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文檔簡介
2023-2024學(xué)年江蘇省蘇州市高新區(qū)文昌實驗中學(xué)中考一模數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(本大題共12個小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1.的相反數(shù)是()A. B. C.3 D.-32.在2014年5月崇左市教育局舉行的“經(jīng)典詩朗誦”演講比賽中,有11名學(xué)生參加決賽,他們決賽的成績各不相同,其中的一名學(xué)生想知道自己能否進(jìn)入前6名,不僅要了解自己的成績,還要了解這11名學(xué)生成績的()A.眾數(shù) B.中位數(shù) C.平均數(shù) D.方差3.如圖所示,是用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的示意圖,則說明∠A′O′B′=∠AOB的依據(jù)是()A.SAS B.SSS C.AAS D.ASA4.用加減法解方程組時,若要求消去,則應(yīng)()A. B. C. D.5.如圖,已知菱形ABCD,∠B=60°,AB=4,則以AC為邊長的正方形ACEF的周長為()A.16 B.12 C.24 D.186.如圖,小明要測量河內(nèi)小島B到河邊公路l的距離,在A點測得,在C點測得,又測得米,則小島B到公路l的距離為()米.A.25 B. C. D.7.計算3–(–9)的結(jié)果是()A.12 B.–12 C.6 D.–68.在Rt△ABC中∠C=90°,∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c,c=3a,tanA的值為()A. B. C. D.39.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,等腰直角三角形ABC的頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上,∠ABC=90°,CA⊥x軸,點C在函數(shù)y=(x>0)的圖象上,若AB=2,則k的值為()A.4 B.2 C.2 D.10.如圖,若干個全等的正五邊形排成環(huán)狀,圖中所示的是前3個正五邊形,要完成這一圓環(huán)還需正五邊形的個數(shù)為()A.10 B.9 C.8 D.711.如果一組數(shù)據(jù)6,7,x,9,5的平均數(shù)是2x,那么這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為()A.5 B.6 C.7 D.912.我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載了一道題,大意是:100匹馬恰好拉了100片瓦,已知1匹大馬能拉3片瓦,3匹小馬能拉1片瓦,問有多少匹大馬、多少匹小馬?若設(shè)大馬有匹,小馬有匹,則可列方程組為()A. B.C. D.二、填空題:(本大題共6個小題,每小題4分,共24分.)13.若,則=_____.14.我們知道:四邊形具有不穩(wěn)定性.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,矩形ABCD的邊AB在x軸上,,,邊AD長為5.現(xiàn)固定邊AB,“推”矩形使點D落在y軸的正半軸上(落點記為),相應(yīng)地,點C的對應(yīng)點的坐標(biāo)為_______.15.如圖,五邊形是正五邊形,若,則__________.16.若圓錐的地面半徑為,側(cè)面積為,則圓錐的母線是__________.17.地球上的海洋面積約為361000000km1,則科學(xué)記數(shù)法可表示為_______km1.18.如圖,在等腰△ABC中,AB=AC,BC邊上的高AD=6cm,腰AB上的高CE=8cm,則BC=_____cm三、解答題:(本大題共9個小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19.(6分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知OA=6厘米,OB=8厘米.點P從點B開始沿BA邊向終點A以1厘米/秒的速度移動;點Q從點A開始沿AO邊向終點O以1厘米/秒的速度移動.若P、Q同時出發(fā)運(yùn)動時間為t(s).(1)t為何值時,△APQ與△AOB相似?(2)當(dāng)t為何值時,△APQ的面積為8cm2?20.(6分)某公司銷售部有營銷人員15人,銷售部為了制定某種商品的月銷售定額,統(tǒng)計了這15人某月的銷售量如下:每人銷售件數(shù)1800510250210150120人數(shù)113532(1)求這15位營銷人員該月銷售量的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù);假設(shè)銷售負(fù)責(zé)人把每位營銷員的月銷售額定為320件,你認(rèn)為是否合理,為什么?如不合理,請你制定一個較合理的銷售定額,并說明理由.21.(6分)孔明同學(xué)對本校學(xué)生會組織的“為貧困山區(qū)獻(xiàn)愛心”自愿捐款活動進(jìn)行抽樣調(diào)查,得到了一組學(xué)生捐款情況的數(shù)據(jù).如圖是根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計圖,圖中從左到右各長方形的高度之比為3:4:5:10:8,又知此次調(diào)查中捐款30元的學(xué)生一共16人.孔明同學(xué)調(diào)查的這組學(xué)生共有_______人;這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是_____元,中位數(shù)是_____元;若該校有2000名學(xué)生,都進(jìn)行了捐款,估計全校學(xué)生共捐款多少元?22.(8分)如圖,經(jīng)過原點的拋物線y=﹣x2+2mx(m>0)與x軸的另一個交點為A,過點P(1,m)作直線PA⊥x軸于點M,交拋物線于點B.記點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C(點B、C不重合),連接CB、CP.(I)當(dāng)m=3時,求點A的坐標(biāo)及BC的長;(II)當(dāng)m>1時,連接CA,若CA⊥CP,求m的值;(III)過點P作PE⊥PC,且PE=PC,當(dāng)點E落在坐標(biāo)軸上時,求m的值,并確定相對應(yīng)的點E的坐標(biāo).23.(8分)如圖,AB是⊙O的直徑,點C是AB延長線上的點,CD與⊙O相切于點D,連結(jié)BD、AD.(1)求證;∠BDC=∠A.(2)若∠C=45°,⊙O的半徑為1,直接寫出AC的長.24.(10分)在正方形ABCD中,M是BC邊上一點,且點M不與B、C重合,點P在射線AM上,將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ,連接BP,DQ.(1)依題意補(bǔ)全圖1;(2)①連接DP,若點P,Q,D恰好在同一條直線上,求證:DP2+DQ2=2AB2;②若點P,Q,C恰好在同一條直線上,則BP與AB的數(shù)量關(guān)系為:.25.(10分)()如圖①已知四邊形中,,BC=b,,求:①對角線長度的最大值;②四邊形的最大面積;(用含,的代數(shù)式表示)()如圖②,四邊形是某市規(guī)劃用地的示意圖,經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù):,,,,請你利用所學(xué)知識探索它的最大面積(結(jié)果保留根號)26.(12分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+k=1.(1)求證:方程有兩個不相等的實數(shù)根;(2)當(dāng)方程有一個根為1時,求k的值.27.(12分)《九章算術(shù)》中有這樣一道題,原文如下:今有甲乙二人持錢不知其數(shù).甲得乙半而錢五十,乙得甲太半而錢亦五十.問甲、乙持錢各幾何?大意為:今有甲、乙二人,不知其錢包里有多少錢.若乙把其一半的錢給甲,則甲的錢數(shù)為;若甲把其的錢給乙,則乙的錢數(shù)也能為,問甲、乙各有多少錢?請解答上述問題.
參考答案一、選擇題(本大題共12個小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1、B【解析】先求的絕對值,再求其相反數(shù):根據(jù)數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值的定義,在數(shù)軸上,點到原點的距離是,所以的絕對值是;相反數(shù)的定義是:如果兩個數(shù)只有符號不同,我們稱其中一個數(shù)為另一個數(shù)的相反數(shù),特別地,1的相反數(shù)還是1.因此的相反數(shù)是.故選B.2、B【解析】
解:11人成績的中位數(shù)是第6名的成績.參賽選手要想知道自己是否能進(jìn)入前6名,只需要了解自己的成績以及全部成績的中位數(shù),比較即可.故選B.【點睛】本題考查統(tǒng)計量的選擇,掌握中位數(shù)的意義是本題的解題關(guān)鍵.3、B【解析】
由作法易得OD=O′D′,OC=O′C′,CD=C′D′,根據(jù)SSS可得到三角形全等.【詳解】由作法易得OD=O′D′,OC=O′C′,CD=C′D′,依據(jù)SSS可判定△COD≌△C'O'D',故選:B.【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定,關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理.4、C【解析】
利用加減消元法消去y即可.【詳解】用加減法解方程組時,若要求消去y,則應(yīng)①×5+②×3,
故選C【點睛】此題考查了解二元一次方程組,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法與加減消元法.5、A【解析】
由菱形ABCD,∠B=60°,易證得△ABC是等邊三角形,繼而可得AC=AB=4,則可求得以AC為邊長的正方形ACEF的周長.【詳解】解:∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC.∵∠B=60°,∴△ABC是等邊三角形,∴AC=AB=BC=4,∴以AC為邊長的正方形ACEF的周長為:4AC=1.故選A.【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì).此題難度不大,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.6、B【解析】
解:過點B作BE⊥AD于E.設(shè)BE=x.∵∠BCD=60°,tan∠BCE,,在直角△ABE中,AE=,AC=50米,則,解得即小島B到公路l的距離為,故選B.7、A【解析】
根據(jù)有理數(shù)的減法,即可解答.【詳解】故選A.【點睛】本題考查了有理數(shù)的減法,解決本題的關(guān)鍵是熟記減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù).8、B【解析】
根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)即可解答.【詳解】解:已知在Rt△ABC中∠C=90°,∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c,c=3a,設(shè)a=x,則c=3x,b==2x.即tanA==.故選B.【點睛】本題考查勾股定理和三角函數(shù),熟悉掌握是解題關(guān)鍵.9、A【解析】【分析】作BD⊥AC于D,如圖,先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到AC=AB=2,BD=AD=CD=,再利用AC⊥x軸得到C(,2),然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征計算k的值.【詳解】作BD⊥AC于D,如圖,∵△ABC為等腰直角三角形,∴AC=AB=2,∴BD=AD=CD=,∵AC⊥x軸,∴C(,2),把C(,2)代入y=得k=×2=4,故選A.【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,熟知反比例函數(shù)y=(k為常數(shù),k≠0)的圖象是雙曲線,圖象上的點(x,y)的橫縱坐標(biāo)的積是定值k,即xy=k是解題的關(guān)鍵.10、D【解析】分析:先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式(n﹣2)?180°求出正五邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù),再延長五邊形的兩邊相交于一點,并根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出這個角的度數(shù),然后根據(jù)周角等于360°求出完成這一圓環(huán)需要的正五邊形的個數(shù),然后減去3即可得解.詳解:∵五邊形的內(nèi)角和為(5﹣2)?180°=540°,∴正五邊形的每一個內(nèi)角為540°÷5=18°,如圖,延長正五邊形的兩邊相交于點O,則∠1=360°﹣18°×3=360°﹣324°=36°,360°÷36°=1.∵已經(jīng)有3個五邊形,∴1﹣3=7,即完成這一圓環(huán)還需7個五邊形.故選D.點睛:本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式,延長正五邊形的兩邊相交于一點,并求出這個角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵,注意需要減去已有的3個正五邊形.11、B【解析】
直接利用平均數(shù)的求法進(jìn)而得出x的值,再利用中位數(shù)的定義求出答案.【詳解】∵一組數(shù)據(jù)1,7,x,9,5的平均數(shù)是2x,∴,解得:,則從大到小排列為:3,5,1,7,9,故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為:1.故選B.【點睛】此題主要考查了中位數(shù)以及平均數(shù),正確得出x的值是解題關(guān)鍵.12、B【解析】
設(shè)大馬有匹,小馬有匹,根據(jù)題意可得等量關(guān)系:大馬數(shù)+小馬數(shù)=100,大馬拉瓦數(shù)+小馬拉瓦數(shù)=100,根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可.【詳解】解:設(shè)大馬有匹,小馬有匹,由題意得:,故選:B.【點睛】本題主要考查的是由實際問題抽象出二元一次方程組,關(guān)鍵是正確理解題意,找出題目中的等量關(guān)系,列出方程組.二、填空題:(本大題共6個小題,每小題4分,共24分.)13、【解析】=.14、【解析】分析:根據(jù)勾股定理,可得,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì),可得答案.詳解:由勾股定理得:=,即(0,4).矩形ABCD的邊AB在x軸上,∴四邊形是平行四邊形,A=B,=AB=4-(-3)=7,與的縱坐標(biāo)相等,∴(7,4),故答案為(7,4).點睛:本題考查了多邊形,利用平行四邊形的性質(zhì)得出A=B,=AB=4-(-3)=7是解題的關(guān)鍵.15、72【解析】分析:延長AB交于點F,根據(jù)得到∠2=∠3,根據(jù)五邊形是正五邊形得到∠FBC=72°,最后根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和即可求出.詳解:延長AB交于點F,∵,∴∠2=∠3,∵五邊形是正五邊形,∴∠ABC=108°,∴∠FBC=72°,∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°故答案為:72°.點睛:此題主要考查了平行線的性質(zhì)和正五邊形的性質(zhì),正確把握五邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.16、13【解析】試題解析:圓錐的側(cè)面積=×底面半徑×母線長,把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解.設(shè)母線長為R,則:解得:故答案為13.17、3.61×2【解析】
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù).確定n的值時,要看把原數(shù)變成a時,小數(shù)點移動了多少位,n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值>1時,n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時,n是負(fù)數(shù).【詳解】將361000000用科學(xué)記數(shù)法表示為3.61×2.故答案為3.61×2.18、【解析】
根據(jù)三角形的面積公式求出=,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD=DC=BC,根據(jù)勾股定理列式計算即可.【詳解】∵AD是BC邊上的高,CE是AB邊上的高,∴AB?CE=BC?AD,∵AD=6,CE=8,∴=,∴=,∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=DC=BC,∵AB2?BD2=AD2,∴AB2=BC2+36,即BC2=BC2+36,解得:BC=.故答案為:.【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用和三角形面積公式的應(yīng)用,根據(jù)三角形的面積公式求出腰與底的比是解題的關(guān)三、解答題:(本大題共9個小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19、(1)t=秒;(1)t=5﹣(s).【解析】
(1)利用勾股定理列式求出AB,再表示出AP、AQ,然后分∠APQ和∠AQP是直角兩種情況,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可;(1)過點P作PC⊥OA于C,利用∠OAB的正弦求出PC,然后根據(jù)三角形的面積公式列出方程求解即可.【詳解】解:(1)∵點A(0,6),B(8,0),∴AO=6,BO=8,∴AB===10,∵點P的速度是每秒1個單位,點Q的速度是每秒1個單位,∴AQ=t,AP=10﹣t,①∠APQ是直角時,△APQ∽△AOB,∴,即,解得t=>6,舍去;②∠AQP是直角時,△AQP∽△AOB,∴,即,解得t=,綜上所述,t=秒時,△APQ與△AOB相似;(1)如圖,過點P作PC⊥OA于點C,則PC=AP?sin∠OAB=(10﹣t)×=(10﹣t),∴△APQ的面積=×t×(10﹣t)=8,整理,得:t1﹣10t+10=0,解得:t=5+>6(舍去),或t=5﹣,故當(dāng)t=5﹣(s)時,△APQ的面積為8cm1.【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、三角形的面積以及一元二次方程的應(yīng)用能力,分類討論是解題的關(guān)鍵.20、(1)平均數(shù)為320件,中位數(shù)是210件,眾數(shù)是210件;(2)不合理,定210件【解析】試題分析:(1)根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的定義即可求得結(jié)果;(2)把月銷售額320件與大部分員工的工資比較即可判斷.(1)平均數(shù)件,∵最中間的數(shù)據(jù)為210,∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為210件,∵210是這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù),∴眾數(shù)為210件;(2)不合理,理由:在15人中有13人銷售額達(dá)不到320件,定210件較為合理.考點:本題考查的是平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)點評:解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,位于最中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù);眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù),注意眾數(shù)可以不止一個.21、(1)60;(2)20,20;(3)38000【解析】
(1)利用從左到右各長方形高度之比為3:4:5:10:8,可設(shè)捐5元、10元、15元、20元和30元的人數(shù)分別為3x、4x、5x、10x、8x,則根據(jù)題意得8x=1,解得x=2,然后計算3x+4x+5x++10x+8x即可;(2)先確定各組的人數(shù),然后根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解;(3)先計算出樣本的加權(quán)平均數(shù),然后利用樣本平均數(shù)估計總體,用2000乘以樣本平均數(shù)即可.【詳解】(1)設(shè)捐5元、10元、15元、20元和30元的人數(shù)分別為3x、4x、5x、10x、8x,則8x=1,解得:x=2,∴3x+4x+5x+10x+8x=30x=30×2=60(人);(2)捐5元、10元、15元、20元和30元的人數(shù)分別為6,8,10,20,1.∵20出現(xiàn)次數(shù)最多,∴眾數(shù)為20元;∵共有60個數(shù)據(jù),第30個和第31個數(shù)據(jù)落在第四組內(nèi),∴中位數(shù)為20元;(3)2000=38000(元),∴估算全校學(xué)生共捐款38000元.【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖:條形統(tǒng)計圖是用線段長度表示數(shù)據(jù),根據(jù)數(shù)量的多少畫成長短不同的矩形直條,然后按順序把這些直條排列起來.也考查了樣本估計總體、中位數(shù)與眾數(shù).22、(I)4;(II)(III)(2,0)或(0,4)【解析】
(I)當(dāng)m=3時,拋物線解析式為y=-x2+6x,解方程-x2+6x=0得A(6,0),利用對稱性得到C(5,5),從而得到BC的長;(II)解方程-x2+2mx=0得A(2m,0),利用對稱性得到C(2m-1,2m-1),再根據(jù)勾股定理和兩點間的距離公式得到(2m-2)2+(m-1)2+12+(2m-1)2=(2m-1)2+m2,然后解方程即可;(III)如圖,利用△PME≌△CBP得到PM=BC=2m-2,ME=BP=m-1,則根據(jù)P點坐標(biāo)得到2m-2=m,解得m=2,再計算出ME=1得到此時E點坐標(biāo);作PH⊥y軸于H,如圖,利用△PHE′≌△PBC得到PH=PB=m-1,HE′=BC=2m-2,利用P(1,m)得到m-1=1,解得m=2,然后計算出HE′得到E′點坐標(biāo).【詳解】解:(I)當(dāng)m=3時,拋物線解析式為y=﹣x2+6x,當(dāng)y=0時,﹣x2+6x=0,解得x1=0,x2=6,則A(6,0),拋物線的對稱軸為直線x=3,∵P(1,3),∴B(1,5),∵點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C∴C(5,5),∴BC=5﹣1=4;(II)當(dāng)y=0時,﹣x2+2mx=0,解得x1=0,x2=2m,則A(2m,0),B(1,2m﹣1),∵點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C,而拋物線的對稱軸為直線x=m,∴C(2m﹣1,2m﹣1),∵PC⊥PA,∴PC2+AC2=PA2,∴(2m﹣2)2+(m﹣1)2+12+(2m﹣1)2=(2m﹣1)2+m2,整理得2m2﹣5m+3=0,解得m1=1,m2=,即m的值為;(III)如圖,∵PE⊥PC,PE=PC,∴△PME≌△CBP,∴PM=BC=2m﹣2,ME=BP=2m﹣1﹣m=m﹣1,而P(1,m)∴2m﹣2=m,解得m=2,∴ME=m﹣1=1,∴E(2,0);作PH⊥y軸于H,如圖,易得△PHE′≌△PBC,∴PH=PB=m﹣1,HE′=BC=2m﹣2,而P(1,m)∴m﹣1=1,解得m=2,∴HE′=2m﹣2=2,∴E′(0,4);綜上所述,m的值為2,點E的坐標(biāo)為(2,0)或(0,4).【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題:熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì);會運(yùn)用全等三角形的知識解決線段相等的問題;理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì),記住兩點間的距離公式.23、(1)詳見解析;(2)1+【解析】
(1)連接OD,結(jié)合切線的性質(zhì)和直徑所對的圓周角性質(zhì),利用等量代換求解(2)根據(jù)勾股定理先求OC,再求AC.【詳解】(1)證明:連結(jié).如圖,與相切于點D,是的直徑,即(2)解:在中,.【點睛】此題重點考查學(xué)生對圓的認(rèn)識,熟練掌握圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.24、(1)詳見解析;(1)①詳見解析;②BP=AB.【解析】
(1)根據(jù)要求畫出圖形即可;(1)①連接BD,如圖1,只要證明△ADQ≌△ABP,∠DPB=90°即可解決問題;②結(jié)論:BP=AB,如圖3中,連接AC,延長CD到N,使得DN=CD,連接AN,QN.由△ADQ≌△ABP,△ANQ≌△ACP,推出DQ=PB,∠AQN=∠APC=45°,由∠AQP=45°,推出∠NQC=90°,由CD=DN,可得DQ=CD=DN=AB;【詳解】(1)解:補(bǔ)全圖形如圖1:(1)①證明:連接BD,如圖1,∵線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ,∴AQ=AP,∠QAP=90°,∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=AB,∠DAB=90°,∴∠1=∠1.∴△ADQ≌△ABP,∴DQ=BP,∠Q=∠3,∵在Rt△QAP中,∠Q+∠QPA=90°,∴∠BPD=∠3+∠QPA=90°,∵在Rt△BPD中,DP1+BP1=BD1,又∵DQ=BP,BD1=1AB1,∴DP1+DQ1=1AB1.②解:結(jié)論:BP=AB.理由:如圖3中,連接AC,延長CD到N,使得DN=CD,連接AN,QN.∵△ADQ≌△ABP,△ANQ≌△ACP,∴DQ=PB,∠AQN=∠APC=45°,∵∠AQP=45°,∴∠NQC=90°,∵CD=DN,∴DQ=CD=DN=AB,∴PB=AB.【點睛】本題考查正方形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問題,屬于中考壓軸25、(1)①;②;(2)150+475+475.【解析】
(1)①由條件可知AC為直徑,可知BD長度的最大值為AC的長,可求得答案;②連接AC,求得AD2+CD2,利用不等式的性質(zhì)可求得AD?CD的最大值,從而可求得四邊形ABCD面積的最大值;(2)連接AC,延長CB,過點A做AE⊥CB交CB的延長線于E,可先求得△ABC的面積,結(jié)合條件可求得∠D=45°,且A、C、D三點共圓,作AC、CD中垂線,交點即為圓心O,當(dāng)點D與AC的距離最大時,△ACD的面積最大,AC的中垂線交圓O于點D',交AC于F,F(xiàn)D'即為所求最大值,再求得
△ACD′的面積即可.【詳解】(1)①因為∠B=∠D=90°,所以四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,AC為圓的直徑,則BD長度的最大值為AC,此時BD=,②連接AC,則AC2=AB2+BC2=a2+b2=AD2+CD2,S△ACD=ADCD≤(AD2+CD2)=(a2+b2),所以四邊形ABCD的最大面積=(a2+b2)+ab=;(2)如圖,
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