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2025屆廣西玉林高中高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題周測試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),,若,對任意恒有,在區(qū)間上有且只有一個(gè)使,則的最大值為()A. B. C. D.2.已知集合.為自然數(shù)集,則下列表示不正確的是()A. B. C. D.3.若復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是()A.的虛部為 B. C.的共軛復(fù)數(shù)為 D.為純虛數(shù)4.在中,,,,則邊上的高為()A. B.2 C. D.5.從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為,從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為,則在方程表示雙曲線的條件下,方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的概率為()A. B. C. D.6.已知集合,集合,若,則()A. B. C. D.7.若的展開式中的系數(shù)為150,則()A.20 B.15 C.10 D.258.在平面直角坐標(biāo)系中,已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的非負(fù)半軸重合,終邊落在直線上,則()A. B. C. D.9.已知函數(shù),的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于,則的一條對稱軸是()A. B. C. D.10.根據(jù)散點(diǎn)圖,對兩個(gè)具有非線性關(guān)系的相關(guān)變量x,y進(jìn)行回歸分析,設(shè)u=lny,v=(x-4)2,利用最小二乘法,得到線性回歸方程為=0.5v+2,則變量y的最大值的估計(jì)值是()A.e B.e2 C.ln2 D.2ln211.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位,),則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.已知點(diǎn)P在橢圓τ:=1(a>b>0)上,點(diǎn)P在第一象限,點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為A,點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Q,設(shè),直線AD與橢圓τ的另一個(gè)交點(diǎn)為B,若PA⊥PB,則橢圓τ的離心率e=()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,(,),則=_______.14.成都市某次高三統(tǒng)考,成績X經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析,近似服從正態(tài)分布,且,若該市有人參考,則估計(jì)成都市該次統(tǒng)考中成績大于分的人數(shù)為_____.15.在平行四邊形中,已知,,,若,,則____________.16.若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5,則a1=_____,a1+a2+…+a5=____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某校為了解校園安全教育系列活動(dòng)的成效,對全校學(xué)生進(jìn)行了一次安全意識測試,根據(jù)測試成績評定“合格”“不合格”兩個(gè)等級,同時(shí)對相應(yīng)等級進(jìn)行量化:“合格”記5分,“不合格”記0分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的答卷,統(tǒng)計(jì)結(jié)果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如下:等級不合格合格得分頻數(shù)624(1)由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數(shù)和中位數(shù);(2)其他條件不變,在評定等級為“合格”的學(xué)生中依次抽取2人進(jìn)行座談,每次抽取1人,求在第1次抽取的測試得分低于80分的前提下,第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率;(3)用分層抽樣的方法,從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中抽取10人進(jìn)行座談.現(xiàn)再從這10人中任選4人,記所選4人的量化總分為,求的數(shù)學(xué)期望.18.(12分)已知在中,a、b、c分別為角A、B、C的對邊,且.(1)求角A的值;(2)若,設(shè)角,周長為y,求的最大值.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),為上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)滿足,點(diǎn)的軌跡為曲線.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)在以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為,與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為,求.20.(12分)已知數(shù)列中,a1=1,其前n項(xiàng)和為,且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記,若數(shù)列為遞增數(shù)列,求λ的取值范圍.21.(12分)已知;.(1)若為真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若為真命題且為假命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)如圖,在正四棱柱中,,,過頂點(diǎn),的平面與棱,分別交于,兩點(diǎn)(不在棱的端點(diǎn)處).(1)求證:四邊形是平行四邊形;(2)求證:與不垂直;(3)若平面與棱所在直線交于點(diǎn),當(dāng)四邊形為菱形時(shí),求長.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
根據(jù)的零點(diǎn)和最值點(diǎn)列方程組,求得的表達(dá)式(用表示),根據(jù)在上有且只有一個(gè)最大值,求得的取值范圍,求得對應(yīng)的取值范圍,由為整數(shù)對的取值進(jìn)行驗(yàn)證,由此求得的最大值.【詳解】由題意知,則其中,.又在上有且只有一個(gè)最大值,所以,得,即,所以,又,因此.①當(dāng)時(shí),,此時(shí)取可使成立,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)或時(shí),都成立,舍去;②當(dāng)時(shí),,此時(shí)取可使成立,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)或時(shí),都成立,舍去;③當(dāng)時(shí),,此時(shí)取可使成立,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),成立;綜上所得的最大值為.故選:C本小題主要考查三角函數(shù)的零點(diǎn)和最值,考查三角函數(shù)的性質(zhì),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.2.D【解析】
集合.為自然數(shù)集,由此能求出結(jié)果.【詳解】解:集合.為自然數(shù)集,在A中,,正確;在B中,,正確;在C中,,正確;在D中,不是的子集,故D錯(cuò)誤.故選:D.本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.3.D【解析】
將復(fù)數(shù)整理為的形式,分別判斷四個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.【詳解】的虛部為,錯(cuò)誤;,錯(cuò)誤;,錯(cuò)誤;,為純虛數(shù),正確本題正確選項(xiàng):本題考查復(fù)數(shù)的模長、實(shí)部與虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的分類的知識,屬于基礎(chǔ)題.4.C【解析】
結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,求得邊長,由此求得邊上的高.【詳解】過作,交的延長線于.由于,所以為鈍角,且,所以.在三角形中,由正弦定理得,即,所以.在中有,即邊上的高為.故選:C本小題主要考查正弦定理解三角形,考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,屬于中檔題.5.A【解析】
設(shè)事件A為“方程表示雙曲線”,事件B為“方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”,分別計(jì)算出,再利用公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)事件A為“方程表示雙曲線”,事件B為“方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”,由題意,,,則所求的概率為.故選:A.本題考查利用定義計(jì)算條件概率的問題,涉及到雙曲線的定義,是一道容易題.6.A【解析】
根據(jù)或,驗(yàn)證交集后求得的值.【詳解】因?yàn)椋曰?當(dāng)時(shí),,不符合題意,當(dāng)時(shí),.故選A.本小題主要考查集合的交集概念及運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7.C【解析】
通過二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)分析得到,即得解.【詳解】由已知得,故當(dāng)時(shí),,于是有,則.故選:C本題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)和系數(shù)問題,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.8.C【解析】
利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式,將化簡為關(guān)于的形式,結(jié)合終邊所在的直線可知的值,從而可求的值.【詳解】因?yàn)椋?,所?故選:C.本題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式以及三角恒等變換中的二倍角公式,屬于給角求值類型的問題,難度一般.求解值的兩種方法:(1)分別求解出的值,再求出結(jié)果;(2)將變形為,利用的值求出結(jié)果.9.D【解析】
由題,得,由的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于,可得最小正周期,從而求得,得到函數(shù)的解析式,又因?yàn)楫?dāng)時(shí),,由此即可得到本題答案.【詳解】由題,得,因?yàn)榈膱D象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于,所以函數(shù)的最小正周期,則,所以,當(dāng)時(shí),,所以是函數(shù)的一條對稱軸,故選:D本題主要考查利用和差公式恒等變形,以及考查三角函數(shù)的周期性和對稱性.10.B【解析】
將u=lny,v=(x-4)2代入線性回歸方程=-0.5v+2,利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可得最大估計(jì)值.【詳解】解:將u=lny,v=(x4)2代入線性回歸方程=0.5v+2得:,即,當(dāng)時(shí),取到最大值2,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,則取到最大值.故選:B.本題考查了非線性相關(guān)的二次擬合問題,考查復(fù)合型指數(shù)函數(shù)的最值,是基礎(chǔ)題,.11.B【解析】
分別比較復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部與0的大小關(guān)系,可判斷出在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】因?yàn)闀r(shí),所以,,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選:B.本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.12.C【解析】
設(shè),則,,,設(shè),根據(jù)化簡得到,得到答案.【詳解】設(shè),則,,,則,設(shè),則,兩式相減得到:,,,即,,,故,即,故,故.故選:.本題考查了橢圓的離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
先利用倍角公式及差角公式把已知條件化簡可得,平方可得.【詳解】∵,∴,則,平方可得.故答案為:.本題主要考查三角恒等變換,倍角公式的合理選擇是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).14..【解析】
根據(jù)正態(tài)分布密度曲線性質(zhì),結(jié)合求得,即可得解.【詳解】根據(jù)正態(tài)分布,且,所以故該市有人參考,則估計(jì)成都市該次統(tǒng)考中成績大于分的人數(shù)為.故答案為:.此題考查正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)的理解辨析,根據(jù)曲線的對稱性求解概率,根據(jù)總?cè)藬?shù)求解成績大于114的人數(shù).15.【解析】
設(shè),則,得到,,利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算,即可求解.【詳解】由題意,如圖所示,設(shè),則,又由,,所以為的中點(diǎn),為的三等分點(diǎn),則,,所以.本題主要考查了向量的共線定理以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算,其中解答中熟記向量的線性運(yùn)算法則,以及向量的共線定理和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式,準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.16.80211【解析】
由,利用二項(xiàng)式定理即可得,分別令、后,作差即可得.【詳解】由題意,則,令,得,令,得,故.故答案為:80,211.本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)64,65;(2);(3).【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖及其性質(zhì)可求出,平均數(shù),中位數(shù);(2)設(shè)“第1次抽取的測試得分低于80分”為事件,“第2次抽取的測試得分低于80分”為事件,由條件概率公式可求出;(3)從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行座談,其中“不合格”的學(xué)生數(shù)為,“合格”的學(xué)生數(shù)為6;由題意可得,5,10,15,1,利用“超幾何分布”的計(jì)算公式即可得出概率,進(jìn)而得出分布列與數(shù)學(xué)期望.【詳解】由題意知,樣本容量為,.(1)平均數(shù)為,設(shè)中位數(shù)為,因?yàn)?,所以,則,解得.(2)由題意可知,分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生有24人,分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生有12人.設(shè)“第1次抽取的測試得分低于80分”為事件,“第2次抽取的測試得分低于80分”為事件,則,所以.(3)在評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取10人,則“不合格”的學(xué)生人數(shù)為,“合格”的學(xué)生人數(shù)為.由題意可得的所有可能取值為0,5,10,15,1.,.所以的分布列為0510151.本題主要考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)、分層抽樣、超幾何分布列及其數(shù)學(xué)期望,考查了計(jì)算能力,屬于中檔題.18.(1);(2).【解析】
(1)利用正弦定理,結(jié)合題中條件,可以得到,之后應(yīng)用余弦定理即可求得;(2)利用正弦定理求得,求出三角形的周長,利用三角函數(shù)的最值求解即可.【詳解】(1)由已知可得,結(jié)合正弦定理可得,∴,又,∴.(2)由,及正弦定理得,∴,,故,即,由,得,∴當(dāng),即時(shí),.該題主要考查的是有關(guān)解三角形的問題,解題的關(guān)鍵是掌握正余弦定理,屬于簡單題目.19.(Ⅰ)(為參數(shù));(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)設(shè)點(diǎn),,則,代入化簡得到答案.(Ⅱ)分別計(jì)算,的極坐標(biāo)方程為,,取代入計(jì)算得到答案.【詳解】(Ⅰ)設(shè)點(diǎn),,,故,故的參數(shù)方程為:(為參數(shù)).(Ⅱ),故,極坐標(biāo)方程為:;,故,極坐標(biāo)方程為:.,故,,故.本題考查了參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程,弦長,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.20.(1)(2)【解析】
(1)項(xiàng)和轉(zhuǎn)換可得,繼而得到,可得解;(2)代入可得,由數(shù)列為遞增數(shù)列可得,,令,可證明為遞增數(shù)列,即,即得解【詳解】(1)∵,∴,∴,即,∴,∴,∴.(2).=2·-λ(2n+1).∵數(shù)列為遞增數(shù)列,∴,即.令,即.∴為遞增數(shù)列,∴,即的取值范圍為.本題考查了數(shù)列綜合問題,考查了項(xiàng)和轉(zhuǎn)換,數(shù)列的單調(diào)性,最值等知識點(diǎn),考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.21.(1)(2)或【解析】
(1)根據(jù)為真命題列出不等式,進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)應(yīng)用復(fù)合命題真假判定的口訣:真“非
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