2025屆成都市樹德實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三第一次暑假作業(yè)檢測(cè)試題數(shù)學(xué)試題試卷含解析

2025屆成都市樹德實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三第一次暑假作業(yè)檢測(cè)試題數(shù)學(xué)試題試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．2．中，，為的中點(diǎn)，，，則（）A． B． C． D．23．過雙曲線的左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，若與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（）A． B． C． D．4．集合，，則=()A． B．C． D．5．已知函數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)，使成立，則正數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．6．某程序框圖如圖所示，若輸出的，則判斷框內(nèi)為（）A． B． C． D．7．已知雙曲線的一條漸近線為，圓與相切于點(diǎn)，若的面積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．8．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一問題：“今有鱉臑(biēnaò)，下廣五尺，無袤；上袤四尺，無廣；高七尺.問積幾何？”該幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體外接球的表面積為()A．平方尺 B．平方尺C．平方尺 D．平方尺9．若函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．10．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，若弦的長(zhǎng)為，則（）A．2或 B．3或 C．4或 D．5或11．記的最大值和最小值分別為和．若平面向量、、，滿足，則（）A． B．C． D．12．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是___________．14．設(shè),滿足約束條件,若目標(biāo)函數(shù)的最大值為,則的最小值為______．15．已知三棱錐中，，，則該三棱錐的外接球的表面積是________.16．展開式中的系數(shù)的和大于8而小于32，則______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若正數(shù)、滿足，求證：.18．（12分）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以軸正半軸為始邊的銳角的終邊與單位圓交于點(diǎn),且點(diǎn)的縱坐標(biāo)是．（1）求的值:（2）若以軸正半軸為始邊的鈍角的終邊與單位圓交于點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求的值．19．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，直線被稱作為橢圓的一條準(zhǔn)線，點(diǎn)在橢圓上(異于橢圓左、右頂點(diǎn))，過點(diǎn)作直線與橢圓相切，且與直線相交于點(diǎn).（1）求證：.（2）若點(diǎn)在軸的上方，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線的斜率.附：多項(xiàng)式因式分解公式：20．（12分）某公園準(zhǔn)備在一圓形水池里設(shè)置兩個(gè)觀景噴泉，觀景噴泉的示意圖如圖所示，兩點(diǎn)為噴泉，圓心為的中點(diǎn)，其中米，半徑米，市民可位于水池邊緣任意一點(diǎn)處觀賞．（1）若當(dāng)時(shí)，，求此時(shí)的值；（2）設(shè)，且．（i）試將表示為的函數(shù)，并求出的取值范圍；（ii）若同時(shí)要求市民在水池邊緣任意一點(diǎn)處觀賞噴泉時(shí)，觀賞角度的最大值不小于，試求兩處噴泉間距離的最小值．21．（12分）在中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）若，求邊上的高.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），圓的方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求和的極坐標(biāo)方程；（2）過且傾斜角為的直線與交于點(diǎn)，與交于另一點(diǎn)，若，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求得的坐標(biāo)得出答案.【詳解】解：，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：A.本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．2．D【解析】

在中，由正弦定理得；進(jìn)而得，在中，由余弦定理可得.【詳解】在中，由正弦定理得，得，又，所以為銳角，所以，，在中，由余弦定理可得，.故選：D本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.3．A【解析】

直線的方程為，令，得，得到a,b的關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)求解即可【詳解】直線的方程為，令，得.因?yàn)?，所以，只有選項(xiàng)滿足條件.故選：A本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查運(yùn)算求解能力.4．C【解析】

先化簡(jiǎn)集合A,B，結(jié)合并集計(jì)算方法，求解，即可．【詳解】解得集合，所以，故選C．本道題考查了集合的運(yùn)算，考查了一元二次不等式解法，關(guān)鍵化簡(jiǎn)集合A,B，難度較?。?．A【解析】

根據(jù)實(shí)數(shù)滿足的等量關(guān)系，代入后將方程變形，構(gòu)造函數(shù)，并由導(dǎo)函數(shù)求得的最大值；由基本不等式可求得的最小值，結(jié)合存在性問題的求法，即可求得正數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)，，由題意得，即，令，∴，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴，∴.故選：A.本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，由基本不等式求函數(shù)的最值，存在性成立問題的解法，屬于中檔題.6．C【解析】程序在運(yùn)行過程中各變量值變化如下表：KS是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557是第五圈6120否故退出循環(huán)的條件應(yīng)為k>5?本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：使用循環(huán)結(jié)構(gòu)尋數(shù)時(shí)，要明確數(shù)字的結(jié)構(gòu)特征，決定循環(huán)的終止條件與數(shù)的結(jié)構(gòu)特征的關(guān)系及循環(huán)次數(shù)．尤其是統(tǒng)計(jì)數(shù)時(shí)，注意要統(tǒng)計(jì)的數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)與循環(huán)次數(shù)的區(qū)別．7．D【解析】

由圓與相切可知，圓心到的距離為2，即.又，由此求出的值，利用離心率公式，求出e.【詳解】由題意得，，，.故選：D.本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與圓相切的性質(zhì)，離心率的求法，屬于中檔題.8．A【解析】

根據(jù)三視圖得出原幾何體的立體圖是一個(gè)三棱錐，將三棱錐補(bǔ)充成一個(gè)長(zhǎng)方體，此長(zhǎng)方體的外接球就是該三棱錐的外接球，由球的表面積公式計(jì)算可得選項(xiàng).【詳解】由三視圖可得，該幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐，為三棱錐外接球的球心，此三棱錐的外接球也是此三棱錐所在的長(zhǎng)方體的外接球，所以為的中點(diǎn)，設(shè)球半徑為，則,所以外接球的表面積，故選：A．本題考查求幾何體的外接球的表面積，關(guān)鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖，找出外接球的球心位置和半徑，屬于中檔題.9．B【解析】

求得的導(dǎo)函數(shù)，由此構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可知在上有變號(hào)零點(diǎn).由此令，利用分離常數(shù)法結(jié)合換元法，求得的取值范圍.【詳解】，設(shè)，要使在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，即在上有變號(hào)零點(diǎn)，令，則，令，則問題即在上有零點(diǎn)，由于在上遞增，所以的取值范圍是.故選：B本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查方程零點(diǎn)問題的求解策略，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.10．C【解析】

先根據(jù)弦長(zhǎng)求出直線的斜率，再利用拋物線定義可求出.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，，即，所以直線的方程為.當(dāng)直線的方程為，聯(lián)立，解得和，所以；同理，當(dāng)直線的方程為.，綜上，或.選C.本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)問題一般是利用弦長(zhǎng)公式來處理.出現(xiàn)了到焦點(diǎn)的距離時(shí)，一般考慮拋物線的定義.11．A【解析】

設(shè)為、的夾角，根據(jù)題意求得，然后建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)的軌跡方程，將和轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.【詳解】由已知可得，則，，，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，由，可得，即，化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡方程為，則，則轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，，，，轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，，.故選：A.本題考查和向量與差向量模最值的求解，將向量坐標(biāo)化，將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值問題是解答的關(guān)鍵，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.12．B【解析】

設(shè)，，利用復(fù)數(shù)幾何意義計(jì)算.【詳解】設(shè)，由已知，，所以點(diǎn)在單位圓上，而，表示點(diǎn)到的距離，故.故選：B.本題考查求復(fù)數(shù)模的最大值，其實(shí)本題可以利用不等式來解決.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

作出函數(shù)的圖象及直線，如下圖所示，因?yàn)楹瘮?shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)，所以由圖象可知，，，所以．14．【解析】

先根據(jù)條件畫出可行域,設(shè),再利用幾何意義求最值,將最大值轉(zhuǎn)化為軸上的截距,只需求出直線,過可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)取得最大值,從而得到一個(gè)關(guān)于,的等式,最后利用基本不等式求最小值即可．【詳解】解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當(dāng)直線過直線與直線的交點(diǎn)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大,即,即,而．故答案為．本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,以及利用幾何意義求最值,屬于基礎(chǔ)題．15．【解析】

將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，設(shè)，，，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，求得的值，然后利用球體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，設(shè)，，，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，由勾股定理可得，上述三個(gè)等式全部相加得，，因此，三棱錐的外接球面積為.故答案為：.本題考查三棱錐外接球表面積的計(jì)算，根據(jù)三棱錐對(duì)棱長(zhǎng)相等將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體是解答的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等題.16．4【解析】

由題意可得項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是相等的，利用題意，得出不等式組，求得結(jié)果.【詳解】觀察式子可知，，故答案為：4.該題考查的是有關(guān)二項(xiàng)式定理的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有展開式中項(xiàng)的系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題目.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）見解析【解析】

（1）等價(jià)于（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ），分別解出，再求并集即可；（2）利用基本不等式及可得，代入可得最值.【詳解】（1）等價(jià)于（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ）由（Ⅰ）得：由（Ⅱ）得：由（Ⅲ）得：.原不等式的解集為；（2），，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，.本題考查分類討論解絕對(duì)值不等式，考查三角不等式的應(yīng)用及基本不等式的應(yīng)用，是一道中檔題.18．（1）（2）【解析】

（1）依題意,任意角的三角函數(shù)的定義可知,,進(jìn)而求出．在利用余弦的和差公式即可求出.（2）根據(jù)鈍角的終邊與單位圓交于點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,得出,進(jìn)而得出,利用正弦的和差公式即可求出,結(jié)合為銳角,為鈍角,即可得出的值.【詳解】解：因?yàn)殇J角的終邊與單位圓交于點(diǎn),點(diǎn)的縱坐標(biāo)是,所以由任意角的三角函數(shù)的定義可知,．從而．（1）于是．（2）因?yàn)殁g角的終邊與單位圓交于點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,所以,從而．于是．因?yàn)闉殇J角,為鈍角,所以從而．本題本題考查正弦函數(shù)余弦函數(shù)的定義,考查正弦余弦的兩角和差公式,是基礎(chǔ)題.19．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）由得令可得，進(jìn)而得到，同理，利用數(shù)量積坐標(biāo)計(jì)算即可；（2），分，兩種情況討論即可.【詳解】（1）證明：點(diǎn)的坐標(biāo)為.聯(lián)立方程，消去后整理為有，可得，，.可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.當(dāng)時(shí)，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，，.有,故有.（2）若點(diǎn)在軸上方，因?yàn)?，所以有，由?）知①因?yàn)闀r(shí).由（1）知，由函數(shù)單調(diào)遞增，可得此時(shí).②當(dāng)時(shí)，由（1）知令由，故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，又由，故函數(shù)的最小值，函數(shù)取最小值時(shí)，可求得.由①②知，若點(diǎn)在軸上方，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，直線的斜率為.本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及到分類討論求函數(shù)的最值，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道難題.20．(1)；(2)(i)，；(ii).【解析】

（1）在中，由正弦定理可得所求；（2）（i）由余弦定理得，兩式相加可得所求解析式．（ii）在中，由余弦定理可得，根據(jù)的最大值不小于可得關(guān)于的不等式，解不等式可得所求．【詳解】（1）在中，由正弦定理得，所以，即．（2）（i）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，又所以，即．又，解得，所以所求關(guān)系式為，．（ii）當(dāng)觀賞角度的最大時(shí)，取得最小值．在中，由余弦定理可得，因?yàn)榈淖畲笾挡恍∮冢?，解得，?jīng)驗(yàn)證知，所以．即兩處噴泉間距離的最小值為．本題考查解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用，解題時(shí)要注意把條件轉(zhuǎn)化為三角形的邊或角，然后借助正余弦定理進(jìn)行求解．解題時(shí)要注意三角形邊角關(guān)系的運(yùn)用，同時(shí)還要注意所得結(jié)果要符合實(shí)際意義．21．（1）；（2）【解析】

（1）利用正弦定理將邊化成角，可得，展開并整理可得，從而可求出角；（2）由余弦定理得，進(jìn)而可得，由，可求出的值，設(shè)邊上的高為，可得的面積為，從而可求出.【詳解】（1）由題意，由正弦定理得.因?yàn)?，所以，所以，展開得，整理得.因?yàn)?，所以，故，?（2）由余弦定理得，則，得，故，故的面積為.設(shè)邊上的高為，有，故，所以邊上的