2024年湖北省荊州市數(shù)學(xué)中考試卷及答案解析

2024年湖北省荊州市數(shù)學(xué)中考試卷及答案解析一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）1、化簡(jiǎn)a-2a的結(jié)果是()A.-aB.aC.3aD.0答案：A解析：根據(jù)代數(shù)式的合并同類項(xiàng)法則，a和-2a是同類項(xiàng)，可以合并。合并時(shí)，系數(shù)相加，字母部分保持不變。因此，a-2a=-a。2、實(shí)數(shù)a,b,c,d在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，其中有一對(duì)互為相反數(shù)，它們是()A.a與dB.b與dC.c與dD.a與c

（注意：由于題目沒有給出具體的數(shù)軸圖，這里我們假設(shè)一種可能的數(shù)軸情況進(jìn)行分析，但核心思路是理解相反數(shù)的定義。）答案：此題無(wú)法直接給出具體答案，因?yàn)樾枰唧w的數(shù)軸圖。但一般思路是，在數(shù)軸上，如果兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則它們表示的數(shù)互為相反數(shù)。解析：相反數(shù)的定義是，如果兩個(gè)數(shù)的和等于零，則這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。在數(shù)軸上，這表現(xiàn)為兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。由于題目沒有給出具體的數(shù)軸圖，我們無(wú)法直接判斷哪一對(duì)數(shù)是相反數(shù)。但解題時(shí)應(yīng)根據(jù)這個(gè)定義去分析數(shù)軸上的點(diǎn)。3、直線l?//l?，AB=AC，∠BAC=40°，則∠1+∠2的度數(shù)是()A.60°B.70°C.80°D.90°答案：C解析：由于直線l?//l?，根據(jù)平行線的性質(zhì)，我們有∠1=∠3（內(nèi)錯(cuò)角相等）。又因?yàn)锳B=AC，所以△ABC是等腰三角形。根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，底角相等，即∠B=∠C。由于∠BAC=40°，則∠B=∠C=(180°-40°)/2=70°。由于∠3和∠C是對(duì)頂角，所以∠3=∠C=70°。因此，∠1=∠3=70°。又因?yàn)椤?+∠2+∠BAC=180°（三角形內(nèi)角和為180°），所以∠1+∠2=180°-40°=140°。但題目問(wèn)的是∠1和∠2的和的一半，即(∠1+∠2)/2=140°/2=70°。然而，這里有一個(gè)誤解，因?yàn)轭}目實(shí)際上問(wèn)的是∠1和∠2的和，而不是它們的和的一半。所以，真正的答案是∠1+∠2=∠3+∠2=70°+∠2。由于∠2是與∠1相鄰的角，并且由于l?//l?，我們可以知道∠2=180°-∠3-∠BAC=180°-70°-40°=70°。因此，∠1+∠2=70°+70°=140°，但這與選項(xiàng)不符。實(shí)際上，這里的分析存在錯(cuò)誤，因?yàn)椤?并不是直接由180°-∠3-∠BAC得出，而是應(yīng)該通過(guò)其他方式（如考慮l?和l?之間的平行關(guān)系以及它們與AB、AC的交角）來(lái)確定。但在這個(gè)特定的問(wèn)題中，由于△ABC是等腰的，并且l?//l?，我們可以推斷出∠2實(shí)際上與∠1相等（都是70°），因此∠1+∠2=140°/2=70°（但這里的“/2”是多余的，因?yàn)轭}目問(wèn)的是和，不是和的一半）。然而，為了符合選項(xiàng)，我們應(yīng)該直接給出∠1+∠2=70°+70°=140°中較小的一個(gè)角（因?yàn)閮蓚€(gè)角都是70°），即70°，但這與原始答案不符。實(shí)際上，這里的解釋有些混亂，正確的解釋應(yīng)該是：由于△ABC是等腰的，且l?//l?，我們可以推斷出∠1=∠3=∠C=70°（∠3是∠1的對(duì)應(yīng)角，由于l?//l?；∠C是△ABC的底角）。然后，由于l?//l??4、下列說(shuō)法中，正確的是()A.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是矩形B.對(duì)角線相等的四邊形是矩形C.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形D.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形A.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，但不一定是矩形，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，但題目中只提到了對(duì)角線相等，沒有提到四邊形是平行四邊形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，但題目中只提到了對(duì)角線互相垂直，沒有提到四邊形是平行四邊形，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.根據(jù)菱形的性質(zhì)，菱形的對(duì)角線互相垂直且平分，故D選項(xiàng)正確。故答案為：D。5、已知點(diǎn)A?2,y1，B1,y2，C2,y3在拋物線y=x對(duì)于點(diǎn)A?2,y1對(duì)于點(diǎn)B1,y2，其橫坐標(biāo)就是對(duì)稱軸對(duì)于點(diǎn)C2,y3，其橫坐標(biāo)距離對(duì)稱軸由于拋物線y=x2因此，有y1故答案為：y16、下列計(jì)算正確的是()A.3a?C.7a+A.對(duì)于3a?2b，由于B.對(duì)于5a2?2bC.對(duì)于7a7a+a=D.對(duì)于4x4x2?2故答案為：D.2x7、已知一個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)，(2,1)，且頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則此二次函數(shù)的解析式為()A.y=(x-1)^2B.y=(x-1)^2+1C.y=(x+1)^2+1D.y=(x-1)^2-1答案：B解析：由于二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,1和2,1，且頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax將點(diǎn)0,1=a0?12+k1=a+k由于題目沒有給出a的具體值，但我們只需要找到一個(gè)滿足條件的k即可。由于我們已經(jīng)知道圖像關(guān)于x=1對(duì)稱，并且所以，k=代入k=1到a+k=1，得到因此，此二次函數(shù)的解析式為y=8、已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2+bx+c答案：y解析：由于二次函數(shù)y=ax2+代入x=?b2a=2b=?a+b+c=0a+b?a?4a?3=b=4y=?x2y=?y9、若拋物線y=ax2+bx+c答案：向上解析：由于拋物線y=ax2+bx+c因?yàn)轫旤c(diǎn)在x軸上，所以4ac?又因?yàn)閍b<0，說(shuō)明a結(jié)合4ac?b2=0，我們可以推斷出aA.a2?C.a32A.根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，有am應(yīng)用此法則，得a2B.根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則，有am應(yīng)用此法則，得a6÷aC.根據(jù)冪的乘方法則，有am應(yīng)用此法則，得a32=D.根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義，有a?n=應(yīng)用此定義，得2a?2綜上，只有選項(xiàng)A是正確的。二、填空題（本大題有5小題，每小題3分，共15分）1、若關(guān)于x的方程x2?2x+答案：2解析：對(duì)于一元二次方程ax2+若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則Δ=對(duì)于方程x2?2代入判別式得：Δ=?228?4c=2、計(jì)算：12?答案：1解析：首先計(jì)算12，由于12=4×接著計(jì)算2sin60?°，由于然后計(jì)算13?1最后計(jì)算2?π0將以上結(jié)果代入原式得：23、若扇形的圓心角為45?°，半徑為3，則該扇形的弧長(zhǎng)為答案：3解析：根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，弧長(zhǎng)l與圓心角n和半徑R的關(guān)系為：l=nπR180l=45π×4、已知|x|=5，y=3，則x-y=_______或_______．答案：2；?解析：根據(jù)絕對(duì)值的定義，有x=5，則x可以取5或給定y=當(dāng)x=5時(shí)，當(dāng)x=?55、已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的積為2，求m的值．答案：(1)m<2解析：對(duì)于方程x2Δ=b2?8設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1和xx1x2=m?1=2?m=3將m=3代入原方程x2注意：在實(shí)際情況下，如果得到的m值使得原方程沒有實(shí)數(shù)根，那么這樣的m值是不符合題目要求的。但在這個(gè)特定問(wèn)題中，由于我們已經(jīng)知道方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，并且只需要找到滿足x1x2=2的m三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共55分）第一題題目：在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，連接BE，并過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE于點(diǎn)F，連接AF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G。（1）求證：△ABE∽△FCE；（2）若AB=2，AD=4，求tan∠G的值。答案與解析：（1）證明：由于ABCD是矩形，所以∠A=90°，且AB∥CD。因此，∠ABE=∠DCF（內(nèi)錯(cuò)角相等）。又因?yàn)镃F⊥BE，所以∠BFC=90°=∠A。在△ABE和△FCE中，由于∠ABE=∠DCF，∠A=∠BFC=90°，根據(jù)AA相似，我們可以得出△ABE∽△FCE。（2）求解：設(shè)AE=x，則ED=x（因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)），AB=2，AD=4，所以x=2。利用勾股定理，在△ABE中，BE2=AB2+AE2=22+22=8，所以BE=2√2。由于△ABE∽△FCE，我們有AE/FC=BE/CE。代入已知值，得2/FC=2√2/2√2=1，所以FC=2。在△BCF中，利用勾股定理，BF2=BC2-FC2=42-22=12，所以BF=2√3。利用三角函數(shù)的性質(zhì)，在直角三角形中，tanθ=對(duì)邊/鄰邊。在△ABF中，tan∠ABF=AF/BF。由于△ABE∽△FCE，我們有AB/FC=AE/EF，代入已知值得EF=2。在△AEF中，利用勾股定理，AF2=AE2+EF2=22+22=8，所以AF=2√2。利用三角形面積公式，S△ABE=1/2ABAE=1/2BEEF，代入已知值得BEEF=4，所以EF=2（已知）。由于四邊形ABFC的面積等于△ABE和△BFC的面積之和，即S四邊形ABFC=S△ABE+S△BFC=1/2ABAE+1/2BCFC=2+4=6。又因?yàn)镾四邊形ABFC=S△ABG-S△BFC=1/2AB(AG+BG)-1/2BCFC=1/22(4+BG)-4=2+BG-4=BG-2。所以BG-2=6，解得BG=8。最后，在直角三角形BGC中，tan∠G=BC/BG=4/8=1/2。第二題題目：在平行四邊形ABCD中，BC=2AB，E、F分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，連接EF、DF。若EF=2，求DF的長(zhǎng)。答案：DF=2√3解析：連接EC：由于E、F分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)，我們知道中位線EF平行于AC且EF=1/2AC。已知EF=2，所以AC=2×EF=4。利用平行四邊形的性質(zhì)：在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD互相平分。設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O，則AO=OC=1/2AC=2。利用直角三角形的性質(zhì)：由于BC=2AB，且E、F是AB、BC的中點(diǎn)，我們可以得出BE=1/2AB=1/4BC=BF。因此，三角形BEF是等腰三角形，且∠BEF=∠BFE。又因?yàn)锳B∥CD，所以∠BFE=∠DCF。又因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以∠B=∠DCF。從而得出∠B=∠BEF，所以三角形ABE是等腰三角形，即∠BAE=∠BEA。由于∠BAE+∠BEA+∠B=180°，且∠B=∠BEF=∠BFE=∠DCF，我們可以得出∠DCF+∠DCF+∠B=180°。因?yàn)椤螧是平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角，所以∠B<90°。從而得出∠DCF<90°，且∠DCF=∠B=∠AEB。由于三角形內(nèi)角和為180°，且∠AEB+∠B+∠BAE=180°，我們可以得出∠AEB=∠B=60°（因?yàn)槿切蜛BE是等腰三角形，且∠BAE=∠BEA）。利用三角函數(shù)或勾股定理求DF：在直角三角形DCF中，∠DCF=60°，F(xiàn)C=1/2BC=BF=AB=AE=2（因?yàn)镋、F是中點(diǎn)）。利用30°-60°-90°直角三角形的性質(zhì)，我們知道DC=2FC=4（但這里我們實(shí)際上不需要求DC，因?yàn)槲覀冎灰驞F）。然后，利用勾股定理在直角三角形DFC中求DF：DF2=DC2+FC2-2×DC×FC×cos60°

=42+22-2×4×2×1/2

=16+4-8

=12

所以，DF=√12=2√3。第三題題目：在平行四邊形ABCD中，AB=4，BC=6，∠B=60°，點(diǎn)E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，作AF⊥AE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F。設(shè)BE=x，DF=y。（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（2）當(dāng)△CEF是等腰三角形時(shí)，求x的值。答案與解析：（1）首先，由于ABCD是平行四邊形，我們有AD=BC=6，AB=CD=4，∠ADC=∠B=60°。由于AF⊥AE，我們可以得到∠FAE=90°。又因?yàn)椤螧AE+∠DAF=90°，∠BAE+∠AEB=90°，我們可以得出∠DAF=∠AEB。在△ABE和△DFA中，由于∠B=∠ADF=60°，∠AEB=∠DAF，我們可以得出△ABE∽△DFA。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，我們有ABDF=B由于E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以x的取值范圍是0<（2）由于四邊形ABCD是平行四邊形，我們有AD∥BC。因此，∠F=∠DAE。當(dāng)△CEF是等腰三角形時(shí)，我們有兩種情況：①如果CE=CF，則∠CEF=∠CFE。由于∠CEF=∠AEB（對(duì)頂角），并且∠CFE=∠DAF（內(nèi)錯(cuò)角），我們可以得出∠AEB=∠DAF。又因?yàn)椤螧=∠ADF=60°，我們可以得出△ABE≌△DFA（AAS）。但這會(huì)導(dǎo)致AB②如果CE=EF，則∠CEF=∠CFE。由于∠CEF=∠AEB，并且∠CFE=∠DAF+∠ADF=∠DAF+60°，我們可以得出∠AEB=∠DAF+60°。又因?yàn)椤螦EB+∠BAE=在直角三角形ADF中，由于∠ADF=60°，我們可以得出∠AFD=30°。因此，DF=2AD×cos(30°)=2×6×32=63。由于y=24x綜上，當(dāng)△CEF是等腰三角形時(shí)，x的值為43第四題題目：在矩形ABCD中，AB=2AD，E是AB的中點(diǎn)，連接DE。點(diǎn)F在BC上，且滿足BF=2FC。求證：四邊形DECF是等腰梯形。答案：證明：由于ABCD是矩形，所以∠A=∠因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，所以AE已知AB=2根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，在△ADE中，因?yàn)锳E=AD由于AD∥B在△DEC中，由于∠DEC=已知BF=2FC，設(shè)FC=x，則BF=2x。由于AB由于DE∥CF（因?yàn)橛捎贒E解析：本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及等腰梯形的判定。在證明過(guò)程中，我們首先利用矩形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ADE=∠DEC=45°第五題題目：在菱形ABCD中，已知AB=6，AC=8，且∠BAC=60°。求菱形ABCD的面積。答案：菱形ABCD的面積為243解析：確定菱形的性質(zhì)：菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA=6（所有邊等長(zhǎng)）。對(duì)角線AC和BD互相垂直且平分對(duì)方。利用已知條件求BD：由于∠BAC=60°，且AC=8，我們可以將△ABC視為一個(gè)等邊三角形的一半（以AC為底邊）。利用30°-60°-90°直角三角形的性質(zhì)，在△ABO（O為AC與BD的交點(diǎn)）中，有：∠ABO=BO=AOtan計(jì)算菱形面積：菱形面積公式為：S=1S第六題題目：在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F。（1）求證：△BDE≌△CDF；（2）若AE=4，△ABC的面積為24，求△BDE的周長(zhǎng)。答案與解析：（1）證明：由于AB=AC（已知），

所以∠B=∠C（等邊對(duì)等角）。又因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)（已知），

所以BD=CD（中點(diǎn)的性質(zhì)）。又因?yàn)镈E⊥AB，DF⊥AC（已知），

所以∠BED=∠CFD=90°（垂直的定義）。根據(jù)HL（直角邊-斜邊）全等條件，

在△BDE和△CDF中，

因?yàn)椤螧ED=∠CFD，∠B=∠C，BD=CD，

所以△BDE≌△CDF（HL）。（2）解：由于△BDE≌△CDF（已證），

所以S△BDE=S△CDF（全等三角形的面積相等）。又因?yàn)镾△ABC=24（已知），

所以S△BDE+S△CDF+S△ADF+S△AEB=24。由于S△ADF=S△AEB（因?yàn)槎际侵苯侨切?，且以A為直角頂點(diǎn)，底邊相同，高也相同），

所以2S△BDE+2S△AEB=24。又因?yàn)镾△AEB=AE×BE×1/2，且AE=4，

設(shè)BE=x，則由于AB=AE+BE=4+x，且BD=DC=BC/2（D是BC中點(diǎn)），

在直角三角形BDE中，利用勾股定理可得BD2=BE2+DE2，

但此處我們不需要求出DE的具體值，只需知道BD的長(zhǎng)度關(guān)系。由于△BDE與△CDF全等，所以CF=BE=x，AF=AC-CF=AB-CF=4+x-x=4。利用三角形ABC的面積公式，S△ABC=(AB×AC×sinA)/2=24，

但此處我們不知道sinA的具體值，不過(guò)可以間接求出BC的長(zhǎng)度。由于△ABC是等腰三角形，所以底邊上的高（從A到BC的垂線）將BC平分，設(shè)此高為h，則S△ABC=BC×h/2=24。又因?yàn)锽D=DC=BC/2，所以S△BDE=BD×DE/2=(BC/2)×DE/2=BC×DE/4。由于S△BDE+S△CDF=BC×DE/2（因?yàn)閮烧呷龋?/p>

所以S△ADF+S△AEB=24-BC×DE/2=24-BC×(BC2-x2)2/(2BD2)（利用勾股定理和DE的隱含關(guān)系）。但這里我們不需要真的求出DE或h的具體值，只需知道上述面積關(guān)系。由于AE=4，所以S△AEB=4x/2=2x。因此，2x+BC×DE/2=12（因?yàn)镾△ADF+S△AEB=12，從S△ABC=24的一半得出）。但我們可以利用更直接的方法，即利用三角形面積與底和高的關(guān)系，以及等腰三角形的性質(zhì)來(lái)求解。設(shè)BD（也是DC）為y，則BC=2y。由于S△ABC=(BC×h)/2=24，且h2=AE2+BE2（在直角三角形ABE中），

所以h2=16+x2，且h=2S△ABC/BC=24/y。聯(lián)立上述方程，我們可以得到y(tǒng)和x的值，但這里為了簡(jiǎn)化，我們直接利用S△BDE=y×DE/2，且DE=√(y2-x2)（從直角三角形BDE中得出）。由于S△BDE+S△CDF=12（S△ABC的一半），且兩者全等，所以S△BD