人教A版（2019）選修第二冊(cè)第五章第二節(jié)課時(shí)3簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（含解析）

人教A版(2019)選修第二冊(cè)第五章第二節(jié)課時(shí)3簡(jiǎn)

單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

一、單選題

1.若/(x)=ln(2-x)+x3,則limf』+-阿二()

…。2Ax

A.1B.2C.4D.8

2.已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)=2/(2-x)-x2+8x—8,則曲y=f(x)在點(diǎn)(1J⑴)

處的切線方程是()

A.y=2x-lB.y=xC.y=3x-2D.y=-2x+3

3.已知函數(shù)/。)=公訪》+加+4(。,。6砌,/'。)為/(力的導(dǎo)函數(shù)，貝IJ

/(2014)+/(-2014)+/(2015)-f(-2015)=

A.0B.2014C.2015D.8

4.下列函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)為()

①⑶)'=31嗚0；②(bg,x)，=一③(e")'=e>1=x；⑤

xln2^[nx)

(xexy=ex+xe\

A.1B.2

C.3D.4

5.已知尸(x)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有/'(x)=e'(2x+3)+〃x),

/(o)=l,則不等式/(X)<5,的解集為()

A.(-4,1)B.(-1,4)C.(-oo,-4)(J(1,-FOO)

D.(-oo,-l)U(4,-KO)

6.已知函數(shù)/*)=sin3x+cosxj'(x)為了(用的導(dǎo)函數(shù)，則/'(%)=()

A.3cos3x—sinxB.cos3x—sinx

C.cos3x+sinxD.3cos3x+sinx

二、雙空題

7.已知5"=6，則。=,?-log530=,

202122021

8.已知f(x)=(2x-I)=n0+qx+a2x+---+tz2(r21x,則al+a2+a3+---+a2D2l=

；q+2a2+3〃3+???+202.

9.函數(shù)y=ln(2x+3)的導(dǎo)數(shù)為y'=,其函數(shù)圖象在點(diǎn)(一”2)處的切線的傾

斜角為.

三、填空題

10.對(duì)于三次函數(shù)〃力=加+加+°》+4(4工())，現(xiàn)給出定義：設(shè)f'(x)是函數(shù)

y=〃x)的導(dǎo)數(shù)，尸(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù),若方程廣(x)=0有實(shí)數(shù)解與,則稱點(diǎn)(%,

〃與))為函數(shù)〃尤)=混+加+5+”("0)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次

函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.設(shè)函數(shù)

99

8(力二2/一3八1,則g+…+g

Too

23

11.若(3-2x)'°=a0+atx+a2x+a3x+???+a10x'°,貝lja,+2a2+3%+4%H--F10al()=

12.若直線N=x+a是曲線y=ln(2x)的切線，則實(shí)數(shù)a=.

13.曲線y=2x—/與直線x—y+f=0相切，則，=.

四、解答題

14.求曲線f(x)=3+l過(guò)點(diǎn)(U)的切線的斜率.

15.已知函數(shù)/(x)=+,g(x)=-x2+n.

(1)若曲線y=/(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)處的公共切線為y=2x+c,求加，

〃，。的值；

(2)當(dāng)w=l時(shí)，若Vxe(T?,0),f(x)<g(x),求m的取值范圍.

16.已知函數(shù)〃x)=3f+5,求〃x)：

(1)從0」到0.2的平均變化率；

(2)在0.2處的瞬時(shí)變化率.

17.已知函數(shù)函數(shù)=爐一in(尤+2).

(1)求/(x)在(OJ(O))處的切線方程；

(2)求證：/(x)>0.

18.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)y=(x+l)lnx；

(3)y=e~xcos2x

19.已知函數(shù)/(x)=xlnx,g(x)=

⑴求曲線y=/(x)在(1,0)處的切線方程；

(2)求函數(shù)g(x)的最大值；

2

(3)當(dāng)x>0時(shí)，證明：g(x)-〃x)<一.

e

20.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-.vlnx-(2a-l).r+a-l(ae/?)?

(1)當(dāng).=0時(shí),求函數(shù)/(x)在點(diǎn)P(e,/(e))處的切線方程；

(2)對(duì)任意的xe[l,+8)函數(shù)/(x)N0恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

參考答案:

I.A

【解析】

【分析】

由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可得/(I)=2,再由導(dǎo)數(shù)的概念即可得解.

【詳解】

由題意/'(*)=—^+3/,所以r(i)=工+3=2,

x-21-2

所以1im*+&)二他=」lim川+3-川)」/⑴=]

AI。2Ax2'30Ax2v'

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)概念的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

【分析】

先根據(jù)/(此=2/(2-幻-/+8-8求出函數(shù)/(幻的解析式，然后對(duì)函數(shù)/5)進(jìn)行求導(dǎo)，進(jìn)

而可得到＞=/(x)在點(diǎn)(1,/(D)處的切線方程的斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式可求切線方程.

【詳解】

/(%)=2/(2-x)-*2+8x-8,.?"(2-x)=2/(x)-(2-+8(2-x)-8.

f(2-x)=2/(x)-x2+4x-4+16-8x-8.

將/(2—x)代入f(x)=2/(2—x)-/+8x-8,得f(x)=4/(x)-2x2-8x+8-x2+8x-8,

f(x)=x2,f'(x)=lx,

y=f(x)在(LAD)處的切線斜率為y=2,

函數(shù)y=/(X)在(1J⑴)處的切線方程為y-l=2(x-l),即y=2x-1.

故選：A.

3.D

【解析】

【分析】

答案第1頁(yè)，共12頁(yè)

先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判定出導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)；得至1」((2。15)-/(-2015)=0；進(jìn)一步求出

式子的值.

【詳解】

因?yàn)椤▁)=?sinx+加+4(a,〃eR),所以f'(x)=acosx+3bx2>

則/(x)-4=asinx+Zy?為奇函數(shù)，且/'(幻=。85》+3力1為偶函數(shù),即

/,(2015)-/(-2015)=0,所以

/(2014)+/(-2014)+/(2015)-尸(-2015)=[/(2014)-4]+"(-2014)-4]+8=8；故選

D.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)基本運(yùn)算以及奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.C

【解析】

【分析】

根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可判斷.

【詳解】

解：①：(3*)'=3、In3,所以①錯(cuò)誤；

②：(log,x)'=—二，所以②正確；

xln2

③：(e')'=e',所以③正確；

/、，

@：|—|=一一L_,所以④錯(cuò)誤；

VlnxJx(lnx)'

⑤：(xe*)'=e、+xe*,所以⑤正確；

所以求導(dǎo)運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)為3個(gè).

故選：C.

5.A

【解析】

【分析】

首先構(gòu)造函數(shù)G(x)=駕，利用導(dǎo)函數(shù)求出G(x)的解析式，即可求解不等式.

e

答案第2頁(yè)，共12頁(yè)

【詳解】

令G(x)=華,則G，(x)=''"/⑶=2x+3,

ee

可設(shè)G(x)=f+3x+c,

?/G(O)=/(O)=1,.-.0=1

所以G(X)=^=X2+3X+1

e

解不等式/(x)<5e,,即華<5,所以爐+3》+1<5

e

解得所以不等式的解集為(T，l)

故選A

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)函數(shù)解不等式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)問(wèn)題構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，此題綜合性比

較強(qiáng).

6.A

【解析】

【分析】

利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)加法公式求解即可.

【詳解】

因?yàn)?(x)=sin3x+cosx,所以f'(x)=3cos3x-sinx.

故選：A.

7.log56-1

【解析】

利用指對(duì)數(shù)互化，直接表示“，在進(jìn)行。-logs30的計(jì)算.

【詳解】

5"=6,/.a=log,6

.-.tz-log530=log56-log,30=log,—=log51=-l

故答案為：logs6；-1

8.24042

【解析】

答案第3頁(yè)，共12頁(yè)

【分析】

先令X=0,求出。0，再令X=l,可求出4+4+〃2+…+。2021的值，從而可求出

+。2+%+…+。202/，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后令X=1可求出4+2。2+3〃3+…+2021O2021的值

【詳解】

解：令X=0,則〃o=(—1嚴(yán)21=一1,

2021

令x=l,!?!|f(1)=(2—I)=aQ+al+a2-i---⑼，得了+4+出^-----卜。2021=1，

所以q+4+。3T-----卜%02i=1+1=2,

由f(X)=(2%—1)~°」=QQ+d^X+藥廠+??,+。202132021,

202()

得f'(x)=4042(2%_1)2°2°=4+2a2x+???+2021a2()21x,

令x=1,則/'⑴=4042x(2—I)?。?。=+2%+…+2021%⑼，

以4+2。1+3a③+?,?+2021^2021=4042,

故答案為：2,4042

271

9.

2x4-34

【解析】

【分析】

利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再將點(diǎn)的x值代入求得導(dǎo)數(shù)的值,

即可由導(dǎo)數(shù)的斜率算出傾斜角.

【詳解】

10

解：令M=2X+3則y=lnw,y=(lnw)(2x+3)=—*2=-——-

i2所以函數(shù)y=ln（2x+3）的圖象在點(diǎn)信,回處的切線的斜率為

當(dāng)時(shí)，y,=—=1

23-1

1，所以傾斜角為?.

4

271

故答案為：----7

2x+34

10.49-

2

【解析】

答案第4頁(yè)，共12頁(yè)

【分析】

先求出函數(shù)g(x)的“拐點(diǎn)”，從而知道函數(shù)g(x)的對(duì)稱中心為(；,；)，得到

g(l-x)+g(x)=l,進(jìn)而知道」-+8-=2+%=4951

=—+—=1,即可得出答案.

')\)100100100100100100

【詳解】

依題意得，g'(x)=6f—6x,g"(x)=12x—6,令g"(x)=0,得x=；，

：=函數(shù)g(x)的對(duì)稱中心為［；，［)，則g(l-x)+g(x)=l,

1992984951

,?++=------1------=1，

100100100100100100

島卜島卜島卜g假卜…=g(哥)+g島卜1

(卷)+g儒卜…+g儒)

=49+-=49-,

22

故答案為49；.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及應(yīng)用、函數(shù)的對(duì)稱性、數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于難題.本

題將求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題解答是解題的關(guān)鍵.

11.-20

【解析】

【分析】

先對(duì)原等式兩邊求導(dǎo)，然后令x=l可求出答案.

【詳解】

29

對(duì)原等式兩邊求導(dǎo)，得-20(3-2x)9=q+2a2x+3a3x+-+10?10x,

令x=1,得4+2a2+3a3+4%+…+10al0=-20.

故答案為：-20.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用賦值法求二項(xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)和，考查求導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求

答案第5頁(yè)，共12頁(yè)

解能力與推理能力，屬于中檔題.

12.-l+ln2

【解析】

【分析】

先求得曲線的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切線方程的斜率可求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再代入

曲線方程即可求得切點(diǎn)縱坐標(biāo)，將切點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程即可求得。的值.

【詳解】

曲線y=ln(2x),則y=_Lx(2xy=L,

2xx

直線y=x+a是曲線y=ln(2x)的切線，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，k=\=~,

X

所以切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X=1,代入曲線方程可知縱坐標(biāo)為y=ln(2xl)=ln2,

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,山2),

代入直線方程可得In2=1+a,

解得a=-l+ln2,

故答案為：T+ln2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義的簡(jiǎn)單應(yīng)用，由切線方程求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

13.-1

【解析】

先求的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)切線的斜率等于切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，求得切點(diǎn)坐標(biāo)，代入切線方程，求

得，的值.

【詳解】

；y=2x-e、，二歹=2-/,切線x-y+f=0的斜率為&=1,

設(shè)切點(diǎn)P(.xo,yo),

令y'屋=2—/=1,解得與=0,代入函數(shù)解析表達(dá)式得%=2x0-e0=-1,

???切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-1),代入切線方程x-y+r=0中得到0+l+f=0,解得f=-l,

故答案為：-L

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，關(guān)鍵是掌握函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該

答案第6頁(yè)，共12頁(yè)

F■）=%

點(diǎn)處切線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)(用,%),切線的斜率為4,則滿足:

f'M=k'

14.0或一.

4

【解析】

【分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義以及幾何意義得切線斜率.

【詳解】

解：設(shè)過(guò)點(diǎn)(1/)的切線與y=/+i相切于點(diǎn)P(/X+1),

貝I］包_（Xo+Ar）'+l-（x；+l）_3工2+3/3）2+（AX）3

AxAxAx

=+3x（）Ax+（AO?，

當(dāng)Ar趨于0時(shí),r(%)=3年.

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率為％=3*.①

又???過(guò)點(diǎn)(1,1)的切線的斜率左=其百口，②

???由①②，得34=工，解得%=0或x°=。，.?.％=()或人=與,

%-124

77

曲線y=d+i過(guò)點(diǎn)(1,1)的切線的斜率為0或9.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)定義以及導(dǎo)數(shù)幾何意義，考查基本求解能力，屬基礎(chǔ)題.

15.(1)m=-\,n=\,c—2.(2)(-l,+°o)

【解析】

【詳解】

(1)設(shè)它們的公共交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為而，

則呼+叫=-XO2+〃=2XO+C(*).

2

f(x)-^+mx,則尸(%)=3幺+m,2=3x0+/n@；

答案第7頁(yè)，共12頁(yè)

g(x)=-x2+n,則g'(x)=-2x,2=-2%②.

由②得外)=一1,由①得加=一1.

將不)=-1'機(jī)=一1代入(*)得〃一1=—2+c=0,?,*/?=1>c=2.

(2)由/(x)<g(x),得X，+爾v—+］,

即m>-x-x2+，在XE(-OO,0)上恒成立，

^?/2(X)=-X-X2+—(XG(-QO,0)),

則力，(X)=_1_2X_二=二=(一」-(),一(丁+1)=(x+l)(-2f+l),

xX2X2X2

其中-2/+工-1<0在XW(YO,0)上恒成立，

二/i(x)在(一，-1)上單調(diào)遞增，在(TO)上單調(diào)遞減，

則Mx)max=MT)=T，二心一］

故”的取值范圍是(-1,+8).

16.(1)0.9；(2)1.2

【解析】

【分析】

(1)代入公式直接求0」到0.2的平均變化率即可得出結(jié)果；

(2)先求/(毛+以)-/(%)的值，再求〃/+一)一/1。)即可得出結(jié)果.

Ax

【詳解】

(1)因?yàn)椤▁)=3f+5,

所以從0.1到0.2的平均變化率為邳空W四士=0.9.

0.2-0.1

(2)f(xo+Ax)—f(xo)=3(xo+Ax)2+5一(3x：+5)

22

=3x()+6xoAx+3(Ax)+5—3x：—5==6xoAx+3(Ar),

所以函數(shù),/(x)在區(qū)間［xo,x0+Ar］上的平均變化率為：

答案第8頁(yè)，共12頁(yè)

62+3QY=6切+3Ar.

Ar

所以在0.2處的瞬時(shí)變化率為蜘(6XO.2+3AX)=1.2.

17.(1)y=gx+l-ln2；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1)求出的導(dǎo)函數(shù),由i=r(o),可得答案.

(2)求出f(x)的導(dǎo)函數(shù)，討論出函數(shù)f(x)的單調(diào)性，得出其最小值，可證明.

【詳解】

(1)解：/"―二，

x+2

當(dāng)x=o時(shí)，％=r(o)=g,

又“0)=l-ln2,

所以切線方程為y-(l-ln2)=gx,即y=gx+l-ln2.

(2)解：/(幻="一號(hào)在區(qū)間(-2,e)上單調(diào)遞增，

又r(-i)<o,r(o)>o,

故/'(X)=0在區(qū)間(—2,一)上有唯一實(shí)根X.,且為e(-l,0),

當(dāng)xe(-2,/)時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)xe(%，+<?)時(shí)，f\x)>0,

從而當(dāng)x=/時(shí)，f(x)取得最小值.

由/'(%)=0,得*=三7，ln(xo+2)=fo，

玉)十N

故/(幻2](與)=-^+/=0。+?>0.

【點(diǎn)睛】

本題考查求函數(shù)在某點(diǎn)出的切線方程和利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.解答本題的關(guān)鍵是由

廣⑴=鎮(zhèn)一力在區(qū)間(―2,位)上單調(diào)遞增，得出了'(X)=0在區(qū)間(一2,內(nèi))上有唯一實(shí)根

%,從而得出f(x)的單調(diào)區(qū)，即/"(x)2f(Xo)=」一+x0=D,屬于中檔題.

尤o+2%+2

答案第9頁(yè)，共12頁(yè)

X+]xcosx-2sinx

18.(1)yr=\nx+-----；(2)y；(3)y=-e~xcos2x-2e~xsin2x.

xx3

【解析】

【分析】

利用求導(dǎo)公式和法則直接求解即可

【詳解】

(1)由y=(x+l)lnx,得

y=(x+l)lnx+(x+l)(lnx)

=lnx+(x+l)—=+,

xx

，八,sinx

(2)由y=^,得

x

22

(sinx)x-sinx-(x)xcosx-2sinx

y=

(3)由y=e~xcos2x,得

y=("*)cos2x+e~x(cos2x)

=—e~xcos2x—2e~xsin2x

19.(l)y=x-l

(2)-

e

(3)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接求切線方程；

(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得最大值；

(3)若證需證g(x)a-/(x)"ull<?，分別計(jì)算函數(shù)“X)與g(x)的最

值.

(1)

由/,(x)=lnx+l,

得廣(1)=1,所以曲線曠=〃*)在(1,0)處的切線方程：>'=%-1；

答案第10頁(yè)，共12頁(yè)

(2)

由《(》)=￡；,可知：

當(dāng)xe(-8,l)時(shí)，g?x)>0,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(l,+co)時(shí)，g<x)vO,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；

所以當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)g(x)取得最大值是1；

e

(3)

由(1)矢口/'(x)=lnx+l,

當(dāng)時(shí)，/^x)<0,此時(shí)函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(：,+8)時(shí)，此時(shí)函數(shù)“X)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=：時(shí)，函數(shù)/(x)取得最小值-g,

由(2)知，上=1時(shí),g(x)取得最大值L

e

故g(X)-/(X)wg(x