關．C、α1，α2，α3，β+cγ線性相關．D、α1，α2，α3，β+cγ線性無關．標準答案：D知識點解析：由于α1，α2，α3，β線性無關，α1，α2，α3是線性無關的．于是根據(jù)定理3．2，α1，α2，α3，cβ+γ(或β+cγ)線性相關與否取決于xβ+γ(或β+cγ)可否用α1，α2，α3線性表示．條件說明β不能由α1，α2，α3線性表示，而γ可用α1，α2，α3線性表示．cβ+γ可否用α1，α2，α3線性表示取決于c，當c=0時cβ+γ=γ可用α1，α2，α3線性表示；c≠0時cβ+γ不可用α1，α2，α3線性表示．c不確定，(A)，(B)都不能選．而β+cγ總是不可用α1，α2，α3線性表示的，因此(C)不對，(D)對．4、設α1，α2，α3線性無關，則()線性無關：A、α1+α2，α2+α3，α3-α1．B、α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3．C、α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1．D、α1+α2+α3，2α1-3α2+22α3，3α1+5α2-5α3．標準答案：C知識點解析：容易看出(A)中的向量組的第2個減去第1個等于第3個，所以相關．(B)組的前兩個之和等于第3個，也相關．于是(A)和(B)都可排除．現(xiàn)在只用判斷(C)組是否相關(若相關，選(D)，若無關，選(C)．)α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1對α1，α2，α3的表示矩陣為C可逆，于是r(α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1)=r(C)=3，因而(C)組向量線性無關．二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)5、已知α1，α2，α3線性無關．α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα1線性相關．則實數(shù)t等于______．標準答案：-1／2知識點解析：本題可以用定義做，但是表述比較噦嗦，用秩比較簡單．證明α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα1線性相關就是要證明其秩小于3．記矩陣A=(α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα1)．用矩陣分解，有A=(α1，α2，α3)記C=由于α1，α2，α3線性無關，(α1，α2，α3)是列滿秩的，于是根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)⑥，r(α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα2)=r(A)=r(C)．于是α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα2線性相關r(C)＜3｜C｜=0．求出｜c｜=1+8t3，于是得8t3=-1，t=-1／2．6、已知α1，α2，α3，α4是齊次方程組AX=0的基礎解系，記β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα4，β4=α4+tα1．實數(shù)t=_______時，β1，β2，β3，β4，也是AX=0的基礎解系?標準答案：-1知識點解析：暫無解析7、設A為3階正交矩陣，它的第一行第一列位置的元素是1，又設β=(1，0，0)T，則方程組AX=β的解為______．標準答案：(1，0，0)T知識點解析：設A=(α1，α2，α3)．A為正交矩陣，列向量是單位向量．于是α1是(1，0，0)T．則β=α1=A(1，0，0)T，解為(1，0，0)T.三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)8、已知α1，α2都是3階矩陣A的特征向量，特征值分別為-1和1，又3維向量α3滿足Aα3=α2+α3．證明α1，α2，α3線性無關．標準答案：根據(jù)特征向量的性質(zhì)，α1，α2都是A的特征向量，特征值不相等，于是它們是線性無關的．根據(jù)定理3．2，只用再證明α3不可用α1，α2線性表示．用反證法．如果α3可用α1，α2表示，設α3=c1α1+c2α2，用A左乘等式兩邊，得α2+α3=c1α1+c2α2，減去原式得α2=-2c1α1，與α1，α2線性無關矛盾，說明α3不可用α1，α2線性表示．知識點解析：暫無解析9、設n維向量組α1，α2，…，αs線性相關，并且α1≠0，證明存在1＜k≤s，使得αk可用α1，…，αk-1線性表示．標準答案：因為α1，α2，…，αs線性相關，所以存在不全為0的數(shù)c1，c2，…，cs，使得x1α1+c2α2+…+csαs=0．設ck是c1，c2，…，cs中最后一個不為0的數(shù)，即ck≠0，但i＞k時，ci=0．則k≠1(否則α1=0，與條件矛盾)，并且有c1α1+c2α2+…+ckαk=0．則于αk=α1-α2-…-αk-1.知識點解析：暫無解析10、設A為n階矩陣，α0≠0，滿足Aα0=0，向量組α1，α2滿足Aα1=α2，A2α2=α2．證明α0，α1，α2線性無關．標準答案：用定義證明．即要說明當c1，c2，c3滿足c1α0+c2α1+c3α2=0時它們一定都是0．記此式為(1)式，用A乘之，得c2α0+c3Aα2=0(2)再用A乘(2)得c3α0=0．由α0≠0，得c3=0．代入(2)得c2=0．再代入(1)得c1=0．知識點解析：暫無解析11、設A為n階矩陣，α1為AX=0的一個非零解，向量組α2，α2，…，αs滿足Ai-1αi=α1(i=2，3，…，s)．證明α1，α2，…，αs線性無關．標準答案：用定義法設c1α1+c2α2+…+csαs=0(1)，要推出系數(shù)ci都為0．條件說明Aiαi=Aα1=0(i=1，2，3，…，s)．用As-1乘(1)的兩邊，得csα1=0，則cs=0．再用As-2乘(1)的兩邊，得cs-1α1=0，則cs-1=0．這樣可逐個得到每個系數(shù)都為0．知識點解析：暫無解析12、設A是n階矩陣，k為正整數(shù)，α是齊次方程組AkX=0的一個解，但是Ak-1α≠0．證明α，Aα，…，Ak-1α線性無關．標準答案：用定義證明．設c1α+c2Aα+…+ckAk-1α=0，要推出每個ci=0．先用Ak-1乘上式兩邊，注意到當m≥k時，Amα=0(因為AkX=0)，得到c1Ak-1α=0．又因為Ak-1α≠0，所以c1=0．上式變?yōu)閏2Aa+…+ckAk-1α=0．再用Ak-2乘之，可得到c2=0．如此進行下去，可證明每個ci=0．知識點解析：暫無解析13、設α1，α2，…，αs線性無關，βi=αi+αi+1，i=1，…，s-1，βs=αs+α1．判斷β1，β2，…，βs線性相關還是線性無關?標準答案：β1，β2，…，βs對α1，α2，…，αs的表示矩陣為．｜C｜=1+(-1)s+1．于是當s為偶數(shù)時，｜C｜=0，r(c)＜s，從而r(β1，β2，…，βs)＜s，β1，β2，…，βs線性相關．當s為奇數(shù)時，｜C｜=2，r(C)=s，從而r(β1，β2，…，βs)=s，β1，β2，…，βs線性無關．知識點解析：暫無解析14、設α1，α2，α3，α4線性無關，β1=2α1+α3+α4，β2=2α1+α3+α4，β3=α2-α4，β4=α3+α4，β5=α2+α3．(1)求r(β1，β2，β3，β4，β5)；(2)求β1，β2，β3，β4，β5的一個最大無關組．標準答案：(1)β1，β2，β3，β4，β5對α1，α2，α3，α4的表示矩陣為用初等行變換化為階梯形矩陣：則r(β1，β2，β3，β4，β5)=r(C)=3．(2)記C的列向量組為γ1，γ2，γ3，γ4，γ5．則由(1)的計算結果知γ1，γ2，γ4是線性無關的．又(β1，β2，β4)=(α1，α2，α3，α4)(γ1，γ2，γ4)得到r(β1，β2，β4)=r(γ1，γ2，γ4)=3，β1，β2，β4線性無關，是β1，β2，β3，β4，β5的一個最大無關組．知識點解析：暫無解析15、設α1，α2，α3都是n維非零向量，證明：α1，α2，α3線性無關對任何數(shù)s，t，α1+sα3，α2+tα3都線性無關．標準答案：“”用定義法也不麻煩(請讀者自己做)，但是用C矩陣法更加簡單．α1+sα3，α2+tα3對α1，α2，α3的表示矩陣為顯然對任何數(shù)s，t，C的秩都是2，于是α1+sα3，α2+tα3的秩為2，線性無關．“”在s=t=0時，得α1，α2線性無關，于是只要再證明α3不可用α1，α2線性表示．用反證法．如果α3可以用α1，α2線性表示，設α3=c1α1+c2α2，則因為α3不是零向量，c1，c2不能全為0．不妨設c1≠0，則有c1(α1-α3)+c2α2=0，于是α1-α3，α2線性相關，即當s=，t=0時α1+sα3，α2+tα3相關，與條件矛盾．知識點解析：暫無解析16、設α1，α2，…，αs，β都是n維向量，證明：r(α1，α2，…，αs，β)=標準答案：把α1，α2，…，αs的一個最大無關組放在α1，α2，…，αs，β中考察，看它是否也是α1，…，αs，β的最大無關組．設(Ⅰ)是α1，α2，…，αs的一個最大無關組，則它也是α1，α2，…，αs，β中的一個無關組．問題是：(Ⅰ)增添β后是否相關?若β可用α1，α2，…，αs表示，則β可用(Ⅰ)表示(因為α1，α2，…，αs和(Ⅰ)等價!)，于是(Ⅰ)增添β后相關，從而(Ⅰ)也是α1，α2，…，αs，β的最大無關組，r(α1，α2，…，αs，β)=r(α1，α2，…，αs)．若β不可用α1，α2，…，αs表示，則β不可用(Ⅰ)表示，(Ⅰ)增添β后無關，從而(Ⅰ)不是α1，α2，…，αs，β的最大無關組，此時(Ⅰ)，β是α1，α2，…，αs，β的最大無關組，r(α1，α2，…，αs，β)=r(α1，α2，…，αs)+1．知識點解析：暫無解析17、設A是m×n矩陣．證明：r(A)=1存在m維和n維非零列向量α和β，使得A=αβT．標準答案：“”記A的列向量組為α1，α2，…，αn，則因為r(A)=1，所以r(α1，α2，…，αn)=1．于是A一定有非零列向量，記α為一個非零列向量，則每個αi都是α的倍數(shù)．設αi=biα，i=1，2，…，n．記β=(b1，b2，…，bn)T，則β≠0，并且A=(α1，α2，…，αn)=(b1α，b2α，…，bnα)=αβT．“”設A=αβT，則r(A)≤r(α)=1．由于α，β都不是零向量，可設α的第i個分量αi≠0，β的第j個分量bj≠0．則A的(i，j)位元素為aibj≠0，因此A≠0，從而r(A)＞0．得r(A)=1．知識點解析：暫無解析18、設α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt都是n維向量組，證明r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt)≤r(α1，α2，…，αs)+r(β1，β2，…，βt)．標準答案：取{α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt}的一個最大無關組(Ⅰ)，記(Ⅰ)1是(Ⅰ)中屬于α1，α2，…，αs中的那些向量所構成的部分組，(Ⅰ)2是(Ⅰ)中其余向量所構成的部分組．于是(Ⅰ)1和(Ⅰ)2分別是屬于α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt的無關部分組，因此它們包含向量個數(shù)分別不超過r(α1，α2，…，αs)和r(β1，β2，…，βt)。從而r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt)=(Ⅰ)中向量個數(shù)=(Ⅰ)1中向量個數(shù)+(Ⅰ)2中向量個數(shù)≤r(α1，α2，…，αs)+r(β1，β2，…，βt)．知識點解析：暫無解析19、設A和B是兩個列數(shù)相同的矩陣，表示A在上，B在下構造的矩陣．證明≤r(A)+r(B)．標準答案：對作等行交換，把A和B分別化為階梯矩陣C和D.則矩陣有r(A)+r(B)個非零行，于是知識點解析：暫無解析20、證明r(A+B)≤r(A)+r(B)．標準答案：r(A+B)≤r(A+B｜B)．對矩陣(A+B｜B)進行初等列變換：左邊A+B各列都減去右邊B的對應列，化為(A｜B)．于是r(A+B)≤r(A+B｜B)=r(A｜B)≤r(A)+r(B)．知識點解析：暫無解析21、設A是n階矩陣，滿足(A-aE)(A-bE)=0，其中數(shù)a≠b．證明：r(A-aE)+r(A-bE)=n．標準答案：一方面，根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)⑦，由(A-aE)(A-bE)=0得到r(A-aE)+r(A-bE)≤n．另一方面，用矩陣的秩的性質(zhì)③，有r(a-aE)+r(a-bE)≥r((A-aE)-(A-bE))=r((b-a)E)=n．兩個不等式結合，推出r(A-aE)+r(A-bE)=n．知識點解析：暫無解析22、設A是n階矩陣，證明標準答案：當r(A)=n時，A可逆，從而A*也可逆，秩為n．當r(A)＜n-1時，它的每個余子式Mij(是n-1階子式)都為0，從而代數(shù)余子式Aij也都為0．于是A*=0，r(A*)=0．當r(A)=n-1時，｜A｜=0，所以AA*=0．于是r(A)+r(A*)≤17,．由于r(A)n-1，得到r(A*)≤1．又由r(A)=n-1知道A有n-1階非0子式，從而存在代數(shù)余子式Ahk不為0，于是A*≠0，r(A*)＞0．于是r(A*)=1．知識點解析：暫無解析23、設α1，α2，…，αr和β1，β2，…，βs是兩個線性無關的n維向量．證明：向量組{α1，α2，…，αr；β1，β2，…，βs}線性相關存在非零向量r，它既可用α1，α2，…，αr線性表示，又可用β1，β2，…，βs線性表示．標準答案：“”因為{α1，α2，…，αr；β1，β2，…，βs}線性相關，所以存在c1，c2，…，cr，βr+1，…，cr+s不全為0，使得c1α1+c2α2+…+crαr+cr+1β1+cr+2β2+…+cr+sβs=0記γ=c1α1+c2α2+…+crαr=-(cr+1β1+cr+2β2+…+cr+sβs)，則γ≠0(否則由α1，α2，…，αr和β1，β2，…，βs都線性無關，推出c1，c2，…，cs，βr+1，…，cr+s全為0)，并且它既可用α1，α2，…，αr表示，又可用β1，β2，…，βs表示．“”設γ≠0，它既可用α1，…，αr表示，又可用β1，…，βs表示．記γ=c1α1+c2α2+…+crαs=t1β1+t2β2+…+trβs，則c1，c2，…，cr和t1，t2，…，ts都不全為0，而c1α1+c2α2+…+crαs-t1β1+t2β2+…+trβs=0.根據(jù)定義，{α1，α2，…，αr；β1，β2，…，βs}線性相關．知識點解析：暫無解析24、設A=(α1，α2，…，αn)是實矩陣，證明ATA是對角矩陣α1，α2，…，αn兩兩正交．標準答案：ATA的(i，j)位元素為(αi，αj)．于是ATA是對角矩陣當i≠j時，ATA的(i，j)位元素為0當i≠j時，αi，αj正交．α1，α2，…，αn兩兩正交．知識點解析：暫無解析25、設A為實矩陣，證明r(ATA)=r(A)．標準答案：通過證明ATAX=0和AX=0同解，來得到結論．ATAX=0和AX=0同解，即對于實向量η，ATAη=0Aη=0．“”顯然．“”ATAη=0ηTATAη=0，從而(Aη，Aη)=ηTATAη=0，得Aη=0．知識點解析：暫無解析26、設α1，α2，…，αs是一組兩兩正交的非零向量，證明它們線性無關．標準答案：計算秩．以α1，α2，…，αs為列向量組構造矩陣A=(α1，α2，…，αs)，ATA是對角矩陣，并且對角線上的元素依次為｜｜α｜｜2，｜｜α｜｜2，…，｜｜α｜｜2，它們都不為0．于是r(α1，α2，…，αs)=r(A)=r(ATA)=s，從而α1，α2，…，αs線性無關．知識點解析：暫無解析27、設α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt是兩個線性無關的n維實向量組，并且每個αi和βj都正交，證明α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt線性無關．標準答案：用定義證明．設c1α1+c2α2+…+csαs+k1β1+k2β2+…+ktβt=0，記η=c1α1+c2α2+…+csαs=-(k1β1+k2β2+…+ktβt)，則(η，η)=(c1α1+c2α2+…+csαs，k1β1+k2β2+…+ktβt)=0即η=0，于是c1，c2，…，cs，k1，k2，…，ks全都為0．知識點解析：暫無解析28、設A為n階正交矩陣，α和β都是n維實向量，證明：(1)內(nèi)積(α，β)=(Aα，Aβ)．(2)長度｜｜Aα｜｜=｜｜α｜｜．標準答案：(1)(Aα，Aβ)=αTATAβ=αTβ=(α，β)．(2)(α，α)=(Aα，Aα)．兩邊求算術平方根，得｜｜α｜｜=｜｜Aα｜｜．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（向量組的線性關系與秩）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設向量組α，β，γ線性無關，α，β，δ線性相關，則A、α必可由β，γ，δ線性表示．B、β必不可由α，γ，δ線性表示．C、δ必可由α，β，γ線性表示．D、δ必不可由α，β，γ線性表示．標準答案：C知識點解析：故應選(C)．2、向量組α1，α2，…，αa線性無關的充分必要條件是A、α1，α2，…，αa均不是零向量．B、α1，α2，…，αa中任意兩個向量的分量不成比例．C、α1，α2，…，αa，αs+1線性無關．D、α1，α2，…，αa中任一個向量均不能由其余s-1個向量線性表出．標準答案：D知識點解析：(A)，(B)均是線性無關的必要條件．例如，α1=(1，1，1)T，α2=(1，2，3)T，α3=(2，3，4)T，雖α1，α2，α3均為非零向量且任兩個向量的分量都不成比例，但α1+α2-α3=0，α1，α2，α3線性相關．(C)是線性無關的充分條件．由α1，α2，…，αs，αs+1線性無關α1，α2，…，αs線性無關，但由α1，α2，…，αs線性無關α1，α2，…，αs，αs+1線性無關．(D)是線性相關的意義．故應選(D)．3、設α1，α2，α3，α4是3維非零向量，則下列說法正確的是A、若α1，α2線性相關，α3，α4線性相關，則α1+α3，α2+α4也線性相關．B、若α1，α2，α3線性無關，則α1+α4，α2+α4，α3+α4線性無關．C、若α4不能由α1，α2，α3線性表出，則α1，α2，α3線性相關．D、若α1，α2，α3，α4中任意三個向量均線性無關，則α1，α2，α3，α4線性無關．標準答案：C知識點解析：若α1=(1，0)，α2=(2，0)，α3=(0，2)，α4=(0，3)，則α1，α2線性相關，α3，α4線性相關，但α1+α3=(1，2)，α2+α4=(2，3)線性無關．故(A)不正確．對于(B)，取α4=-α1，即知(B)不對．對于(D)，可考察向量組(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(-1，-1，-1)，可知(D)不對．至于(C)，因為4個3維向量必線性相關，如若α1，α2，α3線性無關，則α4必可由α1，α2，α3線性表出．現(xiàn)在α4不能由α1，α2，α3線性表出，故α1，α2，α3必線性相關．故應選(C)．4、若α1，α2，α3線性無關，那么下列線性相關的向量組是A、α1，α1+α2，α1+α2+α3．B、α1+α2，α1-α2，-α3．C、-α1+α2，α2+α3，α3-α1．D、α1-α2，α2-α3，α3-α1．標準答案：D知識點解析：用觀察法．由(α1-α2)+(α2-α3)+(α3-α1)=0，可知α1-α2，α2-α3，α3-α1線性相關．故應選(D)．至于(A)，(B)，(C)線性無關的判斷可以用秩也可以用行列式不為0來判斷．例如，(A)中r(α1，α1+α2，α1+α2+α3)=r(α1，α1+α2，α3)=r(α1，α2，α3)=3．或(α1，α1+α3，α1+α2+α3)=(α1，α2，α3)由行列式≠0而知α1，α1+α2，α1+α2+α3線性無關．5、設向量組Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量組Ⅱ：β1，β2，…，βs線性表示，則A、當r＜s時，向量組(Ⅱ)必線性相關．B、當r＞s時，向量組(Ⅱ)必線性相關．C、當r＜s時，向量組(Ⅰ)必線性相關．D、當r＞s時，向量組(Ⅰ)必線性相關．標準答案：D知識點解析：若多數(shù)向量可用少數(shù)向量線性表出，則多數(shù)向量一定線性相關．故應選(D)．6、若r(α1，α2，…，αr)=r，則A、向量組中任意r-1個向量均線性無關．B、向量組中任意r個向量均線性無關．C、向量組中任意r+1個向量均線性相關．D、向量組中向量個數(shù)必大于r．標準答案：C知識點解析：秩r(α1，α2，…，αs)=r向量組α1，α2，…，αs的極大線性無關組為r個向量向量組α1，α2，…，αs中有r個向量線性無關，而任r+1個向量必線性相關．所以應選(C)．7、設n維向量α1，α2，…，αs，下列命題中正確的是A、如果α1，α2，…，αs線性無關，那么α1+α2，α2+α3，…，αs-1+αs，αs+α1也線性無關．B、如果α1，α2，…，αs線性無關，那么和它等價的向量組也線性無關．C、如果α1，α2，…，αs線性相關，A是m×n非零矩陣，那么Aα1，Aα2，…，Aαs也線性相關．D、如果α1，α2，…，αs線性相關，那么αs可由α1，α2，…，αs-1線性表出．標準答案：C知識點解析：(A)：當s為偶數(shù)時，命題不正確．例如，α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1線性相關．(B)：兩個向量組等價時，這兩個向量組中向量個數(shù)可以不一樣，因而線性相關性沒有必然的關系．例如，α1，α2，…，αs與α1，α2，…，αs，0等價，但后者必線性相關．(C)：因為(Aα1，Aα2，…，Aαs)=A(α1，α2，…，αs)，于是r(Aα1，Aα2，…，Aαs)=r[A(α1，α2，…，αs)]≤r(α1，α2，…，αs)＜s，所以，Aα1，Aα2，…，Aαs必線性相關．故應選(C)．(D)：要正確理解線性相關的意義．8、設A是m×n矩陣，r(A)=m＜n，則下列命題中不正確的是A、A經(jīng)初等行變換必可化為(Em，0)．B、∈Rm，方程組Ax=b必有無窮多解．C、如m階矩陣B滿足BA=0，則B=0．D、行列式｜ATA｜=0．標準答案：A知識點解析：例如，，只用初等行變換就不能化為(E2，0)形式，(A)不正確．故應選(A)．因為A是m×n矩陣，m=r(A)≤r(A｜b)≤m．于是r(a)=r(a｜b)=m＜n．(B)正確．由BA=0知r(B)+r(A)≤m，又r(A)=m，故r(B)=0，即B=0．(C)正確．ATA是n階矩陣，r(ATA)≤r(A)=m＜n，故｜ATA｜=0，即(D)正確．二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)9、向量組α1=(1，0，1，2)T，α2=(1，1，3，1)T，α3=(2，-1，a+1，5)T線性相關，則a=_______．標準答案：-1知識點解析：α1，α2，α3線性相關r(α1，α2，α3)＜3．故a=-1．10、已知α1=(a，a，a)T，α2=(-a，a，b)T，α3=(-a，-a，-b)T線性相關，則a，b滿足關系式_______.標準答案：a=0或a=b知識點解析：n個n維向量線性相關｜α1，α2，…，αn｜=0．而α1，α2，α3==2a2(a=b)，故a=0或a=b．11、已知α1，α2，α3線性無關，α1+αv，α2-α3，α1-α2+α3線性相關，則a=_______．標準答案：2知識點解析：記β1=α1+α2，β2=aα2-α3，β3=α1-α2+α3，則β1，β2，β3線性相關12、若β=(1，3，0)T不能由α1=(1，2，1)T，α2=(2，3，a)T，α3=(1，a+2，-2)T線性表出，則a=_______.標準答案：-1知識點解析：β不能由α1，α2，α3線性表出方程組x1α1+x2α2+x2α3=β無解．又因為a=-1時方程組無解，所以a=-1時β不能由α1，α2，α3線性表出．13、任意3維向量都可用α1=(1，0，1)T，α2=(1，-2，3)T，α3=(a，1，2)T線性表出，則a=_______．標準答案：≠3知識點解析：任何3維向量β可由α1，α2，α3線性表出r(α1，α2，α3)=3．因而=2(a-3)≠0，所以a≠3時，任何3維向量均可由α1，α2，α3線性表出．14、向量組α1=(1，-1，3，0)T，α2=(-2，1，a，1)T，α3=(1，1，-5，-2)T的秩為2，則a=_______．標準答案：-2知識點解析：r(α1，α2，α3)=2，計算秩得a=-2．15、已知r(α1，α2，…，αs)=r(α1，α2，…，αs，β)=r，r(α1，α2，…，αs，γ)=r+1，則r(α1，α2，…，αs，β，γ)=_______．標準答案：r+1知識點解析：r(α1，α2，…，αs)=r(α1，α2，…，αs，β)=r表明β可由α1，α2，…，αs線性表出，于是r(α1，α2，…，αs，β，γ)=r(α1，α2，…，αs，γ)=r+1．16、設4階矩陣A的秩為2，則r(A*)=_______．標準答案：0知識點解析：由r(A*)=知r(A*)=0．17、已知A=且AXA*=B，秩r(X)=2，則a=_______．標準答案：0知識點解析：由A可逆，知A*可逆，那么r(AXA*)=r(X)，從而r(B)=2，｜B｜=0．于是=a=0.18、已知A=，B是3階非0矩陣，且BAT=0，則a=_______．標準答案：知識點解析：由BAT=0有r(B)+r(AT)≤3，即r(A)+r(B)≤3．又B≠0，有r(B)≥1，從而r(A)＜3，即｜A｜=0.于是19、與α1=(1，-1，0，2)T，α2=(2，3，1，1)T，α3=(0，0，1，2)T都正交的單位向量是_______．標準答案：(1，-1，2，-1)T知識點解析：設β=(x1，x2，x3，x4)T與α1，α2，α3均正交，則βTαi=0(i=1，2，3)，即求出基礎解系：(1，-1，2，-1)T，單位化得(1，-1，2，-1)T為所求．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)20、設A是n階非零實矩陣(n＞2)，并且AT=A*，證明A是正交矩陣．標準答案：AAT=AA*=｜A｜E，因此只用證明｜A｜=1，就可由定義得出A是正交矩陣．由于A≠0，有非零元素，設aij≠0．則AAT的(i，i)位元素｜A｜=ai12+ai22+…+aij2+…+ain2＞0，從而AAT≠0．對等式AAT=｜A｜E，兩邊取行列式，得｜A｜2=｜A｜n，即｜A｜n-1=1．又由｜A｜＞0，得出｜A｜=1．知識點解析：暫無解析21、已知α1=(1，1，0，2)T，α2=(-1，1，2，4)T，α3=(2，3，a，7)T，α4=(-1，5，-3，a+6)T，β=(1，0，2，6)T，問a，b取何值時，(Ⅰ)β不能由α1，α2，α3，α4線性表示?(Ⅱ)β能用α1，α2，α3，α4線性表出，且表示法唯一；(Ⅲ)β能用α1，α2，α3，α4線性表出，且表示法不唯一，并寫出此時表達式．標準答案：設x1α1+x2α2+x3β3+x4α4=β，對增廣矩陣(α1，α2，α3，α4：β)作初等行變換，有(Ⅰ)當a=1，b≠2或a=10，b≠-1時，方程組均無解．所以β不能由α1，α2，α3，α4線性表出．(Ⅱ)當a≠1且a≠10時，方程組均有唯一解．所以β能用α1，α2，α3，α4線性表示且表示法唯.(Ⅲ)方程組在兩種情況下有無窮多解，即(1)當a=10，b=-1時，方程組有無窮多解：x4=t，x3=t+，x2=，x1=即β=α3+tα4.(2)當a=1，b=2時，方程組有無窮多解：x4=，x2=t，x3=1-2t，x1=5t-，即β=α1+tα2+(1-2t)α3-α4.知識點解析：暫無解析22、已知向量組β1=，β2=，β3=與α1=，α2=，α3=有相同的秩，且β3可由α1，α2，α4線性表出，求a，b的值．標準答案：因為β3可由α1，α2，α3線性表示，故方程組x1α1+x2α2+x3α3=β3有解．由并且秩r(α1，α2，α3)=2．于是r(β1，β2，β3)=2．從而｜β1，β2，β3｜知識點解析：暫無解析23、已知a1，a2，…，as是互不相同的數(shù)，n維向量αi=(1，ai，ai2，…，ain-1)T(i=1，2，…，s)，求向量組α1，α2，…，αs的秩．標準答案：當s＞n時，α1，α2，…，αs必線性相關，但｜α1，α2，…，αn｜是范德蒙行列式，故α1，α2，…，αn線性無關．因而r(α1，α2，…，αs)=n．當s=n時，α1，α2，…，αn線性無關，秩r(α1，α2，…，αn)=n．當s＜n時，記α’1=(1，a1，a12，…，a1s-1)T，α’2=(1，a2，a22，…，a2s-1)T，…，α’s=(1，as，as2，…，ass-1)T，則α’1，α’2，…，α’s線性無關．那么α1，α2，…，αs必線性無關．故r(α1，α2，…，αs)=s．知識點解析：暫無解析24、設A是n階非零實矩陣，A*是A的伴隨矩陣，AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣，如果AT=A*，證明任一n維列向量均可由矩陣A的列向量線性表出．標準答案：因為A*=AT，按定義有Aij=aij(，j=1，2，…，n)，其中Aij是行列式｜A｜中aij的代數(shù)余子式．由于A≠0，不妨設a11≠0，那么｜A｜=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a112+a122+…+a1n2≠0．于是A=(α1，α2，…，αn)的n個列向量線性無關．那么對任一n維列向量β，恒有α1，α2，…，αn，β線性相關．因此β必可由α1，α2，…，αn線性表出．知識點解析：暫無解析25、證明α1，α2，…，αs(其中α1≠0)線性相關的充分必要條件是存在一個αi(1＜i≤s)能由它前面的那些向量α1，α2，…，αi-1線性表出．標準答案：必要性．因為α1，α2，…，αa線性相關，故有不全為0的k1，k2，…，ks，使k1α1+k2α2+…+ksαs=0．設ks，ks-1，…，k2，k1中第一個不為0的是ki(即ki≠0，而ki+1=…=ks-1=ks=0)，且必有i＞1(若i=1即k1≠0，k2=…=ks=0，那么k1α1=0．于是α1=0與α1≠0矛盾．)，從而k1α1+k2α2+…+kiαi=0，ki≠0．那么αi=(k1α1+k2α2+…+ki-1αi-1)．充分性．設有αi可用α1，α2，…，αi-1線性表示，則α1，α2，…，αi-1，αi線性相關，從而α1，α2，…，αs線性相關．知識點解析：暫無解析26、已知A是m×n矩陣，B是n×P矩陣，如AB=C，且r(C)=m，證明A的行向量線性無關．標準答案：(用定義)對矩陣A按行分塊，記A=，那么AT=(α2T，α2T，…，αmT)．若k1α1T+k2α2T+…+kmαmT=0，即(α1T，α2T，…，αmT)=0，即AT=0，那么BTAT=0．于是CT=0．因為C是m×p矩陣，那么CT是p×m矩陣．由于r(CT)=r(C)=m，所以齊次方程組CTx=0只有零解．因此k1=0，k2=0，…，km=0．故α1，α2，…，αm線性無關．知識點解析：暫無解析27、設A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，C是m×s矩陣，滿足AB=C，如果秩r(A)=n，證明秩r(B)=r(C)．標準答案：對齊次方程組(Ⅰ)ABx=0，(Ⅱ)Bx=0，如α是(Ⅱ)的解，有Bα=0，那么ABα=0，于是α是(Ⅰ)的解．如α是(Ⅰ)的解，有ABα=0，因為A是m×n矩陣，秩r(A)=n，所以Ax=0只有零解，從而Bα=0．于是α是(Ⅱ)的解．因此方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)同解．那么s-r(AB)=s-r(B)，即r(AB)=r(B)．所以r(B)=r(C)．知識點解析：暫無解析28、設A是n階實反對稱矩陣，x，y是實n維列向量，滿足Ax=y，證明x與y正交.標準答案：因為AT=-A，Ax=y，所以(x，y)=xTAx=(ATx)Tx=(-Ax)Tx=(-y，x)，得(x，y)=0．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（向量組的線性關系與秩）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設A是4×5矩陣，α1，α2，α3，α4，α5是A的列向量組，r(α1，α2，α3，α4，α5)=3，則()正確。A、A的任何3個行向量都線性無關．B、α1，α2，α3，α4，α5的一個含有3個向量的部分組(Ⅰ)如果與α1，α2，α3，α4，α5等價，則一定是α1，α2，α3，α4，α5的最大無關組．C、A的3階子式都不為0．D、α1，α2，α3，α4，α5的線性相關的部分組含有向量個數(shù)一定大于3．標準答案：B知識點解析：r(α1，α2，α3，α4，α5)=3，說明α1，α2，α3，α4，α5的一個部分組如果包含向量超過3個就一定相關，但是相關不一定包含向量超過3個．D不對．r(α1，α2，α3，α4，α5)=3，則A的行向量組的秩也是3，因此存在3個行向量線性無關，但是不是任何3個行向量都線性無關．排除A．A的秩也是3，因此有3階非零子式，但是并非每個3階子式都不為0，C也不對．下面說明B對．(Ⅰ)與α1，α2，α3，α4，α5等價，則(Ⅰ)的秩=r(α1，α2，α3，α4，α5)=3=(Ⅰ)中向量的個數(shù)，于是(Ⅰ)線性無關，由定義(Ⅰ)是最大無關組．2、n維向量組(Ⅰ)α1，α2，…，αr可以用n維向量組(Ⅱ)β1，β2，…，βs線性表示．A、如果(Ⅰ)線性無關，則r≤s．B、如果(Ⅰ)線性相關，則r＞s．C、如果(Ⅱ)線性無關，則r≤s．D、如果(Ⅱ)線性相關，則r＞s．標準答案：A知識點解析：C和D容易排除，因為(Ⅱ)的相關性顯然不能決定r和s的大小關系的．A是定理3．8的推論的逆否命題．根據(jù)該推論，當向量組(Ⅰ)可以用(Ⅱ)線性表示時，如果r＞s，則(Ⅰ)線性相關．因此現(xiàn)在(Ⅰ)線性無關，一定有r≤s．B則是這個推論的逆命題，是不成立的．也可用向量組秩的性質(zhì)來說明A的正確性：由于(Ⅰ)可以用(Ⅱ)線性表示，有r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤s又因為(Ⅰ)線性無關，所以r(Ⅰ)=r．于是r≤s．3、A是m×n矩陣，B都n×m矩陣．AB可逆，則A、r(A)=m，r(B)=m．B、r(A)=m，r(B)=n．C、r(A)=n，r(B)=m．D、r(A)=n，r(B)=n．標準答案：A知識點解析：AB是m階矩陣，AB可逆，則m=r(AB)≤r(A)≤m，得r(A)=m．同理得r(B)=m。4、AB=0，A，B是兩個非零矩陣，則A、A的列向量組線性相關．B的行向量組線性相關．B、A的列向量組線性相關．B的列向量組線性相關．C、A的行向量組線性相關．B的行向量組線性相關．D、A的行向量組線性相關．B的列向量組線性相關．標準答案：A知識點解析：用秩．矩陣的行(列)向量組線性相關，即其的秩小于行(列)數(shù)．設A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，則由AB=0得到r(A)+r(B)≤n．由于A，B都不是零矩陣，r(A)＞0，r(B)＞0．于是r(A)＜n，r(B)＜n．n是A的列數(shù)，B的行數(shù)，因此A的列向量組線性相關．B的行向量組線性相關．5、設α1，α2，α3線性無關，則()線性無關：A、α1+α2，α2+α3，α3－α1．B、α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3．C、α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1．D、α1+α2+α3，2α1－3α2+22α3，3α1+5α2－5α3．標準答案：C知識點解析：容易看出A中的向量組的第2個減去第1個等于第3個，所以相關．B組的前兩個之和等于第3個，也相關．于是A和B都可排除．現(xiàn)在只用判斷C組是否相關(若相關，選D，若無關，選C．)α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1對α1，α2，α3的表示矩陣為C可逆，于是r(α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1)=r(C)=3，因而C組向量線性無關．6、設向量組α，β，γ線性無關，α，β，δ線性相關，則A、α必可由β，γ，δ線性表示．B、β必不可由α，γ，δ線性表示．C、δ必可由α，β，γ線性表示．D、δ必不可由α，β，γ線性表示．標準答案：C知識點解析：故應選C．7、若α1，α2，α3線性無關，那么下列線性相關的向量組是A、α1，α1+α2，α1+α2+α3．B、α1+α2，α1－α2，－α3．C、－α1+α2，α2+α3，α3－α1．D、α1－α2，α2－α3，α3－α1．標準答案：D知識點解析：用觀察法．由(α1－α2)+(α2－α3)+(α3－α1)=0，可知α1－α2，α2－α3，α3－α1線性相關．故應選D．至于A，B，C線性無關的判斷可以用秩也可以用行列式不為0來判斷．例如，A中r(α1，α1+α2，α1+α2+α3)=r(α1，α1+α2，α3)=r(α1，α2，α3)=3．或(α1，α1+α2，α1+α2+α3)=，由行列式≠0而知α1，α1+α2，α1+α2+α3線性無關．8、設n維向量α1，α2，…，αs，下列命題中正確的是A、如果α1，α2，…，αs線性無關，那么α1+α2，α2+α3，…，αs－1+αs，αs+α1也線性無關．B、如果α1，α2，…，αs線性無關，那么和它等價的向量組也線性無關．C、如果α1，α2，…，αs線性相關，A是m×n非零矩陣，那么Aα1，Aα2，…，Aαs也線性相關．D、如果α1，α2，…，αs線性相關，那么αs可由α1，α2，…，αs－1線性表出．標準答案：C知識點解析：A：當s為偶數(shù)時，命題不正確．例如，α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1線性相關．B：兩個向量組等價時，這兩個向量組中向量個數(shù)可以不一樣，因而線性相關性沒有必然的關系．例如，α1，α2，…，αs與α1，α2，…，αs，0等價，但后者必線性相關．C：因為(Aα1，Aα2，…，Aαs)=A(α1，α2，…，αs)，于是r(Aα1，Aα2，…，Aαs)=r[A(α1，α2，…，αs)]≤r(α1，α2，…，αs)＜s，所以，Aα1，Aα2，…，Aαs必線性相關．故應選C．D：要正確理解線性相關的意義．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、設A為3階正交矩陣，它的第一行第一列位置的元素是1，又設β=(1，0，0)T，則方程組AX=β的解為________．標準答案：(1，0，0)T．知識點解析：設A=(α1，α2，α3)．A為正交矩陣，列向量是單位向量．于是α1是(1，0，0)T．則β=α1=A(1，0，0)T，解為(1，0，0)T．10、已知α1=(a，a，a)T，α2=(－a，a，b)T，α3=(－a，－a，－b)T線性相關，則a，b滿足關系式________．標準答案：a=0或a=b知識點解析：n個n維向量線性相關<=>｜α1，α2，…，αn｜=0．而故a=0或a=b．11、任意3維向量都可用α1=(1，0，1)T，α2=(1，－2，3)T，α3=(a，1，2)T線性表出，則a________．標準答案：≠3知識點解析：任何3維向量β可由α1，α2，α3線性表出<=>r(α1，α2，α3)=3．因而所以a≠3時，任何3維向量均可由α1，α2，α3線性表出．12、設4階矩陣A的秩為2，則r(A*)=________．標準答案：0知識點解析：由r(A*)=知r(A*)=0．13、與α1=(1，－1，0，2)T，α2=(2，3，1，1)T，α3=(0，0，1，2)T都正交的單位向量是________．標準答案：知識點解析：設β=(x1，x2，x3，x4)T與α1，α2，α3均正交，則βT=0(i=1，2，3)，即求出基礎解系：(1，－1，2，－1)T，單位化得為所求．三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)14、(1)如果矩陣A用初等列變換化為B，則A的列向量組和B的列向量組等價．(2)如果矩陣A用初等行變換化為B，則A的行向量組和B的行向量組等價．標準答案：(1)利用初等變換與初等矩陣的關系，當矩陣A用初等列變換化為B時，存在一系列初等矩陣P1，P2，…，Ps，使得AP1P2…Ps=B．由于P1P2…Ps是可逆矩陣，于是A的列向量組和B的列向量組等價．(2)當矩陣A用初等行變換化為B時，存在一系列初等矩陣P1，P2，…，Ps，使得Ps…P2P1A=B．由于PS…P2P1是可逆矩陣，于是A的行向量組和B的行向量組等價．知識點解析：暫無解析15、已知r(α1，α2，…，αs)=r(α1，α2，…，αs，β)=k，r(α1，α2，…，αs，β，γ)=k+1，求r(α1，α2，…，αs，β－ξ)．標準答案：利用定理3．6，只用看β－γ能不能用α1，α2，…，αs線性表示．由條件知，β可用α1，α2，…，αs線性表示，γ不能用α1，α2，…，αs，β線性表示，從而也就不能用α1，α2，…，αs線性表示．于是β－γ不能用α1，α2，…，αs線性表示．從而r(α1，α2，…，αs，β－γ)=k+1．知識點解析：暫無解析16、已知，求r(AB－A)．標準答案：如果先求出AB－A，再求它的秩，計算量比較大．注意到AB－A=A(B－E)，而B－E是可逆矩陣，則根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)⑤，r(AB－A)=r(A)，直接計算r(A)就簡單多了．得r(AB－A)=r(A)=2．知識點解析：暫無解析17、設α1=(1，0，2，3)T，α2=(1，1，3，5)T，α3=(1，－1，a+2，1)T，α4=(1，2，4，a+8)T，β=(1，1，b+3，5)T．問：(1)a，b為什么數(shù)時，β不能用α1，α2，α3，α4表示?(2)a，b為什么數(shù)時，β可用α1，α2，α3，α4表示，并且表示方式唯一?標準答案：利用秩來判斷較簡單．為此計算出r(α1，α2，α3，α4)和r(α1，α2，α3，α4，β)作比較．構造矩陣(α1，α2，α3，α4｜β)，并用初等行變換化為階梯形矩陣：(1)當a+1=0，而b≠0時，r(α1，α2，α3，α4)=2，而r(α1，α2，α3，α4，β)=3，因此β不能用α1，α2，α3，α4線性表示．(2)當a+1≠0時(b任意)，r(α1，α2，α3，α4)=r(α1，α2，α3，α4，β)=4，β可用α1，α2，α3，α4表示，并且表示方式唯一．(如果a+1=0，而b=0，則r(α1，α2，α3，α4)=r(α1，α2，α3，α4，β)=2，因此β能用α1，α2，α3，α4線性表示．但是表示方式不唯一．)知識點解析：暫無解析18、已知β可用α1，α2，…，αs線性表示，但不可用α1，α2，…，αs－1線性表示．證明(1)αs不可用α1，α2，…，αs－1線性表示；(2)αs可用α1，α2，…，αs－1，β線性表示．標準答案：由于β可用α1，α2，…，αs線性表示，可設有表示式β=k1α1+k2α2+…+kmαm，(Ⅰ)(1