新高考數學一輪復習講義第6章　§6.2　等差數列（原卷版）

§6.2等差數列考試要求1.理解等差數列的概念.2.掌握等差數列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題.4.了解等差數列與一次函數、二次函數的關系．知識梳理1．等差數列的有關概念(1)等差數列的定義一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示，定義表達式為an－an－1＝d(常數)(n≥2，n∈N*)．(2)等差中項由三個數a，A，b組成等差數列，則A叫做a與b的等差中項，且有2A＝a＋b.2．等差數列的有關公式(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n項和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d或Sn＝eq\f(na1＋an,2).3．等差數列的常用性質(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}為等差數列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數列．(4)數列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)等差數列{an}的前n項和為Sn，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數列．常用結論1．已知數列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數)，則數列{an}一定是等差數列，且公差為p.2．在等差數列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值．3．等差數列{an}的單調性：當d＞0時，{an}是遞增數列；當d＜0時，{an}是遞減數列；當d＝0時，{an}是常數列．4．數列{an}是等差數列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數)．這里公差d＝2A.思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若一個數列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數，則這個數列是等差數列．()(2)數列{an}為等差數列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(3)在等差數列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，則m＋n＝p＋q.()(4)若無窮等差數列{an}的公差d>0，則其前n項和Sn不存在最大值．()教材改編題1．在等差數列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，則a10等于()A．－2B．－1C．1D．22．設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S4＝8，S8＝20，則a9＋a10＋a11＋a12等于()A．12B．8C．20D．163．設等差數列{an}的前n項和為Sn.若a1＝10，S4＝28，則Sn的最大值為________．題型一等差數列基本量的運算例1(1)(2023·開封模擬)已知公差為1的等差數列{an}中，aeq\o\al(2,5)＝a3a6，若該數列的前n項和Sn＝0，則n等于()A．10B．11C．12D．13(2)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層．上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)()A．3699塊 B．3474塊C．3402塊 D．3339塊思維升華(1)等差數列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個就能求出另外兩個(簡稱“知三求二”)．(2)確定等差數列的關鍵是求出兩個最基本的量，即首項a1和公差d.跟蹤訓練1(1)《周髀算經》有這樣一個問題：從冬至日起，依次為小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個節(jié)氣日影長減等寸，冬至、立春、春分日影長之和為三丈一尺五寸，前九個節(jié)氣日影長之和為八丈五尺五寸，問芒種日影長為(一丈＝十尺＝一百寸)()A．一尺五寸 B．二尺五寸C．三尺五寸 D．四尺五寸(2)數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,an＋1)))是等差數列，且a1＝1，a3＝－eq\f(1,3)，那么a2024＝________.題型二等差數列的判定與證明例2已知數列{an}的各項均為正數，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①數列{an}是等差數列；②數列{eq\r(Sn)}是等差數列；③a2＝3a1.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．思維升華判斷數列{an}是等差數列的常用方法(1)定義法．(2)等差中項法．(3)通項公式法．(4)前n項和公式法．跟蹤訓練2已知數列{an}的各項都是正數，n∈N*.(1)若{an}是等差數列，公差為d，且bn是an和an＋1的等比中項，設cn＝beq\o\al(2,n＋1)－beq\o\al(2,n)，n∈N*，求證：數列{cn}是等差數列；(2)若aeq\o\al(3,1)＋aeq\o\al(3,2)＋aeq\o\al(3,3)＋…＋aeq\o\al(3,n)＝Seq\o\al(2,n)，Sn為數列{an}的前n項和，求數列{an}的通項公式．題型三等差數列的性質命題點1等差數列項的性質例3(1)已知在等差數列{an}中，若a8＝8且log2(SKIPIF1<0)＝22，則S13等于()A．40B．65C．80D．40＋log25(2)已知數列{an}，{bn}都是等差數列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，則a2024－b2024的值為________．思維升華等差數列項的性質的關注點(1)在等差數列題目中，只要出現項的和問題，一般先考慮應用項的性質．(2)項的性質常與等差數列的前n項和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)相結合．跟蹤訓練3(1)若等差數列{an}的前15項和S15＝30，則2a5－a6－a10＋a14等于()A．2B．3C．4D．5(2)已知等差數列{an}滿足eq\f(a8,a5)＝－2，則下列結論一定成立的是()A.eq\f(a9,a4)＝－1 B.eq\f(a8,a3)＝－1C.eq\f(a9,a3)＝－1 D.eq\f(a10,a4)＝－1命題點2等差數列前n項和的性質例4(1)設等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，若對任意的n∈N*，都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－3,4n－3)，則eq\f(a2,b3＋b13)＋eq\f(a14,b5＋b11)的值為()A.eq\f(29,45)B.eq\f(13,29)C.eq\f(9,19)D.eq\f(19,30)(2)已知等差數列{an}共有(2n＋1)項，其中奇數項之和為290，偶數項之和為261，則an＋1的值為()A．30B．29C．28D．27思維升華等差數列前n項和的常用的性質是：在等差數列{an}中，數列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.跟蹤訓練4(1)設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S4＝20，S5＝30，am＝40，則m等于()A．6B．10C．20D．40(2)已知Sn是等差數列{an}的前n項和，若a1＝－2020，eq\f(S2020,2020)－eq\f(S2014,2014)＝6，則S2023等于()A．2023 B．－2023C．4046 D．－4046課時精練1．首項為－21的等差數列從第8項起為正數，則公差d的取值范圍是()A．(3，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(7,2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(3，\f(7,2)))2．設Sn是等差數列{an}的前n項和，若S50－S47＝12，則S97等于()A．198B．388C．776D．20233．已知等差數列{an}的項數為奇數，其中所有奇數項之和為319，所有偶數項之和為290，則該數列的中間項為()A．28B．29C．30D．314．天干地支紀年法，源于中國．中國自古便有十天干與十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如說第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，……，依此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，……，依此類推.1911年中國爆發(fā)推翻清朝專制帝制、建立共和政體的全國性革命，這一年是辛亥年，史稱“辛亥革命”.1949年新中國成立，請推算新中國成立的年份為()A．己丑年 B．己酉年C．丙寅年 D．甲寅年5．設Sn為等差數列{an}的前n項和，若3a5＝7a11，且a1>0.則使Sn<0的n的最小值為()A．30B．31C．32D．336．(多選)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若eq\f(1,tanA)，eq\f(1,tanB)，eq\f(1,tanC)依次成等差數列，則下列結論中不一定成立的是()A．a，b，c依次成等差數列B.eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)依次成等差數列C．a2，b2，c2依次成等差數列D．a3，b3，c3依次成等差數列7．記Sn為等差數列{an}的前n項和．若2S3＝3S2＋6，則公差d＝________.8．設Sn是等差數列{an}的前n項和，S10＝16，S100－S90＝24，則S100＝________.9．已知{an}是公差為d的等差數列，其前n項和為Sn，且a5＝1，________.若存在正整數n，使得Sn有最小值．(1)求{an}的通項公式；(2)求Sn的最小值．從①a3＝－1，②d＝2，③d＝－2這三個條件中選擇符合題意的一個條件，補充在上面的問題中并作答．注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．10．在數列{an}中，a1＝8，a4＝2，且滿足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．(1)求數列{an}的通項公式；(2)設Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.11．(多選)已知數列{an}是公差不為0的等差數列，前n項和為Sn，滿足a1＋5a3＝S8，下列選項正確的有()A．a10＝0 B．S10最小C．S7＝S12 D．S20＝012．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且eq\f(a2＋2a7＋a8,a3＋a6)＝eq\f(20,11)，則eq\f(S11,S8)等于()A.eq\f(3,7)B.eq\f(1,6)C.eq\f(5,11)D.eq\f(5,4)13．將數列{2n－1}與{3n－2}的公共項從小到大排列得到數列{an}，則{an}的前n項和為___