新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第6章　§6.3　等比數(shù)列（原卷版）

§6.3等比數(shù)列考試要求1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．知識(shí)梳理1．等比數(shù)列有關(guān)的概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示.(2)等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，此時(shí)，G2＝ab.2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1.(2)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m.(3)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3．等比數(shù)列性質(zhì)(1)若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特別地，若2w＝m＋n，則aman＝aeq\o\al(2,w)，其中m，n，w∈N*.(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm(k，m∈N*)．(3)若數(shù)列{an}，{bn}是兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列{an·bn}，{pan·qbn}和eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(pan,qbn)))也是等比數(shù)列(b，p，q≠0)．(4)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.(n為偶數(shù)且q＝－1除外)(5)若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1，))則等比數(shù)列{an}遞增．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1，))則等比數(shù)列{an}遞減．常用結(jié)論1．等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可以寫成an＝cqn，這里c≠0，q≠0.2．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn可以寫成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．3．?dāng)?shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．(1)若a1·a2·…·an＝Tn，則Tn，eq\f(T2n,Tn)，eq\f(T3n,T2n)，…成等比數(shù)列．(2)若數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為2n，則eq\f(S偶,S奇)＝q；若項(xiàng)數(shù)為2n＋1，則eq\f(S奇－a1,S偶)＝q，或eq\f(S偶,S奇－an)＝q.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)三個(gè)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列的充要條件是b2＝ac.()(2)當(dāng)公比q>1時(shí)，等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．()(3)等比數(shù)列中所有偶數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同．()(4)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列．()教材改編題1．設(shè)a，b，c，d是非零實(shí)數(shù)，則“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝3，S4＝15，則S6等于()A．31B．32C．63D．643．已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若它們的和等于13，積等于27，則這三個(gè)數(shù)為________________．題型一等比數(shù)列基本量的運(yùn)算例1(1)已知等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為168，a2－a5＝42，則a6等于()A．14B．12C．6D．3(2)朱載堉(1536～1611)是中國(guó)明代一位杰出的音樂家、數(shù)學(xué)家和天文歷算家，他的著作《律學(xué)新說》中闡述了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一組音(八度)分成十二個(gè)半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”．即一個(gè)八度13個(gè)音，相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等，且最后一個(gè)音的頻率是最初那個(gè)音的2倍．設(shè)第二個(gè)音的頻率為f1，第八個(gè)音的頻率為f2.則eq\f(f2,f1)等于()A.eq\r(2)B.eq\r(8,2)C.eq\r(12,2)D．4eq\r(12,2)思維升華等比數(shù)列基本量的運(yùn)算的解題策略(1)等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解．(2)解方程組時(shí)常常利用“作商”消元法．(3)運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，一定要討論公比q＝1的情形，否則會(huì)漏解或增解．跟蹤訓(xùn)練1(1)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝3，S4＝15，則公比q等于()A．2B．3C．4D．5數(shù)之和為M，插入11個(gè)數(shù)后這13個(gè)數(shù)之和為N，則依此規(guī)則，下列說法錯(cuò)誤的是()A．插入的第8個(gè)數(shù)為eq\r(3,4)B．插入的第5個(gè)數(shù)是插入的第1個(gè)數(shù)的eq\r(3,2)倍C．M>3D．N<7題型二等比數(shù)列的判定與證明例2已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列{an}是等比數(shù)列；②數(shù)列{Sn＋a1}是等比數(shù)列；③a2＝2a1.注：如果選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．思維升華等比數(shù)列的三種常用判定方法(1)定義法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．(2)等比中項(xiàng)法：若數(shù)列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．(3)前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列．跟蹤訓(xùn)練2在數(shù)列{an}中，aeq\o\al(2,n＋1)＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.(1)證明：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.題型三等比數(shù)列的性質(zhì)例3(1)在等比數(shù)列{an}中，a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的兩根，則eq\f(a2a12,a7)的值為()A.eq\r(13)B．3C．±eq\r(13)D．±3(2)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且S8－2S4＝6，則a9＋a10＋a11＋a12的最小值為______．思維升華(1)等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形，二是等比中項(xiàng)的變形，三是前n項(xiàng)和公式的變形，根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口．(2)巧用性質(zhì)，減少運(yùn)算量，在解題中非常重要．跟蹤訓(xùn)練3(1)在等比數(shù)列{an}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，則a7＋a8等于()A．40B．36C．54D．81(2)等比數(shù)列{an}共有奇數(shù)個(gè)項(xiàng)，所有奇數(shù)項(xiàng)和S奇＝255，所有偶數(shù)項(xiàng)和S偶＝－126，末項(xiàng)是192，則首項(xiàng)a1等于()A．1B．2C．3D．4(3)在等比數(shù)列{an}中，an>0，a1＋a2＋a3＋…＋a8＝4，a1a2·…·a8＝16，則eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,a8)的值為()A．2B．4C．8D．16課時(shí)精練1．已知等比數(shù)列{an}滿足a5－a3＝8，a6－a4＝24，則a3等于()A．1B．－1C．3D．－32．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，則k等于()A．2B．3C．4D．53．若等比數(shù)列{an}中的a5，a2019是方程x2－4x＋3＝0的兩個(gè)根，則log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2023等于()A.eq\f(2024,3)B．1011C.eq\f(2023,2)D．10124．河南洛陽(yáng)的龍門石窟是中國(guó)石刻藝術(shù)寶庫(kù)之一，現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)，龍門石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國(guó)四大石窟．現(xiàn)有一石窟的某處“浮雕像”共7層，每上層的數(shù)量是下層的2倍，總共有1016個(gè)“浮雕像”，這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案，若從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}，則log2(a3·a5)的值為()A．16B．12C．10D．85．(多選)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且{Sn}是等差數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是()A．{an＋Sn}是等差數(shù)列B．{an·Sn}是等比數(shù)列C．{aeq\o\al(2,n)}是等差數(shù)列D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等比數(shù)列6．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，若a2＝1，a5＝eq\f(1,8)，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的最小值為()A.eq\f(8,3)B．1C．2D．37．已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且an>0，S1＋a1＝2，S3＋a3＝22，則公比q＝________，S5＋a5＝________.8．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，若數(shù)列{3n－an}也是等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可以為__________.(寫出一個(gè)即可)9．等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，若Sm＝63，求m.10．Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.(1)求an及Sn；(2)是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn＋λ}是等比數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．11．(多選)在數(shù)列{an}中，n∈N*，若eq\f(an＋2－an＋1,an＋1－an)＝k(k為常數(shù))，則稱{an}為“等差比數(shù)列”，下列關(guān)于“等差比數(shù)列”的判斷正確的是()A．k不可能為0B．等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”C．等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”D．“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項(xiàng)為012．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝8，a4＝－1，則數(shù)列{Sn}()A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)13．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{－53，－23,19,37,82}中，則6q＝________.14．記Sn為數(shù)