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文檔簡介
2024-2025學年天津市和平區(qū)第一中學高三1月月考(期末)數(shù)學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù).下列命題:①函數(shù)的圖象關于原點對稱;②函數(shù)是周期函數(shù);③當時,函數(shù)取最大值;④函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒有公共點,其中正確命題的序號是()A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④2.已知函數(shù)的圖像與一條平行于軸的直線有兩個交點,其橫坐標分別為,則()A. B. C. D.3.已知函數(shù)為奇函數(shù),則()A. B.1 C.2 D.34.設,分別是橢圓的左、右焦點,過的直線交橢圓于,兩點,且,,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.5.對兩個變量進行回歸分析,給出如下一組樣本數(shù)據(jù):,,,,下列函數(shù)模型中擬合較好的是()A. B. C. D.6.已知直線:與橢圓交于、兩點,與圓:交于、兩點.若存在,使得,則橢圓的離心率的取值范圍為()A. B. C. D.7.已知函數(shù)且的圖象恒過定點,則函數(shù)圖象以點為對稱中心的充要條件是()A. B.C. D.8.已知函數(shù),若對任意,都有成立,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.9.若復數(shù),,其中是虛數(shù)單位,則的最大值為()A. B. C. D.10.若復數(shù)是純虛數(shù),則實數(shù)的值為()A.或 B. C. D.或11.已知邊長為4的菱形,,為的中點,為平面內一點,若,則()A.16 B.14 C.12 D.812.若sin(α+3π2A.-12 B.-13二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.平面直角坐標系中,O為坐標原點,己知A(3,1),B(-1,3),若點C滿足,其中α,β∈R,且α+β=1,則點C的軌跡方程為14.已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2,點P是上底面15.設為偶函數(shù),且當時,;當時,.關于函數(shù)的零點,有下列三個命題:①當時,存在實數(shù)m,使函數(shù)恰有5個不同的零點;②若,函數(shù)的零點不超過4個,則;③對,,函數(shù)恰有4個不同的零點,且這4個零點可以組成等差數(shù)列.其中,正確命題的序號是_______.16.已知向量,且,則實數(shù)的值是__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列的前項和為,且滿足,各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,求數(shù)列的前項和18.(12分)棉花的纖維長度是評價棉花質量的重要指標,某農科所的專家在土壤環(huán)境不同的甲、乙兩塊實驗地分別種植某品種的棉花,為了評價該品種的棉花質量,在棉花成熟后,分別從甲、乙兩地的棉花中各隨機抽取21根棉花纖維進行統(tǒng)計,結果如下表:(記纖維長度不低于311的為“長纖維”,其余為“短纖維”)纖維長度甲地(根數(shù))34454乙地(根數(shù))112116(1)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù),填寫下面列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤概率不超過1.125的前提下認為“纖維長度與土壤環(huán)境有關系”.甲地乙地總計長纖維短纖維總計附:(1);(2)臨界值表;1.111.151.1251.1111.1151.1112.7163.8415.1246.6357.87911.828(2)現(xiàn)從上述41根纖維中,按纖維長度是否為“長纖維”還是“短纖維”采用分層抽樣的方法抽取8根進行檢測,在這8根纖維中,記乙地“短纖維”的根數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望.19.(12分)已知函數(shù),將的圖象向左移個單位,得到函數(shù)的圖象.(1)若,求的單調區(qū)間;(2)若,的一條對稱軸是,求在的值域.20.(12分)已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,其前項和為,滿足,且成等差數(shù)列.(1)求的通項公式;(2)若數(shù)列滿足,求的值.21.(12分)如圖,四棱錐中,平面平面,若,四邊形是平行四邊形,且.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)若點在線段上,且平面,,,求二面角的余弦值.22.(10分)在平面直角坐標系xoy中,以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系。已知曲線C的極坐標方程為,過點的直線l的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線l與曲線C交于M、N兩點。(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程:(2)若成等比數(shù)列,求a的值。
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
根據(jù)奇偶性的定義可判斷出①正確;由周期函數(shù)特點知②錯誤;函數(shù)定義域為,最值點即為極值點,由知③錯誤;令,在和兩種情況下知均無零點,知④正確.【詳解】由題意得:定義域為,,為奇函數(shù),圖象關于原點對稱,①正確;為周期函數(shù),不是周期函數(shù),不是周期函數(shù),②錯誤;,,不是最值,③錯誤;令,當時,,,,此時與無交點;當時,,,,此時與無交點;綜上所述:與無交點,④正確.故選:.本題考查函數(shù)與導數(shù)知識的綜合應用,涉及到函數(shù)奇偶性和周期性的判斷、函數(shù)最值的判斷、兩函數(shù)交點個數(shù)問題的求解;本題綜合性較強,對于學生的分析和推理能力有較高要求.2.A【解析】
畫出函數(shù)的圖像,函數(shù)對稱軸方程為,由圖可得與關于對稱,即得解.【詳解】函數(shù)的圖像如圖,對稱軸方程為,,又,由圖可得與關于對稱,故選:A本題考查了正弦型函數(shù)的對稱性,考查了學生綜合分析,數(shù)形結合,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.3.B【解析】
根據(jù)整體的奇偶性和部分的奇偶性,判斷出的值.【詳解】依題意是奇函數(shù).而為奇函數(shù),為偶函數(shù),所以為偶函數(shù),故,也即,化簡得,所以.故選:B本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值,屬于基礎題.4.C【解析】
根據(jù)表示出線段長度,由勾股定理,解出每條線段的長度,再由勾股定理構造出關系,求出離心率.【詳解】設,則由橢圓的定義,可以得到,在中,有,解得在中,有整理得,故選C項.本題考查幾何法求橢圓離心率,是求橢圓離心率的一個常用方法,通過幾何關系,構造出關系,得到離心率.屬于中檔題.5.D【解析】
作出四個函數(shù)的圖象及給出的四個點,觀察這四個點在靠近哪個曲線.【詳解】如圖,作出A,B,C,D中四個函數(shù)圖象,同時描出題中的四個點,它們在曲線的兩側,與其他三個曲線都離得很遠,因此D是正確選項,故選:D.本題考查回歸分析,擬合曲線包含或靠近樣本數(shù)據(jù)的點越多,說明擬合效果好.6.A【解析】
由題意可知直線過定點即為圓心,由此得到坐標的關系,再根據(jù)點差法得到直線的斜率與坐標的關系,由此化簡并求解出離心率的取值范圍.【詳解】設,且線過定點即為的圓心,因為,所以,又因為,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所以.故選:A.本題考查橢圓與圓的綜合應用,著重考查了橢圓離心率求解以及點差法的運用,難度一般.通過運用點差法達到“設而不求”的目的,大大簡化運算.7.A【解析】
由題可得出的坐標為,再利用點對稱的性質,即可求出和.【詳解】根據(jù)題意,,所以點的坐標為,又,所以.故選:A.本題考查指數(shù)函數(shù)過定點問題和函數(shù)對稱性的應用,屬于基礎題.8.D【解析】
先將所求問題轉化為對任意恒成立,即得圖象恒在函數(shù)圖象的上方,再利用數(shù)形結合即可解決.【詳解】由得,由題意函數(shù)得圖象恒在函數(shù)圖象的上方,作出函數(shù)的圖象如圖所示過原點作函數(shù)的切線,設切點為,則,解得,所以切線斜率為,所以,解得.故選:D.本題考查導數(shù)在不等式恒成立中的應用,考查了學生轉化與化歸思想以及數(shù)形結合的思想,是一道中檔題.9.C【解析】
由復數(shù)的幾何意義可得表示復數(shù),對應的兩點間的距離,由兩點間距離公式即可求解.【詳解】由復數(shù)的幾何意義可得,復數(shù)對應的點為,復數(shù)對應的點為,所以,其中,故選C本題主要考查復數(shù)的幾何意義,由復數(shù)的幾何意義,將轉化為兩復數(shù)所對應點的距離求值即可,屬于基礎題型.10.C【解析】試題分析:因為復數(shù)是純虛數(shù),所以且,因此注意不要忽視虛部不為零這一隱含條件.考點:純虛數(shù)11.B【解析】
取中點,可確定;根據(jù)平面向量線性運算和數(shù)量積的運算法則可求得,利用可求得結果.【詳解】取中點,連接,,,即.,,,則.故選:.本題考查平面向量數(shù)量積的求解問題,涉及到平面向量的線性運算,關鍵是能夠將所求向量進行拆解,進而利用平面向量數(shù)量積的運算性質進行求解.12.B【解析】
由三角函數(shù)的誘導公式和倍角公式化簡即可.【詳解】因為sinα+3π2=3故選B本題考查了三角函數(shù)的誘導公式和倍角公式,靈活掌握公式是關鍵,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)向量共線定理得A,B,C三點共線,再根據(jù)點斜式得結果【詳解】因為,且α+β=1,所以A,B,C三點共線,因此點C的軌跡為直線AB:本題考查向量共線定理以及直線點斜式方程,考查基本分析求解能力,屬中檔題.14.π.【解析】
設三棱錐P-ABC的外接球為球O',分別取AC、A1C1的中點O、O1,先確定球心O'在線段AC和A1C1中點的連線上,先求出球O【詳解】如圖所示,設三棱錐P-ABC的外接球為球O'分別取AC、A1C1的中點O、O1由于正方體ABCD-A則△ABC的外接圓的半徑為OA=2設球O的半徑為R,則4πR2=所以,OO則O而點P在上底面A1B1由于O'P=R=41因此,點P所構成的圖形的面積為π×O本題考查三棱錐的外接球的相關問題,根據(jù)立體幾何中的線段關系求動點的軌跡,屬于中檔題.15.①②③【解析】
根據(jù)偶函數(shù)的圖象關于軸對稱,利用已知中的條件作出偶函數(shù)的圖象,利用圖象對各個選項進行判斷即可.【詳解】解:當時又因為為偶函數(shù)可畫出的圖象,如下所示:可知當時有5個不同的零點;故①正確;若,函數(shù)的零點不超過4個,即,與的交點不超過4個,時恒成立又當時,在上恒成立在上恒成立由于偶函數(shù)的圖象,如下所示:直線與圖象的公共點不超過個,則,故②正確;對,偶函數(shù)的圖象,如下所示:,使得直線與恰有4個不同的交點點,且相鄰點之間的距離相等,故③正確.故答案為:①②③本題考查函數(shù)方程思想,數(shù)形結合思想,屬于難題.16.【解析】∵=(1,2),=(x,1),則=+2=(1,2)+2(x,1)=(1+2x,4),=2﹣=2(1,2)﹣(x,1)=(2﹣x,3),∵∴3(1+2x)﹣4(2﹣x)=1,解得:x=.點睛:由向量的數(shù)乘和坐標加減法運算求得,然后利用向量共線的坐標表示列式求解x的值.若=(a1,a2),=(b1,b2),則⊥?a1a2+b1b2=1,∥?a1b2﹣a2b1=1.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)【解析】
(1)由化為,利用數(shù)列的通項公式和前n項和的關系,得到是首項為,公差為的等差數(shù)列求解.(2)由(1)得到,再利用錯位相減法求解.【詳解】(1)可以化為,,,,又時,數(shù)列從開始成等差數(shù)列,,代入得是首項為,公差為的等差數(shù)列,,.(2)由(1)得,,,兩式相減得,,.本題主要考查數(shù)列的通項公式和前n項和的關系和錯位相減法求和,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.18.(1)在犯錯誤概率不超過的前提下認為“纖維長度與土壤環(huán)境有關系”.(2)見解析【解析】試題分析:(1)可以根據(jù)所給表格填出列聯(lián)表,利用列聯(lián)表求出,結合所給數(shù)據(jù),應用獨立性檢驗知識可作出判斷;(2)寫出的所有可能取值,并求出對應的概率,可列出分布列并進一步求出的數(shù)學期望.試題解析:(Ⅰ)根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表:甲地乙地總計長纖維91625短纖維11415總計212141根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),可得所以,在犯錯誤概率不超過的前提下認為“纖維長度與土壤環(huán)境有關系”.(Ⅱ)由表可知在8根中乙地“短纖維”的根數(shù)為,的可能取值為:1,1,2,3,,,,.∴的分布列為:1123∴.19.(1)增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2).【解析】
(1)由題意利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求得的解析式,然后利用余弦函數(shù)的單調性,得出結論;(2)由題意利用余弦函數(shù)的圖象的對稱性求得,再根據(jù)余弦函數(shù)的定義域和值域,得出結論.【詳解】由題意得(1)向左平移個單位得到,增區(qū)間:解不等式,解得,減區(qū)間:解不等式,解得.綜上可得,的單調增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2)由題易知,,因為的一條對稱軸是,所以,,解得,.又因為,所以,即.因為,所以,則,所以在的值域是.本題主要考查三角函數(shù)圖象變換規(guī)律,余弦函數(shù)圖象的對稱性,余弦函數(shù)的單調性和值域,屬于中檔題.20.(1)(2)【解析】
(1)由公比表示出,由成等差數(shù)列可求得,從而數(shù)列的通項公式;(2)求(1)得,然后對和式兩兩并項后利用等差數(shù)列的前項和公式可求解.【詳解】(1)∵是等比數(shù)列,且成等差數(shù)列∴,即∴,解得:或∵,∴∵∴(2)∵∴本題考查等比數(shù)列的通項公式,考查并項求和法及等差數(shù)列的項和公式.本題求數(shù)列通項公式所用方法為基本量法,求和是用并項求和法.數(shù)列的求和除公式法外,還有錯位相關法、裂項相消法、分組(并項)求和法等等.21.(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)推導出BC⊥CE,從而EC⊥平面ABCD,進而EC⊥BD,再由BD⊥AE,得BD⊥平面AEC,從而BD⊥AC,進而四邊形ABCD是菱形,由此能證明AB=AD.(Ⅱ)設AC與BD的交點為G,推導出EC//FG,取BC的中點為O,連結OD,則OD⊥BC,以O為坐標原點,以過點O且與CE平行的直線為x軸,以BC為y軸,OD為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.【詳解】(Ⅰ)證明:,即,因為平
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