新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第6章　§6.2　等差數(shù)列（原卷版）

§6.2等差數(shù)列考試要求1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系．知識(shí)梳理1．等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，定義表達(dá)式為an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2，n∈N*)．(2)等差中項(xiàng)由三個(gè)數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且有2A＝a＋b.2．等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d或Sn＝eq\f(na1＋an,2).3．等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列．常用結(jié)論1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.2．在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值．3．等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d＞0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時(shí)，{an}是常數(shù)列．4．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．這里公差d＝2A.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列．()(2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(3)在等差數(shù)列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，則m＋n＝p＋q.()(4)若無窮等差數(shù)列{an}的公差d>0，則其前n項(xiàng)和Sn不存在最大值．()教材改編題1．在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，則a10等于()A．－2B．－1C．1D．22．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4＝8，S8＝20，則a9＋a10＋a11＋a12等于()A．12B．8C．20D．163．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a1＝10，S4＝28，則Sn的最大值為________．題型一等差數(shù)列基本量的運(yùn)算例1(1)(2023·開封模擬)已知公差為1的等差數(shù)列{an}中，aeq\o\al(2,5)＝a3a6，若該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝0，則n等于()A．10B．11C．12D．13(2)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層．上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)()A．3699塊 B．3474塊C．3402塊 D．3339塊思維升華(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個(gè)就能求出另外兩個(gè)(簡稱“知三求二”)．(2)確定等差數(shù)列的關(guān)鍵是求出兩個(gè)最基本的量，即首項(xiàng)a1和公差d.跟蹤訓(xùn)練1(1)《周髀算經(jīng)》有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次為小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個(gè)節(jié)氣日影長減等寸，冬至、立春、春分日影長之和為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影長之和為八丈五尺五寸，問芒種日影長為(一丈＝十尺＝一百寸)()A．一尺五寸 B．二尺五寸C．三尺五寸 D．四尺五寸(2)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,an＋1)))是等差數(shù)列，且a1＝1，a3＝－eq\f(1,3)，那么a2024＝________.題型二等差數(shù)列的判定與證明例2已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列{eq\r(Sn)}是等差數(shù)列；③a2＝3a1.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．思維升華判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列的常用方法(1)定義法．(2)等差中項(xiàng)法．(3)通項(xiàng)公式法．(4)前n項(xiàng)和公式法．跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，n∈N*.(1)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，且bn是an和an＋1的等比中項(xiàng)，設(shè)cn＝beq\o\al(2,n＋1)－beq\o\al(2,n)，n∈N*，求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列；(2)若aeq\o\al(3,1)＋aeq\o\al(3,2)＋aeq\o\al(3,3)＋…＋aeq\o\al(3,n)＝Seq\o\al(2,n)，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．題型三等差數(shù)列的性質(zhì)命題點(diǎn)1等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)例3(1)已知在等差數(shù)列{an}中，若a8＝8且log2(SKIPIF1<0)＝22，則S13等于()A．40B．65C．80D．40＋log25(2)已知數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，則a2024－b2024的值為________．思維升華等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)的關(guān)注點(diǎn)(1)在等差數(shù)列題目中，只要出現(xiàn)項(xiàng)的和問題，一般先考慮應(yīng)用項(xiàng)的性質(zhì)．(2)項(xiàng)的性質(zhì)常與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)相結(jié)合．跟蹤訓(xùn)練3(1)若等差數(shù)列{an}的前15項(xiàng)和S15＝30，則2a5－a6－a10＋a14等于()A．2B．3C．4D．5(2)已知等差數(shù)列{an}滿足eq\f(a8,a5)＝－2，則下列結(jié)論一定成立的是()A.eq\f(a9,a4)＝－1 B.eq\f(a8,a3)＝－1C.eq\f(a9,a3)＝－1 D.eq\f(a10,a4)＝－1命題點(diǎn)2等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)例4(1)設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對任意的n∈N*，都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－3,4n－3)，則eq\f(a2,b3＋b13)＋eq\f(a14,b5＋b11)的值為()A.eq\f(29,45)B.eq\f(13,29)C.eq\f(9,19)D.eq\f(19,30)(2)已知等差數(shù)列{an}共有(2n＋1)項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為290，偶數(shù)項(xiàng)之和為261，則an＋1的值為()A．30B．29C．28D．27思維升華等差數(shù)列前n項(xiàng)和的常用的性質(zhì)是：在等差數(shù)列{an}中，數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.跟蹤訓(xùn)練4(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4＝20，S5＝30，am＝40，則m等于()A．6B．10C．20D．40(2)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝－2020，eq\f(S2020,2020)－eq\f(S2014,2014)＝6，則S2023等于()A．2023 B．－2023C．4046 D．－4046課時(shí)精練1．首項(xiàng)為－21的等差數(shù)列從第8項(xiàng)起為正數(shù)，則公差d的取值范圍是()A．(3，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(7,2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(3，\f(7,2)))2．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S50－S47＝12，則S97等于()A．198B．388C．776D．20233．已知等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)之和為319，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為290，則該數(shù)列的中間項(xiàng)為()A．28B．29C．30D．314．天干地支紀(jì)年法，源于中國．中國自古便有十天干與十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如說第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，……，依此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，……，依此類推.1911年中國爆發(fā)推翻清朝專制帝制、建立共和政體的全國性革命，這一年是辛亥年，史稱“辛亥革命”.1949年新中國成立，請推算新中國成立的年份為()A．己丑年 B．己酉年C．丙寅年 D．甲寅年5．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若3a5＝7a11，且a1>0.則使Sn<0的n的最小值為()A．30B．31C．32D．336．(多選)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若eq\f(1,tanA)，eq\f(1,tanB)，eq\f(1,tanC)依次成等差數(shù)列，則下列結(jié)論中不一定成立的是()A．a(chǎn)，b，c依次成等差數(shù)列B.eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)依次成等差數(shù)列C．a(chǎn)2，b2，c2依次成等差數(shù)列D．a(chǎn)3，b3，c3依次成等差數(shù)列7．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若2S3＝3S2＋6，則公差d＝________.8．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S10＝16，S100－S90＝24，則S100＝________.9．已知{an}是公差為d的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且a5＝1，________.若存在正整數(shù)n，使得Sn有最小值．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求Sn的最小值．從①a3＝－1，②d＝2，③d＝－2這三個(gè)條件中選擇符合題意的一個(gè)條件，補(bǔ)充在上面的問題中并作答．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．10．在數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝2，且滿足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.11．(多選)已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，滿足a1＋5a3＝S8，下列選項(xiàng)正確的有()A．a(chǎn)10＝0 B．S10最小C．S7＝S12 D．S20＝012．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且eq\f(a2＋2a7＋a8,a3＋a6)＝eq\f(20,11)，則eq\f(S11,S8)等于()A.eq\f(3,7)B.eq\f(1,6)C.eq\f(5,11)D.eq\f(5,4)13．將數(shù)列{2n－1}與{3n－2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為___