【青松雪】【高中數(shù)學(xué)】【易錯(cuò)點(diǎn)歸納總結(jié)】【專題09】直線、平面和簡單多面體（教師版）

第1頁【專題09】直線、平面、簡單多面體1、三個(gè)公理和三條推論：（1）公理一：一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．這是判斷直線在平面內(nèi)的常用方法．（2）公理二：如果兩個(gè)平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，它們有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，而且這無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)都在同一條直線上．這是判斷幾點(diǎn)共線（證這幾點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)）和三條直線共點(diǎn)（證其中兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上）的方法之一．（3）公理三：經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面．推論一：經(jīng)過直線和直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；推論二：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面；推論三：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面；公理三和三個(gè)推論是確定平面的依據(jù)．例1、在空間四點(diǎn)中，三點(diǎn)共線是四點(diǎn)共面的________條件．【答案】充分非必要例2、給出命題：①若，，，，則；②若，，，，則；③若，，則；④若、、，、、，且、、不共線，則與重合．上述命題中，真命題是________．【答案】①②④例3、長方體中中，，，在線段，上各有一點(diǎn)、，在上有一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的軌跡圖形的面積為________．【答案】242、直觀圖的畫法（斜二側(cè)畫法）：在畫直觀圖時(shí)，要注意：（1）使或，所確定的平面表示水平平面；（2）已知圖形中平行于軸和軸的線段，在直觀圖中保持長度和平行性不變，平行于軸的線段平行性不變，但在直觀圖中其長度為原來的一半．例4、用斜二測畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形為如下圖的一個(gè)正方形，則原來圖形的形狀是（）A.B.C.D.【答案】A例5、已知正的邊長為，那么的平面直觀圖的面積為________．【答案】3、空間直線的位置關(guān)系：（1）相交直線：有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；（3）異面直線：不在同一平面內(nèi)，也沒有公共點(diǎn)．例6、空間四邊形中，、、、分別是四邊上的中點(diǎn)，則直線和的位置關(guān)系________．【答案】相交例7、給出下列四個(gè)命題：①異面直線是指空間既不平行又不相交的直線；②兩異面直線、，如果平行于平面，那么不平行平面；③兩異面直線、，如果平面，那么不垂直于平面；④兩異面直線在同一平面內(nèi)的射影不可能是兩條平行直線．其中正確的命題是________．【答案】①③4、異面直線的判定：反證法和異面直線判定定理．例8、“、為異面直線”是指：①，但不平行于；②面，面且；③面，面且；④面，面；⑤不存在平面，能使面且面成立．上述結(jié)論中，正確的是________．【答案】①⑤例9、在空間四邊形中，、分別是、的中點(diǎn)，設(shè)，則與的大小關(guān)系是________．【答案】例10、若、、、順次為空間四邊形四條邊、、、的中點(diǎn)，且，，則________．【答案】50例11、如果、是異面直線，是不在、上的任意一點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論：①過點(diǎn)一定可以作直線與、都相交；②過點(diǎn)一定可以作直線與、都垂直；③過點(diǎn)一定可以作平面與、都平行；④過點(diǎn)一定可以作直線與、都平行．其中正確的結(jié)論是________．【答案】②例12、如果兩條異面直線稱作一對，那么正方體的十二條棱中異面直線的對數(shù)為________．【答案】24例13、已知平面平面，，，且，求證：、是異面直線．5、異面直線所成角的求法：（1）范圍：；（2）求法：計(jì)算異面直線所成角的關(guān)鍵是平移；通過中點(diǎn)平移、頂點(diǎn)平移以及補(bǔ)形法（把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，以便易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系）轉(zhuǎn)化為相交的兩直線的夾角．例14、正四棱錐的所有棱長相等，是的中點(diǎn)，那么異面直線與所成的角的余弦值等于________．【答案】例15、在正方體中，是側(cè)棱的中點(diǎn)，是底面的中心，是棱上的一點(diǎn)，則與所成的角的大小為________．【答案】90°例16、已知異面直線、所成的角為50°，為空間一點(diǎn)，則過且與、所成的角都是30°的直線有且僅有________條．【答案】2例17、若異面直線、所成的角為，且直線，則異面直線、所成角的范圍是________．【答案】6、異面直線的距離的概念：和兩條異面直線都垂直相交的直線叫異面直線的公垂線．兩條異面直線的公垂線有且只有一條．而和兩條異面直線都垂直的直線有無數(shù)條，因?yàn)榭臻g中，垂直不一定相交．例18、已知是矩形，沿對角線把折起，使，求證：是異面直線與的公垂線．例19、如圖，在正方體中，是異面直線與的公垂線，則由正方體的八個(gè)頂點(diǎn)所連接的直線中，與平行的直線有______條．【答案】17、兩直線平行的判定：（1）公理四：平行于同一直線的兩直線互相平行；（2）線面平行的性質(zhì)：如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交的交線和這條直線平行；（3）面面平行的性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行；（4）線面垂直的性質(zhì)：如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．8、兩直線垂直的判定：（1）轉(zhuǎn)化為證線面垂直；（2）三垂線定理及逆定理．9、直線與平面的位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)；（2）直線與平面相交；其中，如果一條直線和平面內(nèi)任何一條直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直．特別提醒：任一條直線并不等同于無數(shù)條直線；（3）直線與平面平行；其中直線與平面相交、直線與平面平行都叫作直線在平面外．例20、下列命題中，正確的是（）A．若直線平行于平面內(nèi)的一條直線，則B．若直線垂直于平面的斜線在平面內(nèi)的射影，則C．若直線垂直于平面，直線是平面的斜線，則與是異面直線D．若一個(gè)棱錐的所有側(cè)棱與底面所成的角都相等，且所有側(cè)面與底面所成的角也相等，則它一定是正棱錐【答案】D例21、正方體中，點(diǎn)在側(cè)面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總保持，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是________．【答案】線段10、直線與平面平行的判定和性質(zhì)：（1）判定：①判定定理：如果平面內(nèi)一條直線和這個(gè)平面平面平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行；②面面平行的性質(zhì)：若兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線與另一個(gè)平面平行．（2）性質(zhì)：如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交的交線和這條直線平行．在遇到線面平行時(shí)，常需作出過已知直線且與已知平面相交的輔助平面，以便運(yùn)用線面平行的性質(zhì)．例22、已知、表示平面，、表示直線，則的一個(gè)充分不必要條件是（）A．，B．，且C．且D．且【答案】D例23、正方體中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，求證：面．11、直線和平面垂直的判定和性質(zhì)：（1）判定：①如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直．②兩條平行線中有一條直線和一個(gè)平面垂直，那么另一條直線也和這個(gè)平面垂直．（2）性質(zhì)：①如果一條直線和一個(gè)平面垂直，那么這條直線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線都垂直．②如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．例24、如果命題“若，，則”不成立，那么字母、、在空間所表示的幾何圖形一定是________．【答案】、是直線，是平面例25、已知、、是直線，、是平面，下列條件中能得出直線平面的是（）A．，，其中，B．，C．，D．，【答案】D例26、為⊙的直徑，為⊙上的一點(diǎn)，面，于，于，求證：平面．12、三垂線定理及逆定理：（1）定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．（2）逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直．其作用是證兩直線異面垂直和作二面角的平面角．13、直線和平面所成的角：（1）定義：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線和這個(gè)平面所成的角．（2）范圍：；（3）求法：作出直線在平面上的射影；（4）斜線與平面所成的角的特征：斜線與平面中所有直線所成角中最小的角．例27、在正三棱柱中，已知，在棱上，，則與平面所成的角為________．【答案】例28、正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則棱與截面所成的角的余弦值是________．【答案】例29、、、是從點(diǎn)引出的三條射線，每兩條的夾角都是，則直線與平面所成角的余弦值為________．【答案】例30、若一平面與正方體的十二條棱所在直線都成相等的角，則的值為________．【答案】14、平面與平面的位置關(guān)系：（1）平行：沒有公共點(diǎn)；（2）相交：有一條公共直線．15、兩個(gè)平面平行的判定和性質(zhì)：（1）判定：一個(gè)如果平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行．（2）性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行．例31、已知、是兩個(gè)不重合的平面，在下列條件中，不能判定平面的條件是（）A．、是內(nèi)一個(gè)三角形的兩條邊，且，B．內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到的距離都相等C．、都垂直于同一條直線D．、是兩條異面直線，，，且，【答案】B例32、給出以下六個(gè)命題：①垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行；②平行于同一直線的兩個(gè)平面平行；③平行于同一平面的兩個(gè)平面平行；④與同一直線成等角的兩個(gè)平面平行；⑤一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平行，則這兩個(gè)平面平行；⑥兩個(gè)平面分別與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線平行，則這兩個(gè)平面平行．其中正確的序號是________．【答案】①③⑤例33、正方體中．①求證：平面平面；②求證：平面；③求平面與平面間的距離．【答案】16、二面角：（1）平面角的三要素：①頂點(diǎn)在棱上；②角的兩邊分別在兩個(gè)半平面內(nèi)；③角的兩邊與棱都垂直．（2）作平面角的主要方法：①定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特性；②三垂線法：過其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：過一點(diǎn)作棱的垂面，則垂面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平面角；（3）二面角的范圍：；（4）二面角的求法：①轉(zhuǎn)化為求平面角；②面積射影法：利用面積射影公式，其中為平面角的大?。畬τ谝活悰]有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其可考慮面積射影法）．例34、正方形中，二面角的大小為________．【答案】例35、將為60°的棱形沿對角線折疊，使、的距離等于，則二面角的余弦值是________．【答案】例36、正四棱柱中對角線，與側(cè)面所成的為30°，則二面角的大小為________．【答案】例37、從點(diǎn)出發(fā)引三條射線、、，每兩條的夾角都是60°，則二面角的余弦值是________．【答案】例38、二面角的平面角為120°，、，，，，，若，則的長________．【答案】2例39、為菱形，，面，且，則面與面所成的銳二面角的大小為________．【答案】17、兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)：（1）判定：①判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直；②定義法：即證兩個(gè)相交平面所成的二面角為直二面角；（2）性質(zhì)：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面．例40、三個(gè)平面兩兩垂直，它們的交線交于一點(diǎn)，到三個(gè)面的距離分別為3、4、5，則的長為________．【答案】例41、在四棱錐中，底面，底面各邊都相等，是上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)滿足________時(shí)，平面平面．【答案】例42、過引三條長度相等但不共面的線段、、，且，，求證：平面平面．例43、已知直線平面，直線平面，給出下列四個(gè)命題：①；②；③；④．其中正確的命題是________．【答案】①③例44、設(shè)、是兩條不同直線，、是兩個(gè)不同平面，給出下列四個(gè)命題：①若，，，則；②若，，則；③若，，則或；④若，，，則．其中正確的命題是________．【答案】①③④特別提醒：立體幾何中平行、垂直關(guān)系的證明的基本思路是利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即：18、空間距離的求法：立體幾何中有關(guān)角和距離的計(jì)算，要遵循“一作，二證，三計(jì)算”的原則．（1）異面直線的距離：①直接找公垂線段而求之；②轉(zhuǎn)化為求直線到平面的距離，即過其中一條直線作平面和另一條直線平行；③轉(zhuǎn)化為求平面到平面的距離，即過兩直線分別作相互平行的兩個(gè)平面．點(diǎn)到直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線再求解．（3）點(diǎn)到平面的距離：①垂面法：借助于面面垂直的性質(zhì)來作垂線，其中過已知點(diǎn)確定已知面的垂面是關(guān)鍵；②體積法：轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高；③等價(jià)轉(zhuǎn)移法．（4）直線與平面的距離：前提是直線與平面平行，利用直線上任意一點(diǎn)到平面的距離都相等，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離．（5）兩平行平面之間的距離：轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離．（6）球面距離（球面上經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度）：求球面上兩點(diǎn)、間的距離的步驟：①計(jì)算線段的長；②計(jì)算球心角的弧度數(shù)；③用弧長公式計(jì)算劣弧的長．例45、已知正方體的棱長為，則異面直線與的距離為________．【答案】例46、等邊的邊長為，是邊上的高，將沿折起，使之與所在平面成的二面角，這時(shí)點(diǎn)到的距離是________．【答案】例47、點(diǎn)是的二面角內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)到、的距離分別是3、4，則到的距離為________．【答案】例48、在正方體的側(cè)面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)到棱與棱的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)所在曲線的形狀為________．【答案】拋物線弧例49、長方體的棱，，則點(diǎn)到平面的距離等于________．【答案】例50、在棱長為的正方體中，是的中點(diǎn)，則到平面的距離為________．【答案】例51、設(shè)地球半徑為，在北緯圈上有、兩地，它們的緯度圈上的弧長等于，求、兩地間的球面距離．【答案】例52、球面上有3點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長的，經(jīng)過這3點(diǎn)的小圓的周長為，那么這個(gè)球的半徑為________．【答案】例53、三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，，，，若、、、四個(gè)點(diǎn)都在同一球面上，則此球面上兩點(diǎn)、之間的球面距離是________．【答案】19、多面體有關(guān)概念：（1）多面體：由若干個(gè)平面多邊形圍成的空間圖形叫做多面體．圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面．多面體的相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱．（2）多面體的對角線：多面體中連結(jié)不在同一面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多面體的對角線．（3）凸多面體：把一個(gè)多面體的任一個(gè)面伸展成平面，如果其余的面都位于這個(gè)平面的同一側(cè)，這樣的多面體叫做凸多面體．20、棱柱：（1）棱柱的分類：①按側(cè)棱是否與底面垂直分類：分為斜棱柱（側(cè)棱不垂直于底面）和直棱柱（側(cè)棱垂直于底面），其中底面為正多邊形的直棱柱叫正棱柱；②按底面邊數(shù)的多少分類：底面分別為三角形，四邊形，五邊形，分別稱為三棱柱，四棱柱，五棱柱，（2）棱柱的性質(zhì)：①棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等，直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形，正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形；②與底面平行的截面是與底面對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形；③過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形．例54、斜三棱柱，各棱長為，，則側(cè)面是________形，棱柱的高為________．【答案】正方；例55、下列關(guān)于四棱柱的四個(gè)命題：①若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直棱柱；②若兩個(gè)過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直棱柱；③若四個(gè)側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直棱柱；④若四棱柱的四條對角線兩兩相等，則該四棱柱為直棱柱．其中真命題的為________．【答案】②④21、平行六面體：（1）定義：底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體．（2）幾類特殊的平行六面體：平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正方體．（3）性質(zhì)：①平行六面體的任何一個(gè)面都可以作為底面；②平行六面體的對角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分；③平行六面體的四條對角線的平方和等于各棱的平方和；④長方體的一條對角線的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長的平方和．例56、長方體三度之和為，全面積為11，則其對角線為________．【答案】522、棱錐的性質(zhì)：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)至截面距離與棱錐高的平方比，截得小棱錐的體積與原來棱錐的體積比等于頂點(diǎn)至截面距離與棱錐高的立方比．例57、若一個(gè)錐體被平行于底面的平面所截，若截面面積是底面積的，則錐體被截面截得的一個(gè)小棱錐與原棱錐體積之比為________．【答案】23、正棱錐：（1）定義：如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐．特別地，側(cè)棱與底面邊長相等的正三棱錐叫做正四面體．（2）性質(zhì)：①正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高（叫側(cè)高）也相等；②正棱錐的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的內(nèi)切圓的半徑）、側(cè)棱、側(cè)棱在底面的射影（底面的外接圓的半徑）、底面的半邊長可組成四個(gè)直角三角形．如圖，正棱錐的計(jì)算集中在四個(gè)直角三角形中：、、、，其中、、、分別表示底面邊長、側(cè)棱長、側(cè)面與底面所成的角和側(cè)棱與底面所成的角．例58、四面體中，有如下命題：①若，，則；②若、、分別是、、的中點(diǎn)，則的大小等于異面直線與所成角的大??；③若點(diǎn)是四面體外接球的球心，則在面上的射影是外心；④若四個(gè)面是全等的三角形，則為正四面體．其中正確的是________．【答案】①③例59、在三棱錐的四個(gè)面中，最多有________個(gè)面為直角三角形．【答案】4例60、把四個(gè)半徑為的小球放在桌面上，使下層三個(gè)，上層一個(gè)，兩兩相切，則上層小球最高處離桌面的距離為________．【答案】24、側(cè)面積（各個(gè)側(cè)面面積之和）：（1）棱柱：側(cè)面積直截面（與各側(cè)棱都垂直相交的截面）周長側(cè)棱長，特別地，直棱柱的側(cè)面積底面周長側(cè)棱長．（2）正棱錐：正棱錐的側(cè)面積底面周長斜高．特別提醒：全面積（也稱表面積）是各個(gè)表面面積之和，故棱柱的全面積側(cè)面積底面積；棱錐的全面積側(cè)面積底面積．例61、長方體的高為，底面積為，垂直于底的對角面的面積為，則此長方體的側(cè)面積為________．【答案】例62、斜三棱柱中，二面角為120°，側(cè)棱于另外兩條棱的距離分別為7、8，，則斜三棱柱的側(cè)面積為________．【答案】336例63、若斜三棱柱的高為，側(cè)棱與底面所成的角為60°，相鄰兩側(cè)棱之間的距離都為5，則該三棱柱的側(cè)面積為________．【答案】120例64、已知正四棱錐的高為4，側(cè)棱與底面所成的角為60°，則該正四棱錐的側(cè)面積是________．【答案】例65、已知正四面體的表面積為，其四個(gè)面的中心分別為、、、．設(shè)四面體的表面積為，則等于________．【答案】25、體積：（1）棱柱：體積底面積高，或體積直截面面積側(cè)棱長，特別地，直棱柱的體積底面積側(cè)棱長；三棱柱的體積（其中為三棱柱一個(gè)側(cè)面的面積，為與此側(cè)面平行的側(cè)棱到此側(cè)面的距離）．（2）棱錐：體積底面積高．特別提醒：求多面體體積的常用技巧是：割補(bǔ)法（割補(bǔ)成易求體積的多面體．補(bǔ)形：三棱錐三棱柱平行六面體；分割：三棱柱中三棱錐、四棱錐、三棱柱的體積關(guān)系是）、等積變換法（平行換點(diǎn)、換面）和比例法（性質(zhì)轉(zhuǎn)換）等．例66、設(shè)長方體的三條棱長分別為、、，若長方體所有棱的長度之和為24，一條對角線長度為5，體積為2，則等于________．【答案】例67、斜三棱柱的底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱長為，側(cè)棱和、都成的角，則棱柱的側(cè)面積為________，體積為________．【答案】；例68、已知棱長為1的正方體容器中，在、、的中點(diǎn)、、處各開有一個(gè)小孔，若此容器可以任意放置，則裝水較多的容積（小孔面積對容積的影響忽略不計(jì)）是________．【答案】例69、在正三棱錐中，、是、的中點(diǎn)，，若，則正三棱錐的體積為________．【答案】例70、已知正三棱錐底面邊長為，體積為，則底面三角形的中心到側(cè)面的距離為________．【答案】例71、在平面幾何中有：的直角邊分別為、；斜邊上的高為，則．類比這一結(jié)論，在三棱錐中，、、兩點(diǎn)互相垂直，且、、，此三棱錐的高為，則結(jié)論為________．【答案】例72、用平面去截三棱錐，與三條側(cè)棱交于、、三點(diǎn)，若，，，，則多面體的體積為________．【答案】7例73、直三棱柱的體積為，、分別是側(cè)棱、上的點(diǎn)，且，則四棱錐的體積為________．【答案】例74、如圖的多面體中，、、兩兩垂直，平面，平面，，，則該多面體的體積為________．【答案】426、正多面體：（1）定義：每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)都有相同棱數(shù)的凸多面體，叫做正多面體．（2）正多面體的種類：只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體五種．其中正四面體、正八面體和正二十面體的每個(gè)面都是正三角形，正六面體的每個(gè)面都是正方形，正十二面體的每個(gè)面都是正五形邊，如下圖：27、球的截面的性質(zhì)：用一個(gè)平面去截球，截面是圓面；球心和截面圓的距離與球的半徑及截面圓半徑之間的關(guān)系是．特別提醒，球與球面的區(qū)別：球不僅包括球面，還包括其內(nèi)部．例75、在半徑為10的球面上有、、三點(diǎn)，如果，，則球心到平面的距離為________．【答案】6例76、已知球面上的三點(diǎn)、、，，，，球的半徑為13，則球心到平面的距離為________．【答案】1228、球的體積和表面積公式：，．例77、在球內(nèi)有相距9的兩個(gè)平行截面，面積分別為、，則球的表面積為________．【答案】例78、三條側(cè)棱兩兩垂直且長都為1的三棱錐內(nèi)接于球，求球的表面積與體積．【答案】表面積；體積例79、已知直平行六面體的各條棱長均為3，，長為2的線段的一個(gè)端點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，另一端點(diǎn)在底面上運(yùn)動(dòng)，則的中點(diǎn)的軌跡（曲面）與共一頂點(diǎn)的三個(gè)面所圍成的幾何體的體積為為________．