【青松雪】【高中數(shù)學(xué)】【易錯(cuò)點(diǎn)歸納總結(jié)】【專題10】排列、組合、二項(xiàng)式定理和概率、統(tǒng)計(jì)（教師版）

PAGE第1頁【專題10】排列、組合和二項(xiàng)式定理1、排列數(shù)中，、，組合數(shù)中，，，、．（1）排列數(shù)公式：（）；．（2）組合數(shù)公式：（）；規(guī)定，．（3）排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì)：①；②；③；④；⑤；⑥．例1、（，）的個(gè)位數(shù)字為_________．【答案】3例2、滿足的_________．【答案】8例3、已知，求、的值．【答案】2、解排列組合問題的依據(jù)是：加法原理（分類相加：每類方法都能獨(dú)立地完成這件事，它是相互獨(dú)立的，一次的且每次得出的是最后的結(jié)果，只需一種方法就能完成這件事）；乘法原理（分步相乘：一步得出的結(jié)果都不是最后的結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立地完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成了，才能完成這件事，各步是關(guān)聯(lián)的）．有序排列，無序組合．例4、將5封信投入3個(gè)郵筒，不同的投法共有_________種．【答案】例5、從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要甲型與乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有_________種．【答案】70例6、從集合和中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則在直角坐標(biāo)系中能確定不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是_________．【答案】23例7、72的正約數(shù)（包括1和72）共有_________個(gè)．【答案】12例8、的一邊上有4個(gè)點(diǎn)，另一邊上有5個(gè)點(diǎn)，連同的頂點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以構(gòu)成_________個(gè)三角形．【答案】90例9、用六種不同顏色把右圖中、、、四塊區(qū)域分開，允許同一顏色涂不同區(qū)域，但相鄰區(qū)域不能是同一種顏色，則共有_________種不同涂法．【答案】480例10、同室4人各寫1張賀年卡，然后每人從中拿1張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式有_________種．【答案】9例11、是集合到集合的映射，且，則不同的映射共有_________個(gè)．【答案】7例12、滿足的集合、、共有_________組．【答案】3、解排列組合問題的方法：（1）特殊元素、特殊位置優(yōu)先法：元素優(yōu)先法，先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法，先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置．例13、某單位準(zhǔn)備用不同花色的裝飾石材分別裝飾辦公樓中的辦公室、走廊、大廳的地面及樓的外墻，現(xiàn)有編號(hào)為1到6的6種不同花色的石材可選擇，其中1號(hào)石材有微量的放射性，不可用于辦公室內(nèi)，則不同的裝飾效果有_________種．【答案】300例14、某銀行儲(chǔ)蓄卡的密碼是一個(gè)4位數(shù)碼，某人采用千位、百位上的數(shù)字之積作為十位個(gè)位上的數(shù)字（如2816）的方法設(shè)計(jì)密碼，當(dāng)積為一位數(shù)時(shí)，十位上數(shù)字選0．千位、百位上都能取0．這樣設(shè)計(jì)出來的密碼共有_________種．【答案】100例15、用0、1、2、3、4、5這六個(gè)數(shù)字，可以組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)_________個(gè)．【答案】156例16、某班上午要上語、數(shù)、外和體育4門課，如體育不排在第一、四節(jié)；語文不排在第一、二節(jié)，則不同排課方案種數(shù)為_________．【答案】6例17、四個(gè)不同的小球全部放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒中．①恰有兩個(gè)空盒的放法有_________種；②甲球只能放入第2或3號(hào)盒，而乙球不能放入第4號(hào)盒的不同放法有_________種．【答案】84；96例18、設(shè)有編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)茶杯和編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)杯蓋，將五個(gè)杯蓋蓋在五個(gè)茶杯上，至少有兩個(gè)杯蓋和茶杯的編號(hào)相同的蓋法有_________種．【答案】31（2）間接法：對(duì)有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉．例19、在平面直角坐標(biāo)系中，由六個(gè)點(diǎn)、、、、、可以確定三角形的個(gè)數(shù)為_________．【答案】15（3）相鄰問題捆綁法：把相鄰的若干個(gè)特殊元素“捆綁”為一個(gè)大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列．例20、把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法種數(shù)為_________．【答案】2880例21、某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中中恰好有3槍連在一起的情況的不同種數(shù)為_________．【答案】20例22、把一同排6張座位編號(hào)為1、2、3、4、5、6的電影票全部分給4個(gè)人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是_________．【答案】144（4）不相鄰（相間）問題插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時(shí)可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間．例23、3人坐在一排八個(gè)座位上,若每人的左右兩邊都有空位,則不同的坐法種數(shù)有_________種．【答案】24例24、某班新年聯(lián)歡晚會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目．如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為_________．【答案】42（5）多排問題單排法：例25、若個(gè)學(xué)生排成一排的排法數(shù)為，這個(gè)學(xué)生排成前后兩排，每排各個(gè)學(xué)生的排法數(shù)為，則、的大小關(guān)系為_________．【答案】相等（6）多元問題分類法：例26、某化工廠實(shí)驗(yàn)生產(chǎn)中需依次投入2種化工原料，現(xiàn)有5種原料可用，但甲、乙兩種原料不能同時(shí)使用，且依次投料時(shí)，若使用甲原料，則甲必須先投放．那么不同的實(shí)驗(yàn)方案共有_________種．【答案】15例27、某公司新招聘進(jìn)8名員工，平均分給下屬的甲、乙兩個(gè)部門．其中兩名英語翻譯人員不能同給一個(gè)部門；另三名電腦編程人員也不能同給一個(gè)部門，則不同的分配方案有_________種．【答案】36例28、9名翻譯中，6個(gè)懂英語，4個(gè)懂日語，從中選撥5人參加外事活動(dòng)，要求其中3人擔(dān)任英語翻譯，選撥的方法有_________種．【答案】90（7）有序問題組合法：例29、書架上有3本不同的書，如果保持這些書的相對(duì)順序不便，再放上2本不同的書，有_________種不同的放法．【答案】20例30、百米決賽有6名運(yùn)動(dòng)、、、、、參賽，每個(gè)運(yùn)動(dòng)員的速度都不同，則運(yùn)動(dòng)員比運(yùn)動(dòng)員先到終點(diǎn)的比賽結(jié)果共有_________種．【答案】360例31、學(xué)號(hào)為1、2、3、4的四名學(xué)生的考試成績（）且滿足，則這四位同學(xué)考試成績的所有可能情況有_________種．【答案】15例32、設(shè)集合，對(duì)任意，有，則映射的個(gè)數(shù)是_________．【答案】例33、如果一個(gè)三位正整數(shù)形如“”滿足且，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)（如120、363、374等），那么所有凸數(shù)個(gè)數(shù)為_________．【答案】240例34、離心率等于（其中，且、）的不同形狀的的雙曲線的個(gè)數(shù)為_________．【答案】26（8）選取問題先選后排法：例35、某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品，每只產(chǎn)品均不相同且可區(qū)分，今每次取出一只測(cè)試，直到4只次品全測(cè)出為止，則最后一只次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)，被發(fā)現(xiàn)的不同情況種數(shù)是_________．【答案】576（9）至多至少問題間接法：例36、從7名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選出5人，至少有2名女同學(xué)當(dāng)選的選法有_________種．【答案】596（10）相同元素分組可采用隔板法：例37、10個(gè)相同的球各分給3個(gè)人，每人至少一個(gè)，有多少種分發(fā)？每人至少兩個(gè)呢？【答案】36；15例38、某運(yùn)輸公司有7個(gè)車隊(duì)，每個(gè)車隊(duì)的車都多于4輛且型號(hào)相同，要從這7個(gè)車隊(duì)中抽出10輛車組成一運(yùn)輸車隊(duì)，每個(gè)車隊(duì)至少抽1輛車，則不同的抽法有多少種？【答案】844、分組問題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成組問題別忘除以．例39、4名醫(yī)生和6名護(hù)士組成一個(gè)醫(yī)療小組，若把他們分配到4所學(xué)校去為學(xué)生體檢，每所學(xué)校需要一名醫(yī)生和至少一名護(hù)士的不同選派方法有_______種．【答案】374405、二項(xiàng)式定理：，其中組合數(shù)叫做第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；展開式共有項(xiàng)，其中第項(xiàng)（1、2、3、、）稱為二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，二項(xiàng)展開式通項(xiàng)的主要用途是求指定的項(xiàng)．特別提醒：①項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是不同的兩個(gè)概念，但當(dāng)二項(xiàng)式的兩個(gè)項(xiàng)的系數(shù)都為1時(shí)，系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù)．如在的展開式中，第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，第項(xiàng)的系數(shù)為；而的展開式中的系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù)；②當(dāng)?shù)臄?shù)值不大時(shí)往往借助楊輝三角直接寫出各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；③審題時(shí)要注意區(qū)分所求的是項(xiàng)還是第幾項(xiàng)？求的是系數(shù)還是二項(xiàng)式系數(shù)？例40、的展開式中常數(shù)項(xiàng)是_________．【答案】14例41、的展開式中的的系數(shù)為_________．【答案】330例42、數(shù)的末尾連續(xù)出現(xiàn)零的個(gè)數(shù)是_________．【答案】3例43、展開后所得的的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有_________項(xiàng)．【答案】7例44、若（且）的值能被5整除，則的可取值的個(gè)數(shù)有_________個(gè)．【答案】5例45、若，且，二項(xiàng)式按降冪展開后，其第二項(xiàng)不大于第三項(xiàng)，則的取值范圍是_________．【答案】例46、函數(shù)的最大值是_________．【答案】10246、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：（1）對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即；（2）增減性與最大值：當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)的值逐漸增大，當(dāng)時(shí)，的值逐漸減小，且在中間取得最大值．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)（第項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)（第和項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等并同時(shí)取最大值；（3）二項(xiàng)式系數(shù)的和：；．例47、在二項(xiàng)式的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)為_________．【答案】例48、在的展開式中，第十項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，則_________．【答案】17、18或19例49、如果，則_________．【答案】128例50、化簡(jiǎn)．【答案】7、賦值法：應(yīng)用“賦值法”可求得二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為、“奇數(shù)（偶次）項(xiàng)”系數(shù)和為，以及“偶數(shù)（奇次）項(xiàng)”系數(shù)和為．例51、已知，則等于_________．【答案】例52、，則_________．【答案】2004例53、設(shè)，則_________．【答案】8、系數(shù)最大項(xiàng)的求法：設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，由不等式組確定．例54、求的展開式中，系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)．【答案】系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為，系數(shù)最大的項(xiàng)為9、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用：二項(xiàng)式定理的主要應(yīng)用有近似計(jì)算、證明整除性問題或求余數(shù)、應(yīng)用其首尾幾項(xiàng)進(jìn)行放縮證明不等式．例55、精確到近似值為_________．【答案】例56、被4除所得的余數(shù)為_________．【答案】0例57、今天是星期一，天后是星期_________．【答案】二例58、求證：（）能被64整除．例59、求證：（，且）．【專題10】概率1、隨機(jī)事件的概率滿足：，其中當(dāng)時(shí)，稱為必然事件；當(dāng)時(shí)，稱為不可能事件．2、等可能事件的概率（古典概率）：．理解這里、的意義．3、互斥事件：、互斥，即事件、不可能同時(shí)發(fā)生．計(jì)算公式：．4、對(duì)立事件：、對(duì)立，即事件、不可能同時(shí)發(fā)生，但、中必然有一個(gè)發(fā)生．計(jì)算公式是：；．5、獨(dú)立事件：事件、的發(fā)生相互獨(dú)立，互不影響．計(jì)算公式是：．特別提醒：①如果事件、獨(dú)立，那么事件與、與及事件與也都是獨(dú)立事件；②如果事件、相互獨(dú)立，那么事件、至少有一個(gè)不發(fā)生的概率是：；③如果事件、相互獨(dú)立，那么事件、至少有一個(gè)發(fā)生的概率是：．6、獨(dú)立事件重復(fù)試驗(yàn)：事件在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生了次的概率：（是二項(xiàng)展開式的第項(xiàng)），其中為在一次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率．特別提醒：①探求一個(gè)事件發(fā)生的概率，關(guān)鍵是分清事件的性質(zhì)．在求解過程中常應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和分解（分類或分步）轉(zhuǎn)化思想處理，把所求的事件：轉(zhuǎn)化為等可能事件的概率（常常采用排列組合的知識(shí)）；轉(zhuǎn)化為若干個(gè)互斥事件中有一個(gè)發(fā)生的概率；利用對(duì)立事件的概率，轉(zhuǎn)化為相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率；看作某一事件在次實(shí)驗(yàn)中恰有次發(fā)生的概率，但要注意公式的使用條件；②事件互斥是事件獨(dú)立的必要非充分條件，反之，事件對(duì)立是事件互斥的充分非必要條件；③概率問題的解題規(guī)范：先設(shè)事件“”，“”；列式計(jì)算；作答．例1、將數(shù)字1、2、3、4填入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)方格中，每格填一個(gè)數(shù)字，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的概率是__________．【答案】例2、設(shè)10件產(chǎn)品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：①從中任取2件都是次品；②從中任取5件恰有2件次品；③從中有放回地任取3件至少有2件次品；④從中依次取5件恰有2件次品．【答案】①；②；③；④例3、有、兩個(gè)口袋，袋中有4個(gè)白球和2個(gè)黑球，袋中有3個(gè)白球和4個(gè)黑球，從、袋中各取兩個(gè)球交換后，求袋中仍裝有4個(gè)白球的概率．【答案】例4、甲、乙兩個(gè)人輪流射擊，先命中者為勝，最多各打5發(fā)，已知他們的命中率分別為和，甲先射，則甲獲勝的概率是_______（結(jié)果保留兩位小數(shù)）．【答案】例5、有一個(gè)公用電話亭，在觀察使用這個(gè)電話的人的流量時(shí)，設(shè)在某一時(shí)刻，有個(gè)人正在使用電話或等待使用的概率為，且與時(shí)刻無關(guān)，統(tǒng)計(jì)得到，那么在某一時(shí)刻，這個(gè)公用電話亭里一個(gè)人也沒有的概率的值是__________．【答案】例6、設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事件和都不發(fā)生的概率為，發(fā)生不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相同，則事件發(fā)生的概率是__________．【答案】例7、某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽，需回答三個(gè)問題，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：答對(duì)第一、二、三個(gè)問題分別得100分、100分、200分，答錯(cuò)得0分，假設(shè)這位同學(xué)答對(duì)第一、二、三個(gè)問題的概率分別為、、，且各題答對(duì)與否相互之間沒有影響，則這名同學(xué)得300分的概率為__________，這名同學(xué)至少得300分的概率為__________．【答案】；例8、袋中有紅、黃、綠色球各一個(gè)，每次任取一個(gè)，有放回地抽取三次，球的顏色全相同的概率是__________．【答案】例9、一項(xiàng)“過關(guān)游戲”規(guī)則規(guī)定：在第關(guān)要拋擲一顆骰子次，如果這次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于，則算過關(guān)，那么，連過前二關(guān)的概率是__________．【答案】例10、有甲、乙兩口袋，甲袋中有六張卡片，其中一張寫有0，兩張寫有1，三張寫有2；乙袋中有七張卡片，四張寫有0，一張寫有1，兩張寫有2，從甲袋中取一張卡片，乙袋中取兩張卡片．設(shè)取出的三張卡片的數(shù)字乘積的可能值為、、、，且，其相應(yīng)的概率記為、、、，則的值為__________．【答案】例11、平面上有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)、分別位于、點(diǎn)，在某一時(shí)刻同時(shí)開始每隔1秒鐘向上下左右四個(gè)方向中的任何一個(gè)方向移動(dòng)1個(gè)單位，已知質(zhì)點(diǎn)向左、右移動(dòng)的概率都是，向上、下移動(dòng)的概率分別是和，質(zhì)點(diǎn)向四個(gè)方向中的任何一個(gè)方向移動(dòng)的概率都是．①求和的值；②試判斷最少需要幾秒鐘，、能同時(shí)到達(dá)點(diǎn)？并求出在最短時(shí)間內(nèi)同時(shí)到達(dá)的概率．【答案】①，；②3秒；例12、小王通過英語聽力測(cè)試的概率是，他連續(xù)測(cè)試3次，那么其中恰有1次獲得通過的概率是__________．【答案】例13、冰箱中放有甲、乙兩種飲料各5瓶，每次飲用時(shí)從中任意取1瓶甲種或乙種飲料，取用甲種或乙種飲料的概率相等，則甲種飲料飲用完畢時(shí)乙種飲料還剩下3瓶的概率為__________．【答案】【專題10】統(tǒng)計(jì)1、抽樣方法：（1）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（抽簽法、隨機(jī)樣數(shù)表法）：常常用于總體個(gè)數(shù)較少時(shí)，它的主要特征是從總體中逐個(gè)抽?。唬?）分層抽樣：主要特征分層按比例抽樣，主要使用于總體中的個(gè)體有明顯差異．共同點(diǎn)：每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等．例1、某社區(qū)有500個(gè)家庭，其中高收入家庭125戶，中等收入家庭280戶，低收入家庭95戶．為了調(diào)查社會(huì)購買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100戶的樣本，把這種抽樣記為；某中學(xué)高中一年級(jí)有12名女排運(yùn)動(dòng)員，要從中選取3人調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的情況，把這種抽樣記為，那么完成上述兩項(xiàng)調(diào)查應(yīng)分別采用的抽樣方法：為_______，為_______．【答案】分層抽樣；簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣例2、從10名女生與5名男生中選6名學(xué)生參加比賽，如果按性別分層隨機(jī)抽樣，則組成此參賽隊(duì)的概率為______．【答案】例3、某中學(xué)有高一學(xué)生400人，高二學(xué)生300人，高三學(xué)生300人，現(xiàn)通過分層抽樣抽取一個(gè)容量為的樣本，已知每個(gè)學(xué)生被抽到的概率為，則_______．【答案】200例4、容量為100的樣本拆分成10組，前7組的頻率之和為，而剩下的三組的頻數(shù)組成等比數(shù)列，且其公比不為1，則剩下的三組中頻數(shù)最大的一組的頻率是______．【答案】例5、用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有10個(gè)個(gè)體的總體中，抽取一個(gè)容量為2的樣本，則某一個(gè)體在“第一次被抽到的概率”、“第一次未被抽到，第二次被抽到的概率”、“在整個(gè)抽樣過程中被抽到的概率”分別是______________．【答案】；；例6、某班試用電子投票系統(tǒng)選舉班干部候選人．全班名同學(xué)都有選舉權(quán)和被選舉權(quán)，他們的編號(hào)分別為1、2、、，規(guī)定：同意按“1”，不同意（含棄權(quán)）按“0”，令，其中、2、、；、2、、，則同時(shí)同意第1、2號(hào)同學(xué)當(dāng)選的人數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】C2、總體分布的估計(jì)：用樣本估計(jì)總體，是研究統(tǒng)計(jì)問題的一個(gè)基本思想方法，即用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)（即總體期望值是描述一個(gè)總體的平均水平）；用樣本方差估計(jì)總體方差（方差和標(biāo)準(zhǔn)差是描述一個(gè)樣本和總體的波動(dòng)大小的特征數(shù)，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，表示這個(gè)樣本或總體的波動(dòng)越小，即越穩(wěn)定）．一般地，樣本容量越大，這種估計(jì)就越精確．總體估計(jì)要掌握：（1）“表”（頻率分布表）；（2）“圖”（頻率分布直方圖）．特別提醒：直方圖的縱軸（小矩形的高）一般是頻率除以組距的商（而不是頻率），橫軸一般是數(shù)據(jù)的大小，小矩形的面積表示頻率．例7、一個(gè)容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后組距與頻數(shù)如下：，2；，3；，4；，5；，4；，2；則樣本在區(qū)間上的頻率為