新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識總結(jié) 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（含解析）

第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識點(diǎn)一：平均變化率問題1.變化率事物的變化率是相關(guān)的兩個量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值；2.平均變化率一般地，函數(shù)f(x)在區(qū)間SKIPIF1<0上的平均變化率為：SKIPIF1<0要點(diǎn)詮釋：①本質(zhì)：如果函數(shù)的自變量的“增量”為SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,相應(yīng)的函數(shù)值的“增量”為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則函數(shù)SKIPIF1<0從SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的平均變化率為SKIPIF1<0②函數(shù)的平均變化率可正可負(fù)，平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢.即遞增或遞減幅度的大小。對于不同的實(shí)際問題，平均變化率富于不同的實(shí)際意義。如位移運(yùn)動中，位移S（m）從t1秒到t2秒的平均變化率即為t1秒到t2秒這段時間的平均速度。高臺跳水運(yùn)動中平均速度只能粗略地描述物體在某段時間內(nèi)的運(yùn)動狀態(tài)，要想更精確地刻畫物體運(yùn)動，就要研究某個時刻的速度即瞬時速度。3.如何求函數(shù)的平均變化率求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法：①作差：求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0②作商：對所求得的差作商，即SKIPIF1<0。要點(diǎn)詮釋：1.SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一個“增量”，可用SKIPIF1<0代替SKIPIF1<0，同樣SKIPIF1<0。2.SKIPIF1<0是一個整體符號，而不是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相乘。3.求函數(shù)平均變化率時注意SKIPIF1<0，兩者都可正、可負(fù)，但SKIPIF1<0的值不能為零，SKIPIF1<0的值可以為零。若函數(shù)SKIPIF1<0為常函數(shù)，則SKIPIF1<0=0.知識點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的概念定義：函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處瞬時變化率是SKIPIF1<0，我們稱它為函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的導(dǎo)數(shù),記作SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0要點(diǎn)詮釋：①增量SKIPIF1<0可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0。SKIPIF1<0的意義：SKIPIF1<0與0之間距離要多近有多近，即SKIPIF1<0可以小于給定的任意小的正數(shù)。②SKIPIF1<0時，Δy在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)。即存在一個常數(shù)與SKIPIF1<0無限接近。③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時變化率。如瞬時速度即是位移在這一時刻的瞬間變化率。知識點(diǎn)三：求導(dǎo)數(shù)的方法：求導(dǎo)數(shù)值的一般步驟：求函數(shù)的增量：SKIPIF1<0；求平均變化率：SKIPIF1<0；求極限，得導(dǎo)數(shù)：SKIPIF1<0。也可稱為三步法求導(dǎo)數(shù)。知識點(diǎn)四：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（1）SKIPIF1<0（C為常數(shù)），SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（n為有理數(shù)），SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（5）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（6）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（7）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（8）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，這樣的形式。要點(diǎn)詮釋：1．常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，即C＇=0（C為常數(shù)）．其幾何意義是曲線SKIPIF1<0（C為常數(shù)）在任意點(diǎn)處的切線平行于x軸．2．有理數(shù)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于冪指數(shù)n與自變量的（n－1）次冪的乘積，即SKIPIF1<0（n∈Q）．特別地SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。3．正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于余弦函數(shù)，即（sinx）＇=cosx．4．余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于負(fù)的正弦函數(shù)，即（cosx）＇=－sinx．5．指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．6．對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．有時也把SKIPIF1<0記作：SKIPIF1<0 以上常見函數(shù)的求導(dǎo)公式不需要證明，只需記住公式即可．知識點(diǎn)五：函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：（1）和差的導(dǎo)數(shù)：SKIPIF1<0（2）積的導(dǎo)數(shù)：SKIPIF1<0（3）商的導(dǎo)數(shù)：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）要點(diǎn)詮釋：1.上述法則也可以簡記為：（?。┖停ɑ虿睿┑膶?dǎo)數(shù)：SKIPIF1<0，推廣：SKIPIF1<0．（ⅱ）積的導(dǎo)數(shù)：SKIPIF1<0，特別地：SKIPIF1<0（c為常數(shù)）．（ⅲ）商的導(dǎo)數(shù)：SKIPIF1<0，兩函數(shù)商的求導(dǎo)法則的特例SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．這是一個函數(shù)倒數(shù)的求導(dǎo)法則．2．兩函數(shù)積與商求導(dǎo)公式的說明（1）類比：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（v≠0），注意差異，加以區(qū)分．（2）注意：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0（v≠0）．3．求導(dǎo)運(yùn)算的技巧在求導(dǎo)數(shù)中，有些函數(shù)雖然表面形式上為函數(shù)的商或積，但在求導(dǎo)前利用代數(shù)或三角恒等變形可將函數(shù)先化簡（可能化去了商或積），然后進(jìn)行求導(dǎo)，可避免使用積、商的求導(dǎo)法則，減少運(yùn)算量．知識點(diǎn)六：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1．復(fù)合函數(shù)的概念對于函數(shù)SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是中間變量u的函數(shù)，SKIPIF1<0是自變量x的函數(shù)，則函數(shù)SKIPIF1<0是自變量x的復(fù)合函數(shù)．要點(diǎn)詮釋：常把SKIPIF1<0稱為“內(nèi)層”，SKIPIF1<0稱為“外層”。2．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在點(diǎn)x處可導(dǎo)，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在點(diǎn)x的對應(yīng)點(diǎn)u處也可導(dǎo)SKIPIF1<0，則復(fù)合函數(shù)SKIPIF1<0在點(diǎn)x處可導(dǎo)，并且SKIPIF1<0，或?qū)懽鱏KIPIF1<0．3．掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法（1）分層：將復(fù)合函數(shù)SKIPIF1<0分出內(nèi)層、外層。（2）各層求導(dǎo)：對內(nèi)層SKIPIF1<0，外層SKIPIF1<0分別求導(dǎo)。得到SKIPIF1<0（3）求積并回代：求出兩導(dǎo)數(shù)的積：SKIPIF1<0，然后將SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0的導(dǎo)數(shù)。要點(diǎn)詮釋：1.整個過程可簡記為分層——求導(dǎo)——回代，熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量。2.選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵。求導(dǎo)時需要記住中間變量，逐層求導(dǎo)，不遺漏。求導(dǎo)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)。知識點(diǎn)七、有關(guān)切線問題直線與曲線相切，我們要抓住三點(diǎn)：①切點(diǎn)在切線上②切點(diǎn)在曲線上③切線斜率等于曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值。要點(diǎn)詮釋：通過以上三點(diǎn)可以看出，抓住切點(diǎn)是解決此類題的關(guān)鍵，有切點(diǎn)直接求，無切點(diǎn)則設(shè)切點(diǎn)，布列方程組。知識點(diǎn)八、有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的問題設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，（1）如果恒有SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0在（a，b）內(nèi)為增函數(shù)；（2）如果恒有SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0在（a，b）內(nèi)為減函數(shù)；（3）如果恒有SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0在（a，b）內(nèi)為常數(shù)函數(shù)。要點(diǎn)詮釋：（1）若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞減，則SKIPIF1<0。（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0恒成立，求參數(shù)值的范圍的方法：①分離參數(shù)法：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0。②若不能隔離參數(shù)，就是求含參函數(shù)SKIPIF1<0的最小值SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0。（或是求含參函數(shù)SKIPIF1<0的最大值SKIPIF1<0，使）SKIPIF1<0）知識點(diǎn)九、函數(shù)極值、最值的問題1.函數(shù)極值的問題①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0；③求方程SKIPIF1<0的根；④檢查SKIPIF1<0在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，則f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，則f(x)在這個根處取得極小值.(最好通過列表法)要點(diǎn)詮釋：（1）先求出定義域（2）一般都要列表：然后看在每個根附近導(dǎo)數(shù)符號的變化：若由正變負(fù)，則該點(diǎn)為極大值點(diǎn)；若由負(fù)變正，則該點(diǎn)為極小值點(diǎn)。注意：無定義的點(diǎn)不用在表中列出（3）依表給結(jié)論：注意一定指出在哪取得極值。2.函數(shù)最值的問題若函數(shù)SKIPIF1<0在閉區(qū)間SKIPIF1<0有定義，在開區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則求函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值和最小值的步驟如下：（1）求函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)的導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0；（2）求方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)的根；（3）求在SKIPIF1<0內(nèi)使SKIPIF1<0的所有點(diǎn)的函數(shù)值和SKIPIF1<0在閉區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（4）比較上面所求的值，其中最大者為函數(shù)SKIPIF1<0在閉區(qū)間SKIPIF1<0上的最大值，最小者為函數(shù)SKIPIF1<0在閉區(qū)間SKIPIF1<0上的最小值.要點(diǎn)詮釋：①求函數(shù)的最值時，不需要對導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)討論其是極大還是極小值，只需將導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較即可。②若SKIPIF1<0在開區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)可導(dǎo)，且有唯一的極大（?。┲?，則這一極大（?。┲导礊樽畲螅ㄐ。┲?知識點(diǎn)十、優(yōu)化問題在實(shí)際生活中用料最省、利潤最大、效率最高等問題，常?？梢詺w結(jié)為函數(shù)的最大值問題，從而可用導(dǎo)數(shù)來解決。我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ撸瑢?dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題。利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題中的最值的一般步驟：(1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，找出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)；(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)的函數(shù)值大小，最大(小)者為最大(小)值．要點(diǎn)詮釋1．解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的答案2.得出變量之間的關(guān)系SKIPIF1<0后，必須由實(shí)際意義確定自變量SKIPIF1<0的取值范圍；3.在實(shí)際問題中，有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點(diǎn)使f′(x)＝0的情形，如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值，那么不與端點(diǎn)值比較，也可以知道這就是最大(小)值．4.在求實(shí)際問題的最大(小)值時，一定要注意考慮實(shí)際問題的意義，不符合實(shí)際意義的值應(yīng)舍去．專題一導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算及幾何意義有關(guān)導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算及幾何意義是導(dǎo)數(shù)部分的重要考點(diǎn)．導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)知識，要掌握運(yùn)用初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，其中先化簡再求導(dǎo)是導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的基本原則．運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義．不僅可以求過曲線上任一點(diǎn)的切線的斜率，從而進(jìn)一步求出過此點(diǎn)的切線方程，而且可以結(jié)合幾何的有關(guān)知識，求解某些點(diǎn)的坐標(biāo)、三角形的面積等問題．導(dǎo)數(shù)的幾何意義是近幾年高考的要點(diǎn)和熱點(diǎn)之一，常結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行考查，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，而在解答題中往往涉及函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，所以要掌握好此部分的知識．例1已知函數(shù)SKIPIF1<0的圖像是下列四個圖像之一,且其導(dǎo)函數(shù)SKIPIF1<0的圖像如圖所示，則該函數(shù)的圖像是（）解析：從導(dǎo)函數(shù)的圖像可以看出，導(dǎo)函數(shù)值先增大后減小，SKIPIF1<0時最大，所以函數(shù)SKIPIF1<0的圖像的變化率也先增大后減小，在SKIPIF1<0時變化率最大．A項(xiàng)，在時變化率最小，故錯誤；C項(xiàng)，變化率是越來越大的，故錯誤；D項(xiàng)，變化率是越來越小的，故錯誤．B項(xiàng)正確．答案：B解后反思：本題的解答過程是根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的大小變化情況，確定原函數(shù)的變化情況，從而得出結(jié)論．主要考查了識圖能力、抽象概括能力以及對導(dǎo)數(shù)幾何意義的準(zhǔn)確理解．例2已知曲線SKIPIF1<0及點(diǎn)SKIPIF1<0．（1）求過點(diǎn)P的切線方程；（2）求證：與曲線S切于點(diǎn)SKIPIF1<0的切線與S至少有兩個交點(diǎn)．分析：（1）首先可設(shè)出切點(diǎn)SKIPIF1<0，代入曲線S的方程，然后對SKIPIF1<0求導(dǎo)，聯(lián)立方程求解．（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立關(guān)于SKIPIF1<0的方程組求解．（1）解：設(shè)切點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．又因?yàn)镾KIPIF1<0,所以切線的斜率SKIPIF1<0,整理,得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,相應(yīng)的斜率SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,所以切線方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（2）證明：與曲線S切于點(diǎn)SKIPIF1<0的切線方程可設(shè)為SKIPIF1<0，與曲線S的方程聯(lián)立，消去y，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．因此，與曲線S切于點(diǎn)SKIPIF1<0的切線與S至少有兩個交點(diǎn)．解后反思：求“在某點(diǎn)處”的切線和求“過某點(diǎn)”的切線需注意：（3）求切線方程時，不要忽略斜率SKIPIF1<0不存在（即直線與SKIPIF1<0軸垂直）的情況．專題二利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這是導(dǎo)數(shù)的幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時的一個應(yīng)用，它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．這部分內(nèi)容要注意的是：（1）（2）若求函數(shù)SKIPIF1<0的增（減）區(qū)間，只要解不等式SKIPIF1<0即可；（3）若已知函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上是增（減）函數(shù)，求多數(shù)的取值范圍，則需SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上恒成立．這部分內(nèi)容是近幾年高考的要點(diǎn)和熱點(diǎn)之一，往往在解答題中出現(xiàn)，并且題目中常常出現(xiàn)參數(shù)，需對參數(shù)進(jìn)行分類討論，因此難度較大．例3設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0．若實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則（）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0解析：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是增函數(shù)．因?yàn)镾KIPIF1<0的定義域是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的增函數(shù)．因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0答案：A解后反思：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等知識，同時考查了分析問題，解決問題的能力以及運(yùn)算能力，難度較大．例4已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0在實(shí)數(shù)集SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍：（2）分析：研究函數(shù)的單調(diào)性，可通過判斷導(dǎo)數(shù)的符號來解決．因?yàn)樯婕皡?shù)SKIPIF1<0，所以要分類討論．解：（1）由已知，得SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立．因?yàn)镾KIPIF1<0所以只需SKIPIF1<0又因?yàn)楫?dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0故實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0（2）由SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)恒成立．得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)恒成立．因?yàn)镾KIPIF1<0＜SKIPIF1<0＜1，所以SKIPIF1<0＜3，所以只需SKIPIF1<0因?yàn)楫?dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0故存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0使SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞減．規(guī)律總結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比用函數(shù)的單調(diào)性定義要方便，但應(yīng)注意SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0僅是SKIPIF1<0在某個區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)（或間函數(shù)）的補(bǔ)充條件．在SKIPIF1<0內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞增（或遞減）的充要條件是SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)恒成立，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的任意子區(qū)間都不恒等于0．因此在已知函數(shù)SKIPIF1<0是增函數(shù)（或減函數(shù)）求參數(shù)的取值范圍時，應(yīng)先令SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0恒成立．解出參數(shù)的取值范圍．（一般可用不等式恒成立理論求解）．再檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使SKIPIF1<0恒等于0，若能恒等于0，則參數(shù)的這個值應(yīng)舍去；若不恒為0，則解出的參數(shù)的取值范圍即為所求．專題三利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值導(dǎo)數(shù)是求極值和最值的有力工具，函數(shù)的極值是一個局部性概念，一般是通過確定函數(shù)的定義域，用方程SKIPIF1<0的根和不可導(dǎo)點(diǎn)的X值依次將函數(shù)的定義域分成若干個小區(qū)間，并列成表格，結(jié)合在每個小區(qū)間上的單調(diào)性來求極值；對于函數(shù)的最值問題，若SKIPIF1<0的圖像在SKIPIF1<0上是一條連續(xù)不斷的曲線，則它必有最值．這部分內(nèi)容在選擇題、填空題解答題中都有出現(xiàn)，考查了分析問題和解決問題的能力．例5設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0,SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的極大值點(diǎn)，以下結(jié)論一定正確的是（）Ａ．SKIPIF1<0Ｂ．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的極小值點(diǎn)Ｃ．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的極小值點(diǎn)Ｄ．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的極小值點(diǎn)解析：答案：Ｄ解后反思：本題以函數(shù)的極值為載體，只要考察了函數(shù)圖像對稱變換的知識．在求解與函數(shù)有關(guān)的題目時，函數(shù)的圖像往往至關(guān)重要．例6已知函數(shù)SKIPIF1<0（1）當(dāng)SKIPIF1<0時，求曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)ＡSKIPIF1<0處的切線方程；（2）求函數(shù)SKIPIF1<0的極值．分析：（1）先確定函數(shù)SKIPIF1<0的定義域，再利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率及方程．（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再討論字母ａ的取值以確定單調(diào)性，進(jìn)而求得極值．解：函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0（１）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0因而SKIPIF1<0所以曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)ＡSKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0．（２）由SKIPIF1<0知①當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0內(nèi)的增函數(shù)，函數(shù)SKIPIF1<0無極值．②當(dāng)SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0又當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0從而函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極小值，且極小值為SKIPIF1<0SKIPIF1<0無極大值．綜上所述，當(dāng)SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0無極值．當(dāng)SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極小值SKIPIF1<0無極大值；解后反思：本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、極值、不等式等知識．由于含有參數(shù)SKIPIF1<0，故在求極值時要對SKIPIF1<0進(jìn)行分類討論．例7．已知函數(shù)SKIPIF1<0過曲線SKIPIF1<0上的點(diǎn)SKIPIF1<0的切線方程為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處有極值求：（1）SKIPIF1<0的表達(dá)式；（2）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的單調(diào)區(qū)間和最大值．分析：（1）要求SKIPIF1<0的表達(dá)式，需確定，SKIPIF1<0的值為此利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出點(diǎn)Ｐ處的切線方程，結(jié)合SKIPIF1<0求解．（2）通過解方程不等式SKIPIF1<0求出單調(diào)區(qū)間，從而確定最大值．解：（１）SKIPIF1<0所以曲線上點(diǎn)Ｐ處切線方程為：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0因?yàn)樵撉芯€方程為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0又因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0處有極值，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的單調(diào)增區(qū)間是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，單調(diào)減區(qū)間是SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最大值為SKIPIF1<0解后反思：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、求導(dǎo)公式、求函數(shù)單調(diào)性、最值的方法以及待定系數(shù)法、對運(yùn)算能力有一定的要求。專題四用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立的問題不等式恒成立問題是近幾年高考中的熱點(diǎn)問題，常作為壓軸題出現(xiàn)，交匯函數(shù)、方程、不等式和數(shù)列等知識有效地考查數(shù)學(xué)思維能力．不等式恒成立的問題一般都可以轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題，而導(dǎo)數(shù)以其本身所具備的一般性和有效性，在求解函數(shù)最值時，有著無可替代的作用。例8證明：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0分析：利用構(gòu)造函數(shù)法，分別判斷SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關(guān)系．證明:記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數(shù)．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是減函數(shù)．又因?yàn)镾KIPIF1<0所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0記SKIPIF1<0則當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是減函數(shù)．故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0綜上所述，SKIPIF1<0SKIPIF1<0規(guī)律總結(jié)：要證明不等式SKIPIF1<0則可構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0只需證明SKIPIF1<0由此轉(zhuǎn)化成求SKIPIF1<0最小值問題，并借助于導(dǎo)數(shù)解決問題．例9已知函數(shù)SKIPIF1<0（1）試判斷函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性，并說明理由．（2）若SKIPIF1<0恒成立求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求解即可，在求解中不要忽略條件SKIPIF1<0（2）由分離常數(shù)法，得SKIPIF1<0恒成立．故只需利用函數(shù)思想和導(dǎo)數(shù)法求得SKIPIF1<0解：（1）SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞減．（2）因?yàn)楫?dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立．所以SKIPIF1<0恒成立．即SKIPIF1<0記SKIPIF1<0則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0再令SKIPIF1<0則SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞增．所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)也是單調(diào)遞增．所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0規(guī)律總結(jié)：求參數(shù)取值范圍的問題時，常將其轉(zhuǎn)化為恒成立問題．利用SKIPIF1<0恒成立SKIPIF1<0或SKIPIF1<0恒成立SKIPIF1<0SKIPIF1<0的思想解題．專題五