【青松雪】【高中數學】【易錯點歸納總結】【專題09】直線、平面和簡單多面體（教師版）

第1頁【專題09】直線、平面、簡單多面體1、三個公理和三條推論：（1）公理一：一條直線的兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有的點都在這個平面內．這是判斷直線在平面內的常用方法．（2）公理二：如果兩個平面有兩個公共點，它們有無數個公共點，而且這無數個公共點都在同一條直線上．這是判斷幾點共線（證這幾點是兩個平面的公共點）和三條直線共點（證其中兩條直線的交點在第三條直線上）的方法之一．（3）公理三：經過不在同一直線上的三點有且只有一個平面．推論一：經過直線和直線外一點有且只有一個平面；推論二：經過兩條相交直線有且只有一個平面；推論三：經過兩條平行直線有且只有一個平面；公理三和三個推論是確定平面的依據．例1、在空間四點中，三點共線是四點共面的________條件．【答案】充分非必要例2、給出命題：①若，，，，則；②若，，，，則；③若，，則；④若、、，、、，且、、不共線，則與重合．上述命題中，真命題是________．【答案】①②④例3、長方體中中，，，在線段，上各有一點、，在上有一點，且，則點的軌跡圖形的面積為________．【答案】242、直觀圖的畫法（斜二側畫法）：在畫直觀圖時，要注意：（1）使或，所確定的平面表示水平平面；（2）已知圖形中平行于軸和軸的線段，在直觀圖中保持長度和平行性不變，平行于軸的線段平行性不變，但在直觀圖中其長度為原來的一半．例4、用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形為如下圖的一個正方形，則原來圖形的形狀是（）A.B.C.D.【答案】A例5、已知正的邊長為，那么的平面直觀圖的面積為________．【答案】3、空間直線的位置關系：（1）相交直線：有且只有一個公共點；（2）平行直線：在同一平面內，沒有公共點；（3）異面直線：不在同一平面內，也沒有公共點．例6、空間四邊形中，、、、分別是四邊上的中點，則直線和的位置關系________．【答案】相交例7、給出下列四個命題：①異面直線是指空間既不平行又不相交的直線；②兩異面直線、，如果平行于平面，那么不平行平面；③兩異面直線、，如果平面，那么不垂直于平面；④兩異面直線在同一平面內的射影不可能是兩條平行直線．其中正確的命題是________．【答案】①③4、異面直線的判定：反證法和異面直線判定定理．例8、“、為異面直線”是指：①，但不平行于；②面，面且；③面，面且；④面，面；⑤不存在平面，能使面且面成立．上述結論中，正確的是________．【答案】①⑤例9、在空間四邊形中，、分別是、的中點，設，則與的大小關系是________．【答案】例10、若、、、順次為空間四邊形四條邊、、、的中點，且，，則________．【答案】50例11、如果、是異面直線，是不在、上的任意一點，下列四個結論：①過點一定可以作直線與、都相交；②過點一定可以作直線與、都垂直；③過點一定可以作平面與、都平行；④過點一定可以作直線與、都平行．其中正確的結論是________．【答案】②例12、如果兩條異面直線稱作一對，那么正方體的十二條棱中異面直線的對數為________．【答案】24例13、已知平面平面，，，且，求證：、是異面直線．5、異面直線所成角的求法：（1）范圍：；（2）求法：計算異面直線所成角的關鍵是平移；通過中點平移、頂點平移以及補形法（把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，以便易于發(fā)現兩條異面直線間的關系）轉化為相交的兩直線的夾角．例14、正四棱錐的所有棱長相等，是的中點，那么異面直線與所成的角的余弦值等于________．【答案】例15、在正方體中，是側棱的中點，是底面的中心，是棱上的一點，則與所成的角的大小為________．【答案】90°例16、已知異面直線、所成的角為50°，為空間一點，則過且與、所成的角都是30°的直線有且僅有________條．【答案】2例17、若異面直線、所成的角為，且直線，則異面直線、所成角的范圍是________．【答案】6、異面直線的距離的概念：和兩條異面直線都垂直相交的直線叫異面直線的公垂線．兩條異面直線的公垂線有且只有一條．而和兩條異面直線都垂直的直線有無數條，因為空間中，垂直不一定相交．例18、已知是矩形，沿對角線把折起，使，求證：是異面直線與的公垂線．例19、如圖，在正方體中，是異面直線與的公垂線，則由正方體的八個頂點所連接的直線中，與平行的直線有______條．【答案】17、兩直線平行的判定：（1）公理四：平行于同一直線的兩直線互相平行；（2）線面平行的性質：如果一條直線和一個平面平行，那么經過這條直線的平面和這個平面相交的交線和這條直線平行；（3）面面平行的性質：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行；（4）線面垂直的性質：如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行．8、兩直線垂直的判定：（1）轉化為證線面垂直；（2）三垂線定理及逆定理．9、直線與平面的位置關系：（1）直線在平面內；（2）直線與平面相交；其中，如果一條直線和平面內任何一條直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直．特別提醒：任一條直線并不等同于無數條直線；（3）直線與平面平行；其中直線與平面相交、直線與平面平行都叫作直線在平面外．例20、下列命題中，正確的是（）A．若直線平行于平面內的一條直線，則B．若直線垂直于平面的斜線在平面內的射影，則C．若直線垂直于平面，直線是平面的斜線，則與是異面直線D．若一個棱錐的所有側棱與底面所成的角都相等，且所有側面與底面所成的角也相等，則它一定是正棱錐【答案】D例21、正方體中，點在側面及其邊界上運動，并且總保持，則動點的軌跡是________．【答案】線段10、直線與平面平行的判定和性質：（1）判定：①判定定理：如果平面內一條直線和這個平面平面平行，那么這條直線和這個平面平行；②面面平行的性質：若兩個平面平行，則其中一個平面內的任何直線與另一個平面平行．（2）性質：如果一條直線和一個平面平行，那么經過這條直線的平面和這個平面相交的交線和這條直線平行．在遇到線面平行時，常需作出過已知直線且與已知平面相交的輔助平面，以便運用線面平行的性質．例22、已知、表示平面，、表示直線，則的一個充分不必要條件是（）A．，B．，且C．且D．且【答案】D例23、正方體中，點在上，點在上，且，求證：面．11、直線和平面垂直的判定和性質：（1）判定：①如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直．②兩條平行線中有一條直線和一個平面垂直，那么另一條直線也和這個平面垂直．（2）性質：①如果一條直線和一個平面垂直，那么這條直線和這個平面內所有直線都垂直．②如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行．例24、如果命題“若，，則”不成立，那么字母、、在空間所表示的幾何圖形一定是________．【答案】、是直線，是平面例25、已知、、是直線，、是平面，下列條件中能得出直線平面的是（）A．，，其中，B．，C．，D．，【答案】D例26、為⊙的直徑，為⊙上的一點，面，于，于，求證：平面．12、三垂線定理及逆定理：（1）定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．（2）逆定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線，那么它也和這條斜線在平面內的射影垂直．其作用是證兩直線異面垂直和作二面角的平面角．13、直線和平面所成的角：（1）定義：平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角，叫這條直線和這個平面所成的角．（2）范圍：；（3）求法：作出直線在平面上的射影；（4）斜線與平面所成的角的特征：斜線與平面中所有直線所成角中最小的角．例27、在正三棱柱中，已知，在棱上，，則與平面所成的角為________．【答案】例28、正方體中，、分別是、的中點，則棱與截面所成的角的余弦值是________．【答案】例29、、、是從點引出的三條射線，每兩條的夾角都是，則直線與平面所成角的余弦值為________．【答案】例30、若一平面與正方體的十二條棱所在直線都成相等的角，則的值為________．【答案】14、平面與平面的位置關系：（1）平行：沒有公共點；（2）相交：有一條公共直線．15、兩個平面平行的判定和性質：（1）判定：一個如果平面內有兩條相交直線和另一個平面平行，則這兩個平面平行．（2）性質：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行．例31、已知、是兩個不重合的平面，在下列條件中，不能判定平面的條件是（）A．、是內一個三角形的兩條邊，且，B．內有不共線的三點到的距離都相等C．、都垂直于同一條直線D．、是兩條異面直線，，，且，【答案】B例32、給出以下六個命題：①垂直于同一直線的兩個平面平行；②平行于同一直線的兩個平面平行；③平行于同一平面的兩個平面平行；④與同一直線成等角的兩個平面平行；⑤一個平面內的兩條相交直線于另一個平面內的兩條相交直線平行，則這兩個平面平行；⑥兩個平面分別與第三個平面相交所得的兩條交線平行，則這兩個平面平行．其中正確的序號是________．【答案】①③⑤例33、正方體中．①求證：平面平面；②求證：平面；③求平面與平面間的距離．【答案】16、二面角：（1）平面角的三要素：①頂點在棱上；②角的兩邊分別在兩個半平面內；③角的兩邊與棱都垂直．（2）作平面角的主要方法：①定義法：直接在二面角的棱上取一點（特殊點），分別在兩個半平面內作棱的垂線，得出平面角，用定義法時，要認真觀察圖形的特性；②三垂線法：過其中一個面內一點作另一個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：過一點作棱的垂面，則垂面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角；（3）二面角的范圍：；（4）二面角的求法：①轉化為求平面角；②面積射影法：利用面積射影公式，其中為平面角的大小．對于一類沒有給出棱的二面角，應先延伸兩個半平面，使之相交出現棱，然后再選用上述方法（尤其可考慮面積射影法）．例34、正方形中，二面角的大小為________．【答案】例35、將為60°的棱形沿對角線折疊，使、的距離等于，則二面角的余弦值是________．【答案】例36、正四棱柱中對角線，與側面所成的為30°，則二面角的大小為________．【答案】例37、從點出發(fā)引三條射線、、，每兩條的夾角都是60°，則二面角的余弦值是________．【答案】例38、二面角的平面角為120°，、，，，，，若，則的長________．【答案】2例39、為菱形，，面，且，則面與面所成的銳二面角的大小為________．【答案】17、兩個平面垂直的判定和性質：（1）判定：①判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直；②定義法：即證兩個相交平面所成的二面角為直二面角；（2）性質：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．例40、三個平面兩兩垂直，它們的交線交于一點，到三個面的距離分別為3、4、5，則的長為________．【答案】例41、在四棱錐中，底面，底面各邊都相等，是上的一動點，當點滿足________時，平面平面．【答案】例42、過引三條長度相等但不共面的線段、、，且，，求證：平面平面．例43、已知直線平面，直線平面，給出下列四個命題：①；②；③；④．其中正確的命題是________．【答案】①③例44、設、是兩條不同直線，、是兩個不同平面，給出下列四個命題：①若，，，則；②若，，則；③若，，則或；④若，，，則．其中正確的命題是________．【答案】①③④特別提醒：立體幾何中平行、垂直關系的證明的基本思路是利用線面關系的轉化，即：18、空間距離的求法：立體幾何中有關角和距離的計算，要遵循“一作，二證，三計算”的原則．（1）異面直線的距離：①直接找公垂線段而求之；②轉化為求直線到平面的距離，即過其中一條直線作平面和另一條直線平行；③轉化為求平面到平面的距離，即過兩直線分別作相互平行的兩個平面．點到直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線再求解．（3）點到平面的距離：①垂面法：借助于面面垂直的性質來作垂線，其中過已知點確定已知面的垂面是關鍵；②體積法：轉化為求三棱錐的高；③等價轉移法．（4）直線與平面的距離：前提是直線與平面平行，利用直線上任意一點到平面的距離都相等，轉化為求點到平面的距離．（5）兩平行平面之間的距離：轉化為求點到平面的距離．（6）球面距離（球面上經過兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度）：求球面上兩點、間的距離的步驟：①計算線段的長；②計算球心角的弧度數；③用弧長公式計算劣弧的長．例45、已知正方體的棱長為，則異面直線與的距離為________．【答案】例46、等邊的邊長為，是邊上的高，將沿折起，使之與所在平面成的二面角，這時點到的距離是________．【答案】例47、點是的二面角內的一點，點到、的距離分別是3、4，則到的距離為________．【答案】例48、在正方體的側面內有一動點到棱與棱的距離相等，則動點所在曲線的形狀為________．【答案】拋物線弧例49、長方體的棱，，則點到平面的距離等于________．【答案】例50、在棱長為的正方體中，是的中點，則到平面的距離為________．【答案】例51、設地球半徑為，在北緯圈上有、兩地，它們的緯度圈上的弧長等于，求、兩地間的球面距離．【答案】例52、球面上有3點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的，經過這3點的小圓的周長為，那么這個球的半徑為________．【答案】例53、三棱錐的三個側面兩兩垂直，，，，若、、、四個點都在同一球面上，則此球面上兩點、之間的球面距離是________．【答案】19、多面體有關概念：（1）多面體：由若干個平面多邊形圍成的空間圖形叫做多面體．圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面．多面體的相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱．（2）多面體的對角線：多面體中連結不在同一面上的兩個頂點的線段叫做多面體的對角線．（3）凸多面體：把一個多面體的任一個面伸展成平面，如果其余的面都位于這個平面的同一側，這樣的多面體叫做凸多面體．20、棱柱：（1）棱柱的分類：①按側棱是否與底面垂直分類：分為斜棱柱（側棱不垂直于底面）和直棱柱（側棱垂直于底面），其中底面為正多邊形的直棱柱叫正棱柱；②按底面邊數的多少分類：底面分別為三角形，四邊形，五邊形，分別稱為三棱柱，四棱柱，五棱柱，（2）棱柱的性質：①棱柱的各個側面都是平行四邊形，所有的側棱都相等，直棱柱的各個側面都是矩形，正棱柱的各個側面都是全等的矩形；②與底面平行的截面是與底面對應邊互相平行的全等多邊形；③過棱柱不相鄰的兩條側棱的截面都是平行四邊形．例54、斜三棱柱，各棱長為，，則側面是________形，棱柱的高為________．【答案】正方；例55、下列關于四棱柱的四個命題：①若有兩個側面垂直于底面，則該四棱柱為直棱柱；②若兩個過相對側棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直棱柱；③若四個側面兩兩全等，則該四棱柱為直棱柱；④若四棱柱的四條對角線兩兩相等，則該四棱柱為直棱柱．其中真命題的為________．【答案】②④21、平行六面體：（1）定義：底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體．（2）幾類特殊的平行六面體：平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正方體．（3）性質：①平行六面體的任何一個面都可以作為底面；②平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分；③平行六面體的四條對角線的平方和等于各棱的平方和；④長方體的一條對角線的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和．例56、長方體三度之和為，全面積為11，則其對角線為________．【答案】522、棱錐的性質：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點至截面距離與棱錐高的平方比，截得小棱錐的體積與原來棱錐的體積比等于頂點至截面距離與棱錐高的立方比．例57、若一個錐體被平行于底面的平面所截，若截面面積是底面積的，則錐體被截面截得的一個小棱錐與原棱錐體積之比為________．【答案】23、正棱錐：（1）定義：如果一個棱錐的底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐．特別地，側棱與底面邊長相等的正三棱錐叫做正四面體．（2）性質：①正棱錐的各側棱相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高（叫側高）也相等；②正棱錐的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的內切圓的半徑）、側棱、側棱在底面的射影（底面的外接圓的半徑）、底面的半邊長可組成四個直角三角形．如圖，正棱錐的計算集中在四個直角三角形中：、、、，其中、、、分別表示底面邊長、側棱長、側面與底面所成的角和側棱與底面所成的角．例58、四面體中，有如下命題：①若，，則；②若、、分別是、、的中點，則的大小等于異面直線與所成角的大??；③若點是四面體外接球的球心，則在面上的射影是外心；④若四個面是全等的三角形，則為正四面體．其中正確的是________．【答案】①③例59、在三棱錐的四個面中，最多有________個面為直角三角形．【答案】4例60、把四個半徑為的小球放在桌面上，使下層三個，上層一個，兩兩相切，則上層小球最高處離桌面的距離為________．【答案】24、側面積（各個側面面積之和）：（1）棱柱：側面積直截面（與各側棱都垂直相交的截面）周長側棱長，特別地，直棱柱的側面積底面周長側棱長．（2）正棱錐：正棱錐的側面積底面周長斜高．特別提醒：全面積（也稱表面積）是各個表面面積之和，故棱柱的全面積側面積底面積；棱錐的全面積側面積底面積．例61、長方體的高為，底面積為，垂直于底的對角面的面積為，則此長方體的側面積為________．【答案】例62、斜三棱柱中，二面角為120°，側棱于另外兩條棱的距離分別為7、8，，則斜三棱柱的側面積為________．【答案】336例63、若斜三棱柱的高為，側棱與底面所成的角為60°，相鄰兩側棱之間的距離都為5，則該三棱柱的側面積為________．【答案】120例64、已知正四棱錐的高為4，側棱與底面所成的角為60°，則該正四棱錐的側面積是________．【答案】例65、已知正四面體的表面積為，其四個面的中心分別為、、、．設四面體的表面積為，則等于________．【答案】25、體積：（1）棱柱：體積底面積高，或體積直截面面積側棱長，特別地，直棱柱的體積底面積側棱長；三棱柱的體積（其中為三棱柱一個側面的面積，為與此側面平行的側棱到此側面的距離）．（2）棱錐：體積底面積高．特別提醒：求多面體體積的常用技巧是：割補法（割補成易求體積的多面體．補形：三棱錐三棱柱平行六面體；分割：三棱柱中三棱錐、四棱錐、三棱柱的體積關系是）、等積變換法（平行換點、換面）和比例法（性質轉換）等．例66、設長方體的三條棱長分別為、、，若長方體所有棱的長度之和為24，一條對角線長度為5，體積為2，則等于________．【答案】例67、斜三棱柱的底面是邊長為的正三角形，側棱長為，側棱和、都成的角，則棱柱的側面積為________，體積為________．【答案】；例68、已知棱長為1的正方體容器中，在、、的中點、、處各開有一個小孔，若此容器可以任意放置，則裝水較多的容積（小孔面積對容積的影響忽略不計）是________．【答案】例69、在正三棱錐中，、是、的中點，，若，則正三棱錐的體積為________．【答案】例70、已知正三棱錐底面邊長為，體積為，則底面三角形的中心到側面的距離為________．【答案】例71、在平面幾何中有：的直角邊分別為、；斜邊上的高為，則．類比這一結論，在三棱錐中，、、兩點互相垂直，且、、，此三棱錐的高為，則結論為________．【答案】例72、用平面去截三棱錐，與三條側棱交于、、三點，若，，，，則多面體的體積為________．【答案】7例73、直三棱柱的體積為，、分別是側棱、上的點，且，則四棱錐的體積為________．【答案】例74、如圖的多面體中，、、兩兩垂直，平面，平面，，，則該多面體的體積為________．【答案】426、正多面體：（1）定義：每個面都是有相同邊數的正多邊形，每個頂點為端點都有相同棱數的凸多面體，叫做正多面體．（2）正多面體的種類：只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體五種．其中正四面體、正八面體和正二十面體的每個面都是正三角形，正六面體的每個面都是正方形，正十二面體的每個面都是正五形邊，如下圖：27、球的截面的性質：用一個平面去截球，截面是圓面；球心和截面圓的距離與球的半徑及截面圓半徑之間的關系是．特別提醒，球與球面的區(qū)別：球不僅包括球面，還包括其內部．例75、在半徑為10的球面上有、、三點，如果，，則球心到平面的距離為________．【答案】6例76、已知球面上的三點、、，，，，球的半徑為13，則球心到平面的距離為________．【答案】1228、球的體積和表面積公式：，．例77、在球內有相距9的兩個平行截面，面積分別為、，則球的表面積為________．【答案】例78、三條側棱兩兩垂直且長都為1的三棱錐內接于球，求球的表面積與體積．【答案】表面積；體積例79、已知直平行六面體的各條棱長均為3，，長為2的線段的一個端點在上運動，另一端點在底面上運動，則的中點的軌跡（曲面）與共一頂點的三個面所圍成的幾何體的體積為為________．