積分變換課后習(xí)題答案

目錄

第一章Fourier變換........1

一內(nèi)容要,熱.....................................*......1

二例題分析...........................................10

三習(xí)題全解......,...25

習(xí)題~~.解?答....25

習(xí)題一解答.................................................31

習(xí)題三解答..............*.....47

習(xí)題四解答................................................56

習(xí)題五解答...........................67

第二章Laplace變換..........................85

—內(nèi)^點..................85

右q92

三習(xí)^5.全解........107

習(xí)題一解答.................................................107

習(xí)題二解答...............................................J15

習(xí)題三解答..........................................?…?一133

習(xí)題四解答..............*......145

習(xí)題五解答...*....*.....152

附錄IFourier變換簡表................................193

附錄支Laplace變換簡表................201

第一章Fourier變換

一內(nèi)容要點

本章從討論周期函數(shù)的Founer級數(shù)的展開式出發(fā)，進而討論

非周期函數(shù)的Fonrirr積分公式及其收斂定理，并在此基礎(chǔ)上引出

Fourier?變換的定義、性質(zhì),一些計算公式及某些應(yīng)用.

本章的重煮是求函數(shù)的Fourier變換及Fourier變換的某些應(yīng)

用.函數(shù)的Fourier變換也是本章的一個難點，要解決好這個難點，

必須掌握好Fourier變換的是本性質(zhì)及一些常用函數(shù)（如單位脈沖

函數(shù)，單位階躍函數(shù)，正、余弦函數(shù)等）的Fourier變換及其逆變換

的求法.從而才能較好地運用FcuHer變換進行頻譜分析，解某些

微分、積分方程和偏微分方程的定解問題.

1.Fourier積分

（1）Fourier級數(shù)的展開式

設(shè)力（E）以T為周期且在［-］上滿足Dirichlet條件

（即在［-曰，寺］上滿足：1°連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;2°只

V工

有有限個極值點）.則。a）在J上可以展成Fourier級

2'T

數(shù).在月（￡）的連續(xù)點處，有

/『（，）=￥+￡（＜2?cosn（A）t+b?sin"（三角形式）

2第一章Fnurier變換

-y;（復(fù)數(shù)形式或稱復(fù)指數(shù)形式）

〃-m

其中

.r

3~爺，=net）,c?—下J-7加（f）e'""dr（〃=~0,±1,

c小表3,二巴虧以，j="乎（"=1.2,…）.在J?（t）的問

斷點z處，上面的展開式左邊燈（，）應(yīng)以4＜八（八°）+力（，

。］代替一

（2）Fourier積分定理

對于（-g,+s）上的任何一個非周期函數(shù)/（￡）都可以看成

是由某個周期函數(shù)/,1）當(dāng)T-?8時轉(zhuǎn)化而來的.由此，從

人仁）的Fourier級數(shù)的復(fù)數(shù)形式出發(fā).能夠得到一個非周期函數(shù)

f（力的Fourier積分公式，其條件為:

若/（,）在（-8,+8）上滿足下列條件：

1"/,?）在任一有限區(qū)間上滿足Dirichlet條件；

2"（1）在無限區(qū)間（-8.+8）上絕對可積（即積分

「'|/。）1口收斂）.則在〃/）的連續(xù)點處有如下的Fourier積分

公式

〃t）=;I/（r）e-xdr

在J（r）的間斷點t處,上面展開式左端的J。）應(yīng)以^［八，+0）

1-0）］代替.這個公式也稱為Fourier積分公式的復(fù)數(shù)形

式.

這個定理在教材中雖然未加證明，但應(yīng)當(dāng)看到它是Fourier變

換的理論基礎(chǔ)，必須深刻理解其含義，掌握它成立的條件，以便為

學(xué)習(xí)Fourier變換奠定理論基礎(chǔ).

內(nèi)容要點

(3)Fourier積分公式的其他形式

1)Fourier積分公式的三角形式

利用Euler公式.由Fourier積分公式的復(fù)數(shù)形式可推出它的

二角形式：

./I(f)~—IHy(r)cos0/(?-r)drda>

2)FOXJZer正弦積分公式

當(dāng)fa)為奇函數(shù)時，利用三角函數(shù)的和差公式，由Fourier積

分公式的三角形式可推出其Fourier正弦積分公式

./"(t)=-—if(r)sincurdrsin<ufda)

n“0LJ”.

3)Fourier余弦積分公式

當(dāng)fC)為偶函數(shù)時，同理可得

2.+Rp'.R-

/(r)-1---H/(L)cos?；rdrcoso>r

若/(f)僅在(0,4-8)上有定義，且滿足Fourier積分收斂定

理的條件，通過奇式(偶式)延彷，便可得到“￡)的FourierIF弦

(余弦)積分展開式.

2.Fourier變換

(1)Fcmriei■變換的概念

Fourier變換對的一般形式:

</(?)]=F")=[/Q%"dr

J-X

W

/(t)~??~1[F(o?)]—2-F(w)』"d3.

v/工-r

Fourier正弦變換對:當(dāng)J(f)為奇函數(shù)時，有

4第一章Fourier變換

?[/(，)1—F)3)..|/(f)sina>rdz

Jo

]/(f)-5，；'[F、(?)]=Fy(tu)sinto/dw;

Fourier余弦變換對：當(dāng)/(，)為偶函數(shù)時，有

cIW

[/(/)!=桂(3)=IJ(t)coswtdt

J0

1一.2r…

/'(t)=1[F,.(CO)F,(3)CQSUitdw,

/“Jo

它們可分別簡記為/(f)<=>F()f(它及/(D。卜：(3).

顯然，當(dāng)/(t)為奇函數(shù)時，F(xiàn)(3)=—2jF,(Q.當(dāng)/⑺為偶函數(shù)

時，F(xiàn)(3)=2F<(⑵).

(2)單位脈沖函數(shù)及其Fourier變換

③-函數(shù)的重要性質(zhì)一篩選性質(zhì)；若/?)為無窮次可微的函

數(shù)，則有

「^^(r)./(r)dr=/(O).

一般地，有

廣卜：,，

c^(t-=f(t).

J-Ev

由這一性質(zhì)，可得見》[)]-l"T[l]=3(n,表明?)和1構(gòu)

成一個Fourier變換對，記為8(￡)71.同理，有雙r一%.

需要指出的是3(E)是一個廣義函數(shù),它的Fourier變換是一

種廣義Fourier變換.在物理學(xué)和工程技術(shù)中有許多重要函數(shù)(如

常數(shù)，符號函數(shù)，單位階躍函數(shù)及止、余弦函數(shù)等)不滿足Fourier

積分定理中的絕對可極條件(即不滿足「?l/(Q|dr<g).然而

Je

其廣義Fourier變換是存在的.利用單位脈沖函數(shù)及其Fourier變換

就可以求出它們的Fourier變換.例如

弭1]=27r8(a>)，.5[e/i']=2x3(3*,-*<u())7

一內(nèi)容要點5

17

缸u(/)j=：-+"8(tu),/[sgILZ

JOIJM

.■/[sinf.=jJT[S(a?I小)S；s?/())]?

，列COSco?！闿—穴[3(3+(〃“)，》(g—3.)；.

3.Fourier變換的物理意義一頻譜

（1）非正弦的周期函數(shù)的頻譜

在月（工）的Fourier級數(shù)展開式中，稱

<zNcos3“f+bNsinaj?t~A“sin（（。/+狂）

為第n次諧波，其中3"u"3=當(dāng)二A。J?矍■!,Aa="C：t

稱為頻率為明的第N次諧波的振幅，在力（「）的Fcnrier級數(shù)的復(fù)

數(shù)形式中，第?次諧波為c”cf+j,,e"',并且Icj=Ij“！=

a：工比，從而6（。的第"次諧波的振幅為

A「2|c」（D,l,2,…）,

它描述了各次諧波的振幅隨頻率變化的分布情況.所謂頻譜圖，通

常是指頻率%與振幅A*的關(guān)系圖、A“也稱為/,（［）的振幅頻譜

（簡稱為頻譜），由于打=0,1,2,…、所以頻譜A”的圖形是不連續(xù)

的.稱之為離散頻譜，其頻譜圖清楚地表明了一個非正弦的周期函

數(shù)〃（力包含了哪些頻率分量及各分量所占的比重（如振幅的大

?。?

（2）非周期函數(shù)的頻譜

非周期函數(shù)人力的Fourier變換F（川-：汽/（￡）］,在頻譜分

析中又稱為的頻譜函數(shù),它的模！尸（如）稱為八￡）的振幅頻

譜（簡稱頻譜）.由于3是連續(xù)變化的，這種頻譜稱為連續(xù)頻譜，頻

譜圖為連續(xù)曲線.振幅頻譜［F（ai）i是頻率3的偶函數(shù)；相角頻譜

中（cu）=arctan-------------是頻率s的奇函數(shù).對一個時間

|/（Z）cosbitdt

6第一章Fourier變換

函數(shù)作Fourier變換.就是求這個時間函數(shù)的頻譜函數(shù).

頻譜圖能清楚地表明時間函數(shù)的各頻譜分星的相對大小，困

此，頻譜圖在工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用.作出一個非周期函數(shù)

八才）的頻譜圖，其步驟如下：

1）先求出非周期函數(shù)/（，）的F-MOT變換

2）選定頻率/的一些值,算出相應(yīng)的振幅頻譜I9（s）|的值；

3）將上述各組數(shù)據(jù)所對應(yīng)的點填人直角坐標(biāo)系中，用連續(xù)曲

線連接這些離散的點，就得到「該函數(shù)/Q）的頻譜圖.

4.Fourier變換的基本性質(zhì)

為敘述方便，在下述性質(zhì)中，凡是需要求Fourier變換的函數(shù)，

假定都滿足Fourier積分定理中的條件.

（1）線性性質(zhì)設(shè)方L/；（Z）J=E（W）,河力（力］二產(chǎn)2（3）,

。邛為常數(shù)，則

網(wǎng)41（力+防（￡）］一由“）+肛（3）;

（2）位移性質(zhì)設(shè)見/（Z）」二F（3）,則

//（t±G］=e*~F（3）;

37［F（/不叫）］=『（/）e±M',（象函數(shù)的位移性質(zhì)）.

G）微分性質(zhì)設(shè)弭/（/）］=F（3）,如果/〃）（￡）在（一8,

+8）上連續(xù)或只有有限個可去間斷點，且iim=

111—*+M

0,1,2,…，舞7,則有

鞏/SQ）］=（J3）"F（3）；

P"'（3）H（-j）”五燈⑺］,（象函數(shù)的微分性質(zhì)）.

特別，當(dāng),=1有

:乳/'（/）］=j"聲（〃＞）；

F'（3）=

（4）積分性質(zhì)設(shè)＞■［./'（z）］,尸（”），如果當(dāng)/一+8時,

內(nèi)容要點7

（t）-\f（t）dzf0，則

J-a

/[「/（r）dzl:J-F（s）；

LJ-gJJ3

當(dāng)linig（力/0時，?有

/f+?”

；>[rr（，）dj=2F（8）卜nF（0）3（s）.

LJ-<x>.iju>

（5*）乘積定埋設(shè)凡（（八]一F；（s）.[力（八]一下2（。，）,則

廣+S-]一?VI

J.77（萬/乂，*/：（|）:1京在2（3）4。

][八?）./式，）山J「"FJ（3、）F<3）”,

其中7XTL77G）,F,!^）及FTGO分別為.九（，）/"），

B（s）及F/3）的共腕函數(shù).特別，當(dāng)人（。），/2（，）為實函數(shù)時，

有|/；（力/式￡）&"巳心）2"）也

=J卜I（0）?、2（g）d“J.

（6,）能量積分設(shè)一/⑴1=產(chǎn)稅分則

,，8qp，uu

|[/（：）『山=1IF（M）|2dw

J-oo乙式1-8

這一等式又稱為Parseval等式.函數(shù)S（G=IF'（3）I?稱為能量密

度函數(shù)（或稱能量譜密度）.它而以決定函數(shù)/（力的能量分布規(guī)

律.將它對所有頻率積分就得到“力的總能量，因此，Parse、"等

式又稱為能量積分.它表明非周期函數(shù)/、）在時間域內(nèi)的能量與

在頻率域內(nèi)的能量不因/（f）取Fourier變換后而改變,由于能量

密度函數(shù)S（G是3的偶函數(shù)，則能量積分可進一步寫為

I「'R

[f（j）ydt.=-s（3）ds.

E,HJo

5.卷積與相關(guān)函數(shù)

（1）卷積的概念

8第一章Fuurier變換

m（t）=z）dr,且其運算滿足

J

九（？）*/2（工）=/式￡）*/；（，）（交換律）；

f\（t）*［/2（r）*八⑴］="（￡）*八仁）］*九（r）（結(jié)合律）;

/（）充"Q）+/、（f）］=￡（，）*/?）+/W）*，（，）（分配律”

，

l/l（O*./3（Z）l</i（O*1/2（^）1（卷積不等式）.

（2）卷積定建設(shè)」;（）（山=1,2,…，〃）滿足Fourier積分定

理中的條件，且見/■）〕=F'Ja）晨=1,2,…則

*1/：（/）*/；（￡）*…*f*（/）J~F［（3）?B（?i）....F,,（）；

其fI（，）"，2（f>..../”（，）］/^-4S7：T卜1（3）*巳（3）*…*

匕（8）（象函數(shù)卷積定理）.

特別，

，■:y力（￡）］=K（,）出"）；

:沌J；（，），/?（，）］=白H（3）*F、2（3）.

（3‘）相關(guān)函數(shù)的概念

相關(guān)函數(shù)的概念和卷積的概念一樣，也是頻譜分析中的一個

亙要概念.記函數(shù)八（/）和/2（。的互相關(guān)函數(shù)為

乩2（*）=j/'i（/）/,（/+r）dz.

記函數(shù)八工）的自相關(guān)函數(shù)（簡稱為相關(guān)函數(shù)）為

7?（rJ-■ff（t.）./（r+r）di.

J-?x；

顯然，K（r）=R（-r）:I?n（r）-R［；（-r）.

（4*）相關(guān)函數(shù)和能量譜密度的關(guān)系

］）自相關(guān)函數(shù)和能量譜密度構(gòu)成一個Fourier換對：r）

口S（s）,即

-內(nèi)容要點9

(1廣―

=5-1S(s)c'3'd3；

2irj…

「<：vi

S(?p)=K⑴e』？.

、J-??*?

利用K(r)和3(s)的偶函數(shù)性質(zhì)，可進…步寫為

[.??co

K(r)=H…S(iu}cos3rd3;

2TCJ力

-4>?

S(3)=R(r)cosa)rdr

J“.X

R(r)在T=0時，可得Parsevai等式，即

R⑻=白匚S(s)ds：-[:

2)互相關(guān)函數(shù)卻互能量諧密度構(gòu)成一個Fourier變換對.由

乘積定理(當(dāng)人(力和，2?)為實函數(shù)時)知

#?***"

RI：(r)=|JHr)dr

J-u*>

,w

二』-[FrGJ)F2(a>)edcu.

4-JVo-3

記和能量譜密度為弧2(⑺)=FCF2(S)(而521(?>)=

匕(⑴則

顯然，互能量諳密度有S-2i(^=S^t

6.Fourier變換的應(yīng)用

Fourier變換是分析非周期函數(shù)頻譜的理論基礎(chǔ).它在頻譜分

析中有著重要的應(yīng)用.前面已列出其內(nèi)容要點.這里的應(yīng)用主要是

用來求解某些微分、積分方程和偏微分方程(其未知函數(shù)為二元函

數(shù)的情形》的定解問題.

10第一章Fourier變換

(1)微分、積分方程的Fc”r沁r變換解法

運用Fourier變換的線性性質(zhì)、微分性質(zhì)和積分性質(zhì)，對欲求

解的方程兩端取Fourier變換，將其轉(zhuǎn)化為象函數(shù)的代數(shù)方程，通

過解代數(shù)方程與求Fourier逆變換就可得到原方程的解.這種解法

如下圖所示意：

(2*)偏微分方程的Fourier變換解法

運用Four?變換求解偏微分方程的定解問題類似于上述示

意圖中的三個步驟，即先將定解問題中的未知函數(shù)看作某一自變

量的函數(shù),對方程及定解條件關(guān)于該自變量取Fourier變換，把偏

微分方程和定解條件化為象函數(shù)的常微分方怦的定解問題；冉根

據(jù)這個常微分方程和相應(yīng)的定解條件，求白象函數(shù)；然后再取

Fourier逆變換，得到原定解問題的解.這里，要求變換的自變量在

(-8,十R)內(nèi)變化；如要求變換的自變量在(0,+上)內(nèi)變化，則

根據(jù)定解條件的情形可運用Fourier正弦變換或Fower余弦變換

來求解該偏微分方程的定解問題.

二例題分析

例試求函數(shù)?'二二的Fourier枳分表達式.

!。，其他

解在Fourier積分定理的條件下，函數(shù),/'(t)的Fourier積分

表達式，可以用復(fù)數(shù)形式，也可以用二角形式來表達；由于函數(shù)

二例題分析

/（,）是（-8.+8）匕的奇函數(shù)，還可以用Fourier正弦積分公式

來表達；如果讀者已經(jīng)掌握Four而變換的性質(zhì)，則可根據(jù)教材第

一章§1J中的例1,利用象函數(shù)的微分性質(zhì)求得結(jié)果.

方法I利用Fouriei積分公式的復(fù)數(shù)形式，在『（力的連續(xù)點

處，有

1――r1

,/?）=;I/⑺/"4也”

ZKJ-8LJ?J

當(dāng)t=+1時JC）應(yīng)以J[/（+1+。）十〃±1-。）]二±4代替.

J乙

方法2利用Fourier枳分公式的三角形式，在的連續(xù)點

處，有

rcos<o(t—r)drdo>

?一.r(cos<o/cosM+sin(visin<t>r)drde

7TJ()LJ-lJ

2「'小?rl-

—sin3trsin<wrdrda

KJoUn」

一■卜no>?do),(Z大±1)

穴Ju

同佯，當(dāng)t=±1時，/（Z）應(yīng)以t-1代替

方法3由于/任）為（-8,，8）上的奇函數(shù)，也可以利用

12第一章Fourier變換

Fourier正弦積分公式，在/(/)的連續(xù)點處，有

/(Z)=—J[J,/(r)sincvrdrsino?rdo>

2廠「f’.,..

=\rsinojTclrsinwidcu

式JuLJQ.

2f+CO/sifl(i)OJ\../0_L,、

=———-----sm3d3.(號±II

KJ。13"3j

當(dāng)/二±1時，/a)也應(yīng)以±3代耕.

方法4利用象函數(shù)的微分性質(zhì),如記教材第一章§1.1例1

中的函數(shù)為』￡)=:令

u,Aiffi

牙[g(1)]=G")=|山二2|cc$wd/=2，"3

J-3J()3

顯然，本例中的函數(shù)/([)=*(￡),根據(jù)象函數(shù)的微分性質(zhì)(也稱

為象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式)：G'(G二-所fg⑺：，即

f(r)]-rg(^)J--XC/(￡t?)—~2][則黑-X坐々).

,J\COMJ

從而，由Fcurier積分公式的復(fù)數(shù)形式，在戶.力的連續(xù)點處有

、1r./sin3

/r(ff)=下—21[2一空,d』

/TTJ-uoL\(u31J

_-jI/sin3co

I(cusa)l+jsinu)L)d?

尤J813，

_2「2/sin3_co?JsinMtdw

KJu13S

當(dāng)t=±1時J(f)應(yīng)以±J代替.

根據(jù)上述結(jié)果，我們可以得到

乏t，1廣＜1,

「2(sincucoso)\..7T

1-"s】ngfdsj4,ti,

J。\"3/

二例題分析13

換言之，根據(jù)人力的Fourier積分公式，可以推證出一些廣義積分

的結(jié)果.這也是含參量廣義積分的一種巧妙的解法.（另夕卜，某些類

型的廣義積分還可以利用Fcnnier變換中的能量積分.終值定理及

象函數(shù)的微分性質(zhì)求得結(jié)果）通過上述解法，我們不僅掌握了各

種求解方法，而且還叮以對各種方法進行比較，從而更好地理解和

掌握Four沁r積分公式的含義和某些用途.

例1-2求函數(shù)/（t）="（t）cos僅的Fourier變換，其

中aXL

解求一個函數(shù)的Fourier變換，可以按定義直接做，也可以

按Fourier變換的性質(zhì)做.當(dāng)然，按后者做有一定的技巧性，還要掌

握一些常見函數(shù)的Fourier變換.現(xiàn)分別敘述如下.

方法I按Fcwier變換的定義，有

沆/（，）］=\〃（I）/<：「"os

~1M伊山

J<i

=［3-（…"”）（/+J,Dd,

-:「re”—）&卜

NJo

ir?g

4re-n+Cdz

利用分部積分法，可得

Jc

」K7：.，rX1g

二一一一77-----|I--------------J___丁4"7）

a+）（3「S）I。a+j（3P）J.）”

1

〔a+j（a-/3）］r'

14第一章Fourier變換

?<*?

同理，廣所以

更八，)]=；[0+)(：一獷+in+」(?初，

(a+ja>)"''■f-

!(a+jw)2十戶*P

方法2利用象函數(shù)的微分性質(zhì)，記8(f)”(r)e-"'co、秋,

工：^⑺]=G(ai>如C'(a,)="jr/>?(.*)J'7冗/(，)]，而

G(f”)=u(t)e'"cos;?Te'r，Jdz

二廠:+1中儲'…""山

J?2

L①小…"d+；-

2J<i-J(I

1r____i_*_1—:

2.a*j(ra，j(“J+：Q)」

—巴1J，"_

(a+js)’J3,

所以

>T./'CT.)1-------J-(r(<u)~.d

3L

__ta+ja＞），-$

：（aIjajy+/?2J2,

方法3利用象函數(shù)的位移性質(zhì)，It

dF二二..一?

。十］7

eII3

從而由位移性質(zhì)知

>[M(r)c

二例題分析15

乙

；1r1卜_____L______'

2La+j（co—g）a+j（加十產(chǎn)）.

a+）u）

工+向+產(chǎn)

對照方法2,再利用象函數(shù)的微分性質(zhì),即可用到結(jié)論，亦即

升/（/）?-j:i/—p+4?

<1a）.{a卜j3）十戶」

_〔a+一犬

［（a1沁尸十夕9.

方法4利用象函數(shù)的卷積公式，汜f（z）="cs伊，/：Q）「

”）e。則以J；⑺?./；（/）］二4F'；（3）*￡（3）,其中K（3）

=：*［工（八二?：二1,2.由

*COS四］=8（3+j?）+3（出一/?）］

及象函數(shù)的微分性質(zhì)知

人/jC）」一J：fccs桃］-j?-［n;（^（cv+⑶+S3,-^））］

u（tf

-j氏陰（3+8）+3"（3-6）］.

而

尼小，〉」：叫（幾一“'］=一上，

a+J3

從而，根據(jù)卷積的分配律、卷積的導(dǎo)數(shù)公式［見習(xí)題四的1（6一及

箍選性質(zhì)，有

-/"）］=沌/“卜￡1）］

=白［jn（，（S卜8）4V（⑥-社））一.?.二.

=方3'（山十產(chǎn)）*一二（s_§）*--J-.

zL。十jrz>a+J3_

4"-F~8（⑦十件），-7—T--I+

2dewLa*jj

16第一章Fourier變換

■■,,,—,、.—4■,

十品W)*—

2d?Lo+j3」

F前[JJ(，+/a+.8―一尸]+

④同口(-8)1—ydrl

2dtaLJ-ooa+j(sr)J

idr______1,i]

2da>La+j(tt>-r)…*a+j(co-r)T?.

=上山—1,J1

2dsLa+j(3十p)a+j(a).

=]|.]，十1,I

2|[a+j(ct>+/?)y[a+j(o>-j9)]z[

=(a+j*-E

[(a+；3)*+胡『

方法5利用象函數(shù)的卷積公式，還可以記/,(t)=cos仇,

72(力=訛(￡)是一"，而

風(fēng)cos優(yōu)]=兀[臺(3+p)+<5(co-0)],

見〃(Mef]=「00：e(->d=//.H

Jo(a+\<JI>f

再使用方法4,有

例7(4]一/力(￡)?力6)]

=叁[兀(8(⑷+f)+6(s-。))]*7~

/式(a+J3)

=i-》(/+￡)*?L_+8(s-白)*-_-L-

乙(a十J3)(a+jm)

=iIMT+Gf~~二導(dǎo)----不drt

，｛J-81a+j(3—T)J

|3(r—B)r—―7^4-----r

J-g1。十

=x11+______L_|

2I[a+j(?+j(?)]2[a+j(<4i~/?)]zI

-例題分析

_(a+js.-

[(a+jtw)2+g.

利用Fourier變換的性質(zhì)來求函數(shù)的Fourier變換，雖然有一

定的技巧性，如果我們能夠較好地理解和掌握這些性質(zhì)的含義與

實質(zhì)，就能運用自如.例如本例中的函數(shù)f(f)還可以改寫為

f(I)=w(r)/e"cos儀

=+e取)

=；口?”(De9洌'+「以f挖一2加]

再分別利用象函數(shù)的微分性質(zhì)去做，讀者可以自己做一下.

例1-3求下列函數(shù)的F'curkr逆變換.

(1)F(w)=OJCOS<o/0：(2)F(cu)~J-+(a>).

J3

解(1)求一個函數(shù)的Fourier逆變換，通?？捎肍ourier逆

變換公式，結(jié)合Foumr變換的某些性質(zhì)來完成，有時也會用到一

些常用函數(shù)的Fourier變換的結(jié)果或借助于Pourier變換表來完

成.

方法1利用Euler公式，Hcurier變換的位移性質(zhì)及微分性

質(zhì)得到結(jié)果.因為

cos3fo=e，urf。+e)

而我們已經(jīng)知道鞏以力]:1,由位移性質(zhì)可得

咒究臺("fo)]=e-f,

所以由線性性質(zhì)，有

如設(shè)(；(設(shè)=，乳/(川=8?%,則由微分性質(zhì).有

鞏8'a)]=is汛g(￡)]-jcocoa.

從而

18第一章Fourier變換

/(：)=；獷1[jCOCOS]=j：>''[COCOSa)；o]t

即

濟7[cocos叫]=：/(r)[￡+.)+/(r-a)].

方法2利用Fourier變換的對稱性質(zhì)(見第一章習(xí)題三第2

題結(jié)論)及象函數(shù)的微分性質(zhì)也可以得到結(jié)果.已知F(，，，)二

'>[/(?)]-“COSoi/y,由Fourier變換的對稱性質(zhì)：若F(co)=

凱/(E)]，則/{±3)=言JF(+r)e—df.即；:>■[F(不：)]二

2n/(士毋)，現(xiàn)將F((i))~3cossi”中的3換成-t,有

:汽F(一力]=-icos(—r)t0=-/cos(%￡)

令q(t)=cos("if),我們已經(jīng)知道

G(??)=杼[costM")]=Ta(g+t[))+o(a)-，u)].

由象函數(shù)的微分性質(zhì)知

阿F(-t)]=-jG'(s)=一認[6,(⑷+。)+b"(r-')].

比即

2北/(s)=-jir[3'(co+1)+S'(3—)].

再將變量3換成，則有

/(￡)=歲|[F(3)]=<0(/+口)+3(7-E0)].

(2)利用常見函數(shù)的Fourier變換可以求得結(jié)果，由

1?

萬T[F(tt))]=Jt)=次72+j“*(3)

LW.

=方71±]+加彳-[SY.)]

-LJ3J

我們已經(jīng)知道(如見附錄I中的公式(27))可M=2而曠(.),即t

一2可/FU)],所以

加/11臺'(3)]=),

一

二例題分析19

而汛sgn“=2-(見第一章習(xí)題二第8題》,所以

J3

.——Ir111一?「21j

：/：-=；——虧sgnf.

LjwJ乙LJ3」2

因此~1[F(w)]=-j(sgnz1-/).

由于符號函數(shù)sgn/可以用單位階躍函數(shù)“(，)來表示，即

sgnt=u(,t)—u(-t)

=2u(t)-1,

所以這個結(jié)果可以寫為

)=；[“(￡)-”.(―1)十f],

或

,/'(t)=+y(?-1).

這個結(jié)果還可以寫成分段函數(shù)的形式，即

|梟…)，*0；

/⑺耳

例1-4求滿足下列方程的解：

(I)Jy((u)cosa)tdM=/(,),其中./1(￡)=彳2.1<，<2；

”10,?22.

(2)/(?)-「八八點二叱二)，其中分(力為已知函數(shù)，且

Jg

-8<f<+8.

解(1)這是一個含未知函數(shù)MG的積分方程.從方程的左

端可以看出，我們能夠利用Fcurier余弦變換公式直接求得結(jié)果.

這里提供兩種方法.

20第一章Fourier變換

方法1原方程可改寫為

2■**302

一)(3)cosw/ds=—/'(1),

兀J0-兀、’

9

根據(jù)Fourier余弦積分公式可知一f(￡)為v(如)的Fourier余弦逆

變換，即

2(藥門2(u-sin3)

方法2由于f(1)為一個單側(cè)函數(shù)，根據(jù)積分方程，我們可

以將f(z)在(-8,0)上作偶延拓.實際上表明，我們可以用Fou-

ncr余弦積分公式來表示，即

.f(￡)=2jf(u)cc；swuducos(vtdaj

2「+a「,1r2"

=-cos+I2cos6Mducosgfdai

力1JoLJcJi.

2(2SE21“—加)

--------------.......---------^COS<￡)t(l(x).

7rs

對照原來的積分方程可知

2(2sin2(u—sina)

(2)這是一個含未知函數(shù)的微分積分方程.按一般的求

解步驟，首先利用Fourier變換的性質(zhì)，如線性性質(zhì)，微分性質(zhì)，積

分性質(zhì)以及卷積定理等，將此類微分、積分方程化為立「〉的象函

二例題分析21

數(shù)的代數(shù)方程；其次是解這個代數(shù)方程得到象函數(shù)Y(s)H

鞏y(t)];最后，求Y(s)的FcEcr逆變換，從而獲得所求方程的

解.為此，設(shè)

?乳、(/)J=丫(9);亨

現(xiàn)對此方程兩端取Fourier變換.可得

j㈤F]卬)-*丫(3)=HQ)

從而解得

Y(g)=MrH(3)

3+1

再求Fourier逆變換，可得

丁("=部-1[丫(卬)]=白J2N-ds

,j3H(3)”

一斤r,.-gdo).

J-OO3+1

如果已知函數(shù)A(f)的具體表達式，我們就能夠算出y(f)的

具體結(jié)果,例如當(dāng)MQreT，,則

H(a)=鞏h(t”=P0°e-2l,!e-jwdt

J一6

2/iKu2*

=『ee-di+f

e2ejovaJtJ

J，.g0

4

ai2+4

從而了(力"Uj一

-2j「"

—YL(w2+l)(^7+4)

22第一章Fourier變換

對于這種類型的積分可以用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理來計算①.

當(dāng)z>0時，，加在上半平面內(nèi)有兩個一

(Z-+1)(2*+4)

級極點.即=j，沏-2j.因此

「+g}wt2

廠一備皿二2而SResLWzH"名"

J-8(3+IJ(*,+4)U

其中

R城R(z，工J